Re: [Maths 2de] Démontrations des propriétés du cours ?

par wilfried12 26/9/2018, 20:03

Ah mais c'est bien ce que je leur dis, mais ce n'est pas forcément suffisant, une fois qu'ils ont en tête quelque chose de faux, c'est assez dur d'y remédier.

par ycombe 26/9/2018, 20:20

Je ne vois pas en quoi "passer un terme de l'autre côté en changeant de signe" est faux. C'est au contraire une manipulation parfaitement licite.

Règle: on passe d'une équation à une équation équivalente en passant un terme de l'autre côté tout en changeant son signe.

Preuve: Soit t le terme en question supposons qu'il soit à gauche, A le reste de la somme côté gauche et B la somme côté droit.
On a donc
A + t = B
On ajoute (-t) de chaque côté:
A + t = B <=> A + t + (t-) = B + (-t)
A + t = B <=> A = B - t
CQFD

Ainsi clairement définie, cette manipulation devient parfaitement possible. Elle est rapide et mérite d'être automatisée.

Est-on plus efficace en exigeant des élèves un passage par l'addition de l'opposé des deux côtés ? Je n'en suis franchement pas convaincu. Je pourrais même ajouter que plus je vieillis, moins j'en suis convaincu.

par Mrs Hobie 26/9/2018, 20:24

ycombe a écrit:Je ne vois pas en quoi "passer un terme de l'autre côté en changeant de signe" est faux. C'est au contraire une manipulation parfaitement licite.

Règle: on passe d'une équation à une équation équivalente en passant un terme de l'autre côté tout en changeant son signe.

Preuve: Soit t le terme en question supposons qu'il soit à gauche, A le reste de la somme côté gauche et B la somme côté droit.
On a donc
A + t = B
On ajoute (-t) de chaque côté:
A + t = B <=> A + t + (t-) = B + (-t)
A + t = B <=> A = B - t
CQFD

Ainsi clairement définie, cette manipulation devient parfaitement possible. Elle est rapide et mérite d'être automatisée.

Est-on plus efficace en exigeant des élèves un passage par l'addition de l'opposé des deux côtés ? Je n'en suis franchement pas convaincu. Je pourrais même ajouter que plus je vieillis, moins j'en suis convaincu.

ça ne se dit pas simplement "on transpose" ?

par ycombe 26/9/2018, 20:43

Mrs Hobie a écrit:

ycombe a écrit:Je ne vois pas en quoi "passer un terme de l'autre côté en changeant de signe" est faux. C'est au contraire une manipulation parfaitement licite.

Règle: on passe d'une équation à une équation équivalente en passant un terme de l'autre côté tout en changeant son signe.

Preuve: Soit t le terme en question supposons qu'il soit à gauche, A le reste de la somme côté gauche et B la somme côté droit.
On a donc
A + t = B
On ajoute (-t) de chaque côté:
A + t = B <=> A + t + (t-) = B + (-t)
A + t = B <=> A = B - t
CQFD

Ainsi clairement définie, cette manipulation devient parfaitement possible. Elle est rapide et mérite d'être automatisée.

Est-on plus efficace en exigeant des élèves un passage par l'addition de l'opposé des deux côtés ? Je n'en suis franchement pas convaincu. Je pourrais même ajouter que plus je vieillis, moins j'en suis convaincu.

ça ne se dit pas simplement "on transpose" ?

J'ai mis comme ça pour insister dans la règle sur le «terme». On ne transpose pas un facteur, même s'il sonne toujours deux fois.

par Balthazaard 26/9/2018, 20:48

ycombe a écrit:Je ne vois pas en quoi "passer un terme de l'autre côté en changeant de signe" est faux. C'est au contraire une manipulation parfaitement licite.

Règle: on passe d'une équation à une équation équivalente en passant un terme de l'autre côté tout en changeant son signe.

Preuve: Soit t le terme en question supposons qu'il soit à gauche, A le reste de la somme côté gauche et B la somme côté droit.
On a donc
A + t = B
On ajoute (-t) de chaque côté:
A + t = B <=> A + t + (t-) = B + (-t)
A + t = B <=> A = B - t
CQFD

Ainsi clairement définie, cette manipulation devient parfaitement possible. Elle est rapide et mérite d'être automatisée.

