Égalité des triangles, des segments et des vecteurs ?

jaybe a écrit:Ceux qui connaissent bien les anciens (et moins anciens) ouvrages pourraient-ils dire s'ils ont déjà croisé l'écriture ABC=DEF ? ou triangle(ABC)=triangle(DEF) ? Si la réponse est non, qu'en penser ?

Pas dans Hadamard, ses démonstrations sont verbeuses et souvent agréables à lire.
Vous pouvez en lire un exemple ici en page 47 https://archive.org/stream/leonsdegomtriel04hadagoog#page/n65/mode/2up

Moonchild a écrit:

Balthazaard a écrit:

Je frémis en vous lisant, je n'adhère pas du tout à vos propos. Je soupçonne une différence d'age et le fait que vous n'avez pas , au contraire de moi vécu cette époque où il était inconcevable qu'un prof de maths écrive quoi que ce soit sans l'avoir démontré dans une écriture cohérente et non ambiguë. Je regrette mille fois ces années qui justement m'ont donnée le gout des maths. Je suis persuadé que l'on faisait de bien belles choses "avant" à coup d'inversion ou de birapport par exemple mais je réfute les termes que vous utilisez pour qualifier une période qui pour moi était une apogée et non pas une amorce de décadence. La décadence nous la vivons, justement en réaction par les médiocres écartés des sphères de décision à cette époque.
Ces propos sont dans l'air du temps et leur emploi est directement proportionnel au nombre non-matheux ou de ceux qui justement n'ont pas vécu ce temps là et sont victimes de la désinformation qui a suivi. je ne sais plus la référence d'un article cité dans ce forum où l'auteur désignait le niveau en maths des années 1978 en Ts comme stratosphérique...à base de maths "modernes"...Qui préfère celui d'aujourd'hui?
J'ai fait mon primaire "avant", j'étais excellent élève pour les problèmes style certificat d'étude. Je suis entré en sixième "pendant", les maths "modernes" ont été une révélation.
Tout cela pour dire que je ne me reconnais vraiment pas dans la FORME de votre propos que je préfère continuer ( même si vous le réfutez) voir lié à une méconnaissance de la situation historique de l'enseignement des maths.

Fin du Hs

Votre réaction très passionnée me laisse penser que vous avez peut-être surinterprété mes propos et que vous n'avez pas pas perçu la discrète petite touche de second degré dans mon emploi des termes qui vous ont tant choqué (je conviens que la discrétion n'est habituellement pas une caractéristique de mes interventions sur le forum et que je brouille ici un peu les pistes ).

C'est vrai, je suis monté au créneau sans réfléchir, mais c'était du second degré bien caché....et puis je crois qu'en effet j'ai des réactions épidermiques à ce sujet quand je vois ce qu'est devenue la culture proprement mathématique des élèves de Ts. En fait rien que lire "maths modernes" je sens monter ma tension. Mille excuses..

Moonchild, je ne remet pas tout le message, car cela devient très long...
Après la définition de la droite réelle venait l'axiome (et non pas théorème) de Thalès, je pense (sans vraiment réfléchir) que le coup des lignes brisées doit marcher mais une fois qu'intervient Thalès "tout" se redresse...

Par contre je suis d'accord, la définition est imbuvable (cela dit celle de la translation des anciens progs de seconde
"La translation qui transforme A en B est la transformation du plan qui associe à tout
point C du plan le point D tel que les segments [AD] et [BC] ont le même milieu."
Comment rendre compliquée la transformation la plus simple du plan....sans parler de l'intervalle de confiance...)

Mon principal reproche surtout au début était qu'on maniait le concept pour lui même...par exemple pour expliquer une relation d'équivalence, on prenait le parallélisme. Si on introduit un nouveau concept, je pense qu'il doit être opérant , c'est à dire expliquer ou clarifier un problème qui se pose. La on agissait à contresens, on partait d'une situation claire pour expliquer l'outil qui était sensé la décrire...

Balthazaard a écrit:C'est vrai, je suis monté au créneau sans réfléchir, mais c'était du second degré bien caché....et puis je crois qu'en effet j'ai des réactions épidermiques à ce sujet quand je vois ce qu'est devenue la culture proprement mathématique des élèves de Ts. En fait rien que lire "maths modernes" je sens monter ma tension. Mille excuses..

