Égalité des triangles, des segments et des vecteurs ?

Moonchild a écrit:[...] à l'explication par le vocabulaire employé par les professeurs des écoles, j'en ajouterai une autre qui provient de la vie courante : dans le langage de tous les jours, lorsqu'on parle d'objets qui sont principalement caractérisés par une grandeur numérique particulière, il est fréquent que l'on assimile l'objet à cette grandeur et que l'on confonde l'égalité de cette grandeur avec l'égalité des objets sans que cela ne nuise à l'intelligibilité d'une conversation qui repose sur beaucoup d'implicites (on parle souvent de salaires égaux lorsqu'ils ont même le montant mais il est évident que deux employés ne touchent pas le même argent ; on parle parfois de trajets égaux pour signifier qu'ils ont même longueur ou même durée alors que tout le monde comprend qu'ils sont différents).

J'ai un peu l'impression qu'avec l'égalité des figures, la géométrie classique a opté pour une simplification du langage similaire à celle du quotidien, qui a été validée à l'usage dans la mesure où distinguer l'objet de la grandeur n'était pas une nécessité pour tenir un discours intelligible dans le cadre établi. En revanche, la formalisation des mathématiques opérée au siècle dernier impose très vite la nécessité d'une telle distinction sans laquelle les discours deviennent incompréhensibles voire incohérents. Là où, concernant le maniement des égalités, la géométrie "classique" pouvait s'accommoder d'un niveau de précision de langage assez proche de celui de la vie courante, ce formalisme ultérieur - qui a depuis prouvé son efficacité - suppose des exigences plus fortes. [...]

Le langage courant distingue égalité et identité: il ne manque pas de précision en cela, au contraire. (Mais c'est le concept d'identité, càd. celui qui donne "le même X" plutôt que "des X égaux" qui, quant à lui, reçoit des significations très différentes suivant le contexte, et parfois est ambigu; "des X égaux" n'est quasiment jamais ambigu, en tout cas je ne trouve guère d'exemples au débotté, et l'égalité de deux objets implique, couramment, leur distinction, autrement dit leur non-identité.)

Ce n'est que dans des contextes très spécifiques que l'égalité et l'identité reviennent au même. Il n'est pas surprenant que ce soit souvent le cas en mathématiques.

PauvreYorick a écrit:Le langage courant distingue égalité et identité: il ne manque pas de précision en cela, au contraire. (Mais c'est le concept d'identité, càd. celui qui donne "le même X" plutôt que "des X égaux" qui, quant à lui, reçoit des significations très différentes suivant le contexte, et parfois est ambigu; "des X égaux" n'est quasiment jamais ambigu, en tout cas je ne trouve guère d'exemples au débotté, et l'égalité de deux objets implique, couramment, leur distinction, autrement dit leur non-identité.)

Ce n'est que dans des contextes très spécifiques que l'égalité et l'identité reviennent au même. Il n'est pas surprenant que ce soit souvent le cas en mathématiques.

Je n'aurais jamais cru que ce serait Yorick qui viendrait remettre sur le tapis la question de l'identité.

Donc, finalement, la géométrie classique pourrait se contenter d'employer l'égalité plus ou moins dans le sens du langage courant tandis que la formalisation plus récente des mathématiques nécessite un glissement du sens de l'égalité vers ce qui est dans le langage courant désigné par l'identité (glissement qui avait sans doute déjà été effectué en algèbre). La question initiale de ce fil n'en demeure pas moins prégnante : ces deux acceptions peuvent-elles continuer à coexister sans dommage à l'intérieur des mathématiques ?

Bon j'interviens surement après la fin du débat, mais je voulais ajouter ma pensée à l'édifice de ce débat.

Primo :

définition du verbe définir dans le Larousse :

”Énoncer la nature, les qualités, les propriétés essentielles de l'être ou de la chose que le mot désigne ; donner sa définition."