Est-on plus efficace en exigeant des élèves un passage par l'addition de l'opposé des deux côtés ? Je n'en suis franchement pas convaincu. Je pourrais même ajouter que plus je vieillis, moins j'en suis convaincu.

Je suis du même avis que toi.

par Hélips 26/9/2018, 20:57

Alors je vais clarifier ma position : il y a 15 ans, seuls 2 élèves sur 36 faisaient des trucs au hasard, donc bon, ceux-là, je les prenais entre quatre z'yeux et on ramait toute l'année pendant que tous les autres "passaient de l'autre côté" avec un taux d'erreur très acceptable. Depuis quelques années, je tourne entre 1/3 et 3/4 de la calsse qui me fait n'importe quoi. Quand je les oblige (ceux-là uniquement; ceux qui savent faire, ils sont aussi capables de comprendre qu'ils n'ont qu'une ligne sur 3 à copier, et encore même pas, puisque leurs exos sont corrects) à écrire les étapes, quand je les écris moi-même, ça limite les dégâts. Et plus je vieillis, plus je suis convaincue qu'arrivés en seconde, ceux qui n'ont pas automatisé le truc, ce n'est plus le moment.

par JPhMM 26/9/2018, 21:17

Balthazaard a écrit:

ycombe a écrit:Je ne vois pas en quoi "passer un terme de l'autre côté en changeant de signe" est faux. C'est au contraire une manipulation parfaitement licite.

Règle: on passe d'une équation à une équation équivalente en passant un terme de l'autre côté tout en changeant son signe.

Preuve: Soit t le terme en question supposons qu'il soit à gauche, A le reste de la somme côté gauche et B la somme côté droit.
On a donc
A + t = B
On ajoute (-t) de chaque côté:
A + t = B <=> A + t + (t-) = B + (-t)
A + t = B <=> A = B - t
CQFD

Ainsi clairement définie, cette manipulation devient parfaitement possible. Elle est rapide et mérite d'être automatisée.

Est-on plus efficace en exigeant des élèves un passage par l'addition de l'opposé des deux côtés ? Je n'en suis franchement pas convaincu. Je pourrais même ajouter que plus je vieillis, moins j'en suis convaincu.

Je suis du même avis que toi.

Idem.

par jaybe 26/9/2018, 21:20

ycombe a écrit:Est-on plus efficace en exigeant des élèves un passage par l'addition de l'opposé des deux côtés ? Je n'en suis franchement pas convaincu. Je pourrais même ajouter que plus je vieillis, moins j'en suis convaincu.

J'imagine et espère que l'on devrait s'entendre pour dire que la réponse à apporter à cette question n'est pas indépendante des élèves auxquels on s'adresse. En lien avec cette question, on peut également observer que bien des d'enseignants exigent de détailler le moindre enchaînement logique dans le cadre géométrique, tout en autorisant des raccourcis dans le domaine littéral, ce qui n'est pas forcément très cohérent. Quant à la formulation de ces "raccourcis", on ne peut pas dire non plus qu'elle soit toujours irréprochable, en tout cas dans la forme mémorisée par les élèves.

par JPhMM 26/9/2018, 21:22

Qu'est-ce qu'un raccourci ?
Dès lors qu'il a été démontré que (A <=> B <=> C <=> D), on peut appliquer (A <=> D).

par jaybe 26/9/2018, 21:27

On peut appliquer une règle fausse donnant un résultat parfaitement juste.

Exemple caricatural de base : 16/64 est égal à 1/4, j'ai simplifié les 6. Mais ce n'est malheureusement pas toujours aussi grossier.

par ben2510 26/9/2018, 22:23

Petit rappel pour les petits jeunes : dans les années 80, écrire en quatrième que (pour tout x réel) 3x+2x=5x, c'était zéro comme note.
Il fallait écrire "3x+2x=ak+bk avec a=3, b=2, et k=x,
donc 3x+2x=(a+b)k=(3+2)x=5x".

Quand un élève n'a pas les acquis nécessaires en calcul littéral, je reviens à cette méthode, et ça marche.

par xyz 27/9/2018, 06:03

ycombe a écrit:Je ne vois pas en quoi "passer un terme de l'autre côté en changeant de signe" est faux. C'est au contraire une manipulation parfaitement licite.

