[Maths 2de] Démontrations des propriétés du cours ?

Pour la démo des coordonnés du milieu oui Moonchild je fais comme tu viens de le dire. Évidemment ça passe au-dessus de 80 % de la classe j’en ai conscience. Mais après tout j’étais excellent en maths dans le Secondaire (bcp moins après...) et il m’est quand même arrivé de pas tout comprendre... donc à mes camarades aussi! 😂 Pour l’espace, j’aurais tendance à dire que parce que justement on en fait très peu en 1S (seulement en réinvestissement éventuel et donc plutôt conseillé!) que justement il est impératif d’en faire en Seconde. Cette année je me dis que je vais faire une heure d’arithmétique en Seconde pour entretenir le programme de collège pour les 4 qui feront spé maths en TS 😂

Balthazaard a écrit:

Moonchild a écrit:

mathmax a écrit:J'admets que M est le milieu ssi les vecteurs AM et MB sont égaux. Je ne devrais pas ?

Je ne vois pas pourquoi tu ne devrais pas...

Si je comprends bien, tu donnes cette formule après avoir traité les vecteurs (ce qui mathématiquement est parfaitement logique puisque toutes les propriétés des coordonnées résultent du calcul vectoriel dans une base), tandis que moi - et je m'en excuse platement - j'ai pour une fois tenté de suivre l'esprit du programme en donnant la formule pour le milieu avant d'avoir abordé les vecteurs ; du coup la démonstration de cette formule passerait par des projections sur les axes du repère et des considérations d'addition de longueurs de segments avec une interminable disjonction de cas selon la position respective des points (et de l'origine).

Si "logique" signifie "intuitif", indéniablement mais si cela signifie "rigoureux" comment définit-on les vecteurs?  Ce n'est ni polémique, ni critique et cela dépasse les élèves, mais j'aimerais savoir.

Disons que, une fois qu'on a donné une définition des vecteurs (par exemple par équipollence) et de leur multiplication par des réels ou qu'on a admis une pseudo-définition (le triptyque direction/sens/longueur est une arnaque mathématique, mais dans le contexte actuel c'est sans doute le moins mauvais compromis pédagogique), la démonstration des formules des coordonnées par le biais du calcul vectoriel constitue un ensemble cohérent de déductions logiques.
On est confronté au même problème avec les nombres entiers ou les nombres réels qui ne sont pas du tout définis dans le secondaire (quand on a essayé de le faire, ça s'est mal terminé) et pourtant on fait quand même parfois quelques démonstrations d'algèbre, d'analyse et d'arithmétique en se basant sur une "perception intuitive" de ces objets élémentaires qui fait office de pseudo-définition.

Moonchild a écrit:On est confronté au même problème avec les nombres entiers ou les nombres réels qui ne sont pas du tout définis dans le secondaire (quand on a essayé de le faire, ça s'est mal terminé) et pourtant on fait quand même parfois quelques démonstrations d'algèbre, d'analyse et d'arithmétique en se basant sur une "perception intuitive" de ces objets élémentaires qui fait office de pseudo-définition.

Ça...
Dès la définition du produit de deux nombres naturels, ça vire à la "cuisine" pédagogique.

JPhMM a écrit:

Moonchild a écrit:On est confronté au même problème avec les nombres entiers ou les nombres réels qui ne sont pas du tout définis dans le secondaire (quand on a essayé de le faire, ça s'est mal terminé) et pourtant on fait quand même parfois quelques démonstrations d'algèbre, d'analyse et d'arithmétique en se basant sur une "perception intuitive" de ces objets élémentaires qui fait office de pseudo-définition.

Ça...
Dès la définition du produit de deux nombres naturels, ça vire à la "cuisine" pédagogique.

Mon but n'est pas du tout de polémiquer mais je constate qu'il est très difficile de faire sentir la différence de nature entre 2 ; 1/2 ;1/3 ; rac(7) et pi, bien qu'on en ait parfois besoin dans les démonstrations élémentaires. Je ne suis pas sur que la perception soit si intuitive que cela. En fait je pense même qu'elle n'est pas intuitive du tout et que les élèves ne sont pas assez familiarisés avec les "nombres", je ne rejette la faute sur personne si ce n'est sur la baisse de niveau que tout le monde constate.
De mon temps,en 1975, en seconde C on envoyait la factorisation de la forme canonique pour en déduire les formules, je ne me souviens pas de ma réaction!
Par contre je me souviens que l'on avait construit l'anneau des polynômes façon Bourbaki, je ne sais pas si c'était au programme (les anneaux oui..)

