[Maths 2de] Démontrations des propriétés du cours ?

Mathador a écrit:

amelien a écrit:Je n'ai pas si c'est approprié au sujet, mais j'ai toujours noté chez les secondes qu'ils résolvent x+a=b par x+a-a=b-a et qu'il résolvent de même xa=b par xa/a=b/a. C'est normal puisqu'ils étaient collégiens un an plus tôt, mais c'est handicapant pour la suite, surtout que certains conservent ces habitudes en première. Donc j'imagine que ce n'est pas inutile de leur rappeler comment résoudre une équation directement en passant les termes d'un côté à l'autre de l'équation.

Je suis sceptique concernant l'idée de « passer un terme de l'autre côté »: pour que ça n'induise pas en erreur, il faut que l'élève ait une idée du groupement des opérations en opérations additives ou multiplicatives, et qu'en passant de l'autre côté une opération change de signe mais pas de nature. Cela n'est pas maîtrisé par tous les élèves au lycée, sinon on ne verrait pas d'élève incapable de simplifier 0/3. Je vois ceci étant dit deux possibilités alternatives:
-soit montrer sur un exemple la succession des deux étapes (transformation et simplification) en disant que maintenant il sont grands et ne sont pas obligés de rédiger l'étape intermédiaire;
-soit revenir (dans ces cas précis) aux méthodes d'avant la 4^ème, en faisant appel aux définitions des opérations - et ÷: b-a est le nombre qui ajouté à a donne b, et b/a (le quotient exact) est le nombre qui multiplié par a donne b. Ces définitions permet une résolution immédiate des équations sus-mentionnées.

Hélips a écrit:
Je passe au contraire un temps fou à leur rappeler que "je passe de l'autre côté" n'est pas une opération mathématique. Donc je reviens trèèèès souvent aux étapes intermédiaires pour qu'ils cessent de penser que 2x=0 ça donne, après lancé d'une pièce de monnaie, -2 ou -0,5.
En STMG, rebelote, et parfois en TermS, on recommence, mais plutôt sur "non, e^x=e^y ssi x=y ne se fait pas en simplifiant les e"
Bref "passer de l'autre côté", "transposer" ça vaudrait le fouet chez moi en seconde si cette aide pédagogique était autorisée.

Matheod a écrit:[Pareil. […] et on se retrouve donc avec des élèves qui passent de l'autre côté n'importe comment. On est donc obligé d'écrire les détails car comme ça ça évite qu'ils fassent n'importe quoi.

Pat B a écrit:Tout pareil... je me tue à leur dire "oubliez ce que vous disent vos parents, grands frères, profs particuliers ou sites internet : non, on ne passe pas de l'autre côté en changeant de signe."
Bon, après je tempère, bien sûr : oui, en raccourci, dans sa tête, on se dit qu'on va passer tous les x à gauche et le reste à droite... mais en mathématiques, on doit être conscient que ce qu'on fait, c'est tenter d'annuler un terme en ajoutant son opposé aux deux membres. Et pour les inéquations, c'est vital d'avoir compris l'opération qu'on est en train de faire : multiplier ou diviser par un négatif change le sens de l'inégalité, mais pas ajouter un négatif...
Et concernant les étapes, je les laisse libre d'écrire celles qu'ils veulent, en disant que le minimum attendu, c'est de transformer 7x-5=2x+4 en 5x=9 puis x=9/5, avec ou sans étape selon ce dont ils se sentent capable (et je n'écris déjà plus les étapes intermédiaires, sauf ponctuellement pour réexpliquer)

Hélips a écrit:

amelien a écrit:

Hélips a écrit:Bref "passer de l'autre côté", "transposer" ça vaudrait le fouet chez moi en seconde si cette aide pédagogique était autorisée.

Je pense au contraire qu'il faut encourager les automatismes en calcul littéral, une fois que la logique sous-jacente est comprise.