Bien sûr que c'est correct, mais quand on dit "changer de signe" il y a beaucoup d'élèves qui pensent "plus / moins", c'est pour ça que je préfère parler de "changer d'opération".

par Mathador 27/9/2018, 06:44

xyz a écrit:

ycombe a écrit:Je ne vois pas en quoi "passer un terme de l'autre côté en changeant de signe" est faux. C'est au contraire une manipulation parfaitement licite.

Bien sûr que c'est correct, mais quand on dit "changer de signe" il y a beaucoup d'élèves qui pensent "plus / moins", c'est pour ça que je préfère parler de "changer d'opération".

Un terme c'est forcément « plus/moins ». Mais je pense que c'est déjà oublié par la plupart à la fin du collège.

par amelien 27/9/2018, 06:45

xyz a écrit:Vous pouvez sortir le fouet si vous voulez, mais les élèves de lycée auxquels on présente comme ça finissent par acquérir les automatismes. En revanche il faut le redire de manière systématique à chaque fois qu'on résout une équation, et pas se contenter de le montrer une fois dans l'année.

C'est ce genre d'automatismes qui étaient enseignés il y a bien longtemps. À mon avis, c'est la mode d'écrire les opérations de chaque côté (du type 2x = 7 <=> 2x/2 = 7/2 <=> x = 7/2) qui fait des ravages. Bien sûr cette mode part d'une bonne intention : les élèves sont censés "comprendre le pourquoi" et pas "appliquer bêtement", mais au final on n'obtient ni l'un ni l'autre.

Je suis exactement de cet avis. Les élèves manquent d'entraînement, c'est tout. Quand femme anime un TD à la fac, dès qu'elle sort une équation, elle voit certains visages s'assombrir. Même à ce niveau, il y a encore des élèves qui détaillents leurs opérations a + b - b = c -b et d'autres qui appliquent bêtement et se trompent.

En français, on peut épeler un mot ou le lire directement, c'est pareil avec une équation.

Par contre, je suis d'accord que durant toute la période d'apprentissage, on peut détailler les étapes, mais l'élève doit savoir que dans l'enseignement supérieur, personne ne détaille autant les calcul littéraux - et qu'il existe donc une méthode dite "rapide", admise et utilisée par tous, pour manipuler des équations.

Dans me souvenirs d'enfant, dès la quatrième et la troisième, on manipulait (développement, factorisation) des équations et on utilisait ces techniques. Tout détailler est une mode récente. Donc à mon sens, c'est désormais en seconde qu'on doit avertir les élèves et leur signaler l'existence de ces techniques.

D'accord avec ce qui a été dit auparavant concernant le changement d'opération (et d'autres choses).

Hélips a écrit:Et plus je vieillis, plus je suis convaincue qu'arrivés en seconde, ceux qui n'ont pas automatisé le truc, ce n'est plus le moment.

J'introduis le calcul littéral dès la conquième et j'en mets une bonne dose en quatrième, avec 2 à 3 calculs à effectuer en début d'heure, en activités mentales. A force de répétition, tout le monde pige.

par neomath 27/9/2018, 06:59

jaybe a écrit:

ycombe a écrit:Est-on plus efficace en exigeant des élèves un passage par l'addition de l'opposé des deux côtés ? Je n'en suis franchement pas convaincu. Je pourrais même ajouter que plus je vieillis, moins j'en suis convaincu.

J'imagine et espère que l'on devrait s'entendre pour dire que la réponse à apporter à cette question n'est pas indépendante des élèves auxquels on s'adresse. En lien avec cette question, on peut également observer que bien des d'enseignants exigent de détailler le moindre enchaînement logique dans le cadre géométrique, tout en autorisant des raccourcis dans le domaine littéral, ce qui n'est pas forcément très cohérent. Quant à la formulation de ces "raccourcis", on ne peut pas dire non plus qu'elle soit toujours irréprochable, en tout cas dans la forme mémorisée par les élèves.

Bien d'accord. En ce qui me concerne, ma conviction a évolué en même temps que les élèves. Maintenant que beaucoup de TS ne sont plus à l'aise avec les calculs les plus simples, comment faire autrement que de tout détailler ?

par amelien 27/9/2018, 07:04

neomath a écrit:Bien d'accord. En ce qui me concerne, ma conviction a évolué en même temps que les élèves. Maintenant que beaucoup de TS ne sont plus à l'aise avec les calculs les plus simples, comment faire autrement que de tout détailler ?

