Égalité des triangles, des segments et des vecteurs ?

jaybe a écrit:On peut ajouter une marque, par exemple un petit trait quelque part entre le 0 et le 1. Normalement la même marque n'apparaît pas spontanément ailleurs simultanément

Alors, l'élève va faire un grand sourire et vous dire « Si » en déplaçant sa règle pour que la marque qui était à un endroit précis sur son cahier soit désormais pile poil à l'endroit de l'autre.

Est-il plus logique de penser que deux objets sont égaux lorsque tout ce qui arrive à l'un arrive aussi à l'autre (si possible, simultanément), ou [lors]que tout ce qui arrive à l'un pourrait arriver à l'autre (sauf que c'est à peu près, parce que ce n'est pas forcément très précis...) ?

AndréC a écrit:

jaybe a écrit:Je ne comprends pas ton "non justement" : on est bien d'accord sur le fait que la manipulation permet de travailler la notion de longueur et qu'il n'y a aucun problème à parler d'égalité de longueurs.

Pour un élève de cycle 3 (ou 4 d'ailleurs), lui dire que la matière plastique entre les graduations 0 et 1 n'est pas la même que celle entre les graduations 1 et 2 n'est en rien trivail.
Il dira que si c'est du plastique. et si vous lui dites le morceau de plastique qui est là n'est pas là-bas, il va vous répondre que c'est encore du plastique.

Je crois qu'il pourra quand même comprendre que, bien qu'ils soient faits du même plastique, ce ne sont pas les mêmes morceaux.

AndréC a écrit:

jaybe a écrit:On peut ajouter une marque, par exemple un petit trait quelque part entre le 0 et le 1. Normalement la même marque n'apparaît pas spontanément ailleurs simultanément

Alors, l'élève va faire un grand sourire et vous dire « Si » en déplaçant sa règle pour que la marque qui était à un endroit précis sur son cahier soit désormais pile poil à l'endroit de l'autre.

Evidemment si cet élève a fait la marque sur son cahier plutôt que sur la règle, son cas va être plus difficile ; celui-là, il va falloir lui acheter une règle à motifs multicolores et irréguliers.

Autre question : si l'élève superpose une règle en plastique sur une règle en métal, en vertu de l'égalité des segments, le plastique se transforme-t-il en métal ?
Si c'est le cas, je crois bien que nous venons de résoudre un très vieux problème.

jaybe a écrit:Est-il plus logique de penser que deux objets sont égaux lorsque tout ce qui arrive à l'un arrive aussi à l'autre (si possible, simultanément), ou [lors]que tout ce qui arrive à l'un pourrait arriver à l'autre (sauf que c'est à peu près, parce que ce n'est pas forcément très précis...) ?

En cycle 3, pour un élève dire «  c'est logique » est en soi un argument que ces derniers pensent irréfutable et définitif.
Par exemple, pour le problème suivant en sixième, non annoncé comme étant ou non de proportionnalité

Dans une vinaigrette, je mets 3 cuillères d’huile pour 2 cuillères de vinaigre. Pour
8 cuillères de vinaigre, combien dois-je mettre de cuillères d’huile?

Il y a eu un grand débat dans la classe entre ceux qui ont répondu

il faut 9 cuillères d'huile car on a ajouté une cuillère d'huile de plus (2 + 1 = 3), c'est logique

et ceux qui ont dit,

non 2 x 4 = 8, donc 3 x 4 = 12, donc il faut 12 cuillères d'huile, c'est logique

Les élèves des deux camps étaient convaincu tous les deux d'être logique et d'avoir raison. Comme j'ai refusé de prendre parti pour un camp ou pour l'autre, arguant que chaque camp dit de faire une opération, l'un une addition, l'autre une multiplication,  et qu'a priori il n'y a pas de raison valable pour dire que telle opération est « mieux » que l'autre. Dire « c'est logique » n'est pas un argument.

