Égalité des triangles, des segments et des vecteurs ?

jaybe a écrit:

AndréC a écrit:Les segments AB et CD

Hum... les segments [AB] et [CD] plutôt, non ? Qui (a priori) sont deux segments différents, même s'ils ont même longueur (AB=CD).

Je ne sanctionne jamais les erreurs de notation de mes élèves (mais je les corrige toujours) et je me suis permis de ne pas être regardant aussi dans ce forum car si j'avais du placer des crochets pour chaque segment, j'aurai été bien embêté pour placer une flèche sur le vecteur (pour respecter les notations du lycée) dans le  message de 14h40

AndréC a écrit:Il est fort à parier que pour la plupart des élèves, le point A appartient au vecteur AB de la même manière qu'il appartient au segment AB.. Et là, ça coince.

ycombe a écrit:
On enseigne. Autrement dit, on construit un savoir petit à petit. Quand on veut enseigner un savoir construit par ailleurs en ignorant la nécessité de le construire progressivement, on fait les maths modernes. En primaire, on parlait de bijections, surjections, injections. On faisait de beaux diagrammes de Venn (ou diagramme en patate, comme on disait). Les droites étaient vectorielles, les espaces affines. Les vecteurs étaient (la formule est restée célèbre) "des  bipoints équipollents". Les relatifs étaient construits comme classe d'équivalence de couple de nombres entiers. C'était bien (pour moi en tant qu''élève). Un échec total pour la plupart.

Le programme officiel de cycle 3 n'est malheureusement, à mon sens, pas aussi constructiviste que vous le dites, je cite :

Vocabulaire et notations : Au primaire, lorsque les points seront désignés par des lettres, les pro-
fesseurs veilleront à toujours préciser explicitement l’objet dont il parle : « le point A », « le segment
[AB] », « le triangle ABC », etc. Aucune maitrise n’est attendue des élèves pour ce qui est des codages
usuels (parenthèses ou crochets) avant la dernière année du cycle. Le vocabulaire et les notations
nouvelles (∈ [AB], (AB), [AB), AB, AOB) sont introduits au fur et à mesure de leur utilité, et non
au départ d’un apprentissage.

Ainsi, il est envisagé que les élèves puissent avoir une maîtrise des codages et introduit deux notations distinctes [AB] et AB.

Quelle utilité (au sens du programme officiel) y a t-il à faire ce distinguo si l'on peut écrire [AB] = [CD] pour dire en réalité AB = CD ?
Sachant que le programme dit clairement que l'objet dont parle l'élève doit être explicité en disant le segment [AB], la longueur AB.

De plus la notation ∈ est une notation ensembliste qui n'existe pas dans la géométrie de Hadamard ni dans celle d'Euclide. Les programmes malheureusement n'assument pas pleinement l'enseignement de la géométrie d'Hadamard au collège puisqu'ils introduisent des notations ensemblistes.

Anaxagore a écrit:Lors des mathématiques modernes on a voulu limiter l'emploi de l'égalité au sens ensembliste dans des cadres bien formalisés. La plupart des "abus" dans les cours antérieurs se justifieraient en se plaçant dans une structure quotient adaptée, mais on avait cet usage en se basant sur une part d'implicite.

C'est peut-être un des mérites que l'on peut concéder aux maths modernes que d'avoir cherché à restreindre cette part d'implicite : sans vouloir à tout prix protéger les élèves de la polysémie, il est quand même nécessaire qu'à l'intérieur d'une même discipline on essaye de limiter les ambiguïtés de notations ou de vocabulaire, surtout lorsqu'on travaille des notions élémentaires et que certaines nuances sont encore difficilement perceptibles au niveau concerné.

Dans le cas présent, lorsqu'on parle de "figures égales" dans le plan, il faut choisir une convention pour le secondaire :
- soit on parle d'égalité dans l'ensemble des parties de R² ;
- soit on parle d'égalité dans l'ensemble des parties de R² quotienté par la relation d'isométrie.

A mon avis, même sans parler de structures ensemblistes, la première convention est plus "naturelle" et présente l'avantage d'être intuitivement cohérente avec l'usage courant de l'égalité en mathématiques qui se comprend grosso-modo comme "en fait c'est le même objet mathématique".
Avec la seconde convention, deux triangles pourraient être égaux tout en étant distincts dans le plan, ce qui pour un débutant est plutôt contre-intuitif (voire tortueux) d'autant plus que cela ne coûte pas très cher d'introduire un terme spécifique en parlant de triangles isométriques ou superposables pour décrire une propriété particulière vérifiée par deux triangles (qui éventuellement peuvent être distincts).

