Re: Petits problèmes de mathématiques

Laverdure a écrit:

JPhMM a écrit:

mathmax a écrit:Alors j'essaierai demain. :lecteur:

Je sèche lamentablement :lol:

je ne vais même pas essayer

Si si, au contraire.

J'ai essayé de passer par :

Si n et m sont des entiers naturels non nuls, alors m^(1/n) est entier ou irrationnel.

Mais pour l'instant ce n'est pas un succès.

C'est un peu loin de moi tout ça : ça remonte à mes années de prépa et en fac, jusqu'en M2, on ne faisait que des maths appliquées (théorie des probas, processus stochastiques, optimisation dynamique, etc.).

Dans mes souvenirs, un rationnel s'écrit comme le rapport de deux entiers p et q premiers entre eux, on ne peut essayer de raisonner par l'absurde en essayant de supposer que r^r s'écrit comme ça ?

JPhMM a écrit:

Laverdure a écrit:

JPhMM a écrit:

mathmax a écrit:Alors j'essaierai demain. :lecteur:

Je sèche lamentablement :lol:

je ne vais même pas essayer

Si si, au contraire.

J'ai essayé de passer par :

Si n et m sont des entiers naturels non nuls, alors m^(1/n) est entier ou irrationnel.

Mais pour l'instant ce n'est pas un succès.

Le truc du m^(1/n) est bien vue, ça à l'air relativement évident , non ?

Il suffit de supposer que c'est rationel, m^(1/n)=p/q qui donne q^nm=p^n et donc q divise p^n donc q divise p et comme on peut choisir p/q irréductible ça donne q=1.

EDIT : mais ce n'est sans doute pas ça qui t'as bloqué ^^

C'est comme ça qu'on démontre la propriété que je voulais utiliser :

m^(1/n) = p/q avec p et q premiers entre eux.
Alors m x q^n = p^n.
q et p sont premiers entre eux, donc q^n et p^n aussi. Contradiction.

Finrod a écrit:

JPhMM a écrit:

Laverdure a écrit:

JPhMM a écrit:
Je sèche lamentablement :lol:

je ne vais même pas essayer

Si si, au contraire.

J'ai essayé de passer par :

Si n et m sont des entiers naturels non nuls, alors m^(1/n) est entier ou irrationnel.

Mais pour l'instant ce n'est pas un succès.

Le truc du m^(1/n) est bien vue, ça à l'air relativement évident , non ?

Il suffit de supposer que c'est rationel, m^(1/n)=p/q qui donne q^nm=p^n et donc q divise p^n donc q divise p et comme on peut choisir p/q irréductible ça donne q=1.

EDIT : mais ce n'est sans doute pas ça qui t'as bloqué ^^

Non, j'ai le sentiment que c'est la propriété qu'il faut utiliser, mais je n'arrive pas à résoudre le problème posé. Je cherche encore...

bah si je prend r=p/q et que je suppose r^r=a/b j'obtiens p^pb^q=q^pa^q et par un raisonnement analogue (a est premier avec b, p avec q) a^q divise p^p et p^p divise a^q et donc p^p=a^q (c'est bon, j'ai un doute du coup ?)

si je prend un diviseur premier de a alors il est aussi diviseur de p, notons u et v les ordres de ce diviseur comme diviseur de a et de p alors uq=vp donc q divise v (car p premier avec q) donc tous les ordres des diviseurs premiers de p sont divisibles par q donc p peut s'écrire x^q où x entier, ce qui donne que p^(1/q) est entier.

il suffit donc de prouver que q^(1/q) vaut 1 ou est irrationnel, ce qui se prouve de la même manière que dans mon précédant post.

C'est possible que ce soit du grand n'importe quoi, ça fait longtemps que je n'ai pas fait des choses comme ça.

JPhMM a écrit:

ben2510 a écrit:

JPhMM a écrit:

mathmax a écrit:Non, je ne connaissais pas ! Merci.

Un sympathique petit exercice pour des troisièmes.
Enfin, avant la réforme.