L'un d'eux a fini par convaincre tout le monde en ayant cet argument :

En fait, si on fait 4 vinaigrettes...

Notons que pour faire de la carbonara, on met un jaune d'oeuf par personne plus un jaune d'oeuf pour le plat.

Donc 3 jaunes d'oeufs pour deux personnes, et 17 jaunes d'oeufs pour seize personnes.

Mais je ne voudrais pas semer la zizanie

Moonchild a écrit:Je crois qu'il pourra quand même comprendre que, bien qu'ils soient faits du même plastique, ce ne sont pas les mêmes morceaux.

Bien sûr, il sait que ce n'est pas le même morceau. ce qui va lui poser problème, c'est qu'il a passé son temps à faire des manipulations pour induire la notion de grandeur. Et qu'ayant beaucoup travaillé les grandeurs, il ne va pas comprendre où vous voulez en venir avec cette histoire de truc qui n'est pas à la même place.
Vous raisonnez déjà dans un ensemble de point, lui non.

PauvreYorick a écrit:Notons que pour faire de la carbonara, on met un jaune d'oeuf par personne plus un jaune d'oeuf pour le plat.

Donc 3 jaunes d'oeufs pour deux personnes, et 17 jaunes d'oeufs pour seize personnes.

Mais je ne voudrais pas semer la zizanie

Pour une omelette, ma mère met deux oeufs par personne et un pour la poêle.

Vous me donnez une très bonne idée d'exercice pour les sixièmes...

AndréC a écrit:

jaybe a écrit:Est-il plus logique de penser que deux objets sont égaux lorsque tout ce qui arrive à l'un arrive aussi à l'autre (si possible, simultanément), ou [lors]que tout ce qui arrive à l'un pourrait arriver à l'autre (sauf que c'est à peu près, parce que ce n'est pas forcément très précis...) ?

En cycle 3, pour un élève dire «  c'est logique » est en soi un argument que ces derniers pensent irréfutable et définitif.

Donc on est d'accord sur le fait que l'on ne peut pas décréter que seul l'un de ces deux points de vue est "le bon" ? Ou alors à vous de trouver les 4 vinaigrettes qui règleront le problème...

jaybe a écrit:
Donc on est d'accord sur le fait que l'on ne peut pas décréter que seul l'un de ces deux points de vue est "le bon" ? Ou alors à vous de trouver les 4 vinaigrettes qui règleront le problème...

Tout a fait, j'ai simplement dit avoir été personnellement convaincu par Bkouche et ycombe.

jaybe a écrit:
Donc on est d'accord sur le fait que l'on ne peut pas décréter que seul l'un de ces deux points de vue est "le bon" ? Ou alors à vous de trouver les 4 vinaigrettes qui règleront le problème...

Je tente :

En cycle 3 et en cycle 4 les élèves travaillent en réalité sur un ensemble de figures (triangles, quadrilatères, etc) et non pas sur un ensemble de points.
De ce point de vue, un point n'est qu'un élément remarquable, une commodité qui permet de nommer une figure mais ce n'est pas un élément qui a besoin en soi d'être défini rigoureusement.

AndréC a écrit:

jaybe a écrit:Est-il plus logique de penser que deux objets sont égaux lorsque tout ce qui arrive à l'un arrive aussi à l'autre (si possible, simultanément), ou [lors]que tout ce qui arrive à l'un pourrait arriver à l'autre (sauf que c'est à peu près, parce que ce n'est pas forcément très précis...) ?

En cycle 3, pour un élève dire «  c'est logique » est en soi un argument que ces derniers pensent irréfutable et définitif.
Par exemple, pour le problème suivant en sixième, non annoncé comme étant ou non de proportionnalité

Dans une vinaigrette, je mets 3 cuillères d’huile pour 2 cuillères de vinaigre. Pour
8 cuillères de vinaigre, combien dois-je mettre de cuillères d’huile?