D'ailleurs tant qu'à accepter des "abus" de langage autour de l'égalité, on pourrait aussi décréter qu'il est correct de dire que "les équations 2x-3=0 et 2x=3 sont égales" puisqu'elles décrivent le même sous-ensemble de R ; pourquoi s'embarrasser alors du terme "équivalentes" ?

ycombe a écrit:

Deux droites sont égales.

C'est un peu gênant, non ?

.

Pour un élève, n'est-il pas tout de même plus prudent de parler de "superposable" ?

.

Il y aurait donc équivalence entre AB = CD et [AB]=[CD] ?

.

Peinard a écrit:Cela a déjà été évoqué auparavant et cela n'a rien d'étonnant dans le cadre l'égalité de figures du plan.

Le problème, c'est que la notation « appartient à » ( ∈ ) n'est pas dans le cadre de l'égalité des figures du plan, elle est ensembliste.

Peinard a écrit:Cela a déjà été évoqué auparavant et cela n'a rien d'étonnant dans le cadre l'égalité de figures du plan.

Ainsi, pour tous points A et B du plan, il est trivial que [AA]=[BB]. Comme le segment [AA] se réduit au point A et que le segment [BB] se réduit au point B, on peut donc en déduire que deux points quelconques du plan sont égaux, ce qui ne choquera personne puisqu'ils sont aisément superposables... enfin à condition d'être de la même taille.

Moonchild a écrit:
Ainsi, pour tous points A et B du plan, il est trivial que [AA]=[BB]. Comme le segment [AA] se réduit au point A et que le segment [BB] se réduit au point B, on peut donc en déduire que deux points quelconques du plan sont égaux, ce qui ne choquera personne puisqu'ils sont aisément superposables... enfin à condition d'être de la même taille.

Très juste.

Peinard a écrit:Certes mais le programme de Mathématiques parle d'égalité de triangles d'où le sujet du topic qui a ensuite débouché sur la notion d'égalité de figure du plan en général.

Au risque une nouvelle fois de manifester ostensiblement mon mauvais esprit, je suis enclin à penser que si les rédacteurs du programme de Mathématiques ont opté pour le terme "égalité" de triangles alors c'est un indice montrant que le choix de cette convention est plutôt délétère sur le plan pédagogique ; dans le meilleur des cas, le choix de cette formulation aura résulté d'une absence de réflexion sur la question (dans le genre copier-coller hâtif d'un programme antérieur dont le contexte et la cohérence ont été perdus de vue entre temps).

celinesud a écrit:Pour un élève, n'est-il pas tout de même plus prudent de parler de "superposable" ?

Tu vas parler d'expressions équivalentes ou d'expressions égales, pour 2x+6 et 2(x+3)?

.

ycombe a écrit:

celinesud a écrit:Pour un élève, n'est-il pas tout de même plus prudent de parler de "superposable" ?

Tu vas parler d'expressions équivalentes ou d'expressions égales, pour 2x+6 et 2(x+3)?

Je dirais « quelque soit le réel x, 2x+6=2(x+3) » que l'on abrège par « 2x+6=2(x+3) ».

Mais ces expressions sont effectivement égales dans un sens plus fort :
si, dans un calcul, je rencontre 2(x+3), je peux le remplacer par (2x+6), et vice versa.

Moonchild a écrit:

Peinard a écrit:Certes mais le programme de Mathématiques parle d'égalité de triangles d'où le sujet du topic qui a ensuite débouché sur la notion d'égalité de figure du plan en général.

Au risque une nouvelle fois de manifester ostensiblement mon mauvais esprit, je suis enclin à penser que si les rédacteurs du programme de Mathématiques ont opté pour le terme "égalité" de triangles alors c'est un indice montrant que le choix de cette convention est plutôt délétère sur le plan pédagogique ; dans le meilleur des cas, le choix de cette formulation aura résulté d'une absence de réflexion sur la question (dans le genre copier-coller hâtif d'un programme antérieur dont le contexte et la cohérence ont été perdus de vue entre temps).

L'égalité des triangles, c'est une vieille histoire.