J'ai eu pas mal de sixièmes qui connaissaient la technique pour l'avoir vue (et démontrée) en CM2.
Mes deux enfants ont eu l'instit' en question

Un bon CM2, et le bac est dans la poche !

+1

Je crois que c'est le genre de problèmes que j'aimerais bien faire en EPI, puisqu'il faudra bien en faire.

Mais tu tiens difficilement plus de dix minutes sur un exercice comme ça, non ?
Ou alors il en faut toute une collection, et faire un EPI énigmes mathématiques ? Mais il va falloir trouver une deuxième matière...

Finrod a écrit:bah si je prend r=p/q et que je suppose r^r=a/b j'obtiens p^pb^q=q^pa^q et par un raisonnement analogue (a est premier avec b, p avec q) a^q divise p^p et p^p divise a^q et donc p^p=a^q (c'est bon, j'ai un doute du coup ?)

si je prend un diviseur premier de a alors il est aussi diviseur de p, notons u et v les ordres de ce diviseur comme diviseur de a et de p alors uq=vp donc q divise v (car p premier avec q) donc tous les ordres des diviseurs premiers de p sont divisibles par q donc p peut s'écrire x^q où x entier, ce qui donne que p^(1/q) est entier.

il suffit donc de prouver que q^(1/q) vaut 1 ou est irrationnel, ce qui se prouve de la même manière que dans mon précédant post.

C'est possible que ce soit du grand n'importe quoi, ça fait longtemps que je n'ai pas fait des choses comme ça.

Oui, c'est ça, merci beaucoup.
J'étais parti dans une autre direction (en partant de la propriété précédente, ce qui n'amenait à rien) alors qu'il suffisait d'appliquer la méthode de cette propriété au problème merci.

cheers

Mes études sont encore plus loin derrière moi...

ben2510 a écrit:

JPhMM a écrit:

ben2510 a écrit:

JPhMM a écrit:
Un sympathique petit exercice pour des troisièmes.
Enfin, avant la réforme.

J'ai eu pas mal de sixièmes qui connaissaient la technique pour l'avoir vue (et démontrée) en CM2.
Mes deux enfants ont eu l'instit' en question

Un bon CM2, et le bac est dans la poche !

+1

Je crois que c'est le genre de problèmes que j'aimerais bien faire en EPI, puisqu'il faudra bien en faire.

Mais tu tiens difficilement plus de dix minutes sur un exercice comme ça, non ?
Ou alors il en faut toute une collection, et faire un EPI énigmes mathématiques ? Mais il va falloir trouver une deuxième matière...

Oui, je crois que je vais fouiller dans mon stock de problèmes antiques. Wink

Bon, voilà, il y a un petit truc qui me trotte dans la tête depuis très longtemps, et je ne sais qu'en penser.
Je pense que je me prends la tête avec pas grand chose, et j'en ai un peu mathématiquement honte par avance, mais bon... on ne se refait pas.

Je vais essayer d'expliquer.
Soit (p_k) la suite ordonnée de tous les nombres premiers : p₀=2; p₁=3; p₂=5; etc.
Tout entier N supérieur ou égal à 1 s'écrit de façon unique comme produit des p_k^n_k où les n_k sont des entiers naturels.
Soit la suite (n_k) ainsi constituée.
Alors, pour chaque N entier supérieur ou égal à 1 il existe un et un seul (n₀, n₁, n₂, ... , n_k, ...) ; et inversement.
Je trouve donc que ℕ* est en bijection avec ℕ^∞. Et ce résultat me pose problème.

Alors soit je fais une grosse erreur (mea culpa) quelque part, soit je ne comprends pas pourquoi ce résultat me pose problème.

Autre problème :
(*)De tête, 9 654 734 est-il multiple de 11 ? Pourquoi ?
(*)Changer un seul chiffre de 9 654 734 pour que le résultat soit un multiple de 11.

JPhMM a écrit:Bon, voilà, il y a un petit truc qui me trotte dans la tête depuis très longtemps, et je ne sais qu'en penser.
Je pense que je me prends la tête avec pas grand chose, et j'en ai un peu mathématiquement honte par avance, mais bon... on ne se refait pas.