Oh, il n'y a pas de mal... et puis pour une fois que je me fais engueuler sans avoir tout fait pour, je trouve ça presque amusant. Du coup, "mille excuses", ça fait un peu beaucoup et ça en devient presque embarrassant.

Balthazaard a écrit:Moonchild, je ne remet pas tout le message, car cela devient très long...
Après la définition de la droite réelle venait l'axiome (et non pas théorème) de Thalès, je pense (sans vraiment réfléchir) que le coup des lignes brisées doit marcher mais une fois qu'intervient Thalès "tout" se redresse...

Si je comprends bien, au moins dans ce petit intervalle de temps, on se retrouvait apparemment avec une définition d'une "droite réelle" qui n'était pas toujours une droite au sens de "droite affine" ; j'ai l'impression qu'on retombe sur le même genre d'ambiguïté de vocabulaire que celle qui a initialement motivé ce fil.

Je reviens sur le "tous les points sont égaux" devant lequel je reste perplexe, surtout en imaginant le jour où les élèves découvrent le monde merveilleux de la géométrie analytique. Je ne vois pas comment on peut faire les choses de façon cohérente ainsi. Je suppose que la question a déjà été débattue quelque part ?

Tous les points sont égaux. Je ne vois pas où est le problème, à vrai dire. Égaux ne veux pas dire qu'ils ont les mêmes coordonnées ni le même nom. Égaux veut dire superposable et, pour les points, c'est une trivialité sans aucun intérêt.

Moonchild a écrit:
D'ailleurs tant qu'à accepter des "abus" de langage autour de l'égalité, on pourrait aussi décréter qu'il est correct de dire que "les équations 2x-3=0 et 2x=3 sont égales" puisqu'elles décrivent le même sous-ensemble de R ; pourquoi s'embarrasser alors du terme "équivalentes" ?

Parce qu'une équation étant une égalité, cela reviendrait à dire que deux égalité sont égales. Et que, tant qu'à faire, on le noterait avec le signe =. Ce qui obligerait à mettre des parenthèses:
(2x-3=0) = (2x=3)

L'équivalence offre une solution plus simple à écrire.

ycombe a écrit:

celinesud a écrit:Pour un élève, n'est-il pas tout de même plus prudent de parler de "superposable" ?

Tu vas parler d'expressions équivalentes ou d'expressions égales, pour 2x+6 et 2(x+3)?

Justement... le prof de maths parle d'expressions égales ? C'est peut-être que je suis excessivement chatouilleux, mais... j'avoue que ça me chatouille

Disons :
A et B sont deux points.
A=B
A de coordonnées (a;0)
B de coordonnées (b;0)
Donc (a,0)=(b,0) même si a n'est pas égal à b ?
Comment peut-on imaginer que cela ne va pas poser de difficulté ?

ycombe a écrit:Tous les points sont égaux. Je ne vois pas où est le problème, à vrai dire. Égaux ne veux pas dire qu'ils ont les mêmes coordonnées ni le même nom. Égaux veut dire superposable et, pour les points, c'est une trivialité sans aucun intérêt.

Dans la continuité du raisonnement de Moonchild

Moonchild a écrit:Ainsi, pour tous points A et B du plan, il est trivial que [AA]=[BB]. Comme le segment [AA] se réduit au point A et que le segment [BB] se réduit au point B, on peut donc en déduire que deux points quelconques du plan sont égaux, ce qui ne choquera personne puisqu'ils sont aisément superposables... enfin à condition d'être de la même taille

Et donc, comme les points sont égaux, quels que soient les points A et B [AB] = [AA], donc tous les segments ont une mesure nulle.

ycombe a écrit:
Parce qu'une équation étant une égalité, cela reviendrait à dire que deux égalité sont égales.

Certainement pas, il n'y a d'égalité que pour les solutions de l'équation. Pour tous les autres nombres, il n'y a pas d'égalité.

PauvreYorick a écrit:

ycombe a écrit:

celinesud a écrit:Pour un élève, n'est-il pas tout de même plus prudent de parler de "superposable" ?

Tu vas parler d'expressions équivalentes ou d'expressions égales, pour 2x+6 et 2(x+3)?