Secundo :

• ”On nomme FIGURES ÉGALES deux figures que l'on peut transporter l'une sur l'autre, de manière à les faire coïncider exactement dans toutes leurs parties ; en un mot, deux figures égales sont une seule et même figure en deux places différentes."

Leçons de Géométrie élémentaire (Géométrie plane), page 1, Jacques Hadamard, ARMAND COLIN, 1898.

• ”Deux figures égales sont deux figures superposables."

Arithmétique et Géométrie – Classe de Cinquième – programme de 1960, page 133, Camille Lebossé, Corentin Hémery, FERNAND-NATHAN, 1958.


Si l'on vient à parler de transformation du plan, on parle de bijection de R² dans R². À moins de définir pour des collégiens, les ensembles et les applications, je pense que la notion d'égalité de figure doit être celle d'une définition du type de l'une de celles énoncées plus haut.

Plutôt que de parler de vecteurs égaux, parlons de vecteurs équipollents (du latin aequipollens signifiant « qui a une valeur égale »).

Le français est une langue polysémique, tout élève est capable de la comprendre s'il apprend le vocabulaire utilisé et en comprend le sens.

Les manuels scolaires actuels, sous prétexte de massification, d'imbécillité des élèves (pas plus que nous même ou nos congénère de l'époque), et de compétences valables ou non, se permettent de proposer des portions de cours au rabais (un autre débat déjà apparu sur le forum) : 2-3 pages de ”cours" et 10 à 15 pages d'exercices qui ne seront pas tous fait ni en classe ni à la maison...
Militons pour un retour de vrais manuels scolaires...

ycombe a écrit:

AndréC a écrit:
- je fais apprendre les tables de multiplication ce que n'apprécie pas l'inspecteur...

Qui considère donc que le fait qu'un collégien (futur citoyen) ait besoin d'une calculatrice pour calculer 6 fois 9 est normal.

Ses arguments ont été les suivants :
- Ce n'est pas efficace car tous ne les connaissent pas malgré tout ! Je ne connais pas d'enseignement efficace qui place tous les élèves en situation de réussite. Il y a toujours des échecs, c'est inévitable. Du reste, les élèves en échec à l'école primaire réussissent très bien cet exercice et en sont très fiers. Ce à quoi on m'a rétorqué l'efficacité !
- Si vous vouliez être efficace, vous les mettriez en binôme et chacun ferait réciter l'autre (j'imagine le bordel que cela va créer et le volume sonore)
- cela traumatise certains enfants (il y a en effet, chaque année, un enfant qui a peur de réciter les tables au tableau)
- que font les autres lorsqu'un élève les récite ? Chacun doit toujours être actif ! J'ai répondu qu'ils écoutent et apprennent en même temps. Ils font semblant m'a t-elle répondu, ce à quoi j'ai rétorqué qu'il en est de même pour les activités sur le papier et en îlots, les élèves peuvent aussi faire semblant de chercher...
C'est la méthode employée pour que les élèves apprenne qui a été l'objet de toutes ses récriminations.
S'il y a des inconvénients à cette façon de faire, elle a le mérite d'installer l'écoute et de leur apprendre à s'écouter mutuellement dès le début de l'année.
Et je ne me vois pas supporter le brouhaha créé par 15 élèves récitant en même temps les tables à son binôme. Il y a un seuil sonore que je ne peux pas supporter.

Moonchild a écrit:

AndréC a écrit:
Je n'en ai pas encore discuté avec les collègues professeurs des écoles et je ne sais pas si ce sont eux qui leur ont soufflé l'idée ou leur parents par réaction contre les mathématiques modernes,...

Je ne crois pas à l'hypothèse de la réaction des parents contre les maths modernes : les cas d'interventionnisme aussi ciblés - quasi experts - dans les questions pédagogiques doivent être quand même assez rares et puis, en terme de génération, l'apogée de cette réforme ne correspond plus tout-à-fait aux parents des collégiens actuels.

Les parents de mes élèves ne sont pas jeunes, ils ont le plus souvent plus de 50 ans et parfois sont retraités...

