Égalité des triangles, des segments et des vecteurs ?

Bonjour,
Le nouveau programme de cycle 4 réintroduit les cas d'égalité des triangles et sont commentés dans les documents ressources ainsi  :

Les cas d'égalité des triangles sont admis dès la 5e, essentiellement pour justifier qu'un triangle peut être construit connaissant certains de ses éléments métriques. Leur emploi dans certaines démonstrations doit demeurer très modeste

Dans ce cadre, comment faites-vous comprendre aux élèves que deux segments ne sont pas égaux lorsqu'ils ont la même longueur et au lycée que deux vecteurs sont égaux ?

Je ne suis pas sûr de comprendre ta question.
Vite dit :
* un segment possède des extrémités, un milieu, bref une position
* un vecteur possède direction, sens et longueur, mais ni extrémités ni milieu : bref pas de position

Je m'explique, au collège jusqu'alors j'interdisais de parler d'égalité de segments puisque ce sont deux ensembles de points différents.
Les élèves eux, parlent le plus souvent d'égalité de segments au lieu de dire segments isométriques.

Le fait de dire triangles égaux, va me compliquer la tâche puisque je vais devoir expliquer qu'il s'agit d'un abus de langage conservé pour des raisons historiques.

Le nouveau programme de cycle 4 réintroduit les cas d'égalité des triangles et sont commentés dans les documents ressources ainsi  :

Les cas d'égalité des triangles sont admis dès la 5e, essentiellement pour justifier qu'un triangle peut être construit connaissant certains de ses éléments métriques. Leur emploi dans certaines démonstrations doit demeurer très modeste

Dans ce cadre, comment faites-vous comprendre aux élèves que deux segments ne sont pas égaux lorsqu'ils ont la même longueur et au lycée que deux vecteurs sont égaux ?

Dans l'expression «cas d'égalité des triangles», le terme égalité fait référence à des égalités de longueurs et/ou d'angles, pas à l'égalité des triangles eux mêmes : en cas d'égalité des longueurs des côtés, les triangles sont isométrique (ou superposables si on a peur d'utiliser des mots compliqués). De même, deux segments qui ont la même longueur ne sont pas égaux, mais sont superposables.

Dans la citation :

Les cas d'égalité des triangles sont admis dès la 5e, essentiellement pour justifier qu'un triangle peut être construit connaissant certains de ses éléments métriques.

il faut comprendre qu'en fixant des longueurs AB, AC et BC (ou des longueurs et des angles) compatibles, on peut construire _un_ triangle ABC correspondant aux longueurs données et que tous les autres triangles correspondant à ces longueurs peuvent être superposés avec le triangle ABC que l'on a construit.

AndréC a écrit:Je m'explique, au collège jusqu'alors j'interdisais de parler d'égalité de segments puisque ce sont deux ensembles de points différents.
Les élèves eux, parlent le plus souvent d'égalité de segments au lieu de dire segments isométriques.

Le fait de dire triangles égaux, va me compliquer la tâche puisque je vais devoir expliquer qu'il s'agit d'un abus de langage conservé pour des raisons historiques.

Tu peux parler de triangles superposables (ou isométriques) au lieu de triangles égaux. Ainsi, la première référence dans Google avec l'expression «égalité des triangles» renvoie à la page http://www.clg-monnet-briis.ac-versailles.fr/spip.php?article442 d'un collègue qui parle bien de triangles superposables et non de triangles égaux. Ce vocabulaire me paraît tout à fait clair et sans ambiguïté.

AndréC a écrit:Je m'explique, au collège jusqu'alors j'interdisais de parler d'égalité de segments puisque ce sont deux ensembles de points différents.
Les élèves eux, parlent le plus souvent d'égalité de segments au lieu de dire segments isométriques.

Le fait de dire triangles égaux, va me compliquer la tâche puisque je vais devoir expliquer qu'il s'agit d'un abus de langage conservé pour des raisons historiques.

Il faut lire le Hadamard, ou à la rigueur les anciens manuels de 5e (Foulon, Lebossé-Hemery). En géométrie, on dit que deux figures sont égales lorsqu'elles sont exactement superposables. Deux points sont toujours égaux, deux droites sont toujours égales. Tu ne peux pas définir l'isométrie (ni les mesures d'ailleurs) sans avoir défini préalablement une telle notion.

On parle aussi de "segments congrus", mais l'égalité est passé dans les habitudes.

Les vecteurs sont définis par une longueur, une direction et un sens.

Des couples de points (ou bipoints) qui présentent la même longueur, la même direction et le même sens sont des représentants différents du même vecteur. Le cas classique étant illustré par la règle du parallèlogramme: ABCD étant un parallèlogramme, les vecteurs AB et DC (avec les flèches au-dessus) sont le même vecteur, les bipoints (A,B) et (D,C) étant deux représentants du même vecteur que tu peux appeler comme tu veux (AB, DC, u... avec les flêches).

En particulier, un vecteur peut être représenté avec n'importe quel point au départ, ce qui permet incidemment de passer de la relation de Chasles à la règle de l'addition des vecteurs par le parallélogramme.

ycombe a écrit:

AndréC a écrit:Je m'explique, au collège jusqu'alors j'interdisais de parler d'égalité de segments puisque ce sont deux ensembles de points différents.
Les élèves eux, parlent le plus souvent d'égalité de segments au lieu de dire segments isométriques.

Le fait de dire triangles égaux, va me compliquer la tâche puisque je vais devoir expliquer qu'il s'agit d'un abus de langage conservé pour des raisons historiques.

Il faut lire le Hadamard, ou  à la rigueur les anciens manuels de 5e (Foulon, Lebossé-Hemery). En géométrie, on dit que deux figures sont égales lorsqu'elles sont exactement superposables. Deux points sont toujours égaux, deux droites sont toujours égales. Tu ne peux pas définir l'isométrie (ni les mesures d'ailleurs) sans avoir défini préalablement une telle notion.

On parle aussi de "segments congrus", mais l'égalité est passé dans les habitudes.

Il me semble légitime d'accorder à AndréC le fait que le mot «égalité» a un sens mathématique précis, et que son utilisation comme synonyme de «isométrique» en géométrique est problématique. Que cet abus soit consacré par la tradition, les programmes officiels ou les manuels ne le rend pas moins malheureux : autant être précis, et utiliser un vocabulaire sans ambiguïté. En l'occurrence, «isométrique» ou «superposable» est à mon avis plus clair et ne risque pas d'induire en confusion les élèves.

BR a écrit:

Il me semble légitime d'accorder à AndréC le fait que le mot «égalité» a un sens mathématique précis, et que son utilisation comme synonyme de «isométrique» en géométrique est problématique. Que cet abus soit consacré par la tradition, les programmes officiels ou les manuels ne le rend pas moins malheureux : autant être précis, et utiliser un vocabulaire sans ambiguïté. En l'occurrence, «isométrique» ou «superposable» est à mon avis plus clair et ne risque pas d'induire en confusion les élèves.

Nous sommes d'accord.
De plus, si le programme parle de triangles égaux, je dois utiliser ce vocabulaire, qu'il me convienne ou non.

Je pense qu'au lycée, la très grande majorité des élèves ne percevront pas la différence entre un vecteur et un segment et que ce vocabulaire va rendre tout encore plus confus.
Pour la plupart, un vecteur est une flèche, avec une extrémité tracée comme celle d'un segment, l'autre extrémité est une pointe.

Il est fort à parier que pour la plupart des élèves, le point A appartient au vecteur AB de la même manière qu'il appartient au segment AB. Et là, ça coince.

C'est pourquoi, me semble t-il, je vais devoir parler d'abus de langage conservé pour des raisons historiques.

Égalité est une relation qui a pas mal de sens différents en mathématiques, suivant les objets auxquels on l'applique.

Les expressions 2(x+3) et 2x+6 sont égales, pourtant ce ne sont pas les mêmes expressions.

Il faut, à chaque fois que l'on définit un objet mathématique sur lequel une relation qualifiée d'égalité s'applique, préciser ce que cela signifie.

Si on veut pousser au niveau logique (voire philosophique), deux objets sont égaux si on peut substituer l'un à l'autre partout. Ce que l'on dit d'une figure peut être dit à l'identique d'une figure superposable (elles ont les mêmes propriétés), ce qui explique que ces deux figures soient qualifiées d'égales. Sans abus de langage.

L'égalité restreinte aux objets qui ont les mêmes composants, c'est l'égalité en extension de deux ensembles, ce n'est qu'une toute petite partie de l'utilisation du mot égalité en mathématiques.

L'entrée égalité du TLFI montre qu'il n'y a pas qu'en mathématiques que le mot est polysémique.

La polysémie fait partie du langage. Pourquoi vouloir s'en affranchir? Je définis la puissance d'un nombre, mon collègue de physique définit la puissance d'un moteur. Le fait que ce soit le même mot n'est pas un problème. Je ne pense pas qu'il soit sain de vouloir protéger les élèves de la polysémie. Par contre, il faut bien préciser le sens des mots suivant le contexte où ils sont utilisés.