Justement... le prof de maths parle d'expressions égales ? C'est peut-être que je suis excessivement chatouilleux, mais... j'avoue que ça me chatouille

Non seulement on le dit, mais en plus on écrit sans aucun problème que
2x+6 = 2(x+3)

Et je suis tout à fait certain que tu as fait de même lorsque tu étais au collège.

Oui mais ce n'est pas la même chose

2x+6 = 2(x+3) ne ré*** pas les expressions "égales" (du moins sans une convention spécifique sur l'emploi de ce terme), pas davantage que "l'étoile du soir est l'étoile du matin" n'est une phrase qui dirait quelque chose sur les deux expressions "l'étoile du soir" et "l'étoile du matin" (mais seulement sur les objets, ou plutôt l'unique objet désigné par ces deux expressions)

PS. Bon, je m'aperçois que la censure automatique de ce forum ne permet pas de conjuguer le verbe réputer. Vous ferez avec...

EDIT. En d'autres termes 2x+6 = 2(x+3) emploie deux expressions mais n'en parle pas. Ce que ça dit, c'est que quel que soit le nombre x considéré, le nombre désigné par la première sera égal au nombre désigné par la seconde. On n'a pas du tout besoin d'un concept d'égalité entre des expressions pour parler d'égalité entre des nombres désignés par des expressions. (En revanche ça ne me chatouillerait pas de dire que les expressions sont équivalentes, évidemment.)

jaybe a écrit:Disons :
A et B sont deux points.
A=B
A de coordonnées (a;0)
B de coordonnées (b;0)
Donc (a,0)=(b,0) même si a n'est pas égal à b ?
Comment peut-on imaginer que cela ne va pas poser de difficulté ?

Tu confonds le points et ses coordonnées. Les coordonnées sont dépendantes du repère, A ayant pour coordonnées (a; 0) dans un repère mais pas dans tous les autres repères.

Tu mets un signe = entre des couples de nombres. Comment définis-tu cette égalité?

Il n'est pas vraiment d'usage d'utiliser le signe = lorsqu'on parle de l'égalité de deux figures. Parce que cette notion était utilisée à l'époque où le symbolisme en géométrie était réduit au minimum, et où on préférait raisonner en faisant des phrases qu'en alignant des symboles. Le cas des segments et des angles étant un peu à part, on confond la mesure et l'objet dans la notation (les segments de même mesure sont tous égaux (superposable), comme les angles, mais ce n'est pas le cas des surfaces, ce qui doit pouvoir justifier la confusion).

ycombe a écrit:

jaybe a écrit:Disons :
A et B sont deux points.
A=B
A de coordonnées (a;0)
B de coordonnées (b;0)
Donc (a,0)=(b,0) même si a n'est pas égal à b ?
Comment peut-on imaginer que cela ne va pas poser de difficulté ?

Tu confonds le points et ses coordonnées. Les coordonnées sont dépendantes du repère, A ayant pour coordonnées (a; 0) dans un repère mais pas dans tous les autres repères.

Tu mets un signe = entre des couples de nombres. Comment définis-tu cette égalité?

Il n'est pas vraiment d'usage d'utiliser le signe = lorsqu'on parle de l'égalité de deux figures. Parce que cette notion était utilisée à l'époque où le symbolisme en géométrie était réduit au minimum, et où on préférait raisonner en faisant des phrases qu'en alignant des symboles. Le cas des segments et des angles étant un peu à part, on confond la mesure et l'objet dans la notation (les segments de même mesure sont tous égaux (superposable), comme les angles, mais  ce n'est pas le cas des surfaces, ce qui doit pouvoir justifier la confusion).

J'imagine la façon dont un élève pourrait écrire des choses. Encore une fois, je ne crois pas une seule seconde que tout ceci soit facile à comprendre pour les élèves et je trouve que tu balaies bien trop facilement ce que tu considères être une trivialité absolue.

Et s'il y a une chose qui à mon avis est une satisfaction totale en ce qui concerne l'écriture de mathématiques, c'est bien de bénéficier du formalisme. C'est vrai qu'avant on n'écrivait pas A=B, mais c'est un message qui ne prend plus aujourd'hui. Si on me dit A est égal à B, je ne peux pas me le représenter autrement que A=B, indépendamment de ce que sont A et B, et je trouverai étrange que ce ne soit pas un réflexe.