Moonchild a écrit:
On pourrait en quelque sorte dire que l'évolution des mathématiques a, à ce moment précis, fait apparaître une nouvelle exigence élémentaire ; sans cautionner les excès de la réforme des maths modernes, et sans vouloir faire table rase du passé, la géométrie du secondaire pouvait-elle vraiment continuer à totalement l'ignorer ?

Me concernant, je laisse aux collègues de lycée le plaisir d'introduire la théorie des ensembles.

bullddoo a écrit:Bon j'interviens surement après la fin du débat, mais je voulais ajouter ma pensée à l'édifice de ce débat.

Si l'on vient à parler de transformation du plan, on parle de bijection de R² dans R².

Le programme de cycle 4 parle de transformations mais en demandant explicitement de ne pas les définir comme des applications du plan, mais de les étudier au travers de leurs effets sur les figures. Je cite :

Les transformations font l'objet d’une première approche, consistant à observer leur effet sur des configurations planes, notamment au moyen d’un logiciel de géométrie.

[...]

la symétrie axiale a été introduite au cycle 3. La symétrie centrale est travaillée dès le début du cycle 4, en liaison avec le parallélogramme. Les translations, puis les rotations sont introduites en milieu de cycle, en liaison avec l'analyse ou la construction des frises, pavages et rosaces, mais sans définition formalisée en tant qu'applications ponctuelles. Une fois ces notions consolidées, les homothéties sont amenées en 3e , en lien avec les configurations de Thalès, la proportionnalité, les fonctions linéaires, les rapports d’agrandissement ou de réduction des grandeurs géométriques.

bullddoo a écrit:
À moins de définir pour des collégiens, les ensembles et les applications, je pense que la notion d'égalité de figure doit être celle d'une définition du type de l'une de celles énoncées plus haut.

C'est aussi ma conclusion.

AndréC a écrit:

ycombe a écrit:

AndréC a écrit:
- je fais apprendre les tables de multiplication ce que n'apprécie pas l'inspecteur...

Qui considère donc que le fait qu'un collégien (futur citoyen) ait besoin d'une calculatrice pour calculer 6 fois 9 est normal.

Ses arguments ont été les suivants :
- Ce n'est pas efficace car tous ne les connaissent malgré tout pas ! Je ne connais pas d'enseignement efficace qui place tous les élèves en situation de réussite. Il y a toujours des échecs, c'est inévitable. Du reste, les élèves en échec à l'école primaire réussissent très bien c'est exercice et en sont très fiers. Ce à quoi on m'a rétorqué l'efficacité !

Moyennant quoi il ne faut les exiger de personne. C'est l'égalité version EN: si on ne peut pas faire réussir tout le monde, alors on fait échouer tout le monde comme ça on réalise l'égalité. College2016 c'est exactement ça.

- Si vous vouliez être efficace, vous les mettriez en binôme et chacun ferait réciter l'autre (j'imagine le bordel que cela va créer et le volume sonore)

Il y a d'autres façons d'être efficace sur la question. Chacun peut, par exemple, écrire au brouillon la réponse avant que celui qui est au tableau ne la donne. Ou chacun peut travailler seul avec des flashcards ou en travaillant avec un tableau dont il cache la partie réponse.

- cela traumatise certains enfants (il y a en effet, chaque année, un enfant qui a peur de réciter les tables au tableau)

Et alors? Certains élèves ont peur de répondre collectivement. Il faut les y habituer et pas leur donner raison, sinon, ceux qui ne veulent pas travailler ont un bon prétexte.

- que font les autres lorsqu'un élève les récite ? Chacun doit toujours être actif ! J'ai répondu qu'ils écoutent et apprennent en même temps. Ils font semblant m'a t-elle répondu, ce à quoi j'ai rétorqué qu'il en est de même pour les activirtés sur le papier et en îlots, les élèves peuvent aussi faire semblant de chercher...
C'est la méthode employée pour que les élèves apprenne qui a été l'objet de toutes ses récriminations.
S'il y a des inconvénients à cette façon de faire, elle a le mérite d'installer l'écoute et de leur apprendre à s'écouter mutuellement dès le début de l'année.
Et je ne me vois pas supporter le brouhaha créé par 15 élèves récitant en même temps les tables à son binôme. Il y a un seuil sonore que je ne peux pas supporter.

