Re: Petits problèmes de mathématiques

ben2510 a écrit:

Je l'ai par l'algèbre, je ne vois pas de solution purement géométrique Sad

.

ycombe a écrit:

ben2510 a écrit:

Je l'ai par l'algèbre, je ne vois pas de solution purement géométrique .

Pas de solution géo non plus pour l'instant (à part en géo ana, évidemment).
Par contre tan(a-b)=... permet de conclure en une ligne.

C'est vraiment dur pour un collégien, je trouve, étant donné la quantité de connaissances à mettre en œuvre. Voici une solution d'autant plus élémentaire qu'elle est éloignée de ce que peut produire un élève.

Une solution par les aires:

par la trigo:

En géo ana, on a G(1/5;2/5) dans (A;D,B) orthonormé, ce qui clôt le problème... (après quelques utilisations de Pythagore).

Plus dur : sans Pythagore et sans trigo Suspect

Remarque : qui fait encore les formules "de la demi-tangente" au lycée ?

Sans Pythagore, et sans trigo :
Il suffit de montrer que :
DG = 4 EG,
FG = 3 EG,
et FD = 5 EG

Ou de montrer seulement deux des trois égalités, et de prouver que FGD est rectangle en G.

Le triangle ADE est l’image de ABF par une rotation de centre O (centre du carré) et d’angle droit. Donc leurs hypoténuses sont orthogonales, donc l’angle Ĝ est droit.

Considérons le triangle AGE : il possède avec le triangle ABF deux angles de même mesure : un angle droit, et l’angle Â. Le triangle AGE est donc homothétique au triangle ABF. Comme lui, donc, la longueur de sa grande cathète vaut le double de la longueur de la petite cathète.
Donc AG = 2 EG.

Considérons le triangle AGD : on montre de même qu’il homothétique au triangle ADE. Donc, la longueur de sa grande cathète vaut le double de la longueur de la petite cathète, c’est-à-dire :
GD = 2 AG
Donc GD = 4 EG

Comme la figure montre que ED = EG + GD, on déduit que ED = 5 EG, et comme FD = EG,
FD = 5 EG.

Voilà qui suffit. Mais on peut continuer :
Sur le segment AF, on a FG + AG = AF = 5 EG.
Donc FG = 5 EG - AG = 5 EG - 2 EG
Donc FG = 3 EG.

C'est clair et élégant.

Edit. Quant au calcul de l'aire en jaune posté par ycombe, on ne peut sans doute pas faire plus simple que la solution présentée dans cette vidéo : https://www.youtube.com/watch?v=GNJzhNBy7v8.
J'aimerais que mes élèves raisonnent aussi vite et bien que l'enfant qu'on y voit résoudre le problème.

Sacapus a écrit:Sans Pythagore, et sans trigo :
Il suffit de montrer que :
DG = 4 EG,
FG = 3 EG,
et FD = 5 EG

Ou de montrer seulement deux des trois égalités, et de prouver que FGD est rectangle en G.

Le triangle ADE est l’image de ABF par une rotation de centre O (centre du carré) et d’angle droit. Donc leurs hypoténuses sont orthogonales, donc l’angle Ĝ est droit.

Considérons le triangle AGE : il possède avec le triangle ABF deux angles de même mesure : un angle droit, et l’angle Â. Le triangle AGE est donc homothétique au triangle ABF. Comme lui, donc, la longueur de sa grande cathète vaut le double de la longueur de la petite cathète.
Donc AG = 2 EG.

Considérons le triangle AGD : on montre de même qu’il homothétique au triangle ADE. Donc, la longueur de sa grande cathète vaut le double de la longueur de la petite cathète, c’est-à-dire :
GD = 2 AG
Donc GD = 4 EG

Comme la figure montre que ED = EG + GD, on déduit que ED = 5 EG, et comme FD = EG,
FD = 5 EG.

Voilà qui suffit. Mais on peut continuer :
Sur le segment AF, on a FG + AG = AF = 5 EG.
Donc FG = 5 EG - AG = 5 EG - 2 EG
Donc FG = 3 EG.