Par ce que comme suggéré plus haut, après le collège et le lycée, il y a les études supérieures. Quand les bons élèves ne savent plus se passer de tout détailler, c'est un vrai handicap pour eux. Donc ce n'est pas leur rendre un service que de tout détailler systématiquement.

par Badiste75 27/9/2018, 07:22

Personnellement, je ne détaille plus tout en Seconde à l’écrit pour les forcer à faire l’étape intermédiaire mentalement (mais la dit oralement). Encore une fois, aux élèves de s’adapter aux attendus, pas aux profs de s’adapter au nivellement par le bas.

par Pat B 28/9/2018, 08:15

Je ne détaille plus au tableau (juste au début d'année pour remettre les pendules à l'heure), et j'insiste sur le fait qu'ils ne doivent plus écrire d'étapes dès qu'ils s'en sentent capables.
Par contre, oralement, de temps en temps, je rappelle l'opération qu'on a fait subir à l'égalité, à gauche et à droite, et pourquoi (on veut éliminer 3x de ce côté, dont il faut ajouter -3x des deux côtés). J'ai trop d'élèves qui transforment 2x=6 en x=6/(-2), ou, pire, x=6-2 ("mais madame, on passe de l'autre côté, donc on change de signe !").

J'ai une hétérogénéité absolument énorme, entre l'élève qui me dit "est-ce que j'ai le droit de transformer directement xM=(xA+xB)/2 en xA=2xM - xB et de remplacer seulement ensuite par les valeurs ?", et celui qui ne comprend pas que 2x + 3 ne fait pas 5x, que x² n'est pas 2x, et que 3x=2(5x-1) ne va pas être équivalent à 3x - 5x = 2 - 1....

par Pèp 28/9/2018, 16:05

ycombe a écrit:Je ne vois pas en quoi "passer un terme de l'autre côté en changeant de signe" est faux. C'est au contraire une manipulation parfaitement licite.

Règle: on passe d'une équation à une équation équivalente en passant un terme de l'autre côté tout en changeant son signe.

Hier, une élève de T-ES a posé une question suite à la résolution délicate de -2x=1 : celui passé au tableau a écrit x=1/(-2), elle a réagi : mais il n'y pas de "-", le -2 est passé de l'autre côté, il a changé de signe...
Ca fait des dégats quand même

par amelien 28/9/2018, 16:39

J'ai passé l'après-midi à décortiquer les Lebossé cinquième et troisième (éditions années 60, couverture jaune) pour essayer de comprendre pourquoi les élèves étaient meilleurs en math à l'époque, avec en toile de fond cette simple question de transposition (j'ai mal à la tête). abi

A l'époque, il apparaît évident que l'algébrisation était un des objectifs fondamentaux. Dès la cinquième, on manipulait le calcul littéral et toutes les définitions sont données de manière littérale. En troisième, c'est encore plus net et les élèves d'alors avaient le niveau de nos seconde en fin d'année, voire première S.

Exemple manuel de cinquième, p103 :
m(a-b+c)=ma-mb+mc
a^n/a^m=a^(n-m)
(a-b+c)(m-n)=am-bm+cm-an+bn-cn

p113 et 114, résoudre environ 100 équations, du type :
exo 558 ; (5x-7)/4=(7x-10)/8+(x-2)/2

Le manuel de cinquième met l'arithmétique et la géométrie à peu près à égalite.
En arithmétique, le manuel ne comporte que 3 parties : les nombres (et les opérations de base), les factions et l'arithmétique littérale.

Donc j'en déduis que le professeur devait passer environ 1/3 du temps ANNUEL sur du calcul (fractions + calcul littéral).

Résultat : le calcul littéral était beaucoup mlieux maîtrisé.

par ben2510 28/9/2018, 17:12

Conjuguer les formules est dans mon expérience un bon moyen de travailler l'abstraction et d'affuter le regard.
P.ex en terminale je conseille de composer des formules de dérivation et de poser des questions du type y=kue^v , y'= ?
ou bien w=(u+ln(v))z^3, w'= ?

par ycombe 29/9/2018, 21:32

xyz a écrit:

ycombe a écrit:Je ne vois pas en quoi "passer un terme de l'autre côté en changeant de signe" est faux. C'est au contraire une manipulation parfaitement licite.