Edit: Ils sont chez Euclide, et  Hadamard base ses leçons de géométrie dessus. C'est ainsi qu'ils sont devenus incontournables dans l'enseignement en France, le livre d'Hadamard fournissant grosso-modo la structure du programme de géométrie du petit lycée (de la 5e à la 3e).

Leur enseignement (comme tout l'enseignement structuré de la géométrie) a été supprimé lors du passage aux maths modernes. Conséquence du lobbying de gens comme Jean Dieudonné, connu pour avoir lancé "À bas Euclide !" lors d'un colloque.

Rudolph Bkouche racontait que, lors de la débâcle des maths modernes et de l'écriture de nouveaux programmes, le retour aux cas d'égalité (et en fait à l'enseignement structuré de la géométrie) a été refusé pour ne pas faire ringard. Le lobbying de Dieudonné a laissé des traces, manifestement. On s'est donc retrouvé avec des programmes incohérents qui utilisaient les transformations comme source de justifications là où les cas d'égalité étaient bien plus efficaces, et bien maîtrisés. Ces programmes ont été régulièrement allégés, exeunt les homothéties, les vecteurs, les projections, la géométrie analytique pour aboutir à ce qu'on connaissait jusqu'à l'an dernier.

Le retour aux cas d'égalité est un signal à ceux qui réclamaient une remise en place d'une géométrie structurée. Pour moi, c'est surout une pelletée de sable qu'on leur a balancé dans les yeux pour cacher l'éparpillement façon puzzle de la géométrie et la réduction à la portion congrue de la démonstration. C'est pourquoi le programme spécifie bien qu'on ne fera pas vraiment de démonstrations en se basant sur les cas d'égalité.

verdurin a écrit:

ycombe a écrit:

celinesud a écrit:Pour un élève, n'est-il pas tout de même plus prudent de parler de "superposable" ?

Tu vas parler d'expressions équivalentes ou d'expressions égales, pour 2x+6 et 2(x+3)?

Je dirais « quelque soit le réel x, 2x+6=2(x+3) » que l'on abrège par « 2x+6=2(x+3) ».

Mais ces expressions sont effectivement égales dans un sens plus fort :
si, dans un calcul, je rencontre 2(x+3), je peux le remplacer par (2x+6), et vice versa.

On en revient à la perception "intuitive" de l'égalité dont je parlais plus haut : en l'occurrence dès lors que x représente un nombre réel donné, les expressions 2x+6 et 2(x+3) désignent toutes les deux le même nombre réel et on peut donc affirmer à un niveau de compréhension raisonnablement accessible au niveau collège que "en fait c'est le même objet mathématique" bien qu'il soit présenté sous deux points de vue différents.

ycombe a écrit:

Moonchild a écrit:

Peinard a écrit:Certes mais le programme de Mathématiques parle d'égalité de triangles d'où le sujet du topic qui a ensuite débouché sur la notion d'égalité de figure du plan en général.

Au risque une nouvelle fois de manifester ostensiblement mon mauvais esprit, je suis enclin à penser que si les rédacteurs du programme de Mathématiques ont opté pour le terme "égalité" de triangles alors c'est un indice montrant que le choix de cette convention est plutôt délétère sur le plan pédagogique ; dans le meilleur des cas, le choix de cette formulation aura résulté d'une absence de réflexion sur la question (dans le genre copier-coller hâtif d'un programme antérieur dont le contexte et la cohérence ont été perdus de vue entre temps).

L'égalité des triangles, c'est une vieille histoire. Leur enseignement (comme tout l'enseignement structuré de la géométrie) a été supprimé lors du passage aux maths modernes. Conséquence du lobbying de gens comme Jean Dieudonné, connu pour avoir lancé "À bas Euclide !" lors d'un colloque.

Rudolph Bkouche racontait que, lors de la débâcle des maths modernes et de l'écriture de nouveaux programmes, le retour aux cas d'égalité (et en fait à l'enseignement structuré de la géométrie) a été refusé pour ne pas faire ringard. Le lobbying de Dieudonné a laissé des traces, manifestement. On s'est donc retrouvé avec des programmes incohérents qui utilisaient les transformations comme source de justifications là où les cas d'égalité étaient bien plus efficaces, et bien maîtrisés. Ces programmes ont été régulièrement allégés, exeunt les homothéties, les vecteurs, les projections, la géométrie analytique pour aboutir à ce qu'on connaissait jusqu'à l'an dernier.