Sauf que lorsque les élèves jouent aux dés pour trouver la solution de 2x=0, ça montre bien qu'ils n'ont pas compris la logique sous-jacente. Donc je maintiens, personne ne transpose, personne n'utilise la "méthode rapide" dans mon cours. Il y a ceux qui ont besoin d'écrire les étapes intermédiaires (et donc qui les écrivent) et ceux qui n'en ont pas besoin (et donc qui ne les écrivent pas).
Chacun ses marottes, la mienne c'est de bannir tout ce qui pourrait ressembler à une formule magique parce qu'on n'a pas compris d'où ça sort et qu'on applique sans rien comprendre (en seconde et en classes scientifiques au moins).

wilfried12 a écrit:Idem pour moi, beaucoup de mes élèves pensent que changer de côté revient à changer de signe et de fait résolvent 2x = 7  par x = 7/-2 (ou -2/7 aussi    ), et je dois revenir aux propriétés de 4eme.

ycombe a écrit:

Pèp a écrit:

ycombe a écrit:Je ne vois pas en quoi "passer un terme de l'autre côté en changeant de signe" est faux. C'est au contraire une manipulation parfaitement licite.
Règle: on passe d'une équation à une équation équivalente en passant un terme de l'autre côté tout en changeant son signe.

Hier, une élève de T-ES a posé une question suite à la résolution délicate de -2x=1 : celui passé au tableau a écrit x=1/(-2), elle a réagi : mais il n'y pas de "-", le -2 est passé de l'autre côté, il a changé de signe...
Ca fait des dégats quand même

Oui, parce que nos élèves, désormais, n'hésitent plus à confondre addition et multiplication et ignorent le sens du mot "terme".

amelien a écrit:Je pense au contraire qu'il faut encourager les automatismes en calcul littéral, une fois que la logique sous-jacente est comprise.
L'exemple de la résolution de ax+b=c est un exemple parmi d'autres. Ecrire que ax=c-b fait partie des automatismes nécessaires. Ensuite, quand il s'agit de résoudre ax=b, j'explique aux élèves qu'on peut tracer "mentalement" un tableau de proportionnalité et manipuler les termes dans ce tableau de proportionnalité. Cela a l'avantage de fonctionner aussi pour les cas xa/b=c/d. L'élève doit comprendre, presque visuellement, ce qu'il est permis de manipuler dans l'équation et ce qui ne l'est pas.

xyz a écrit:

wilfried12 a écrit:Idem pour moi, beaucoup de mes élèves pensent que changer de côté revient à changer de signe et de fait résolvent 2x = 7  par x = 7/-2 (ou -2/7 aussi    ), et je dois revenir aux propriétés de 4eme.

Beaucoup d'élèves ont entendu qu'on "passe de l'autre côté en changeant de signe", alors qu'on "passe de l'autre côté en changeant d'opération".
Pour traiter ton exemple, je dirais: "le 2 doit passer de l'autre côté, il est "attaché" par une multiplication, donc il doit arriver en division".
Vous pouvez sortir le fouet si vous voulez, mais les élèves de lycée auxquels on présente comme ça finissent par acquérir les automatismes. En revanche il faut le redire de manière systématique à chaque fois qu'on résout une équation, et pas se contenter de le montrer une fois dans l'année.
C'est ce genre d'automatismes qui étaient enseignés il y a bien longtemps. À mon avis, c'est la mode d'écrire les opérations de chaque côté (du type 2x = 7 <=> 2x/2 = 7/2 <=> x = 7/2) qui fait des ravages. Bien sûr cette mode part d'une bonne intention : les élèves sont censés "comprendre le pourquoi" et pas "appliquer bêtement", mais au final on n'obtient ni l'un ni l'autre.

ben2510 a écrit:Petit rappel pour les petits jeunes : dans les années 80, écrire en quatrième que (pour tout x réel)  3x+2x=5x, c'était zéro comme note.
Il fallait écrire "3x+2x=ak+bk avec a=3, b=2, et k=x,
donc 3x+2x=(a+b)k=(3+2)x=5x".

Quand un élève n'a pas les acquis nécessaires en calcul littéral, je reviens à cette méthode, et ça marche.

lene75 a écrit:

Ilona a écrit:En 1986, j'étais en première S, et je suis certaine que les racines réelles d'un polynôme du second degré étaient abordées à ce niveau du lycée.