Il y a eu un grand débat dans la classe entre ceux qui ont répondu

il faut 9 cuillères d'huile car on a ajouté une cuillère d'huile de plus (2 + 1 = 3), c'est logique

et ceux qui ont dit,

non 2 x 4 = 8, donc 3 x 4 = 12, donc il faut 12 cuillères d'huile, c'est logique

Les élèves des deux camps étaient convaincu tous les deux d'être logique et d'avoir raison. Comme j'ai refusé de prendre parti pour un camp ou pour l'autre, arguant que chaque camp dit de faire une opération, l'un une addition, l'autre une multiplication,  et qu'a priori il n'y a pas de raison valable pour dire que telle opération est « mieux » que l'autre. Dire « c'est logique » n'est pas un argument.

L'un d'eux a fini par convaincre tout le monde en ayant cet argument :

En fait si on fait 4 vinaigrettes...

C'est la version cuisine du puzzle de Brousseau.

L'histoire est très amusante et bien menée, et on peut louer l'imagination de celui qui a pensé à faire 4 vinaigrettes. Celui-ci sera matheux ou cuisto, c'est certain.

Je ne pense pas être dans l'erreur si j'affirme qu'il s'agissait d'une activité d'introduction à la proportionnalité. Par contre, et je le dis sans intention d'être agressif, c'est une activité que personnellement j'éviterais. Elle présente des inconvénients que je trouve importants: risque important de mémorisation d'une solution fausse, mémorisation d'autre chose que de la méthode visée (par exemple la recette de la vinaigrette), chronophage.

Je pense en général qu'au niveau des pédagogies utilisées en mathématiques, il est temps de faire un peu de ménage. Les situations-problèmes méritent de rejoindre les bipoints équipollents dans les poubelles de l'histoire de l'enseignement des mathématiques au primaire et au collège.

Je ne remets pas en cause le fait que le point ne soit pas défini rigoureusement pour les élèves (tout comme bon nombre d'objets mathématiques !).

Ce point de vue (ensemble de figures puis ensemble de points) semble faire l'impasse sur la notion d'alignement qui est travaillée très tôt "hors-figure".

AndréC a écrit:

Moonchild a écrit:Je crois qu'il pourra quand même comprendre que, bien qu'ils soient faits du même plastique, ce ne sont pas les mêmes morceaux.

Bien sûr, il sait que ce n'est pas le même morceau. ce qui va lui poser problème, c'est qu'il a passé son temps à faire des manipulations pour induire la notion de grandeur. Et qu'ayant beaucoup travaillé les grandeurs, il ne va pas comprendre où vous voulez en venir avec cette histoire de truc qui n'est pas à la même place.
Vous raisonnez déjà dans un ensemble de point, lui non.

Je ne crois pas qu'il soit nécessaire d'en passer par une vision ensembliste : après avoir manipulé des baguettes, ficelles ou encore bandelettes de papier, un élève de primaire devrait observer que deux objets différents peuvent avoir une caractéristique commune qui sera appelée "longueur", tout comme ils peuvent avoir une autre caractéristique commune appelée "couleur" (d'ailleurs pourquoi dans le langage courant ne dit-on pas que deux couleurs sont égales ?) ; je pense qu'un élève standard de cycle 3 ou 4 est apte à comprendre que ces deux objets qui ont même longueur ou bien même couleur sont tout de même distincts et il n'a aucune raison de décréter qu'ils sont "égaux" en tant qu'objets sauf si on lui souffle l'idée. De même, si on lui donne deux figures géométriques de mêmes dimensions, le fait qu'elles ne soient pas dessinées au même endroit de la feuille devrait suffire à lui faire appréhender que, bien qu'elles aient les mêmes caractéristiques de longueurs, il ne s'agit pas du même objet physique.