Le retour aux cas d'égalité est un signal à ceux qui réclamaient une remise en place d'une géométrie structurée. Pour moi, c'est surout une pelletée de sable qu'on leur a balancé dans les yeux pour cacher l'éparpillement façon puzzle de la géométrie et la réduction à la portion congrue de la démonstration. C'est pourquoi le programme spécifie bien qu'on ne fera pas vraiment de démonstrations en se basant sur les cas d'égalité.

J'ai vraisemblablement été collégien et lycéen à l'époque où on utilisait les transformations comme source de justifications (Bac 89), avant leur disparition progressive. Sans les avoir réétudiés en détail, en me basant sur ce que j'en ai retenu, je ne dirai pas que dans les grandes lignes les programmes que j'ai connus en tant qu'élève étaient "incohérents" (en revanche ceux que j'ai retrouvés ensuite en tant qu'enseignant commençaient déjà à se disloquer) même si je veux bien admettre que l'usage des "triangles égaux" était sans doute plus commode que la manipulation des transformations (ce qui est naturel car mathématiquement ils évitent d'avoir à expliciter les transformations sous-jacentes et les démonstrations deviennent alors plus fluides).
Concernant le revival actuel, je penche aussi vers l'hypothèse de la poudre aux yeux pelletée de sable, exactement comme dans le cas du retour des triangles semblables en seconde au début des années 2000 alors que disparaissait l'homothétie.
Maintenant, si cette géométrie pré-(math)moderne devait revenir de manière cohérente dans le secondaire, je serais tout de même partisan que l'appellation "triangles égaux" soit remplacée par "triangles superposables" ou "triangles isométriques" afin de lever les ambiguïtés évoquées précédemment. De plus, compte tenu de ce que sont devenues les mathématiques dans le supérieur, on ne peut plus à mon avis dans le secondaire faire l'impasse totale sur l'aspect ensembliste, le tout étant de le faire de manière à la fois accessible et cohérente ; la géométrie permettrait justement une telle approche et, quitte à ajuster quelques conventions, ce ne serait sans doute pas en opposition avec l'étude des "triangles isométriques".

Moonchild a écrit:

Anaxagore a écrit:Lors des mathématiques modernes on a voulu limiter l'emploi de l'égalité au sens ensembliste dans des cadres bien formalisés. La plupart des "abus" dans les cours antérieurs se justifieraient en se plaçant dans une structure quotient adaptée, mais on avait cet usage en se basant sur une part d'implicite.

C'est peut-être un des mérites que l'on peut concéder aux maths modernes que d'avoir cherché à restreindre cette part d'implicite : sans vouloir à tout prix protéger les élèves de la polysémie, il est quand même nécessaire qu'à l'intérieur d'une même discipline on essaye de limiter les ambiguïtés de notations ou de vocabulaire, surtout lorsqu'on travaille des notions élémentaires et que certaines nuances sont encore difficilement perceptibles au niveau concerné.

Dans le cas présent, lorsqu'on parle de "figures égales" dans le plan, il faut choisir une convention pour le secondaire :
- soit on parle d'égalité dans l'ensemble des parties de R² ;
- soit on parle d'égalité dans l'ensemble des parties de R² quotienté par la relation d'isométrie.

A mon avis, même sans parler de structures ensemblistes, la première convention est plus "naturelle" et présente l'avantage d'être intuitivement cohérente avec l'usage courant de l'égalité en mathématiques qui se comprend grosso-modo comme "en fait c'est le même objet mathématique".
Avec la seconde convention, deux triangles pourraient être égaux tout en étant distincts dans le plan, ce qui pour un débutant est plutôt contre-intuitif (voire tortueux) d'autant plus que cela ne coûte pas très cher d'introduire un terme spécifique en parlant de triangles isométriques ou superposables pour décrire une propriété particulière vérifiée par deux triangles (qui éventuellement peuvent être distincts).

D'ailleurs tant qu'à accepter des "abus" de langage autour de l'égalité, on pourrait aussi décréter qu'il est correct de dire que "les équations 2x-3=0 et 2x=3 sont égales" puisqu'elles décrivent le même sous-ensemble de R ; pourquoi s'embarrasser alors du terme "équivalentes" ?

J'entends ces objections, je m'interroge comme toi, mais il faut reconnaître que le cours de géométrie façon Lebossé-Hemery ou cours des EPS était sacrément efficace et ceci auprès d'un large public. Tout ceci sans pour autant négliger la part théorique ni la construction du cours; les élèves se saisissaient bien de ces outils théoriques simplement formulés.