Même chose pour moi en 1999.
En seconde nous résolvions les polynômes du second degré par dichotomie. Je ne crois pas que c'était au programme, mais c'est un des trucs de maths qui m'ont le plus servi dans la suite de mes études.

2°:

1°:

neo-fit a écrit:
En effet, la phrase « on passe un terme dans l’autre membre en changeant son signe », même si elle a bien été énoncée ainsi, et même en imaginant que les élèves n’ignorent pas le sens du mot « terme », est mémorisée par beaucoup en « on passe de l’autre côté en changeant de signe » et pour cause.
Elle fait donc des ravages et on doit lutter contre son usage abusif en revenant systématiquement aux opérations, à leur priorité, et on doit aussi composer avec les difficultés en calcul mental élémentaire.

ycombe a écrit:

neo-fit a écrit:
En effet, la phrase « on passe un terme dans l’autre membre en changeant son signe », même si elle a bien été énoncée ainsi, et même en imaginant que les élèves n’ignorent pas le sens du mot « terme », est mémorisée par beaucoup en « on passe de l’autre côté en changeant de signe » et pour cause.
Elle fait donc des ravages et on doit lutter contre son usage abusif en revenant systématiquement aux opérations, à leur priorité, et on doit aussi composer avec les difficultés en calcul mental élémentaire.

Ce qui pose problème ici, ce n'est pas l'idée que, dans une égalité de sommes algébriques, on puisse passer un terme de l'autre côté en changeant de signe. Ce qui pose problème, c'est qu'on habitue les enfants à ne voir dans les mathématiques que des formules, genre de trucs à appliquer et qui n'ont pas vraiment été expliqués Ils en sont à chercher des trucs là où il n'y en a pas et à généraliser des trucs là où ce n'est pas possible, comme dans le cas qui nous occupe ou dans la réécriture qui relève de la même généralisation abusive.

Mes secondes ont été surpris que je me permette, dans la leçon, de prouver que . J'ai répondu que ici, on faisait des mathématiques et qu'en mathématiques, ce qu'on affirmait devait être prouvé ou, à tout le moins, expliqué complètement. Sinon, c'est pas des maths.

JPhMM a écrit:En sixième déjà, leur faire apprendre une ligne par cœur est mission impossible (sauf pour une poignée, toujours les mêmes).

ycombe a écrit:

neo-fit a écrit:
En effet, la phrase « on passe un terme dans l’autre membre en changeant son signe », même si elle a bien été énoncée ainsi, et même en imaginant que les élèves n’ignorent pas le sens du mot « terme », est mémorisée par beaucoup en « on passe de l’autre côté en changeant de signe » et pour cause.
Elle fait donc des ravages et on doit lutter contre son usage abusif en revenant systématiquement aux opérations, à leur priorité, et on doit aussi composer avec les difficultés en calcul mental élémentaire.

Ce qui pose problème ici, ce n'est pas l'idée que, dans une égalité de sommes algébriques, on puisse passer un terme de l'autre côté en changeant de signe. Ce qui pose problème, c'est qu'on habitue les enfants à ne voir dans les mathématiques que des formules, genre de trucs à appliquer et qui n'ont pas vraiment été expliqués Ils en sont à chercher des trucs là où il n'y en a pas et à généraliser des trucs là où ce n'est pas possible, comme dans le cas qui nous occupe ou dans la réécriture qui relève de la même généralisation abusive.

Mes secondes ont été surpris que je me permette, dans la leçon, de prouver que . J'ai répondu que ici, on faisait des mathématiques et qu'en mathématiques, ce qu'on affirmait devait être prouvé ou, à tout le moins, expliqué complètement. Sinon, c'est pas des maths.