Ne serait on pas en train de confondre espace affine (celui des points) et espace vectoriel (celui des vecteurs ?).
Des points sont égaux s'ils sont superpoSES (et pas superpoSABLES !).
Deux vecteurs sont égaux s'ils ont deux représentants superposables.
Un vecteur est un élément d'un espace vectoriel. Dans le cadre de la géométrie (euclidienne), il peut être commode de parler de sens, direction, longueur, origine, et autres notions concrètes. Mais quand on commence à parler des espaces vectoriels de polynômes (par exemple), cette approche n'est plus pertinente.
Evidemment, pour moi un vecteur (en géométrie) est une classe d'équivalence de bipoints équipollents. Mais il n'a jamais été question de confondre a classe avec un de ses représentants !

PauvreYorick a écrit:
EDIT. En d'autres termes 2x+6 = 2(x+3) emploie deux expressions mais n'en parle pas. Ce que ça dit, c'est que quel que soit le nombre x considéré, le nombre désigné par la première sera égal au nombre désigné par la seconde. On n'a pas du tout besoin d'un concept d'égalité entre des expressions pour parler d'égalité entre des nombres désignés par des expressions. (En revanche ça ne me chatouillerait pas de dire que les expressions sont équivalentes, évidemment.)

Le fait qu'on puisse s'en passer n'empêche pas du tout de le faire quand même.

En fait, plus tard, bien plus tard, on formalise ça sous une jolie théorie des polynômes, les polynômes étant égaux quand leurs coefficients le sont.

ycombe a écrit:

PauvreYorick a écrit:
EDIT. En d'autres termes 2x+6 = 2(x+3) emploie deux expressions mais n'en parle pas. Ce que ça dit, c'est que quel que soit le nombre x considéré, le nombre désigné par la première sera égal au nombre désigné par la seconde. On n'a pas du tout besoin d'un concept d'égalité entre des expressions pour parler d'égalité entre des nombres désignés par des expressions. (En revanche ça ne me chatouillerait pas de dire que les expressions sont équivalentes, évidemment.)

Le fait qu'on puisse s'en passer n'empêche pas du tout de le faire quand même.

Certes ! d'où ma question, justement, qui demandait si c'était un artefact pédagogique, un reste d'une tradition (comme le fait de parler de triangles "égaux") ou si c'était bien attesté et bien formalisé à un plus haut niveau.

EDIT. (Mais ça aide à comprendre pourquoi la précédente réponse n'en était pas une, en revanche.)

ycombe a écrit:Il n'est pas vraiment d'usage d'utiliser le signe = lorsqu'on parle de l'égalité de deux figures. Parce que cette notion était utilisée à l'époque où le symbolisme en géométrie était réduit au minimum, et où on préférait raisonner en faisant des phrases qu'en alignant des symboles. Le cas des segments et des angles étant un peu à part, on confond la mesure et l'objet dans la notation (les segments de même mesure sont tous égaux (superposable), comme les angles, mais  ce n'est pas le cas des surfaces, ce qui doit pouvoir justifier la confusion).

Il y aurait alors au moins deux catégories d'égalités : celles pour lesquelles on utilisera couramment le signe = et d'autres pour lesquelles ce ne sera pas l'usage. Il n'est pas dit que cela n'entretienne pas auprès de certains élèves le sentiment que les mathématiques sont une discipline décidément très hermétique.

ycombe a écrit:

Moonchild a écrit:
D'ailleurs tant qu'à accepter des "abus" de langage autour de l'égalité, on pourrait aussi décréter qu'il est correct de dire que "les équations 2x-3=0 et 2x=3 sont égales" puisqu'elles décrivent le même sous-ensemble de R ; pourquoi s'embarrasser alors du terme "équivalentes" ?

Parce qu'une équation étant une égalité, cela reviendrait à dire que deux égalité sont égales. Et que, tant qu'à faire, on le noterait avec le signe =. Ce qui obligerait à mettre des parenthèses:
(2x-3=0) = (2x=3)

L'équivalence offre une solution plus simple à écrire.

