Re: Petits problèmes de mathématiques

ben2510 a écrit:

pignolo a écrit:

ben2510 a écrit:Spontanément je dirais ]0;1], avec des fractions continues.
Mais bon il faudrait que j'attrape papier crayon. Grosse flemme.

N^N a la puissance du continu.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Puissance_du_continu

Ah bah voila.
Tu aurais pu me laisser chercher cinq minutes de plus.
Et après on critique ceux qui disent que toutes les connaissances sont sur internet !

Encore faut-il savoir quoi chercher... Wink

ben2510 a écrit:

JPhMM a écrit:

ben2510 a écrit:

JPhMM a écrit:Bon, voilà, il y a un petit truc qui me trotte dans la tête depuis très longtemps, et je ne sais qu'en penser.
Je pense que je me prends la tête avec pas grand chose, et j'en ai un peu mathématiquement honte par avance, mais bon... on ne se refait pas.

Je vais essayer d'expliquer.
Soit (p_k) la suite ordonnée de tous les nombres premiers : p₀=2; p₁=3; p₂=5; etc.
Tout entier N supérieur ou égal à 1 s'écrit de façon unique comme produit des p_k^n_k où les n_k sont des entiers naturels.
Soit la suite (n_k) ainsi constituée.
Alors, pour chaque N entier supérieur ou égal à 1 il existe un et un seul (n₀, n₁, n₂, ... , n_k, ...) ; et inversement.
Je trouve donc que ℕ* est en bijection avec ℕ^∞. Et ce résultat me pose problème.

Alors soit je fais une grosse erreur (mea culpa) quelque part, soit je ne comprends pas pourquoi ce résultat me pose problème.

N est en bijection avec l'ensemble des suites presque nulles d'entiers naturels.
Mais pourquoi ce sev de ℕ^ℕ serait-il en bijection avec ℕ^ℕ (ton ℕ^∞ me plaît pas trop pour désiner l'ensemble des suites d'entiers naturels, car des infinis il y en a plein).

jaybe a écrit:

JPhMM a écrit:Bon, voilà, il y a un petit truc qui me trotte dans la tête depuis très longtemps, et je ne sais qu'en penser.
Je pense que je me prends la tête avec pas grand chose, et j'en ai un peu mathématiquement honte par avance, mais bon... on ne se refait pas.

Je vais essayer d'expliquer.
Soit (p_k) la suite ordonnée de tous les nombres premiers : p₀=2; p₁=3; p₂=5; etc.
Tout entier N supérieur ou égal à 1 s'écrit de façon unique comme produit des p_k^n_k où les n_k sont des entiers naturels.
Soit la suite (n_k) ainsi constituée.
Alors, pour chaque N entier supérieur ou égal à 1 il existe un et un seul (n₀, n₁, n₂, ... , n_k, ...) ; et inversement.
Je trouve donc que ℕ* est en bijection avec ℕ^∞. Et ce résultat me pose problème.

Alors soit je fais une grosse erreur (mea culpa) quelque part, soit je ne comprends pas pourquoi ce résultat me pose problème.

C'est parce que la bijection se fait avec les suites qui prennent un nombre fini de valeurs non nulles, pas toutes les suites ! (arf, grilled )

Oui Merci, je comprends.
En effet, (1;1; ... ; 1 ; 1 ; ...) n'est l'image d'aucun entier, merci. C'était simple en fait.
Je me demande s'il existe un ensemble de nombres qui est en bijection avec cet ℕ^ℕ. L'ensemble des hyperentiers peut-être (ma connaissance des hyperentiers est insuffisante ici, en l'espèce).

Spontanément je dirais ]0;1], avec des fractions continues.
Mais bon il faudrait que j'attrape papier crayon. Grosse flemme.

Oui.

pignolo a écrit:

JPhMM a écrit:Ce n'est pas la plus connue (mais je l'aime bien)
Le reste de la division de 10ⁿ par 11 est 1 pour n pair, –1 pour n impair. D'où le résultat.

C'est tout de même un classique de spé maths en TS.

Mon pauvre ami, cela fait plus de 10 ans que je n'ai pas eu de TS. Wink

(Mais je suis incollable en théorème de Pythagore. :lol: )

pignolo a écrit:

ben2510 a écrit:

pignolo a écrit:

ben2510 a écrit:Spontanément je dirais ]0;1], avec des fractions continues.
Mais bon il faudrait que j'attrape papier crayon. Grosse flemme.

N^N a la puissance du continu.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Puissance_du_continu

Ah bah voila.
Tu aurais pu me laisser chercher cinq minutes de plus.
Et après on critique ceux qui disent que toutes les connaissances sont sur internet !

Encore faut-il savoir quoi chercher...

Mais si tu sais ce que tu cherches, où est le plaisir de la recherche ?