Un IPR trouvera toujours des arguments pour un truc qui ne lui plaît pas. Dis lui que la réussite de tes élève est ton principal objectif et qu'elle passe par une maîtrise du calcul mental donc des tables, cela le calmera.

ycombe a écrit:

- Si vous vouliez être efficace, vous les mettriez en binôme et chacun ferait réciter l'autre (j'imagine le bordel que cela va créer et le volume sonore)

Il y a d'autres façons d'être efficace sur la question. Chacun peut, par exemple, écrire au brouillon la réponse avant que celui qui est au tableau ne la donne. Ou chacun peut travailler seul avec des flashcards ou en travaillant avec un tableau dont il cache la partie réponse.

Je n'ai pas d'appétence pour les activités du genre flashcard car cela me semble avoir un côté « quizz TV » qui me gêne.
La récitation des tables trouve un intérêt lorsque l'on fait faire les multiplications et les divisions aux élèves. Puisque à chaque étape on se place dans une table de multiplication.
De plus, les calculateurs prodiges procèdent ainsi : ils apprennent des tables par coeur...

Mais il est vrai qu'aujourd'hui, le par coeur est complètement décrié et je passe pour un réactionnaire...

AndréC a écrit:
Mais il est vrai qu'aujourd'hui, le par coeur est complètement décrié et je passe pour un réactionnaire...

Tu n'es pas seul.

AndréC a écrit:

ycombe a écrit:

AndréC a écrit:
- je fais apprendre les tables de multiplication ce que n'apprécie pas l'inspecteur...

Qui considère donc que le fait qu'un collégien (futur citoyen) ait besoin d'une calculatrice pour calculer 6 fois 9 est normal.

Ses arguments ont été les suivants :
- Ce n'est pas efficace car tous ne les connaissent malgré tout pas ! Je ne connais pas d'enseignement efficace qui place tous les élèves en situation de réussite. Il y a toujours des échecs, c'est inévitable. Du reste, les élèves en échec à l'école primaire réussissent très bien c'est exercice et en sont très fiers. Ce à quoi on m'a rétorqué l'efficacité !
- Si vous vouliez être efficace, vous les mettriez en binôme et chacun ferait réciter l'autre (j'imagine le bordel que cela va créer et le volume sonore)
- cela traumatise certains enfants (il y a en effet, chaque année, un enfant qui a peur de réciter les tables au tableau)
- que font les autres lorsqu'un élève les récite ? Chacun doit toujours être actif ! J'ai répondu qu'ils écoutent et apprennent en même temps. Ils font semblant m'a t-elle répondu, ce à quoi j'ai rétorqué qu'il en est de même pour les activirtés sur le papier et en îlots, les élèves peuvent aussi faire semblant de chercher...
C'est la méthode employée pour que les élèves apprenne qui a été l'objet de toutes ses récriminations.
S'il y a des inconvénients à cette façon de faire, elle a le mérite d'installer l'écoute et de leur apprendre à s'écouter mutuellement dès le début de l'année.
Et je ne me vois pas supporter le brouhaha créé par 15 élèves récitant en même temps les tables à son binôme. Il y a un seuil sonore que je ne peux pas supporter.

Ça suggère qu'on peut avoir appris ce qu'est une démonstration (en faculté de mathématiques) et ignorer totalement ce qu'est un argument. Ce qui est, ce me semble, impossible. Donc, par l'absurde, je crois que nous sommes contraints de conclure que là encore, la personne qui se présentait comme inspecteur / inspectrice était en réalité un / e comique payée pour un reality show qui tarde seulement à sortir ; il y avait sûrement une caméra quelque part.