Oui l'équivalence s'avère commode sur le plan de l'écriture, mais elle n'a rien d'indispensable. S'il s'agit de définir un nouveau terme de vocabulaire ainsi qu'une nouvelle notation uniquement dans le but de pouvoir ne pas écrire quelques parenthèses, on pourrait parfaitement juger que le jeu n'en vaut pas la chandelle. D'autant plus qu'on pourrait très bien décider par convention qu'à l'instar de l'égalité entre deux figures, il ne sera pas d'usage d'utiliser le signe = lorsqu'on parlera d'égalité entre deux équations ; comme pour la géométrie, on pourrait préférer raisonner sur la résolution d'équation en faisant des phrases plutôt qu'en alignant des symboles.

Moonchild a écrit: comme pour la géométrie, on pourrait préférer raisonner sur la résolution d'équation en faisant des phrases plutôt qu'en alignant des symboles.

En effet, ça a longtemps été l'usage. je pense que l'usage du <=> pour la résolution d'équation date des maths modernes.

Voltaire a écrit:Ne serait on pas en train de confondre espace affine (celui des points) et espace vectoriel (celui des vecteurs ?).
Des points sont égaux s'ils sont superpoSES (et pas superpoSABLES !).

Non. Deux figures sont égales si elles sont superposables. À moins de ne pas les considérer comme des figures géométriques, cela s'applique aux points.

Cela dit, ce n'est pas utilisé pour les points. Ni pour les droites. En effet, ces figures sont toutes égales entre elles, ce qui rend l'intérêt du concept complètement nul.

Juste un mot pour PauvreYorick.

Quand on écrit 2*(x+3)=2*x+6 il y a beaucoup de sous-entendus.

En particulier on suppose que l'addition et la multiplication sont celles définies dans les ensembles de « nombres » usuels, du genre N, Z, Q, R, C ou n'importe quel corps, avec le sens usuel pour + et *.
Encore que le sens de 2, 3 et 6 mériterait une définition.

Sinon rien n'interdit de définir un ensemble muni d’opérations notées + et * tel que cette égalité soit fausse.
Sauf que ce serait contraire aux usages et considéré comme une notation détestable.


En toute logique écrire A=B signifie que tout ce qui arrive à A arrive à B.
En particulier, si on rencontre A dans une expression on peut le remplacer par B sans que la valeur de l’expression soit modifié.

La position d'ycombe est un curieux mélange de logique «maths modernes» et d'un désir de retour à la géométrie « ancienne », quand on laissait un flou certain dans les définitions.
J'ai connu cet enseignement jusqu'à la troisième.
On pouvait écrire « les triangles ABC et DEF sont égaux », mais si on écrivait ABC=DEF on avait un zéro à la question.
Le sens du signe « = » était le même que maintenant.
Je trouve, personnellement, qu'écrire « les triangles ABC et DEF sont isométriques (ou superposables) » est nettement préférable.

En ce qui concerne le signe d'équivalence <=> on pourrait le remplacer par = sans aucun problème autre que la lisibilité des expressions ainsi écrites.

(Certes, Verdurin. Ma question se borne vraiment à un point de détail tout bête, je vais la reposer dans la mesure où j'ai le sentiment qu'on y cherche un implicite qui n'y est pas. Est-ce que l'on a des chances de rencontrer la suite de mots " ..., dans la mesure où ces deux expressions sont égales, ..." dans, par exemple, une démonstration? Autrement dit, est-ce que chez vous, mathématiciens [par opposition à: philosophes, logiciens, etc.], "égal" est un adjectif qui s'applique couramment à des expressions? Je ne demande pas quel sens il aurait alors, je m'en doute un peu , mais je demande si cette convention a effectivement cours.)

verdurin a écrit:
La position d'ycombe est un curieux mélange de logique «maths modernes» et d'un désir de retour à la géométrie « ancienne », quand on laissait un flou certain dans les définitions.

Si le mot "égal" vous ennuie, Hilbert emploie "congru". Vous pouvez parler de triangles congrus. À mon avis, si "égal" a été choisi, c'est parce qu'il est plus clair pour les élèves.