Bien sûr, tout comme on dit parfois que deux joueurs du Tiercé qui ont misé la même somme sur les mêmes chevaux ont empoché des "gains égaux" alors que les billets donnés à l'un ne sont pas les mêmes billets que ceux donnés à l'autre, on peut parfaitement employer le raccourci "segments égaux" pour "segments de longueurs égales" et étendre ensuite l'idée à d'autres figures. Mais le PMU n'a pas la même prétention que le mathématicien à formaliser une théorie cohérente et, si le raccourci "figures égales" s'avère assez commode en pratique, il devient franchement embarrassant le jour où on est confronté à une approche ensembliste de la géométrie. D'une certaine manière, une géométrie de collège qui parlerait de "figures égales" serait aujourd'hui une géométrie qui ferait sécession avec la poursuite d'études mathématiques - sauf à considérer que, au fur et à mesure, les élèves oublient tout ce qu'ils ont appris précédemment.

ycombe a écrit:

AndréC a écrit:
Les élèves des deux camps étaient convaincu tous les deux d'être logique et d'avoir raison. Comme j'ai refusé de prendre parti pour un camp ou pour l'autre, arguant que chaque camp dit de faire une opération, l'un une addition, l'autre une multiplication, et qu'a priori il n'y a pas de raison valable pour dire que telle opération est « mieux » que l'autre. Dire « c'est logique » n'est pas un argument.

L'un d'eux a fini par convaincre tout le monde en ayant cet argument :
En fait, si on fait 4 vinaigrettes...

C'est la version cuisine du puzzle de Brousseau.

L'histoire est très amusante et bien menée, et on peut louer l'imagination de celui qui a pensé à faire 4 vinaigrettes. Celui-ci sera matheux ou cuisto, c'est certain.

Je ne pense pas être dans l'erreur si j'affirme qu'il s'agissait d'une activité d'introduction à la proportionnalité. Par contre, et je le dis sans intention d'être agressif, c'est une activité que personnellement j'éviterais. Elle présente des inconvénients que je trouve importants: risque important de mémorisation d'une solution fausse, mémorisation d'autre chose que de la méthode visée (par exemple la recette de la vinaigrette), chronophage.

Je pense en général qu'au niveau des pédagogies utilisées en mathématiques, il est temps de faire un peu de ménage. Les situations-problèmes méritent de rejoindre les bipoints équipollents dans les poubelles de l'histoire de l'enseignement des mathématiques au primaire et au collège.

En effet, c'est un exercice de la série d'introduction à la proportionnalité du manuel « Des maths ensemble et pour chacun » édités par le CRDP de Nantes qui a servi de base à la conception des nouveaux programmes.
La série intégrale des 12 est ici : http://edition.crdp-nantes.fr/fileadmin/edition/edition_num/math_6e/fichiers_15_sequences/sequence_07/sequence_7_enonces_des_exercices.pdf

Cette série s'effectue d'abord au tableau avec des problèmes divers qui relèvent ou non de la proportionnalité. Les auteurs disent que le temps passé dans les exercices préliminaires donnant du sens est un investissement rentable qui permet d'aller plus vite dans les exercices de technicité.

Je n'ai pas géré exactement comme les auteurs cette série de 12 puisque les élèves n'ont jamais employé le mot « proportionnel » ni « proportionnalité » alors que les auteurs interrogent les élèves à chaque exercice de  cette série pour savoir si les deux grandeurs doublent en même temps, etc. Bref, j'ai été encore moins directif qu'eux.

Cette histoire de vinaigrette a permis de dire que selon les solutions, ce qui change c'est le goût car les proportions changent (on avait déjà étudié les fractions).
Puis comme le font les auteurs, on classifie les problèmes en identifiant les grandeurs et on dit pourquoi le problème est ou n'est pas de proportionnalité.
Je verrai si le temps passé (long) à faire cette série est un investissement rentable. Ce qui est certain, c'est que beaucoup de monde a des problèmes avec çà. J'ai passé mon enfance à faire les calculs pour que ma mère fasse des gâteaux pour 8 alors qu'à l'époque les recettes étaient donné pour 6 car elle ne comprend rien à ces problèmes, ce qui rend difficile la pâtisserie.