JPhMM a écrit:

pignolo a écrit:

JPhMM a écrit:Ce n'est pas la plus connue (mais je l'aime bien)
Le reste de la division de 10ⁿ par 11 est 1 pour n pair, –1 pour n impair. D'où le résultat.

C'est tout de même un classique de spé maths en TS.

Mon pauvre ami, cela fait plus de 10 ans que je n'ai pas eu de TS.
(Mais je suis incollable en théorème de Pythagore. :lol: )

L'irrationalité de racine de 2, et les triplets pythagoriciens sont des classiques de ~~quatrième~~ spé maths aussi !
Quant à la résolution de l'équation diophantienne ax+by=c, en fait on cherche juste des points faciles à placer pour interpréter graphiquement un système (avec l'astuce d'utiliser l'algorithme d'Euclide pour trouver une solution particulière) : du boulot de troisième.
En fait il y a un gros trou entre la troisième et la TS.

Et un gros trou entre la sixième et la troisième (division euclidienne).

Oui, il faut deux années intermédiaires à chaque fois pour digérer, semble-t-il !

Il y a globalement un gros trou en arithmétique entre l'école primaire et la TS, puisqu'à ce jour je n'ai connu que quelques spécimens d'élèves ayant retenu quelque chose, même infinitésimal, d'Euclide au collège.

Déjà il faut reprendre la division euclidienne avec les spé !
Mais ça revient très très vite.
Pour Euclide, en général mes secondes s'en rappellent fort bien. Du nom, surtout :lol: :lol: :lol:

La réforme des programmes du collège va peut-être nous permettre de "lisser" de l'arithmétique sur l'ensemble des niveaux du collège.

La DEFP n'est plus au programme de seconde depuis 2010. Etonnamment, mes collèues et moi ne sommes pas encore au courant. Décomposer 294, puis demander la décomposition de 294^100 est assez facile pour les élèves, et suffisamment astucieux pour que ça les marque. Enfin quelques semaines, après il faut entretenir régulièrement. En fait c'est bien ça le problème dans l'enseignement des maths. Ce matin je définis l'addition des vecteurs ; on avait vu la notion de vecteurs opposés ; je me tourne vers les élèves et leur demande un synonyme de "ajouter l'opposé". Un grand moment de solitude... Mais comment ont-ils fait pour passer en quatrième ?

En plus de l'avoir fait démontrer, l'avoir fait écrire dans la leçon, l'avoir fait appliqué une bonne cinquantaine de fois, je crois avoir répété plus de trente fois "enlever un nombre revient à ajouter son opposé", l'avoir fait dire par des élèves sans doute autant...

Et certains n'ont toujours pas imprimé.

cafe

ben2510 a écrit:... Mais comment ont-ils fait pour passer en quatrième ?

C'est bien un truc de prof, ça, de poser la question alors que tu connais la réponse. Razz

JPhMM a écrit:En plus de l'avoir fait démontrer, l'avoir fait écrire dans la leçon, l'avoir fait appliqué une bonne cinquantaine de fois, je crois avoir répété plus de trente fois "enlever un nombre revient à ajouter son opposé", l'avoir fait dire par des élèves sans doute autant...

Et certains n'ont toujours pas imprimé.

J'ai fait huit ans de collège avant de revenir au lycée.
Tout pareil que toi cafe

Et évidemment je l'ai répété une bonne cinquantaine de fois depuis le début de leur année de seconde. cafe

William Foster a écrit:

ben2510 a écrit:... Mais comment ont-ils fait pour passer en quatrième ?

C'est bien un truc de prof, ça, de poser la question alors que tu connais la réponse.

Sinon comment faire pour vérifier la réponse. professeur

Une amusette pour ceux qui ne la connaissent pas : Toto écrit tous les nombres de 1 à 9 au tableau. Il effectue à plusieurs reprises l'action suivante : parmi les nombres écrits, il choisit deux nombres m et n (avec m supérieur ou égal à n), les efface et écrit le nombre m-n ; il recommence jusqu'à ce qu'il ne reste plus qu'un seul nombre écrit. Quelles sont les valeurs possibles de ce nombre ?

JPhMM a écrit:

ben2510 a écrit:

JPhMM a écrit:Bon, voilà, il y a un petit truc qui me trotte dans la tête depuis très longtemps, et je ne sais qu'en penser.
Je pense que je me prends la tête avec pas grand chose, et j'en ai un peu mathématiquement honte par avance, mais bon... on ne se refait pas.