Je n'ai pas si c'est approprié au sujet, mais j'ai toujours noté chez les secondes qu'ils résolvent x+a=b par x+a-a=b-a et qu'il résolvent de même xa=b par xa/a=b/a. C'est normal puisqu'ils étaient collégiens un an plus tôt, mais c'est handicapant pour la suite, surtout que certains conservent ces habitudes en première. Donc j'imagine que ce n'est pas inutile de leur rappeler comment résoudre une équation directement en pasant les termes d'un côté à l'autre de l'équation.

amelien a écrit:Je n'ai pas si c'est approprié au sujet, mais j'ai toujours noté chez les secondes qu'ils résolvent x+a=b par x+a-a=b-a et qu'il résolvent de même xa=b par xa/a=b/a. C'est normal puisqu'ils étaient collégiens un an plus tôt, mais c'est handicapant pour la suite, surtout que certains conservent ces habitudes en première. Donc j'imagine que ce n'est pas inutile de leur rappeler comment résoudre une équation directement en passant les termes d'un côté à l'autre de l'équation.

Je suis sceptique concernant l'idée de « passer un terme de l'autre côté »: pour que ça n'induise pas en erreur, il faut que l'élève ait une idée du groupement des opérations en opérations additives ou multiplicatives, et qu'en passant de l'autre côté une opération change de signe mais pas de nature. Cela n'est pas maîtrisé par tous les élèves au lycée, sinon on ne verrait pas d'élève incapable de simplifier 0/3. Je vois ceci étant dit deux possibilités alternatives:
-soit montrer sur un exemple la succession des deux étapes (transformation et simplification) en disant que maintenant il sont grands et ne sont pas obligés de rédiger l'étape intermédiaire;
-soit revenir (dans ces cas précis) aux méthodes d'avant la 4^ème, en faisant appel aux définitions des opérations - et ÷: b-a est le nombre qui ajouté à a donne b, et b/a (le quotient exact) est le nombre qui multiplié par a donne b. Ces définitions permet une résolution immédiate des équations sus-mentionnées.

amelien a écrit:Je n'ai pas si c'est approprié au sujet, mais j'ai toujours noté chez les secondes qu'ils résolvent x+a=b par x+a-a=b-a et qu'il résolvent de même xa=b par xa/a=b/a. C'est normal puisqu'ils étaient collégiens un an plus tôt, mais c'est handicapant pour la suite, surtout que certains conservent ces habitudes en première. Donc j'imagine que ce n'est pas inutile de leur rappeler comment résoudre une équation directement en pasant les termes d'un côté à l'autre de l'équation.

Parce que la France est très attachée à la tradition d'Al-Khawarizmi.
Après tout, il n'est pas interdit d'utiliser la définition du quotient.
Un élève peut tout à fait comprendre que si le quotient de a par b non nul est le nombre qui, multiplié par b, donne a,
alors (c x b = a avec b différent de zéro) <=> (c = a/b avec b différent de zéro), par définition du quotient.

Ilona a écrit:En 1986, j'étais en première S, et je suis certaine que les racines réelles d'un polynôme du second degré étaient abordées à ce niveau du lycée.

Même chose pour moi en 1999.
En seconde nous résolvions les polynômes du second degré par dichotomie. Je ne crois pas que c'était au programme, mais c'est un des trucs de maths qui m'ont le plus servi dans la suite de mes études.

amelien a écrit:Je n'ai pas si c'est approprié au sujet, mais j'ai toujours noté chez les secondes qu'ils résolvent x+a=b par x+a-a=b-a et qu'il résolvent de même xa=b par xa/a=b/a. C'est normal puisqu'ils étaient collégiens un an plus tôt, mais c'est handicapant pour la suite, surtout que certains conservent ces habitudes en première. Donc j'imagine que ce n'est pas inutile de leur rappeler comment résoudre une équation directement en pasant les termes d'un côté à l'autre de l'équation.

Je passe au contraire un temps fou à leur rappeler que "je passe de l'autre côté" n'est pas une opération mathématique. Donc je reviens trèèèès souvent aux étapes intermédiaires pour qu'ils cessent de penser que 2x=0 ça donne, après lancé d'une pièce de monnaie, -2 ou -0,5.
En STMG, rebelote, et parfois en TermS, on recommence, mais plutôt sur "non, e^x=e^y ssi x=y ne se fait pas en simplifiant les e"

Bref "passer de l'autre côté", "transposer" ça vaudrait le fouet chez moi en seconde si cette aide pédagogique était autorisée.

Hélips a écrit:

amelien a écrit:Je n'ai pas si c'est approprié au sujet, mais j'ai toujours noté chez les secondes qu'ils résolvent x+a=b par x+a-a=b-a et qu'il résolvent de même xa=b par xa/a=b/a. C'est normal puisqu'ils étaient collégiens un an plus tôt, mais c'est handicapant pour la suite, surtout que certains conservent ces habitudes en première. Donc j'imagine que ce n'est pas inutile de leur rappeler comment résoudre une équation directement en pasant les termes d'un côté à l'autre de l'équation.