Au fait, les cas d'égalité de triangles, et les cas de similitude, c'est au programme quelque part en ce moment ? (Avant le bac+4, j'entends)
C'est sorti du programme de seconde en 2010, en même temps que les similitudes sont sorties du programme de TS spé.

C'est au programme du cycle 4.

kioupsPBT a écrit:C'est au programme du cycle 4.

Il y a des contenus dans les nouveaux programmes ? Je veux dire, des contenus précis ?
Ce n'est pas ce que disent certains inspecteurs généraux, qui parlent beaucoup de "compétences".

Est-ce que le programme est suffisamment explicite pour qu'on soit certain de pouvoir s'appuyer sur la notion en seconde, ou bien est-ce que c'est du même ordre que pour les rotations, translations et homothéties ?

Sacapus a écrit:Sans Pythagore, et sans trigo :
Il suffit de montrer que :
DG = 4 EG,
FG = 3 EG,
et FD = 5 EG

Ou de montrer seulement deux des trois égalités, et de prouver que FGD est rectangle en G.

Le triangle ADE est l’image de ABF par une rotation de centre O (centre du carré) et d’angle droit. Donc leurs hypoténuses sont orthogonales, donc l’angle Ĝ est droit.

Considérons le triangle AGE : il possède avec le triangle ABF deux angles de même mesure : un angle droit, et l’angle Â. Le triangle AGE est donc homothétique au triangle ABF. Comme lui, donc, la longueur de sa grande cathète vaut le double de la longueur de la petite cathète.
Donc AG = 2 EG.

Considérons le triangle AGD : on montre de même qu’il homothétique au triangle ADE. Donc, la longueur de sa grande cathète vaut le double de la longueur de la petite cathète, c’est-à-dire :
GD = 2 AG
Donc GD = 4 EG

Comme la figure montre que ED = EG + GD, on déduit que ED = 5 EG, et comme FD = EG,
FD = 5 EG.

Voilà qui suffit. Mais on peut continuer :
Sur le segment AF, on a FG + AG = AF = 5 EG.
Donc FG = 5 EG - AG = 5 EG - 2 EG
Donc FG = 3 EG.

Pure géométrie. Bravo!

Bolzano a écrit:C'est clair et élégant.

Edit. Quant au calcul de l'aire en jaune posté par ycombe, on ne peut sans doute pas faire plus simple que la solution présentée dans cette vidéo : https://www.youtube.com/watch?v=GNJzhNBy7v8.
J'aimerais que mes élèves raisonnent aussi vite et bien que l'enfant qu'on y voit résoudre le problème.

Le paternel donne la solution directe tout à la fin de la vidéo (à partir de 8 min) (vidéo qui est longue parce qu'on y voit surtout le fils chercher).

ben2510 a écrit:

kioupsPBT a écrit:C'est au programme du cycle 4.

Il y a des contenus dans les nouveaux programmes ? Je veux dire, des contenus précis ?
Ce n'est pas ce que disent certains inspecteurs généraux, qui parlent beaucoup de "compétences".

Est-ce que le programme est suffisamment explicite pour qu'on soit certain de pouvoir s'appuyer sur la notion en seconde, ou bien est-ce que c'est du même ordre que pour les rotations, translations et homothéties ?

J'ai suggéré de mettre les triangles égaux en 5e et de s'en servir pour démontrer les grands résultats du cours de géométrie mais non, ce n'est clairement pas le but. C'est du même ordre que les transformations, comme tu dis.

ben2510 a écrit:

kioupsPBT a écrit:C'est au programme du cycle 4.

Il y a des contenus dans les nouveaux programmes ? Je veux dire, des contenus précis ?
Ce n'est pas ce que disent certains inspecteurs généraux, qui parlent beaucoup de "compétences".

Est-ce que le programme est suffisamment explicite pour qu'on soit certain de pouvoir s'appuyer sur la notion en seconde, ou bien est-ce que c'est du même ordre que pour les rotations, translations et homothéties ?