N'empêche, qu'est-ce qu'on rigolera, quand la farce sera enfin dévoilée.

PauvreYorick a écrit:
Ça suggère qu'on peut avoir appris ce qu'est une démonstration (en faculté de mathématiques) et ignorer totalement ce qu'est un argument. Ce qui est, ce me semble, impossible. Donc, par l'absurde, je crois que nous sommes contraints de conclure que là encore, la personne qui se présentait comme inspecteur / inspectrice était en réalité un / e comique payée pour un reality show qui tarde seulement à sortir ; il y avait sûrement une caméra quelque part.

N'empêche, qu'est-ce qu'on rigolera, quand la farce sera enfin dévoilée.

Cela montre jusqu'à la caricature ce que signifie pour les IPR l'activité de l'élève : il faut qu'il soit en action, mais de façon visible, il faut qu'il bouge, que cela se voit, qu'il gigote. L'activité doit être théâtralisée.
Comme si le fait de réfléchir à un problème, d'écouter les autres, de se concentrer pouvait se voir, pouvait être tangible.

Nous sommes là pleinement dans ce que Bkouche appèle l'activisme pédagogique ici : L'enseignement scientifique entre l'illusion langagière et l'activisme pédagogique

Oui, certains confondent activité et agitation.

bullddoo a écrit:Bon j'interviens surement après la fin du débat, mais je voulais ajouter ma pensée à l'édifice de ce débat.

Primo :

définition du verbe définir dans le Larousse :

”Énoncer la nature, les qualités, les propriétés essentielles de l'être ou de la chose que le mot désigne ; donner sa définition."

Secundo :

• ”On nomme FIGURES ÉGALES deux figures que l'on peut transporter l'une sur l'autre, de manière à les faire coïncider exactement dans toutes leurs parties ; en un mot, deux figures égales sont une seule et même figure en deux places différentes."

Leçons de Géométrie élémentaire (Géométrie plane), page 1, Jacques Hadamard, ARMAND COLIN, 1898.

• ”Deux figures égales sont deux figures superposables."

Arithmétique et Géométrie – Classe de Cinquième – programme de 1960, page 133, Camille Lebossé, Corentin Hémery, FERNAND-NATHAN, 1958.


Si l'on vient à parler de transformation du plan, on parle de bijection de R² dans R². À moins de définir pour des collégiens, les ensembles et les applications, je pense que la notion d'égalité de figure doit être celle d'une définition du type de l'une de celles énoncées plus haut.

Plutôt que de parler de vecteurs égaux, parlons de vecteurs équipollents (du latin aequipollens signifiant « qui a une valeur égale »).

Le français est une langue polysémique, tout élève est capable de la comprendre s'il apprend le vocabulaire utilisé et en comprend le sens.

Je ne vois pas ce qui poserait problème avec les vecteurs égaux et qui inciterait à les qualifier plutôt d'équipollents ; si la polysémie de l'égalité n'est pas un obstacle pour des figures superposables, alors elle ne le sera pas davantage pour des vecteurs qui ont les mêmes propriétés essentielles de direction, de sens et de longueur (et qui à tout prendre ont plus en commun entre eux que deux segments égaux qui ne partagent que leur longueur ; du coup, l'équipollence - avoir une valeur égale - me semblerait plus indiquée pour les segments).
De plus, si on opte pour une géométrie "classique" avec équipollence pour les vecteurs, cela signifie que deux figures peuvent être égales lorsqu'elles sont tracées "en deux places différentes" ; en revanche deux vecteurs qui ne sont pas représentés au même endroit ne seraient pas égaux. C'est exactement le point de vue contraire à celui qui fonde la géométrie affine, ce qui fait qu'on se retrouverait avec deux géométries totalement cloisonnées qui n'auraient plus aucune complémentarité.
Accessoirement, ne pas s'autoriser l'égalité des vecteurs rend impossible le calcul vectoriel, ce qui fait perdre beaucoup d'intérêt à la notion... à moins de définir un symbole spécifique pour l'équipollence - après tout, pourquoi pas ?