Je vais essayer d'expliquer.
Soit (p_k) la suite ordonnée de tous les nombres premiers : p₀=2; p₁=3; p₂=5; etc.
Tout entier N supérieur ou égal à 1 s'écrit de façon unique comme produit des p_k^n_k où les n_k sont des entiers naturels.
Soit la suite (n_k) ainsi constituée.
Alors, pour chaque N entier supérieur ou égal à 1 il existe un et un seul (n₀, n₁, n₂, ... , n_k, ...) ; et inversement.
Je trouve donc que ℕ* est en bijection avec ℕ^∞. Et ce résultat me pose problème.

Alors soit je fais une grosse erreur (mea culpa) quelque part, soit je ne comprends pas pourquoi ce résultat me pose problème.

N est en bijection avec l'ensemble des suites presque nulles d'entiers naturels.
Mais pourquoi ce sev de ℕ^ℕ serait-il en bijection avec ℕ^ℕ (ton ℕ^∞ me plaît pas trop pour désiner l'ensemble des suites d'entiers naturels, car des infinis il y en a plein).

jaybe a écrit:

JPhMM a écrit:Bon, voilà, il y a un petit truc qui me trotte dans la tête depuis très longtemps, et je ne sais qu'en penser.
Je pense que je me prends la tête avec pas grand chose, et j'en ai un peu mathématiquement honte par avance, mais bon... on ne se refait pas.

Je vais essayer d'expliquer.
Soit (p_k) la suite ordonnée de tous les nombres premiers : p₀=2; p₁=3; p₂=5; etc.
Tout entier N supérieur ou égal à 1 s'écrit de façon unique comme produit des p_k^n_k où les n_k sont des entiers naturels.
Soit la suite (n_k) ainsi constituée.
Alors, pour chaque N entier supérieur ou égal à 1 il existe un et un seul (n₀, n₁, n₂, ... , n_k, ...) ; et inversement.
Je trouve donc que ℕ* est en bijection avec ℕ^∞. Et ce résultat me pose problème.

Alors soit je fais une grosse erreur (mea culpa) quelque part, soit je ne comprends pas pourquoi ce résultat me pose problème.

C'est parce que la bijection se fait avec les suites qui prennent un nombre fini de valeurs non nulles, pas toutes les suites ! (arf, grilled )

Oui Merci, je comprends.
En effet, (1;1; ... ; 1 ; 1 ; ...) n'est l'image d'aucun entier, merci. C'était simple en fait.

Je viens de réaliser que c'est donc une méthode possible pour démontrer que l'ensemble ℕ[X] des polynômes à coefficients entiers naturels est dénombrable.

Et du coup les nombres algébriques sont dénombrables.

jaybe a écrit:Une amusette pour ceux qui ne la connaissent pas : Toto écrit tous les nombres de 1 à 9 au tableau. Il effectue à plusieurs reprises l'action suivante : parmi les nombres écrits, il choisit deux nombres m et n (avec m supérieur ou égal à n), les efface et écrit le nombre m-n ; il recommence jusqu'à ce qu'il ne reste plus qu'un seul nombre écrit. Quelles sont les valeurs possibles de ce nombre ?

Je suppose que ce sont des nombres entiers.

On a donc les entiers de 1 à 9, ce qui fait cinq nombre impairs et quatre nombre pairs. À chaque étape il y a trois possibilités :

on prend deux nombres impairs, leur différence donne un nombre pair : après l'étape, on a 2 impairs en moins, 1 pair en plus
on prend un impair et un pair, leur différence est un impair : après l'étape on a 1 pair en moins, le nombre d'impair ne change pas
on prend deux pairs, leur différence est un pair : après l'étape, on a 1 pair en moins

Le nombre d'entiers impairs ne peuvent être réduits que de deux en deux et donc, comme il y a en a cinq, il ne peut pas en avoir zéro. Quoi qu'il arrive, après la 8e étape, il ne restera qu'un nombre, c'est forcément un nombre impair.

Il ne reste plus qu'à montrer qu'on obtient tous les entiers impairs entre 1 et 9, mais c'est assez rapide en essayant.

Joli ! On peut en fait synthétiser tous les cas de figure en un seul : initialement la somme de tous les nombres est impaire, en une étape la somme totale est diminuée de 2n, donc la parité de la somme reste inchangée et le nombre final est impair.

Et dire que c'était ma première idée et que je ne l'ai même pas creusée...

Un petit Sangaku de monastère japonais.

Petits problèmes de mathématiques - Page 4 Sangak10

Quel est le rayon du grand cercle, sachant que le rayon du petit cercle qui lui est concentrique vaut 1 ?

Notons r, m et M respectivement les rayons des cercles.
Ça commence bien, non ?

Trouvé !

ben2510 a écrit:Notons r, m et M respectivement les rayons des cercles.
Ça commence bien, non ?

Oui :lol:

ben2510 a écrit:Trouvé !

Voilà un exercice fort sympathique, non ?
J'aime bien les Sangaku, celui-ci n'est pas le plus difficile.