Moonchild a écrit:
Je ne crois pas qu'il soit nécessaire d'en passer par une vision ensembliste : après avoir manipulé des baguettes, ficelles ou encore bandelettes de papier, un élève de primaire devrait observer que deux objets différents peuvent avoir une caractéristique commune qui sera appelée "longueur", tout comme ils peuvent avoir une autre caractéristique commune appelée "couleur" (d'ailleurs pourquoi dans le langage courant ne dit-on pas que deux couleurs sont égales ?) ; je pense qu'un élève standard de cycle 3 ou 4 est apte à comprendre que ces deux objets qui ont même longueur ou bien même couleur sont tout de même distincts et il n'a aucune raison de décréter qu'ils sont "égaux" en tant qu'objets sauf si on lui souffle l'idée.

Je n'en ai pas encore discuté avec les collègues professeurs des écoles et je ne sais pas si ce sont eux qui leur ont soufflé l'idée ou leur parents par réaction contre les mathématiques modernes, mais je n'ai jamais entendu un seul élève dire autre chose, même chez ceux dont les parents sont prof de maths dans le supérieur.
Leurs mioches usent du même vocabulaire en classe que les autres et disent aussi « segments égaux », en revanche ils me demandent (contrairement aux autres) pourquoi les segments ne sont pas égaux lorsque je les corrige.
Bref, tel que je le vois, c'est un vocabulaire installé chez tous les élèves. Et seuls ceux qui ont un environnement familial privilégié entendent la nuance. Les autres ne disent rien et plient devant l'argument d'autorité.

Moonchild a écrit:
si le raccourci "figures égales" s'avère assez commode en pratique, il devient franchement embarrassant le jour où on est confronté à une approche ensembliste de la géométrie. D'une certaine manière, une géométrie de collège qui parlerait de "figures égales" serait aujourd'hui une géométrie qui ferait sécession avec la poursuite d'études mathématiques - sauf à considérer que, au fur et à mesure, les élèves oublient tout ce qu'ils ont appris précédemment.

C'est exactement le problème de ce fil de discussion et nécessairement, parler de triangles égaux et de segments égaux au collège va nécessiter que les professeurs de lycée fassent le point en géométrie (si je peux me permettre) en définissant proprement le plan, le point, dire ce qu'est un ensemble de points  et définir l'égalité des ensembles.
Sans quoi, les élèves seront en effet paumés.

jaybe a écrit:Je ne remets pas en cause le fait que le point ne soit pas défini rigoureusement pour les élèves (tout comme bon nombre d'objets mathématiques !).

Ce point de vue (ensemble de figures puis ensemble de points) semble faire l'impasse sur la notion d'alignement qui est travaillée très tôt "hors-figure".

Les problèmes de points alignés sont désormais vu par l'intermédiaire des angles. Les droites remarquables ont disparu du nouveau programme.

AndréC a écrit:
Cette série s'effectue d'abord au tableau avec des problèmes divers qui relèvent ou non de la proportionnalité. Les auteurs disent que le temps passé dans les exercices préliminaires donnant du sens est un investissement rentable qui permet d'aller plus vite dans les exercices de technicité.

La réponse qu'on peut faire aux auteurs, c'est : "quelles sont vos preuves ?". Je lis pas mal de choses sur la question et je n'y crois pas une seule seconde.

Si on prend l'exemple donné, le principal risque est que les élèves qui sont partis avec la mauvaise solution la gardent plus en mémoire que la bonne. Ils ont passé du temps à y réfléchir et à réfléchir à des arguments pour convaincre les autres. Le cerveau n'est pas bon du tout dans la réflexion, mais il est très efficace dans la mémorisation. Il mémorise donc ce sur quoi il a passé du temps pour éviter d'avoir à refaire ce travail. Le risque est donc grand que ces élèves aient mieux mémorisé la solution fausse que la bonne. Dans ce cas, il sera d'autant plus long de désapprendre la mauvaise solution pour apprendre la bonne.