AndréC a écrit:

Moonchild a écrit:
On pourrait en quelque sorte dire que l'évolution des mathématiques a, à ce moment précis, fait apparaître une nouvelle exigence élémentaire ; sans cautionner les excès de la réforme des maths modernes, et sans vouloir faire table rase du passé, la géométrie du secondaire pouvait-elle vraiment continuer à totalement l'ignorer ?

Me concernant, je laisse aux collègues de lycée le plaisir d'introduire la théorie des ensembles.

Je comprends parfaitement. Mais si je devais un jour introduire la théorie des ensembles au lycée, je crois bien que j'apprécierais qu'on ne me savonne pas la planche et donc que je préférerais encore qu'on ne fasse pas trop de géométrie au collège plutôt que de parler d'égalité des figures. "Heureusement", la question ne se pose pas actuellement où c'est un flou généralisé qui règne et où on valide des réponses qui ne respectent pas les conventions et les notations ; il est donc parfaitement superflu de se soucier de la cohérence de l'enseignement des mathématiques entre les différents niveaux.

Sinon, pour ton IPR, la prochaine fois qu'il vient, tu pourrais proposer aux élèves une activité mathématique à base de goudron et de plumes. :diable:

Moonchild a écrit:

AndréC a écrit:
Me concernant, je laisse aux collègues de lycée le plaisir d'introduire la théorie des ensembles.

Je comprends parfaitement. Mais si je devais un jour introduire la théorie des ensembles au lycée, je crois bien que j'apprécierais qu'on ne me savonne pas la planche et donc que je préférerais encore qu'on ne fasse pas trop de géométrie au collège plutôt que de parler d'égalité des figures. "Heureusement", la question ne se pose pas actuellement où c'est un flou généralisé qui règne et où on valide des réponses qui ne respectent pas les conventions et les notations.

Si j'ai pu introduire la théorie des ensembles à minima au collège, il est possible de faire de même au lycée.
J'ai toujours été très simple en définissant le plan de façon intuitive, puis le point comme étant la plus petite partie du plan.

Le simple fait d'avoir combattu l'idée d'égalité de segments a permis aux futurs matheux de percevoir de façon intuitive ce qu'est une classe d'équivalence.
En effet, dire que le vecteur AB est égal au vecteur CD induit nécessairement (dans un ensemble de points) que le point A n'appartient pas au vecteur AB et donc qu'aucun point ne peut appartenir à un vecteur. Cela donne une idée intuitive des vecteurs différente de celle donnée par les translations.

Moonchild a écrit:
Sinon, pour ton IPR, la prochaine fois qu'il vient, tu pourrais proposer aux élèves une activité mathématique à base de goudron et de plumes. :diable:

Ce n'était pas dans le cadre d'une inspection malheureusement, c'était dans le cadre d'une conversation sur les nouveaux programmes.

Ah oui je n'ai pas répondu à Moonchild. L'idée des bouquins que j'avais indiqués pour le collège entre 65 et 68 était de faire le programme de 45 en l'exposant d'une manière modernisée. Ce sont vraiment de très beaux livres.

ycombe a écrit:

AndréC a écrit:
Pour la plupart, un vecteur est une flèche, avec une extrémité tracée comme celle d'un segment, l'autre extrémité est une pointe.

Il faut lutter contre ça dès l'introduction des vecteurs. Un vecteur n'est pas une flèche et n'a pas d'extrémité. Si on veut représenter le vecteur avec un flèche, il faut dessiner la flèche partout (ce que n'avait pas hésité à faire ma prof de quatrième... oui, c'était en quatrième).

Je ne comprends pas ce que tu veux dire. En méca, on représente toujours les vecteurs avec une flèche.

Moonchild a écrit:

bullddoo a écrit:Bon j'interviens surement après la fin du débat, mais je voulais ajouter ma pensée à l'édifice de ce débat.