Spoiler:

JPhMM a écrit:Il faut aussi acheter Les Maths au Collège Démontrer pour Comprendre

Flaure a écrit:
Bien d'accord, la démonstration est la mise à nu des articulations logiques, et ce qui permet de ne pas intégrer superficiellement, sur la forme, en s'exposant aux erreurs logiques.
J'ai prévu la prochaine séance d'AP avec ma 1èreS sur la démonstration de l'égalité mentionnée (racine du produit et produit des racines), et aussi qu'ils me montrent que la racine d'une somme n'est pas la somme des racines (une élève m'a prise à parti au dernier cours, trouvant cela inconcevable, on va donc bien tout reprendre).

ben2510 a écrit:Les Landes et l'Aveyron, ce n'est pas très loin de Bordeaux.
Il y a des gens qui vont venir aux journées nationales de l'APMEP ?
https://www.jnbordeaux.fr/

ycombe a écrit:

Flaure a écrit:
Bien d'accord, la démonstration est la mise à nu des articulations logiques, et ce qui permet de ne pas intégrer superficiellement, sur la forme, en s'exposant aux erreurs logiques.
J'ai prévu la prochaine séance d'AP avec ma 1èreS sur la démonstration de l'égalité mentionnée (racine du produit et produit des racines), et aussi qu'ils me montrent que la racine d'une somme n'est pas la somme des racines (une élève m'a prise à parti au dernier cours, trouvant cela inconcevable, on va donc bien tout reprendre).

Attention à la formulation. On montre facilement que si , alors a ou b est égal à 0, la réciproque étant trivialement vraie. Cette égalité n'est donc pas toujours fausse.

ben2510 a écrit:Les Landes et l'Aveyron, ce n'est pas très loin de Bordeaux.
Il y a des gens qui vont venir aux journées nationales de l'APMEP ?
https://www.jnbordeaux.fr/

Flaure a écrit:

ben2510 a écrit:Les Landes et l'Aveyron, ce n'est pas très loin de Bordeaux.
Il y a des gens qui vont venir aux journées nationales de l'APMEP ?
https://www.jnbordeaux.fr/

Je me tâte. Je suis bien convaincue de l'importance de faire vivre ces associations ; cela reste cependant un déplacement et une dépense non négligeables pour moi. Je dois dire que j'ai aussi une certaine appréhension à l'idée de ne pas être conforme aux attendus qu'on peut avoir d'un enseignant en mathématiques, et d'être larguée lors des conférences (ce qui n'a heureusement pas été le cas lors de la régionale de Toulouse samedi, mais qui sait ce que ça donne au niveau national ?)
Y seras-tu ?

ycombe a écrit:

Flaure a écrit:
Bien d'accord, la démonstration est la mise à nu des articulations logiques, et ce qui permet de ne pas intégrer superficiellement, sur la forme, en s'exposant aux erreurs logiques.
J'ai prévu la prochaine séance d'AP avec ma 1èreS sur la démonstration de l'égalité mentionnée (racine du produit et produit des racines), et aussi qu'ils me montrent que la racine d'une somme n'est pas la somme des racines (une élève m'a prise à parti au dernier cours, trouvant cela inconcevable, on va donc bien tout reprendre).

Attention à la formulation. On montre facilement que si , alors a ou b est égal à 0, la réciproque étant trivialement vraie. Cette égalité n'est donc pas toujours fausse.

En effet, on ne peut pas dire qu'elle soit fausse dans tous les cas : elle ne l'est pas dans le cas trivial d'une valeur nulle de a ou b.
Que me conseilles-tu comme rédaction afin d'être rigoureuse ?

Je pensais leur faire développer (Va + Vb)² pour montrer que c'était égal à a+2V(ab)+b, et donc différent de a+b dès lors que a et b sont non nuls.
Et ensuite conclure qu'alors Va+Vb est différent de V(a+b) (étant le nombre positif tel que multiplié par lui-même on obtienne a+b) en général ; mais certainement la rédaction laisse à désirer chez moi.

(Ne vous moquez pas hein, je débute et mes études sont lointaines... )

ycombe a écrit:

Flaure a écrit:

ben2510 a écrit:Les Landes et l'Aveyron, ce n'est pas très loin de Bordeaux.
Il y a des gens qui vont venir aux journées nationales de l'APMEP ?
https://www.jnbordeaux.fr/

Je me tâte. Je suis bien convaincue de l'importance de faire vivre ces associations ; cela reste cependant un déplacement et une dépense non négligeables pour moi. Je dois dire que j'ai aussi une certaine appréhension à l'idée de ne pas être conforme aux attendus qu'on peut avoir d'un enseignant en mathématiques, et d'être larguée lors des conférences (ce qui n'a heureusement pas été le cas lors de la régionale de Toulouse samedi, mais qui sait ce que ça donne au niveau national ?)
Y seras-tu ?