Je pense qu'il faut être très prudent avec ce genre d'activité. Y aller avec une patte en avant et une autre déjà sur le recul.

Je verrai lors de l'évaluation si des élèves ont vraiment changé de camp.

Concernant les automatismes de pensée, le bachotage est complètement inefficace. J'hérite d'élèves ayant beaucoup bachoté le calcul littéral en cinquième ainsi que les calculs fractionnaires et aucune erreur ne les effraie.
Le simple fait d'écrire un calcul les rassure. Autant ils peuvent effectuer les calculs fractionnaires imposés sans se tromper, autant dès qu'il s'agit d'un problème fractionnaire, ils se vautrent complètement.

Ils choisissent les opérations au hasard ou selon leur intuition. ils n'ont même pas le réflexe de vérifier la vraisemblance de leur réponse.

A mon avis, si cette façon de faire ne fera pas mieux, elle ne fera pas pire non plus.

ycombe a écrit:
Si on prend l'exemple donné, le principal risque est que les élèves qui sont partis avec la mauvaise solution la gardent plus en mémoire que la bonne. Ils ont passé du temps à y réfléchir et à réfléchir à des arguments pour convaincre les autres. Le cerveau n'est pas bon du tout dans la réflexion, mais il est très efficace dans la mémorisation. Il mémorise donc ce sur quoi il a passé du temps pour éviter d'avoir à refaire ce travail. Le risque est donc grand que ces élèves aient mieux mémorisé la solution fausse que la bonne. Dans ce cas, il sera d'autant plus long de désapprendre la mauvaise solution pour apprendre la bonne.

D'un autre côté, on peut supposer que le fait d'avoir eu tort crée une émotion désagréable qui soit pour ces derniers un garde-fou qui les rendent beaucoup plus prudents.  
Et on peut supposer que le fait d'avoir compris la solution donnée a créé une émotion agréable car, me semble-t-il, on ressent toujours une émotion agréable lorsque l'on pige ou trouve une solution.

Mais comme je n'ai jamais lu de travaux sur ce sujet, si vous avez des sources, je prends.

AndréC a écrit:

ycombe a écrit:
Si on prend l'exemple donné, le principal risque est que les élèves qui sont partis avec la mauvaise solution la gardent plus en mémoire que la bonne. Ils ont passé du temps à y réfléchir et à réfléchir à des arguments pour convaincre les autres. Le cerveau n'est pas bon du tout dans la réflexion, mais il est très efficace dans la mémorisation. Il mémorise donc ce sur quoi il a passé du temps pour éviter d'avoir à refaire ce travail. Le risque est donc grand que ces élèves aient mieux mémorisé la solution fausse que la bonne. Dans ce cas, il sera d'autant plus long de désapprendre la mauvaise solution pour apprendre la bonne.

D'un autre côté, on peut supposer que le fait d'avoir eu tort crée une émotion désagréable qui soit pour ces derniers un garde-fou qui les rendent beaucoup plus prudents.  
Et on peut supposer que le fait d'avoir compris la solution donnée a créé une émotion agréable car, me semble-t-il, on ressent toujours une émotion agréable lorsque l'on pige ou trouve une solution.

Mais comme je n'ai jamais lu de travaux sur ce sujet, si vous avez des sources, je prends.

C'est bien pour ça que ce sont des preuves qui sont attendus, pas des discours. Par preuve on entend des études empiriques qui comparent effectivement les deux approches.

Le risque que le mémorisation finale ne soit pas ce qui est attendu est pointé chez Willingham dans Pourquoi les enfants n'aiment pas l'école ? Sinon, le procès des pédagogies non guidées est menée dans http://projects.ict.usc.edu/itw/vtt/Constructivism_Kirschner_Sweller_Clark_EP_06.pdf

Une discussion plus accessible se trouve sur le blog Pragmatic Education:
https://pragmaticreform.wordpress.com/2013/03/23/science-learning/

Pour les mathématiques, une intéressante lecture en français est:
http://www.persee.fr/doc/psy_0003-5033_2006_num_106_1_30902

ycombe a écrit:

AndréC a écrit:
Cette série s'effectue d'abord au tableau avec des problèmes divers qui relèvent ou non de la proportionnalité. Les auteurs disent que le temps passé dans les exercices préliminaires donnant du sens est un investissement rentable qui permet d'aller plus vite dans les exercices de technicité.