Primo :

définition du verbe définir dans le Larousse :

”Énoncer la nature, les qualités, les propriétés essentielles de l'être ou de la chose que le mot désigne ; donner sa définition."

Secundo :

• ”On nomme FIGURES ÉGALES deux figures que l'on peut transporter l'une sur l'autre, de manière à les faire coïncider exactement dans toutes leurs parties ; en un mot, deux figures égales sont une seule et même figure en deux places différentes."

Leçons de Géométrie élémentaire (Géométrie plane), page 1, Jacques Hadamard, ARMAND COLIN, 1898.

• ”Deux figures égales sont deux figures superposables."

Arithmétique et Géométrie – Classe de Cinquième – programme de 1960, page 133, Camille Lebossé, Corentin Hémery, FERNAND-NATHAN, 1958.


Si l'on vient à parler de transformation du plan, on parle de bijection de R² dans R². À moins de définir pour des collégiens, les ensembles et les applications, je pense que la notion d'égalité de figure doit être celle d'une définition du type de l'une de celles énoncées plus haut.

Plutôt que de parler de vecteurs égaux, parlons de vecteurs équipollents (du latin aequipollens signifiant « qui a une valeur égale »).

Le français est une langue polysémique, tout élève est capable de la comprendre s'il apprend le vocabulaire utilisé et en comprend le sens.

Je ne vois pas ce qui poserait problème avec les vecteurs égaux et qui inciterait à les qualifier plutôt d'équipollents ; si la polysémie de l'égalité n'est pas un obstacle pour des figures superposables, alors elle ne le sera pas davantage pour des vecteurs qui ont les mêmes propriétés essentielles de direction, de sens et de longueur (et qui à tout prendre ont plus en commun entre eux que deux segments égaux qui ne partagent que leur longueur ; du coup, l'équipollence - avoir une valeur égale - me semblerait plus indiquée pour les segments).
De plus, si on opte pour une géométrie "classique" avec équipollence pour les vecteurs, cela signifie que deux figures peuvent être égales lorsqu'elles sont tracées "en deux places différentes" ; en revanche deux vecteurs qui ne sont pas représentés au même endroit ne seraient pas égaux. C'est exactement le point de vue contraire à celui qui fonde la géométrie affine, ce qui fait qu'on se retrouverait avec deux géométries totalement cloisonnées qui n'auraient plus aucune complémentarité.
Accessoirement, ne pas s'autoriser l'égalité des vecteurs rend impossible le calcul vectoriel, ce qui fait perdre beaucoup d'intérêt à la notion... à moins de définir un symbole spécifique pour l'équipollence - après tout, pourquoi pas ?

Alors, j'ai mal du me faire comprendre, mais cela m'arrive régulièrement...
Le symbole utilisé pour deux vecteurs libres équipollents est le " = " qui fait l'essentiel du débat ici. D'ailleurs, qu'est-ce que sont deux objets égaux ?
Question : Faite-vous une différence entre les types de vecteurs suivants : "Libre", "Glissant" et "Lié" ? Il ne sont pas définit de la même manière.

Les différents types de géométrie sont liées les unes aux autres mais l'on accepte des propriétés sur certaines et pas sur d'autre.
L'élève doit savoir faire des exercices en géométrie affine, en géométrie vectoriel, en géométrie analytique, etc. : qui sont des géométries "classiques" !
Peu importe le vocabulaire, équipollent ou égal, le plus important est que l'enseignant doit avoir clairement définit la géométrie dans laquelle il est en train de développer une propriété, une définition ou un théorème.

Je préfère une géométrie verbeuse, sans utiliser de symbole, qui nuisent la plupart du temps à la compréhension.
L'absence de ces symboles dont les élèves ne sont pas forcement censé être compétent dans leur maniement avant la fin de la 3° est plutôt bénéfique...

La classe formée par des bipoints équipollents est un vecteur. La relation d'équipollence concerne les bipoints.