Bien sûr que c'est correct, mais quand on dit "changer de signe" il y a beaucoup d'élèves qui pensent "plus / moins", c'est pour ça que je préfère parler de "changer d'opération".

Il faut enseigner les sommes algébriques avant: une soustraction n'est rien d'autre qu'une addition avec un changement de signe du second terme.

Si on commence par le commencement, ça marche mieux.

par ycombe 29/9/2018, 21:36

Pèp a écrit:

ycombe a écrit:Je ne vois pas en quoi "passer un terme de l'autre côté en changeant de signe" est faux. C'est au contraire une manipulation parfaitement licite.

Règle: on passe d'une équation à une équation équivalente en passant un terme de l'autre côté tout en changeant son signe.

Hier, une élève de T-ES a posé une question suite à la résolution délicate de -2x=1 : celui passé au tableau a écrit x=1/(-2), elle a réagi : mais il n'y pas de "-", le -2 est passé de l'autre côté, il a changé de signe...
Ca fait des dégats quand même

Oui, parce que nos élèves, désormais, n'hésitent plus à confondre addition et multiplication et ignorent le sens du mot "terme".

Quand on n'a pas fait de fondations, on ne peut pas construire quelque chose de haut.

par wilfried12 29/9/2018, 21:40

Si déjà on pouvait avoir le rez de chaussée.

par ben2510 29/9/2018, 21:50

Blub ..ables ..ouvants blub

par neo-fit 30/9/2018, 08:20

Mathador a écrit:

amelien a écrit:Je n'ai pas si c'est approprié au sujet, mais j'ai toujours noté chez les secondes qu'ils résolvent x+a=b par x+a-a=b-a et qu'il résolvent de même xa=b par xa/a=b/a. C'est normal puisqu'ils étaient collégiens un an plus tôt, mais c'est handicapant pour la suite, surtout que certains conservent ces habitudes en première. Donc j'imagine que ce n'est pas inutile de leur rappeler comment résoudre une équation directement en passant les termes d'un côté à l'autre de l'équation.

Je suis sceptique concernant l'idée de « passer un terme de l'autre côté »: pour que ça n'induise pas en erreur, il faut que l'élève ait une idée du groupement des opérations en opérations additives ou multiplicatives, et qu'en passant de l'autre côté une opération change de signe mais pas de nature. Cela n'est pas maîtrisé par tous les élèves au lycée, sinon on ne verrait pas d'élève incapable de simplifier 0/3. Je vois ceci étant dit deux possibilités alternatives:
-soit montrer sur un exemple la succession des deux étapes (transformation et simplification) en disant que maintenant il sont grands et ne sont pas obligés de rédiger l'étape intermédiaire;
-soit revenir (dans ces cas précis) aux méthodes d'avant la 4^ème, en faisant appel aux définitions des opérations - et ÷: b-a est le nombre qui ajouté à a donne b, et b/a (le quotient exact) est le nombre qui multiplié par a donne b. Ces définitions permet une résolution immédiate des équations sus-mentionnées.

Ou bien que les notions d’opposé, d’inverse et d’éléments neutres soient bien comprises car finalement, quand on résout ce type d’équations, on cherche à « neutraliser » un terme ou un facteur.

Hélips a écrit:
Je passe au contraire un temps fou à leur rappeler que "je passe de l'autre côté" n'est pas une opération mathématique. Donc je reviens trèèèès souvent aux étapes intermédiaires pour qu'ils cessent de penser que 2x=0 ça donne, après lancé d'une pièce de monnaie, -2 ou -0,5.
En STMG, rebelote, et parfois en TermS, on recommence, mais plutôt sur "non, e^x=e^y ssi x=y ne se fait pas en simplifiant les e"
Bref "passer de l'autre côté", "transposer" ça vaudrait le fouet chez moi en seconde si cette aide pédagogique était autorisée.

Matheod a écrit:[Pareil. […] et on se retrouve donc avec des élèves qui passent de l'autre côté n'importe comment. On est donc obligé d'écrire les détails car comme ça ça évite qu'ils fassent n'importe quoi.