ycombe a écrit:

Flaure a écrit:
Bien d'accord, la démonstration est la mise à nu des articulations logiques, et ce qui permet de ne pas intégrer superficiellement, sur la forme, en s'exposant aux erreurs logiques.
J'ai prévu la prochaine séance d'AP avec ma 1èreS sur la démonstration de l'égalité mentionnée (racine du produit et produit des racines), et aussi qu'ils me montrent que la racine d'une somme n'est pas la somme des racines (une élève m'a prise à parti au dernier cours, trouvant cela inconcevable, on va donc bien tout reprendre).

Attention à la formulation. On montre facilement que si , alors a ou b est égal à 0, la réciproque étant trivialement vraie. Cette égalité n'est donc pas toujours fausse.

En effet, on ne peut pas dire qu'elle soit fausse dans tous les cas : elle ne l'est pas dans le cas trivial d'une valeur nulle de a ou b.
Que me conseilles-tu comme rédaction afin d'être rigoureuse ?

Je pensais leur faire développer (Va + Vb)² pour montrer que c'était égal à a+2V(ab)+b, et donc différent de a+b dès lors que a et b sont non nuls.
Et ensuite conclure qu'alors Va+Vb est différent de V(a+b) (étant le nombre positif tel que multiplié par lui-même on obtienne a+b) en général ; mais certainement la rédaction laisse à désirer chez moi.

(Ne vous moquez pas hein, je débute et mes études sont lointaines... )

Ta proposition n'est pas mal: étudier les carrés et voir dans quels cas ils sont égaux, au lieu d'étudier directement les deux expressions.

Je partirais personnellement comme par l'absurde, mais j'ai été nourri aux équivalences quand j'étais collégien: supposons que l'égalité soit vraie. On met au carré, on transpose, on réduit et on tire la conclusion que a ou b est alors nul, ce qui signifie bien que, si a et b ne sont pas nuls, l'égalité n'est pas vraie.

Flaure a écrit:
Question idiote d'ailleurs, à propos de la définition de la racine d'un nombre positif…Les élèves admettent que pour tout nombre n réel positif il existe un unique k réel positif tel que k*k=n qu'on note ensuite Vn ?
Parce que bon l'unicité je vois bien comment on la montre, mais l'existence j'aurais tendance à penser théorème des valeurs intermédiaires avec la fonction f : x->x²-n et là c'est cuit.

J'avais prévenu : question bête, et si j'avais de quoi je pense que j'en serais à *** les mouches.

ycombe a écrit:

Flaure a écrit:
Question idiote d'ailleurs, à propos de la définition de la racine d'un nombre positif…Les élèves admettent que pour tout nombre n réel positif il existe un unique k réel positif tel que k*k=n qu'on note ensuite Vn ?
Parce que bon l'unicité je vois bien comment on la montre, mais l'existence j'aurais tendance à penser théorème des valeurs intermédiaires avec la fonction f : x->x²-n et là c'est cuit.

J'avais prévenu : question bête, et si j'avais de quoi je pense que j'en serais à *** les mouches.

Ce n'est pas une question idiote, bien au contraire.

Je pense que l'existence peut être expliquée en enseignant l'algorithme de calcul, en montrant que le reste diminue d'un facteur 10 à chaque étape, et en expliquant qu'on peut se rapprocher ainsi autant qu'on veut d'une valeur dont le carré est le nombre souhaité.

Flaure a écrit:

ben2510 a écrit:Les Landes et l'Aveyron, ce n'est pas très loin de Bordeaux.
Il y a des gens qui vont venir aux journées nationales de l'APMEP ?
https://www.jnbordeaux.fr/

Je me tâte. Je suis bien convaincue de l'importance de faire vivre ces associations ; cela reste cependant un déplacement et une dépense non négligeables pour moi. Je dois dire que j'ai aussi une certaine appréhension à l'idée de ne pas être conforme aux attendus qu'on peut avoir d'un enseignant en mathématiques, et d'être larguée lors des conférences (ce qui n'a heureusement pas été le cas lors de la régionale de Toulouse samedi, mais qui sait ce que ça donne au niveau national ?)
Y seras-tu ?