Anaxagore a écrit:La classe formée par des bipoints équipollents est un vecteur. La relation d'équipollence concerne les bipoints.

alors oui, et ... je tire encore une page d'un vieux manuel : Ligel, Cours de géométrie, Classe de Mathématiques, 1925.
On ne parle pas ici de relation (peut-être celle du parallélisme), ni de bipoint...

Je jetterai un oeil à la manière dont c'était présenté suivant les époques pré-modernes. Je ne me suis pas encore fait une religion en la matière.

J'aime bien la distinction vecteur libre/vecteur lié, quitte à la présenter éventuellement d'une manière modernisée.

bullddoo a écrit:Question : Faite-vous une différence entre les types de vecteurs suivants : "Libre", "Glissant" et "Lié" ? Il ne sont pas définit de la même manière.

Les vecteurs tels qu'on les utilise aujourd'hui en mathématiques sont par définition libres ; les notions de "vecteurs liés" et de "vecteurs glissants" sont essentiellement motivées par les applications en mécanique et en physique. Cela dit, même si je n'en vois pas d'application évidente interne aux mathématiques, je me dis qu'il ne serait peut-être pas inintéressant d'évoquer la notion de "vecteur lié" (par exemple en lien avec la représentation d'une force) pour mieux faire appréhender aux élèves le caractère libre des vecteurs tels qu'on les utilise en maths.

bullddoo a écrit:Les différents types de géométrie sont liées les unes aux autres mais l'on accepte des propriétés sur certaines et pas sur d'autre.
L'élève doit savoir faire des exercices en géométrie affine, en géométrie vectoriel, en géométrie analytique, etc. : qui sont des géométries "classiques" !
Peu importe le vocabulaire, équipollent ou égal, le plus important est que l'enseignant doit avoir clairement définit la géométrie dans laquelle il est en train de développer une propriété, une définition ou un théorème.

M'enfin il vaudrait quand même mieux éviter que le vocabulaire et les notations de deux types de géométries n'entrent en contradiction, sinon cela complique le passage de l'une à l'autre ; il n'est peut-être pas déraisonnable de chercher à uniformiser ces conventions.
D'autant plus qu'au niveau du secondaire, on n'en est pas encore à travailler avec plusieurs géométries dont les propriétés seraient fondamentalement différentes comme peuvent l'être la géométrie affine, la géométrie projective et la géométrie hyperbolique par exemple. En fait, dans le secondaire, on ne travaille véritablement qu'avec une seule géométrie qui sert à modéliser notre environnement quotidien et correspond à l'étude de ce qui a été formalisé en tant qu'espaces affines euclidiens de dimension 2 ou 3 sur R ; le calcul vectoriel, la géométrie analytique ou les propriétés des triangles ne sont que différents outils à l'intérieur d'une même géométrie et la question qui se pose ici est uniquement celle de la présentation qu'on en fera et de sa cohérence.

Anaxagore a écrit:Ah oui je n'ai pas répondu à Moonchild. L'idée des bouquins que j'avais indiqués pour le collège entre 65 et 68 était de faire le programme de 45 en l'exposant d'une manière modernisée. Ce sont vraiment de très beaux livres.

Présenté ainsi, ça m'a l'air d'aller dans le sens du compromis dont je parlais il y a quelques pages. Alors, justement, sur la question des figures égales/superposables, quelle option avait été retenue pour ces manuels ?

Anaxagore a écrit:J'aime bien la distinction vecteur libre/vecteur lié, quitte à la présenter éventuellement d'une manière modernisée.

Je trouve aussi que ça a une certaine pertinence. En définitive cela revient à réintroduire avec d'autres appellations la distinction vecteur/bipoint mais peut-être que ça passerait mieux.

"Superposables". Tout y est exposé d'une manière extrêmement scrupuleuse et choisie.

Anaxagore a écrit:"Superposables".

Alors a priori je n'ai pas d'objection à formuler ; c'est un peu dommage car j'adore objecter.

C'est de l'horlogerie fine. Trop fine peut-être. Ce serait la seule objection à faire et cela nous ferait retomber sur la solution Lebossé-Hemery.