Je n'ai pas encore exploré cette partie du programme. Il n'y a rien de précis dans les textes officiels donc chacun fera à sa sauce. Tout en sachant qu'on sait que ça ne tombera pas au DNB cette année, donc déjà, inutile de compter sur quoi que ce soit pour vous l'an prochain...

ycombe a écrit:

ben2510 a écrit:

kioupsPBT a écrit:C'est au programme du cycle 4.

Il y a des contenus dans les nouveaux programmes ? Je veux dire, des contenus précis ?
Ce n'est pas ce que disent certains inspecteurs généraux, qui parlent beaucoup de "compétences".

Est-ce que le programme est suffisamment explicite pour qu'on soit certain de pouvoir s'appuyer sur la notion en seconde, ou bien est-ce que c'est du même ordre que pour les rotations, translations et homothéties ?

J'ai suggéré de mettre les triangles égaux en 5e et de s'en servir pour démontrer les grands résultats du cours de géométrie mais non, ce n'est clairement pas le but. C'est du même ordre que les transformations, comme tu dis.

C'est complètement aberrant. Si j'étais en collège je sauterais sur l'occasion pour construire le cours de géométrie comme tu le proposes.

C'est hallucinant.
Quand on sait que l'épreuve finale (DNB ou Bac) guide en grande partie les enseignements, annoncer officiellement que des points du programme (transformations par exemple) ne seront pas évalués lors de l'épreuve, c'est clairement donner ce signal aux collègues : « ne le faites pas, on s'en fout de ces trucs, on a juste mis ça là pour faire croire qu'on fait encore des trucs intéressants ».
Les programmes sont tout à la fois flous, inconsistants, déstructurés, et cela ne dérange pas plus que ça ceux qui sont censés défendre notre discipline (IPR, IG, Apmep); mieux, ils sont en grande partie les promoteurs de cette casse.
Les soutiers « de base » que nous sommes et même les sociétés savantes tirent la sonnette d'alarme (et depuis un moment déjà) mais rien, nada, peau de zob, ça n'a pas plus d'effet qu'un pet de de manicou dans la savane …

C'est d'autant plus rageant qu'un enseignement consistant des mathématiques ne couterait pas un kopek. Clairement on pourrait, au plus grand profit des élèves, faire l'économie de tous les gadgets numérico-algorithmo-clic-clic et se recentrer sur l'essentiel.

Anaxagore a écrit:

ycombe a écrit:

ben2510 a écrit:

kioupsPBT a écrit:C'est au programme du cycle 4.

Il y a des contenus dans les nouveaux programmes ? Je veux dire, des contenus précis ?
Ce n'est pas ce que disent certains inspecteurs généraux, qui parlent beaucoup de "compétences".

Est-ce que le programme est suffisamment explicite pour qu'on soit certain de pouvoir s'appuyer sur la notion en seconde, ou bien est-ce que c'est du même ordre que pour les rotations, translations et homothéties ?

J'ai suggéré de mettre les triangles égaux en 5e et de s'en servir pour démontrer les grands résultats du cours de géométrie mais non, ce n'est clairement pas le but. C'est du même ordre que les transformations, comme tu dis.

C'est complètement aberrant. Si j'étais en collège je sauterais sur l'occasion pour construire le cours de géométrie comme tu le proposes.

Les programmes d'avant 2006 (?) contenaient en cinquième les cas de construction de triangle.
L'occasion était belle de pousser jusqu'à la notion de cas d'isométrie ; ce point était-il encore présents dans les programmes d'avant réforme 2016 ?

Ensuite en 4e avec Thalès il était facile de passer aux cas de similitude.

J'en faisais encore l'an dernier, ça devait être dans les programmes...