Pat B a écrit:Tout pareil... je me tue à leur dire "oubliez ce que vous disent vos parents, grands frères, profs particuliers ou sites internet : non, on ne passe pas de l'autre côté en changeant de signe."
Bon, après je tempère, bien sûr : oui, en raccourci, dans sa tête, on se dit qu'on va passer tous les x à gauche et le reste à droite... mais en mathématiques, on doit être conscient que ce qu'on fait, c'est tenter d'annuler un terme en ajoutant son opposé aux deux membres. Et pour les inéquations, c'est vital d'avoir compris l'opération qu'on est en train de faire : multiplier ou diviser par un négatif change le sens de l'inégalité, mais pas ajouter un négatif...
Et concernant les étapes, je les laisse libre d'écrire celles qu'ils veulent, en disant que le minimum attendu, c'est de transformer 7x-5=2x+4 en 5x=9 puis x=9/5, avec ou sans étape selon ce dont ils se sentent capable (et je n'écris déjà plus les étapes intermédiaires, sauf ponctuellement pour réexpliquer)

Hélips a écrit:

amelien a écrit:

Hélips a écrit:Bref "passer de l'autre côté", "transposer" ça vaudrait le fouet chez moi en seconde si cette aide pédagogique était autorisée.

Je pense au contraire qu'il faut encourager les automatismes en calcul littéral, une fois que la logique sous-jacente est comprise.

Sauf que lorsque les élèves jouent aux dés pour trouver la solution de 2x=0, ça montre bien qu'ils n'ont pas compris la logique sous-jacente. Donc je maintiens, personne ne transpose, personne n'utilise la "méthode rapide" dans mon cours. Il y a ceux qui ont besoin d'écrire les étapes intermédiaires (et donc qui les écrivent) et ceux qui n'en ont pas besoin (et donc qui ne les écrivent pas).
Chacun ses marottes, la mienne c'est de bannir tout ce qui pourrait ressembler à une formule magique parce qu'on n'a pas compris d'où ça sort et qu'on applique sans rien comprendre (en seconde et en classes scientifiques au moins).

wilfried12 a écrit:Idem pour moi, beaucoup de mes élèves pensent que changer de côté revient à changer de signe et de fait résolvent 2x = 7 par x = 7/-2 (ou -2/7 aussi ), et je dois revenir aux propriétés de 4eme.

ycombe a écrit:

Pèp a écrit:

ycombe a écrit:Je ne vois pas en quoi "passer un terme de l'autre côté en changeant de signe" est faux. C'est au contraire une manipulation parfaitement licite.
Règle: on passe d'une équation à une équation équivalente en passant un terme de l'autre côté tout en changeant son signe.

Hier, une élève de T-ES a posé une question suite à la résolution délicate de -2x=1 : celui passé au tableau a écrit x=1/(-2), elle a réagi : mais il n'y pas de "-", le -2 est passé de l'autre côté, il a changé de signe...
Ca fait des dégats quand même

Oui, parce que nos élèves, désormais, n'hésitent plus à confondre addition et multiplication et ignorent le sens du mot "terme".

En effet, la phrase « on passe un terme dans l’autre membre en changeant son signe », même si elle a bien été énoncée ainsi, et même en imaginant que les élèves n’ignorent pas le sens du mot « terme », est mémorisée par beaucoup en « on passe de l’autre côté en changeant de signe » et pour cause.
Elle fait donc des ravages et on doit lutter contre son usage abusif en revenant systématiquement aux opérations, à leur priorité, et on doit aussi composer avec les difficultés en calcul mental élémentaire.
Alors effectivement, écrire le détail x+a-a=b-a ou ax/a=b/a est regrettable.
Ecrire en « marge » des deux membres (ou d’un seul avec convention bien explicite), les opérations pour passer d’une étape à la suivante pourrait suffire tant que les automatismes ne sont pas là.
Pour les équations moins évidentes, tout à fait d’accord avec Helips, PatB, Wilfried et d’autres, les automatismes ayant été différés, le détail s’impose au moins une bonne partie de l’année, quitte à indiquer les étapes qui sont facultatives à ceux qui s’en sentent capables.
Sinon, à quelques minutes d’intervalle, il faudra répondre plusieurs fois à «il est passé où … », « pourquoi c’est écrit … »
Questions à ne pas négliger mais faut-il les susciter en supprimant les détails ? Combien n’oseront pas poser la question ?
A la longue, on les supprime lors des corrections en « risquant » que les moins à l’aise ne s’interrogent même plus.