Je ne pense pas qu'il y ait la moindre logique math moderne chez moi. Je n'ai fait que reprendre la définition classique d'avant les maths modernes, l'époque où on ne se permettait pas d'utiliser les termes sans les expliquer et où on respectait une progression logique.

Les maths modernes, que j'ai bien connues pour les avoir subies moi-même, étaient quelque chose de tout à fait fascinant: vouloir enseigner directement à des collégiens le résultat de 3000 ans de travail sur les mathématiques. C'était, pour ceux qui l'ignorent, une idée de l'OCDE pour faire des économies. Dans les maths modernes, il y avait quelque chose de bien: une progression cohérente. Et quelque chose de très ennuyeux pour les bons élèves: des répétitions régulières. J'ai subi la construction des relatifs en début de collège, en seconde et en prépa. La prof de prépa a dû être scandalisée devant nos protestations (on le sait déjà, pourquoi on le refait ?).

Vouloir définir la géométrie dans le cadre de la théorie des ensemble est intéressant, mais quel intérêt cela peut-il avoir au collège? Il y a un modèle de la géométrie euclidienne dans le cadre de la théorie des ensemble, certes, c'est vrai. C'est intéressant en licence de math. La géométrie euclidienne ainsi définie coïncide avec celle qui se contente des axiomes de Hilbert et n'a pas besoin d'autre chose, c'est-à-dire, grosso-modo celle de Hadamard (tous les axiomes n'y sont pas explicités, ce qui est bien. Imaginez la tête des collégiens si vous deviez leur faire apprendre l'axiome de Pasch ou les axiomes de congruence). Au collège, cette géométrie suffit largement: pas besoin d'aller cher plus loin. Elle utilise son propre vocabulaire, d'accord, on a le droit de penser que l'égalité y est particulière. Mais elle est cohérente pour l'enseignement et c'est ça le plus important.

Je comprends mieux ce point de vue à la lecture de cet article de Bkouche : ici.

Pour autant, je ne suis pas d'accord avec le fait de ramener le "conflit" à une simple lecture "ensembliste" des objets géométriques ; un élève perçoit sur sa règle que ce qui se trouve entre les graduations 0 et 1 définit un espacement situé à un autre endroit que celui entre les graduations 2 et 3, or dire qu'une propriété, l'emplacement, distingue deux objets semble (au moins de façon intuitive) incompatible avec un statut d'égalité (sauf à dire que le vrai contraire d'égal est inégal, que l'on n'emploie pas couramment, peut-être à tort ?). Et je ne suis pas d'accord non plus concernant sa réflexion sur la difficulté de lecture liée à l'utilisation de mots monosémiques/polysémiques (parce que prendre Bourbaki pour illustrer qu'un certain type de texte est difficile à lire... comment dire ?).

Bonsoir ycombe.
Comme je sais faire une soustraction et que ton age est affiché, je sais que tu as subi les maths modernes en tant qu’élève, mais pas à leur maximum d'intensité au collège et au lycée.

Je crois que tu te fais des idées fausses sur ce qui se passait avant.

Personne n'aurait émis l'idée que les points sont égaux, et d'ailleurs personne n'aurait posé la question.
C'est typiquement une question qui vient de l'approche « logique » issue des maths modernes.
À l'époque on restait dans un flou assez désagréable.

Ceci étant dit, je suis vraiment d'accord avec toi pour un enseignement de la géométrie euclidienne dès le collège.
Et je suis également d'accord pour ne pas citer l'axiome de Pasch. On peut considérer que c'est évident et, à ma connaissance, il n'a jamais été au programme du collège.
Mais ce n'est pas une raison pour dire « égal » à la place de congru ( si tu préfères ce terme à isométrique ou à superposable).
Même le vocabulaire peut faire des progrès.

Et c'est une erreur de croire que  

C'était, pour ceux qui l'ignorent, une idée de l'OCDE pour faire des économies.

peut-être un peu, mais si tu as des sources fiables pour appuyer cette affirmation, merci de les donner.

Il y avait un vrai problème pour l'enseignement de la géométrie : trop d'implicite.

Et dire « Elle utilise son propre vocabulaire » est une très mauvaise solution.
Autant que possible le vocabulaire mathématique doit être univoque.
Sinon je peut écrire 2=3 sous prétexte que c'est presque pareil par rapport à 10⁹⁹