Je vais essayer d'expliquer.
Soit (p_k) la suite ordonnée de tous les nombres premiers : p₀=2; p₁=3; p₂=5; etc.
Tout entier N supérieur ou égal à 1 s'écrit de façon unique comme produit des p_k^n_k où les n_k sont des entiers naturels.
Soit la suite (n_k) ainsi constituée.
Alors, pour chaque N entier supérieur ou égal à 1 il existe un et un seul (n₀, n₁, n₂, ... , n_k, ...) ; et inversement.
Je trouve donc que ℕ* est en bijection avec ℕ^∞. Et ce résultat me pose problème.

Alors soit je fais une grosse erreur (mea culpa) quelque part, soit je ne comprends pas pourquoi ce résultat me pose problème.

N est en bijection avec l'ensemble des suites presque nulles d'entiers naturels.
Mais pourquoi ce sev de ℕ^ℕ serait-il en bijection avec ℕ^ℕ (ton ℕ^∞ me plaît pas trop pour désiner l'ensemble des suites d'entiers naturels, car des infinis il y en a plein).

JPhMM a écrit:Bon, voilà, il y a un petit truc qui me trotte dans la tête depuis très longtemps, et je ne sais qu'en penser.
Je pense que je me prends la tête avec pas grand chose, et j'en ai un peu mathématiquement honte par avance, mais bon... on ne se refait pas.

Je vais essayer d'expliquer.
Soit (p_k) la suite ordonnée de tous les nombres premiers : p₀=2; p₁=3; p₂=5; etc.
Tout entier N supérieur ou égal à 1 s'écrit de façon unique comme produit des p_k^n_k où les n_k sont des entiers naturels.
Soit la suite (n_k) ainsi constituée.
Alors, pour chaque N entier supérieur ou égal à 1 il existe un et un seul (n₀, n₁, n₂, ... , n_k, ...) ; et inversement.
Je trouve donc que ℕ* est en bijection avec ℕ^∞. Et ce résultat me pose problème.

Alors soit je fais une grosse erreur (mea culpa) quelque part, soit je ne comprends pas pourquoi ce résultat me pose problème.

C'est parce que la bijection se fait avec les suites qui prennent un nombre fini de valeurs non nulles, pas toutes les suites ! (arf, grilled Smile

)

JPhMM a écrit:Autre problème :
(*)De tête, 9 654 734 est-il multiple de 11 ?Non Pourquoi ?Voir la deuxième question
(*)Changer un seul chiffre de 9 654 734 pour que le résultat soit un multiple de 11.

ben2510 a écrit:

JPhMM a écrit:Bon, voilà, il y a un petit truc qui me trotte dans la tête depuis très longtemps, et je ne sais qu'en penser.
Je pense que je me prends la tête avec pas grand chose, et j'en ai un peu mathématiquement honte par avance, mais bon... on ne se refait pas.

Je vais essayer d'expliquer.
Soit (p_k) la suite ordonnée de tous les nombres premiers : p₀=2; p₁=3; p₂=5; etc.
Tout entier N supérieur ou égal à 1 s'écrit de façon unique comme produit des p_k^n_k où les n_k sont des entiers naturels.
Soit la suite (n_k) ainsi constituée.
Alors, pour chaque N entier supérieur ou égal à 1 il existe un et un seul (n₀, n₁, n₂, ... , n_k, ...) ; et inversement.
Je trouve donc que ℕ* est en bijection avec ℕ^∞. Et ce résultat me pose problème.

Alors soit je fais une grosse erreur (mea culpa) quelque part, soit je ne comprends pas pourquoi ce résultat me pose problème.

N est en bijection avec l'ensemble des suites presque nulles d'entiers naturels.
Mais pourquoi ce sev de ℕ^ℕ serait-il en bijection avec ℕ^ℕ (ton ℕ^∞ me plaît pas trop pour désiner l'ensemble des suites d'entiers naturels, car des infinis il y en a plein).

jaybe a écrit:

JPhMM a écrit:Bon, voilà, il y a un petit truc qui me trotte dans la tête depuis très longtemps, et je ne sais qu'en penser.
Je pense que je me prends la tête avec pas grand chose, et j'en ai un peu mathématiquement honte par avance, mais bon... on ne se refait pas.