Coucou, pourquoi ne pas utiliser Thalès en passant par là?
Petits problèmes de mathématiques - Page 8 Petit_10

J'appelle x la longueur FD.
Soit O le symétrique de D par rapport à E.
Thalès nous a mène à: 2/3 = AD/FO = AG/FG = GD/GO.
On a alors: x = FA = FG + GA = FG + 2/3 FG = 5/3 FG et donc, FG = 3x/5
Et aussi 2x = DO = DG + GO = DG + 3DG/2 = 5DG/2 et donc, DG = 4x/5.
Enfin on a posé x = FD ou FD = 5x/5.
On a montré que FGD est un triangle 3-4-5

ben2510 a écrit:

Anaxagore a écrit:

ycombe a écrit:

ben2510 a écrit:

Il y a des contenus dans les nouveaux programmes ? Je veux dire, des contenus précis ?
Ce n'est pas ce que disent certains inspecteurs généraux, qui parlent beaucoup de "compétences".

Est-ce que le programme est suffisamment explicite pour qu'on soit certain de pouvoir s'appuyer sur la notion en seconde, ou bien est-ce que c'est du même ordre que pour les rotations, translations et homothéties ?

J'ai suggéré de mettre les triangles égaux en 5e et de s'en servir pour démontrer les grands résultats du cours de géométrie mais non, ce n'est clairement pas le but. C'est du même ordre que les transformations, comme tu dis.

C'est complètement aberrant. Si j'étais en collège je sauterais sur l'occasion pour construire le cours de géométrie comme tu le proposes.

Les programmes d'avant 2006 (?) contenaient en cinquième les cas de construction de triangle.
L'occasion était belle de pousser jusqu'à la notion de cas d'isométrie ; ce point était-il encore présents dans les programmes d'avant réforme 2016 ?

Ensuite en 4e avec Thalès il était facile de passer aux cas de similitude.

Ce n'était pas trop l'esprit. En 6e symétrie axiale, puis en 5e symétrie centrale, puis avec tout ça les théorèmes de 4e: Pythagore, th des milieux puis th de Thalès pour les rapports rationnels...

Les programmes incitaient plutôt à se baser sur ces symétries.

I learn so much about what my kids understand and don't understand from the problems that give the trouble -> This is a really clever one: pic.twitter.com/V8VBPAybHT
— Mike Lawler (@mikeandallie) 6 décembre 2016

http://gogeometry.com/ et http://www.resourceaholic.com/ sont de bonnes adresses :-)

Une propriété que je ne connaissais pas et que j'ai vu passer ce soir sur twitter:

Sharing John Cook's Fibonacci / Prime post with kids: https://t.co/gBu7IvOuJL #math #mathchat cc: @JohnDCook @daveinstpaul
— Mike Lawler (@mikeandallie) 12 février 2017

J'ai passé la soirée à la prouver.

ycombe a écrit:Une propriété que je ne connaissais pas et que j'ai vu passer ce soir sur twitter:

Sharing John Cook's Fibonacci / Prime post with kids: https://t.co/gBu7IvOuJL #math #mathchat cc: @JohnDCook @daveinstpaul
— Mike Lawler (@mikeandallie) 12 février 2017

J'ai passé la soirée à la prouver.

Spoiler:

À la fin, oui.

Spoiler:

Dans le Pour la science n° 472 de février 2017, Jean-Paul Delahaye donne huit exemples de vérités mathématiques assez simples et très inattendues. Elles sont toutes très intéressantes, mais il y en a une qui me plait plus que les autres: la sixième.

Miracle 6 - Les scarabées vont-ils tous tomber ?

Une famille de 20 scarabées se trouve sur une règle en bois en position horizontale dont la longueur est le 1m exactement. Ils sont placés au hasard sur la règle, chacun tourné vers la droite ou vers la gauche, au hasard. Chaque scarabée avance de 1 cm par seconde. Quand deux scarabées se rencontrent, ils font tous les deux demi-tour. On suppose que le demi-tour est instantané et que les scarabées sont de longueur négligeable. Quand un scarabée arrive à une des extrémités de la règle, il tombe par terre.

Les scarabées tombent-ils tous? Si oui, en combien de temps au maximum ? Si non, quelle configuration assure qu'il en reste indéfiniment sur la règle?