amelien a écrit:Je pense au contraire qu'il faut encourager les automatismes en calcul littéral, une fois que la logique sous-jacente est comprise.
L'exemple de la résolution de ax+b=c est un exemple parmi d'autres. Ecrire que ax=c-b fait partie des automatismes nécessaires. Ensuite, quand il s'agit de résoudre ax=b, j'explique aux élèves qu'on peut tracer "mentalement" un tableau de proportionnalité et manipuler les termes dans ce tableau de proportionnalité. Cela a l'avantage de fonctionner aussi pour les cas xa/b=c/d. L'élève doit comprendre, presque visuellement, ce qu'il est permis de manipuler dans l'équation et ce qui ne l'est pas.

Si les élèves peuvent tracer « mentalement » un tableau de proportionnalité et manipuler les termes de ce tableau, n’est-il pas plus « automatique » de multiplier par l’inverse ?

xyz a écrit:

wilfried12 a écrit:Idem pour moi, beaucoup de mes élèves pensent que changer de côté revient à changer de signe et de fait résolvent 2x = 7 par x = 7/-2 (ou -2/7 aussi ), et je dois revenir aux propriétés de 4eme.

Beaucoup d'élèves ont entendu qu'on "passe de l'autre côté en changeant de signe", alors qu'on "passe de l'autre côté en changeant d'opération".
Pour traiter ton exemple, je dirais: "le 2 doit passer de l'autre côté, il est "attaché" par une multiplication, donc il doit arriver en division".
Vous pouvez sortir le fouet si vous voulez, mais les élèves de lycée auxquels on présente comme ça finissent par acquérir les automatismes. En revanche il faut le redire de manière systématique à chaque fois qu'on résout une équation, et pas se contenter de le montrer une fois dans l'année.
C'est ce genre d'automatismes qui étaient enseignés il y a bien longtemps. À mon avis, c'est la mode d'écrire les opérations de chaque côté (du type 2x = 7 <=> 2x/2 = 7/2 <=> x = 7/2) qui fait des ravages. Bien sûr cette mode part d'une bonne intention : les élèves sont censés "comprendre le pourquoi" et pas "appliquer bêtement", mais au final on n'obtient ni l'un ni l'autre.

On peut aussi passer de l’autre côté sans changer d’opération : ajouter l’opposé, multiplier par l’inverse, c’est d’ailleurs plus efficace quand il faut résoudre a/b*x=c/d

ben2510 a écrit:Petit rappel pour les petits jeunes : dans les années 80, écrire en quatrième que (pour tout x réel) 3x+2x=5x, c'était zéro comme note.
Il fallait écrire "3x+2x=ak+bk avec a=3, b=2, et k=x,
donc 3x+2x=(a+b)k=(3+2)x=5x".

Quand un élève n'a pas les acquis nécessaires en calcul littéral, je reviens à cette méthode, et ça marche.

Tout à fait d’accord, pour les plus en difficulté, cela sert de guide, oblige à bien identifier les valeurs et leur signe et en plus, écrire la formule littérale permet de la mémoriser, le problème c’est que ceux pour qui cela serait efficace sont aussi parfois ceux qui veulent en écrire le moins possible.

lene75 a écrit:

Ilona a écrit:En 1986, j'étais en première S, et je suis certaine que les racines réelles d'un polynôme du second degré étaient abordées à ce niveau du lycée.

Même chose pour moi en 1999.
En seconde nous résolvions les polynômes du second degré par dichotomie. Je ne crois pas que c'était au programme, mais c'est un des trucs de maths qui m'ont le plus servi dans la suite de mes études.

En spoiler sommaire un peu détaillé d’un manuel de 2° (dépôt légal 1982, Hachette, C. Gautier, D. Gerll, C. Thiercé, A. Warusfel) et des tomes Analyse et statistiques, géométrie 1°SetE (Armand Colin, 1982, collection P. Louquet)

2°:

1°: