Petits problèmes de mathématiques

Démontrer que si n est un nombre naturel dont l'écriture décimale (finie) est constituée de ab chiffres 1 avec a, b > 1 (sous-entendu, donc : et aucun autre chiffre) alors n n'est pas premier.

Je me demande si en généralisant à toute écriture (finie) de base k on obtiendrait pas une jolie spirale.

Je ne comprends même pas la question

Will.T a écrit:Je ne comprends même pas la question

En termes plus simples : démontrer que les nombres 1 111, 11 1111, 11 111 111, 111 111 111, 1 111 111 111, etc. (tout nombre ne s'écrivant qu'avec un nombre non premier (et supérieur à 3) de 1, est lui-même non premier.

Ils sont tous divisibles par 11 non ?

JPhMM a écrit:Démontrer que si n est un nombre naturel dont l'écriture décimale (finie) est constituée de ab chiffres 1 avec a, b > 1 (sous-entendu, donc : et aucun autre chiffre) alors n n'est pas premier.

JPhMM a écrit:

Will.T a écrit:Je ne comprends même pas la question

En termes plus simples : démontrer que les nombres 1 111, 11 1111, 11 111 111, 111 111 111, 1 111 111 111, etc. (tout nombre ne s'écrivant qu'avec un nombre non premier (et supérieur à 3) de 1, est lui-même non premier.

Question bête d'un non matheux et qui n'est pas sûr de bien comprendre de quoi on parle (je vous autorise à m'envoyer gentiment balader ) : pourquoi a-t-on besoin de formuler ça avec "ab chiffres 1" ? On ne peut simplement dire "constituée de k chiffres 1, k > 3 et non premier" ?

Pas 111 111 111, par exemple, mais tu as une piste très sérieuse.

Laverdure a écrit:

JPhMM a écrit:Démontrer que si n est un nombre naturel dont l'écriture décimale (finie) est constituée de ab chiffres 1 avec a, b > 1 (sous-entendu, donc : et aucun autre chiffre) alors n n'est pas premier.

JPhMM a écrit:

Will.T a écrit:Je ne comprends même pas la question

En termes plus simples : démontrer que les nombres 1 111, 11 1111, 11 111 111, 111 111 111, 1 111 111 111, etc. (tout nombre ne s'écrivant qu'avec un nombre non premier (et supérieur à 3) de 1, est lui-même non premier.

Question bête d'un non matheux et qui n'est pas sûr de bien comprendre de quoi on parle (je vous autorise à m'envoyer gentiment balader ) : pourquoi a-t-on besoin de formuler ça avec "ab chiffres 1" ? On ne peut simplement dire "constituée de k chiffres 1, k > 3 et non premier" ?

Pour indiquer une piste possible de démonstration, en utilisant ab précisément.

JPhMM a écrit:Pas 111 111 111, par exemple, mais tu as une piste très sérieuse.

Lui ilest divisible par 111.

En effet.

Et 111 111 111 111 111 est divisible par 111 et par 11 111 (entre autres)

Oui, ils spnt tous divisibles par un nombre contenant un certain nombre de 1

Mais quel est ce (certain) nombre ?
Et il faut produire une démonstration pour le cas général.

Là. Je suis en mode "grosse larve en vacances", je me contente de répondre au feeling

JPhMM a écrit:Et 111 111 111 111 111 est divisible par 111 et par 11 111 (entre autres)

Will.T a écrit:Oui, ils spnt tous divisibles par un nombre contenant un certain nombre de 1

Will.T a écrit:Là. Je suis en mode "grosse larve en vacances", je me contente de répondre au feeling

Le nombre qui comporte 15 chiffres 1 est divisible par un nombre qui en comporte 3 et un autre qui comporte 5 et 3x5 = 15, c'est un hasard ? (je suis déjà sorti, je ne fais que passer )

Le nombre composé de ab 1 est divisible par le nombre composé de a nombre 1 ?

Laverdure a écrit:

JPhMM a écrit:Et 111 111 111 111 111 est divisible par 111 et par 11 111 (entre autres)

Will.T a écrit:Oui, ils spnt tous divisibles par un nombre contenant un certain nombre de 1

Will.T a écrit:Là. Je suis en mode "grosse larve en vacances", je me contente de répondre au feeling

Le nombre qui comporte 15 chiffres 1 est divisible par un nombre qui en comporte 3 et un autre qui comporte 5 et 3x5 = 15, c'est un hasard ? (je suis déjà sorti, je ne fais que passer )

Ce n'est pas un hasard.

mathmax a écrit:Le nombre composé de ab chiffres 1 est divisible par le nombre composé de a chiffres 1 ?

Oui en effet.
Pourquoi ?

Le nombre X composé de x 1 est égal à (10^x-1)/9, et
10^ab -1 est divisible par 10^a -1, donc X est divisible par A.

factorisation de (10^(ab) - 1)/9 par 10^b - 1 puisque x^y - 1 est un multiple de x-1 pour x >= 2
classique.
grillé.

Je ne pensais pas à rⁿ-1 est divisible par r-1 pour démontrer cela, et ta démonstration est plus élégante que celle que j'avais trouvée.

JPhMM a écrit:Je ne pensais pas à rⁿ-1 est divisible par r-1 pour démontrer cela, et ta démonstration est plus élégante que celle que j'avais trouvée.

Ah, c'était la démo que j'avais aussi. Quelle est "l'autre" que tu avais ?

Laverdure : cette démonstration n'est pas possible si k est premier. Par exemple , pour 11 111.

M23 a écrit:

JPhMM a écrit:Je ne pensais pas à rⁿ-1 est divisible par r-1 pour démontrer cela, et ta démonstration est plus élégante que celle que j'avais trouvée.

Ah, c'était la démo que j'avais aussi. Quelle est "l'autre" que tu avais ?

Je vais l'écrire sur feuille et la scanner, ça ira plus vite.

Si je n'ai pas fait d'erreur sur les indices :

La question de la primalité des repunits à p chiffres (p premier) reste entière : certains le sont, d'autres pas, cf les nombres de Carmichael...