Dire que deux objets A et B sont égaux doit pouvoir s'écrire A=B. C'est particulièrement intéressant de le faire lorsqu'on manipule des objets qui s'inscrivent dans de bonnes structures algébriques car on peut faire évoluer cette expres​sion(au moins de façon additive), ne serait-ce qu'en A-B=0, qui permet déjà des choses que l'on ne devine pas dans A=B.  Donc déjà, pour revenir au titre, traiter de l'égalité des vecteurs ne se place pas au même niveau que pour les triangles et segments. Pour ma part, je ne vois pas quel intérêt on peut avoir à utiliser deux mots différents en leur associant le même concept.

Quel est l'intérêt de confondre N et Z_{+} ?

.

Peinard a écrit:

AndréC a écrit:Le fait de dire triangles égaux, va me compliquer la tâche puisque je vais devoir expliquer qu'il s'agit d'un abus de langage conservé pour des raisons historiques.

Parler d'un abus de langage aux élèves me semble être une erreur.

Comment allez-vous faire ?

Anaxagore a écrit:

J'entends ces objections, je m'interroge comme toi, mais il faut reconnaître que le cours de géométrie façon Lebossé-Hemery ou cours des EPS était sacrément efficace et ceci auprès d'un large public. Tout ceci sans pour autant négliger la part théorique ni la construction du cours; les élèves se saisissaient bien de ces outils théoriques simplement formulés.

Le cours de géométrie façon Lebossé-Hemery de 1947 s'adressait à une minorité sélectionnée.

En 1947, la très grande majorité des élèves (enfants de paysans) n'allaient pas au delà de l'école primaire (dont le niveau d'enseignement est à peu près équivalent à une classe de cinquième d'aujourd'hui, voire plus difficile).
A la fin du primaire, il y a avait le certificat d'étude, examen difficile qui remplissait de fierté ceux qui l'obtenaient.

Par la suite, le collège unique ne fut jamais unique, aujourd'hui il est unique puisque presque toute la totalité des enfants du primaire vont jusqu'en troisième sans possibilité de redoublement.

L'on n'enseigne plus aujourd'hui aux mêmes élèves qu'à l'époque. Ainsi, difficile de dire que la façon d'enseigner la géométrie à l'époque était plus accessible.
Personnellement, je ne crois pas. A l'époque la sélection était plus importante et était basée sur les résultats scolaire alors qu'aujourd'hui elle se fonde sur la capacité financière des parents à payer une école privée (ou des cours particuliers) à leurs enfants.

Le collège unique, c'est le collège du fric, mais c'est un autre débat...

.

AndréC a écrit:

Anaxagore a écrit:

J'entends ces objections, je m'interroge comme toi, mais il faut reconnaître que le cours de géométrie façon Lebossé-Hemery ou cours des EPS était sacrément efficace et ceci auprès d'un large public. Tout ceci sans pour autant négliger la part théorique ni la construction du cours; les élèves se saisissaient bien de ces outils théoriques simplement formulés.

Le cours de géométrie façon Lebossé-Hemery de 1947 s'adressait à une minorité sélectionnée.

En 1947, la très grande majorité des élèves (enfants de paysans) n'allaient pas au delà de l'école primaire (dont le niveau d'enseignement est à peu près équivalent à une classe de cinquième d'aujourd'hui, voire plus difficile).
A la fin du primaire, il y a avait le certificat d'étude, examen difficile qui remplissait de fierté ceux qui l'obtenaient.

Par la suite, le collège unique ne fut jamais unique, aujourd'hui il est unique puisque presque toute la totalité des enfants du primaire vont jusqu'en troisième sans possibilité de redoublement.

L'on n'enseigne plus aujourd'hui aux mêmes élèves qu'à l'époque. Ainsi, difficile de dire que la façon d'enseigner la géométrie à l'époque était plus accessible.
Personnellement, je ne crois pas. A l'époque la sélection était plus importante et était basée sur les résultats scolaire alors qu'aujourd'hui elle se fonde sur la capacité financière des parents à payer une école privée (ou des cours particuliers) à leurs enfants.

Le collège unique, c'est le collège du fric, mais c'est un autre débat...

Le cours de géométrie des Écoles primaires supérieures était excellent.