AndréC a écrit:
Pour la plupart, un vecteur est une flèche, avec une extrémité tracée comme celle d'un segment, l'autre extrémité est une pointe.

Il faut lutter contre ça dès l'introduction des vecteurs. Un vecteur n'est pas une flèche et n'a pas d'extrémité. Si on veut représenter le vecteur avec un flèche, il faut dessiner la flèche partout (ce que n'avait pas hésité à faire ma prof de quatrième... oui, c'était en quatrième).

ycombe a écrit:Égalité est une relation qui a pas mal de sens différents en mathématiques, suivant les objets auxquels on l'applique.

Tout le problème est là : les triangles et les segments sont des ensembles de points.

Il va falloir expliquer aux élèves pourquoi on se permet de dire que les ensembles de points que constituent les triangles sont égaux. Alors que l'on n'a pas le droit de dire la même chose lorsque ces ensembles de points ne sont pas des triangles.

AndréC a écrit:

ycombe a écrit:Égalité est une relation qui a pas mal de sens différents en mathématiques, suivant les objets auxquels on l'applique.

Tout le problème est là : les triangles et les segments sont des ensembles de points.

Il va falloir expliquer aux élèves pourquoi on se permet de dire que les ensembles de points que constituent les triangles sont égaux. Alors que l'on n'a pas le droit de dire la même chose lorsque ces ensembles de points ne sont pas des triangles.

Pardon?

Deux figures superposables sont égales. Cela s'applique à toutes les figures. Les segments sont égaux s'ils sont superposables, les rectangles aussi...

Bien sûr c'est plus souvent employé pour les triangles pour le grand usage qui est fait des cas d'égalité des triangles, mais la notion s'applique à n'importe quelle figure de géométrie plane.

Deux segments de même longueurs sont égaux. Deux cercles de même rayon sont égaux. Deux droites sont égales. Les angles droits sont tous égaux. Etc.

@ycombe a écrit:Pardon?

Deux figures superposables sont égales. Cela s'applique à toutes les figures. Les segments sont égaux s'ils sont superposables, les rectangles aussi...

Les segments AB et CD situé à deux endroits différents du plan ne sont pas égaux puisque le point A n'appartient pas au segment CD.

AndréC a écrit:

@ycombe a écrit:Pardon?

Deux figures superposables sont égales. Cela s'applique à toutes les figures. Les segments sont égaux s'ils sont superposables, les rectangles aussi...

Les segments AB et CD situé à deux endroits différents du plan ne sont pas égaux puisque le point A n'appartient pas au segment CD.

Ils sont égaux si et seulement si la longueur AB est égale à la longueur CD. Dans les autres cas ils ne sont pas égaux.

https://manuelsanciens.blogspot.fr/2016/07/brachet-dumarque-arithmetique-algebre_29.html


Et p 111 pour l'égalité des segments:

Et donc les ensembles de points que sont les segments AB et CD sont égaux tout en ne possédant pas les mêmes éléments ?

AndréC a écrit:Et donc les ensembles de points que sont les segments AB et CD sont égaux tout en ne possédant pas les mêmes éléments ?

Voilà. C'est l'égalité des figures en géométrie. Comme 2x+6 et 2(x+3) sont égaux alors que la première expression est une somme est la seconde un produit.

Pourtant, le cercle de centre A est défini comme étant l'ensemble des points équidistant de son centre, celui de centre B de même.
Puisque ce sont des ensembles, dire qu'ils sont égaux revient à dire qu'ils ont les mêmes éléments.

Doit-on ignorer la théorie des ensembles pour enseigner la géométrie ?

Lors des mathématiques modernes on a voulu limiter l'emploi de l'égalité au sens ensembliste dans des cadres bien formalisés. La plupart des "abus" dans les cours antérieurs se justifieraient en se plaçant dans une structure quotient adaptée, mais on avait cet usage en se basant sur une part d'implicite.

AndréC a écrit:Pourtant, le cercle de centre A est défini comme étant l'ensemble des points équidistant de son centre, celui de centre B de même.
Puisque ce sont des ensembles, dire qu'ils sont égaux revient à dire qu'ils ont les mêmes éléments.

Doit-on ignorer la théorie des ensembles pour enseigner la géométrie ?