Je vais essayer d'expliquer.
Soit (p_k) la suite ordonnée de tous les nombres premiers : p₀=2; p₁=3; p₂=5; etc.
Tout entier N supérieur ou égal à 1 s'écrit de façon unique comme produit des p_k^n_k où les n_k sont des entiers naturels.
Soit la suite (n_k) ainsi constituée.
Alors, pour chaque N entier supérieur ou égal à 1 il existe un et un seul (n₀, n₁, n₂, ... , n_k, ...) ; et inversement.
Je trouve donc que ℕ* est en bijection avec ℕ^∞. Et ce résultat me pose problème.

Alors soit je fais une grosse erreur (mea culpa) quelque part, soit je ne comprends pas pourquoi ce résultat me pose problème.

C'est parce que la bijection se fait avec les suites qui prennent un nombre fini de valeurs non nulles, pas toutes les suites ! (arf, grilled )

Oui

Merci, je comprends.
En effet, (1;1; ... ; 1 ; 1 ; ...) n'est l'image d'aucun entier, merci. C'était simple en fait. Embarassed

Je me demande s'il existe un ensemble de nombres qui est en bijection avec cet ℕ^ℕ. L'ensemble des hyperentiers peut-être (ma connaissance des hyperentiers est insuffisante ici, en l'espèce).

mathmax a écrit:

JPhMM a écrit:Autre problème :
(*)De tête, 9 654 734 est-il multiple de 11 ?Non Pourquoi ?Voir la deuxième question
(*)Changer un seul chiffre de 9 654 734 pour que le résultat soit un multiple de 11.

:lol:

Un nombre entier est un multiple de 11 ssi la différence entre la somme des chiffres de rangs impairs et la somme des chiffres de rangs pairs est un multiple de 11.
4-3+7-4+5-6+9 = 12 n'est pas un multiple de 11, donc 9 654 734 n'est pas un multiple de 11.
Par contre 3-3+7-4+5-6+9 = 11 donc 9 654 733 est un multiple de 11.

Reste à démontrer cette proposition.

Merci ! Je ne connaissais pas cette règle, je commence à m'alarmer de l'étendue de mon ignorance.

Ce n'est pas la plus connue (mais je l'aime bien) Very Happy

Le reste de la division de 10ⁿ par 11 est 1 pour n pair, –1 pour n impair. D'où le résultat.

Autre méthode :
On écrit 9654733 en base 100 : 9 65 47 33
Et on fait la somme des "chiffres" obtenus : 9 + 65 + 47 + 33 = 154
On recommence : 1 + 54 = 55

55 est multiple de 11 donc 9654733 aussi.

JPhMM a écrit:Ce n'est pas la plus connue (mais je l'aime bien)
Le reste de la division de 10ⁿ par 11 est 1 pour n pair, –1 pour n impair. D'où le résultat.

C'est tout de même un classique de spé maths en TS.

JPhMM a écrit:

ben2510 a écrit:

JPhMM a écrit:Bon, voilà, il y a un petit truc qui me trotte dans la tête depuis très longtemps, et je ne sais qu'en penser.
Je pense que je me prends la tête avec pas grand chose, et j'en ai un peu mathématiquement honte par avance, mais bon... on ne se refait pas.

Je vais essayer d'expliquer.
Soit (p_k) la suite ordonnée de tous les nombres premiers : p₀=2; p₁=3; p₂=5; etc.
Tout entier N supérieur ou égal à 1 s'écrit de façon unique comme produit des p_k^n_k où les n_k sont des entiers naturels.
Soit la suite (n_k) ainsi constituée.
Alors, pour chaque N entier supérieur ou égal à 1 il existe un et un seul (n₀, n₁, n₂, ... , n_k, ...) ; et inversement.
Je trouve donc que ℕ* est en bijection avec ℕ^∞. Et ce résultat me pose problème.

Alors soit je fais une grosse erreur (mea culpa) quelque part, soit je ne comprends pas pourquoi ce résultat me pose problème.

N est en bijection avec l'ensemble des suites presque nulles d'entiers naturels.
Mais pourquoi ce sev de ℕ^ℕ serait-il en bijection avec ℕ^ℕ (ton ℕ^∞ me plaît pas trop pour désiner l'ensemble des suites d'entiers naturels, car des infinis il y en a plein).

jaybe a écrit:

JPhMM a écrit:Bon, voilà, il y a un petit truc qui me trotte dans la tête depuis très longtemps, et je ne sais qu'en penser.
Je pense que je me prends la tête avec pas grand chose, et j'en ai un peu mathématiquement honte par avance, mais bon... on ne se refait pas.

Je vais essayer d'expliquer.
Soit (p_k) la suite ordonnée de tous les nombres premiers : p₀=2; p₁=3; p₂=5; etc.
Tout entier N supérieur ou égal à 1 s'écrit de façon unique comme produit des p_k^n_k où les n_k sont des entiers naturels.
Soit la suite (n_k) ainsi constituée.
Alors, pour chaque N entier supérieur ou égal à 1 il existe un et un seul (n₀, n₁, n₂, ... , n_k, ...) ; et inversement.
Je trouve donc que ℕ* est en bijection avec ℕ^∞. Et ce résultat me pose problème.

Alors soit je fais une grosse erreur (mea culpa) quelque part, soit je ne comprends pas pourquoi ce résultat me pose problème.

C'est parce que la bijection se fait avec les suites qui prennent un nombre fini de valeurs non nulles, pas toutes les suites ! (arf, grilled )

Oui Merci, je comprends.
En effet, (1;1; ... ; 1 ; 1 ; ...) n'est l'image d'aucun entier, merci. C'était simple en fait.
Je me demande s'il existe un ensemble de nombres qui est en bijection avec cet ℕ^ℕ. L'ensemble des hyperentiers peut-être (ma connaissance des hyperentiers est insuffisante ici, en l'espèce).

Spontanément je dirais ]0;1], avec des fractions continues.
Mais bon il faudrait que j'attrape papier crayon. Grosse flemme.

pignolo a écrit:

JPhMM a écrit:Ce n'est pas la plus connue (mais je l'aime bien)
Le reste de la division de 10ⁿ par 11 est 1 pour n pair, –1 pour n impair. D'où le résultat.

C'est tout de même un classique de spé maths en TS.

Ouaip, la seule classe de lycée où le prof aussi est obligé de réfléchir (enfin, sur certains exos).
Ceci dit, en spé il n'y a plus de géométrie (analytique) dans l'espace, plus de coniques, et plus de similitudes complexes.
Il y a de l'algèbre linéaire (enfin du calcul matriciel et quelques diagonalisations), et de l'Arithmétique yesyes

.
Disons (pudiquement) que les élèves sont plus à l'aise sur les suites arithmético-géométriques de matrices que sur la partie Arithmétique.

ben2510 a écrit:Spontanément je dirais ]0;1], avec des fractions continues.
Mais bon il faudrait que j'attrape papier crayon. Grosse flemme.

N^N a la puissance du continu.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Puissance_du_continu

pignolo a écrit:

ben2510 a écrit:Spontanément je dirais ]0;1], avec des fractions continues.
Mais bon il faudrait que j'attrape papier crayon. Grosse flemme.

N^N a la puissance du continu.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Puissance_du_continu

Ah bah voila.
Tu aurais pu me laisser chercher cinq minutes de plus.
Et après on critique ceux qui disent que toutes les connaissances sont sur internet ! Suspect

ben2510 a écrit:

pignolo a écrit:

ben2510 a écrit:Spontanément je dirais ]0;1], avec des fractions continues.
Mais bon il faudrait que j'attrape papier crayon. Grosse flemme.

N^N a la puissance du continu.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Puissance_du_continu

Ah bah voila.
Tu aurais pu me laisser chercher cinq minutes de plus.
Et après on critique ceux qui disent que toutes les connaissances sont sur internet !

Encore faut-il savoir quoi chercher... Wink