La réponse qu'on peut faire aux auteurs, c'est : "quelles sont vos preuves ?". Je lis pas mal de choses sur la question et je n'y crois pas une seule seconde.

Je viens de poster la question sur le forum dédié de ce livre.

Personnellement, je ne respecte pas à la lettre la méthode des auteurs de ce livre car j'avais essayé en début de carrière le puzzle de Brousseau et je n'avais pas été convaincu par les résultats.
Ainsi, je mélange un peu de tout (au risque du n'importe quoi)
- en géométrie, lors de l'apprentissage des techniques de construction, je suis carrément directif, mais j'explique le pourquoi des constructions
- je fais apprendre les tables de multiplication ce que n'apprécie pas l'inspecteur...
- je traite un seul chapitre en même temps sur 15 jours et non pas plusieurs notions en parallèle (progression spiralée)
- je ne pratique pas le travail en îlots ou alors de façon occasionnelle
- en sixième, cette année je teste l'apprentissage de la technique des opérations et des tables comme le dit Michel Delord (que vous avez déjà cité) en effectuant chaque jour une opération  http://micheldelord.info

AndréC a écrit:
- je fais apprendre les tables de multiplication ce que n'apprécie pas l'inspecteur...

Qui considère donc que le fait qu'un collégien (futur citoyen) ait besoin d'une calculatrice pour calculer 6 fois 9 est normal.

Six fois neuf. Quarante-deux.
C'est tout. Il n'y a rien d'autre.

:triste3:

AndréC a écrit:

Moonchild a écrit:
Je ne crois pas qu'il soit nécessaire d'en passer par une vision ensembliste : après avoir manipulé des baguettes, ficelles ou encore bandelettes de papier, un élève de primaire devrait observer que deux objets différents peuvent avoir une caractéristique commune qui sera appelée "longueur", tout comme ils peuvent avoir une autre caractéristique commune appelée "couleur" (d'ailleurs pourquoi dans le langage courant ne dit-on pas que deux couleurs sont égales ?) ; je pense qu'un élève standard de cycle 3 ou 4 est apte à comprendre que ces deux objets qui ont même longueur ou bien même couleur sont tout de même distincts et il n'a aucune raison de décréter qu'ils sont "égaux" en tant qu'objets sauf si on lui souffle l'idée.

Je n'en ai pas encore discuté avec les collègues professeurs des écoles et je ne sais pas si ce sont eux qui leur ont soufflé l'idée ou leur parents par réaction contre les mathématiques modernes, mais je n'ai jamais entendu un seul élève dire autre chose, même chez ceux dont les parents sont prof de maths dans le supérieur.
Leurs mioches usent du même vocabulaire en classe que les autres et disent aussi « segments égaux », en revanche ils me demandent (contrairement aux autres) pourquoi les segments ne sont pas égaux lorsque je les corrige.
Bref, tel que je le vois, c'est un vocabulaire installé chez tous les élèves. Et seuls ceux qui ont un environnement familial privilégié entendent la nuance. Les autres ne disent rien et plient devant l'argument d'autorité.

Je ne crois pas à l'hypothèse de la réaction des parents contre les maths modernes : les cas d'interventionnisme aussi ciblés - quasi experts - dans les questions pédagogiques doivent être quand même assez rares et puis, en terme de génération, l'apogée de cette réforme ne correspond plus tout-à-fait aux parents des collégiens actuels.