On enseigne. Autrement dit, on construit un savoir petit à petit. Quand on veut enseigner un savoir construit par ailleurs en ignorant la nécessité de le construire progressivement, on fait les maths modernes. En primaire, on parlait de bijections, surjections, injections. On faisait de beaux diagrammes de Venn (ou diagramme en patate, comme on disait). Les droites étaient vectorielles, les espaces affines. Les vecteurs étaient (la formule est restée célèbre) "des bipoints équipollents". Les relatifs étaient construits comme classe d'équivalence de couple de nombres entiers. C'était bien (pour moi en tant qu''élève). Un échec total pour la plupart.

ycombe a écrit:

Doit-on ignorer la théorie des ensembles pour enseigner la géométrie ?
On enseigne. Autrement dit, on construit un savoir petit à petit. Quand on veut enseigner un savoir construit par ailleurs en ignorant la nécessité de le construire progressivement, on fait les maths modernes. En primaire, on parlait de bijections, surjections, injections. On faisait de beaux diagrammes de Venn (ou diagramme en patate, comme on disait). Les droites étaient vectorielles, les espaces affines. Les vecteurs étaient (la formule est restée célèbre) "des  bipoints équipollents". Les relatifs étaient construits comme classe d'équivalence de couple de nombres entiers. C'était bien (pour moi en tant qu''élève). Un échec total pour la plupart.

J'aime beaucoup ton message ycombe! Tu parviens presque à donner une dimension littéraire à ton propos. Un vrai petit texte qui me renvoie à mon passé d'élève (3ème, l'année où le Brevet des Collèges fut réinstallé)

J'ai fait des maths jusqu'en Tale C (ou plutôt, j'ai essayé de... mais en vain)

Des années après, je me rends compte à quel point des concepts mathématiques me sont utiles en linguistique.

L'introduction des vecteurs en 4ème (physique et/ou maths) + relation de Chasles (3ème) m'avaient vraiment intéressé.

Quant à la dérivé en seconde ou première, là ce fut génial! Plus besoin de se taper des tableauX de variation comme en 3ème!

Grand moment lors des premiers cours de physique en Tale C où le prof aborda la mécanique en nous parlant de x point et x deux points (vitesse/accélération!) - Nous venions en fin de 1ère d'apprendre à dériver par rapport à y et il dérivait par rapport à t (sans rien nous dire, comme ça... Et c'était à nous de comprendre... en 1988!!)

J'aurais pu poster dans la section "flood" mais modeste témoignage d'un réfractaire aux Maths des années 80 qui leur a trouvé de la beauté scientifique a postériori!

Une autre chose, fondamentale....:

ycombe a écrit:

AndréC a écrit:
Pour la plupart, un vecteur est une flèche, avec une extrémité tracée comme celle d'un segment, l'autre extrémité est une pointe.

Il faut lutter contre ça dès l'introduction des vecteurs. Un vecteur n'est pas une flèche et n'a pas d'extrémité. Si on veut représenter le vecteur avec un flèche, il faut dessiner la flèche partout (ce que n'avait pas hésité à faire ma prof de quatrième... oui, c'était en quatrième).

En 4ème, la notion de vecteur fut introduite en tant que "vecteur vitesse".

J'ai le souvenir intact de cet exercice où un homme marchait sur un escalateur dans le même sens que lui vs. "en reculant" et nous devions calculer sa vitesse à lui (l'homme): on faisait des flèches dans les 2 sens (+ ou - avec la même unité de mesure, un carreau). C'était très parlant.

Au collège, ensuite, mais là je peux me tromper, de mémoire, la notion de vecteur "poids" fut introduite avec une flèche verticale vers le bas (vs. l'horizontale - ou presque - de l'escalateur).

Cela c'était pour la physique... un vecteur représente une force, un déplacement dans l'espace. J'étais franchement pas doué en maths, mais ça, cela m'a toujours parlé!

Véritables questions: comment la notion de vecteur est-elle introduite? A quel niveau? Corrélation maths/physique?

AndréC a écrit:Les segments AB et CD

Hum... les segments [AB] et [CD] plutôt, non ? Qui (a priori) sont deux segments différents, même s'ils ont même longueur (AB=CD).

jaybe a écrit:

AndréC a écrit:Les segments AB et CD

Hum... les segments [AB] et [CD] plutôt, non ? Qui (a priori) sont deux segments différents, même s'ils ont même longueur (AB=CD).

Je ne sanctionne jamais les erreurs de notation de mes élèves (mais je les corrige toujours) et je me suis permis de ne pas être regardant aussi dans ce forum car si j'avais du placer des crochets pour chaque segment, j'aurai été bien embêté pour placer une flèche sur le vecteur (pour respecter les notations du lycée) dans le  message de 14h40

AndréC a écrit:Il est fort à parier que pour la plupart des élèves, le point A appartient au vecteur AB de la même manière qu'il appartient au segment AB.. Et là, ça coince.