Hélips a écrit:

ycombe a écrit:

Flaure a écrit:
Question idiote d'ailleurs, à propos de la définition de la racine d'un nombre positif…Les élèves admettent que pour tout nombre n réel positif il existe un unique k réel positif tel que k*k=n qu'on note ensuite Vn ?
Parce que bon l'unicité je vois bien comment on la montre, mais l'existence j'aurais tendance à penser théorème des valeurs intermédiaires avec la fonction f : x->x²-n et là c'est cuit.

J'avais prévenu : question bête, et si j'avais de quoi je pense que j'en serais à *** les mouches.

Ce n'est pas une question idiote, bien au contraire.

Je pense que l'existence peut être expliquée en enseignant l'algorithme de calcul, en montrant que le reste diminue d'un facteur 10 à chaque étape, et en expliquant qu'on peut se rapprocher ainsi autant qu'on veut d'une valeur dont le carré est le nombre souhaité.

Mais du coup, on cache sous le tapis que R est complet comme quoi, c'est loin d'être une question bête

ben2510 a écrit:Tu peux aussi commencer par faire travailler l'utilisation d'une définition, ici "la racine carré d'un nombre positif est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre", avec la question "est-ce que racine(52-30*racine(3)) =5-3*racine(3) ?" (réponse : non, mais la racine est 3*racine(3)-5 ).
Je trouve que cela permet de rappeler le double produit, que les secondes oublient presque tous systématiquement ; idéalement il faut interdire les calculatrices, car les élèves un peu trop rusés pourraient s'apercevoir que 5-3*racine(3) est négatif ; comparer racine(25) et racine(27) est plutôt facile avec deux sous de jugeote, et l'utilisation de la calculatrice empêche de s'intéresser à cette méthode.

Hélips a écrit:

ycombe a écrit:

Flaure a écrit:
Question idiote d'ailleurs, à propos de la définition de la racine d'un nombre positif…Les élèves admettent que pour tout nombre n réel positif il existe un unique k réel positif tel que k*k=n qu'on note ensuite Vn ?
Parce que bon l'unicité je vois bien comment on la montre, mais l'existence j'aurais tendance à penser théorème des valeurs intermédiaires avec la fonction f : x->x²-n et là c'est cuit.

J'avais prévenu : question bête, et si j'avais de quoi je pense que j'en serais à *** les mouches.

Ce n'est pas une question idiote, bien au contraire.

Je pense que l'existence peut être expliquée en enseignant l'algorithme de calcul, en montrant que le reste diminue d'un facteur 10 à chaque étape, et en expliquant qu'on peut se rapprocher ainsi autant qu'on veut d'une valeur dont le carré est le nombre souhaité.

Mais du coup, on cache sous le tapis que R est complet comme quoi, c'est loin d'être une question bête

Anaxagore a écrit:

Hélips a écrit:

ycombe a écrit:

Flaure a écrit:
Question idiote d'ailleurs, à propos de la définition de la racine d'un nombre positif…Les élèves admettent que pour tout nombre n réel positif il existe un unique k réel positif tel que k*k=n qu'on note ensuite Vn ?
Parce que bon l'unicité je vois bien comment on la montre, mais l'existence j'aurais tendance à penser théorème des valeurs intermédiaires avec la fonction f : x->x²-n et là c'est cuit.

J'avais prévenu : question bête, et si j'avais de quoi je pense que j'en serais à *** les mouches.

Ce n'est pas une question idiote, bien au contraire.

Je pense que l'existence peut être expliquée en enseignant l'algorithme de calcul, en montrant que le reste diminue d'un facteur 10 à chaque étape, et en expliquant qu'on peut se rapprocher ainsi autant qu'on veut d'une valeur dont le carré est le nombre souhaité.

Mais du coup, on cache sous le tapis que R est complet comme quoi, c'est loin d'être une question bête

Moi je dis qu'on bouche les trous de Q et en général ça a du succès.