Mais, à l'explication par le vocabulaire employé par les professeurs des écoles, j'en ajouterai une autre qui provient de la vie courante : dans le langage de tous les jours, lorsqu'on parle d'objets qui sont principalement caractérisés par une grandeur numérique particulière, il est fréquent que l'on assimile l'objet à cette grandeur et que l'on confonde l'égalité de cette grandeur avec l'égalité des objets sans que cela ne nuise à l'intelligibilité d'une conversation qui repose sur beaucoup d'implicites (on parle souvent de salaires égaux lorsqu'ils ont même le montant mais il est évident que deux employés ne touchent pas le même argent ; on parle parfois de trajets égaux pour signifier qu'ils ont même longueur ou même durée alors que tout le monde comprend qu'ils sont différents).

J'ai un peu l'impression qu'avec l'égalité des figures, la géométrie classique a opté pour une simplification du langage similaire à celle du quotidien, qui a été validée à l'usage dans la mesure où distinguer l'objet de la grandeur n'était pas une nécessité pour tenir un discours intelligible dans le cadre établi. En revanche, la formalisation des mathématiques opérée au siècle dernier impose très vite la nécessité d'une telle distinction sans laquelle les discours deviennent incompréhensibles voire incohérents. Là où, concernant le maniement des égalités, la géométrie "classique" pouvait s'accommoder d'un niveau de précision de langage assez proche de celui de la vie courante, ce formalisme ultérieur - qui a depuis prouvé son efficacité - suppose des exigences plus fortes.
On pourrait en quelque sorte dire que l'évolution des mathématiques a, à ce moment précis, fait apparaître une nouvelle exigence élémentaire ; sans cautionner les excès de la réforme des maths modernes, et sans vouloir faire table rase du passé, la géométrie du secondaire pouvait-elle vraiment continuer à totalement l'ignorer ?

Moonchild a écrit:[...] à l'explication par le vocabulaire employé par les professeurs des écoles, j'en ajouterai une autre qui provient de la vie courante : dans le langage de tous les jours, lorsqu'on parle d'objets qui sont principalement caractérisés par une grandeur numérique particulière, il est fréquent que l'on assimile l'objet à cette grandeur et que l'on confonde l'égalité de cette grandeur avec l'égalité des objets sans que cela ne nuise à l'intelligibilité d'une conversation qui repose sur beaucoup d'implicites (on parle souvent de salaires égaux lorsqu'ils ont même le montant mais il est évident que deux employés ne touchent pas le même argent ; on parle parfois de trajets égaux pour signifier qu'ils ont même longueur ou même durée alors que tout le monde comprend qu'ils sont différents).

J'ai un peu l'impression qu'avec l'égalité des figures, la géométrie classique a opté pour une simplification du langage similaire à celle du quotidien, qui a été validée à l'usage dans la mesure où distinguer l'objet de la grandeur n'était pas une nécessité pour tenir un discours intelligible dans le cadre établi. En revanche, la formalisation des mathématiques opérée au siècle dernier impose très vite la nécessité d'une telle distinction sans laquelle les discours deviennent incompréhensibles voire incohérents. Là où, concernant le maniement des égalités, la géométrie "classique" pouvait s'accommoder d'un niveau de précision de langage assez proche de celui de la vie courante, ce formalisme ultérieur - qui a depuis prouvé son efficacité - suppose des exigences plus fortes. [...]

Le langage courant distingue égalité et identité: il ne manque pas de précision en cela, au contraire. (Mais c'est le concept d'identité, càd. celui qui donne "le même X" plutôt que "des X égaux" qui, quant à lui, reçoit des significations très différentes suivant le contexte, et parfois est ambigu; "des X égaux" n'est quasiment jamais ambigu, en tout cas je ne trouve guère d'exemples au débotté, et l'égalité de deux objets implique, couramment, leur distinction, autrement dit leur non-identité.)

Ce n'est que dans des contextes très spécifiques que l'égalité et l'identité reviennent au même. Il n'est pas surprenant que ce soit souvent le cas en mathématiques.