Je passe au contraire un temps fou à leur rappeler que "je passe de l'autre côté" n'est pas une opération mathématique. Donc je reviens trèèèès souvent aux étapes intermédiaires pour qu'ils cessent de penser que 2x=0 ça donne, après lancé d'une pièce de monnaie, -2 ou -0,5.
En STMG, rebelote, et parfois en TermS, on recommence, mais plutôt sur "non, e^x=e^y ssi x=y ne se fait pas en simplifiant les e"

Bref "passer de l'autre côté", "transposer" ça vaudrait le fouet chez moi en seconde si cette aide pédagogique était autorisée.

Pareil. Quand j'étais élève, je n'ai jamais écrit le +a - a (et je me souvient pas qu'on me l'est montré mais je peux me tromper), mais d'un autre côté, je comprenais que quand on passait de l'autre côté, on annulait l'opération la plus "englobante".
Mais ce n'est pas le cas de tout les élèves, et on se retrouve donc avec des élèves qui passent de l'autre côté n'importe comment. On est donc obligé d'écrire les détails car comme ça ça évite qu'ils fassent n'importe quoi.

Hélips a écrit:

amelien a écrit:Je n'ai pas si c'est approprié au sujet, mais j'ai toujours noté chez les secondes qu'ils résolvent x+a=b par x+a-a=b-a et qu'il résolvent de même xa=b par xa/a=b/a. C'est normal puisqu'ils étaient collégiens un an plus tôt, mais c'est handicapant pour la suite, surtout que certains conservent ces habitudes en première. Donc j'imagine que ce n'est pas inutile de leur rappeler comment résoudre une équation directement en pasant les termes d'un côté à l'autre de l'équation.

Je passe au contraire un temps fou à leur rappeler que "je passe de l'autre côté" n'est pas une opération mathématique. Donc je reviens trèèèès souvent aux étapes intermédiaires pour qu'ils cessent de penser que 2x=0 ça donne, après lancé d'une pièce de monnaie, -2 ou -0,5.
En STMG, rebelote, et parfois en TermS, on recommence, mais plutôt sur "non, e^x=e^y ssi x=y ne se fait pas en simplifiant les e"

Bref "passer de l'autre côté", "transposer" ça vaudrait le fouet chez moi en seconde si cette aide pédagogique était autorisée.

Tout pareil... je me tue à leur dire "oubliez ce que vous disent vos parents, grands frères, profs particuliers ou sites internet : non, on ne passe pas de l'autre côté en changeant de signe."
Bon, après je tempère, bien sûr : oui, en raccourci, dans sa tête, on se dit qu'on va passer tous les x à gauche et le reste à droite... mais en mathématiques, on doit être conscient que ce qu'on fait, c'est tenter d'annuler un terme en ajoutant son opposé aux deux membres. Et pour les inéquations, c'est vital d'avoir compris l'opération qu'on est en train de faire : multiplier ou diviser par un négatif change le sens de l'inégalité, mais pas ajouter un négatif...
Et concernant les étapes, je les laisse libre d'écrire celles qu'ils veulent, en disant que le minimum attendu, c'est de transformer 7x-5=2x+4 en 5x=9 puis x=9/5, avec ou sans étape selon ce dont ils se sentent capable (et je n'écris déjà plus les étapes intermédiaires, sauf ponctuellement pour réexpliquer)


Cela dit, je rejoins JPhMM : j'ai appris autrefois que si a+x=b alors x est la différence b-a ; et si ax=b alors x est, par définition, le quotient b/a ; je me souviens avoir travaillé là-dessus en primaire, et c'est à partir de ça qu'on résolvait les équations directement. Mais je doute que nos élèves aient suffisamment saisi ça... et même qu'on leur ait réellement expliqué.

Pat B a écrit:Cela dit, je rejoins JPhMM : j'ai appris autrefois que si a+x=b alors x est la différence b-a ; et si ax=b alors x est, par définition, le quotient b/a ; je me souviens avoir travaillé là-dessus en primaire, et c'est à partir de ça qu'on résolvait les équations directement. Mais je doute que nos élèves aient suffisamment saisi ça... et même qu'on leur ait réellement expliqué.

En tout cas, c'est ainsi qu'on nous enjoint de présenter la différence et le quotient en collège.
Je n'arrive pas à savoir si c'est une meilleure façon qu'une autre :|

William Foster a écrit:

Pat B a écrit:Cela dit, je rejoins JPhMM : j'ai appris autrefois que si a+x=b alors x est la différence b-a ; et si ax=b alors x est, par définition, le quotient b/a ; je me souviens avoir travaillé là-dessus en primaire, et c'est à partir de ça qu'on résolvait les équations directement. Mais je doute que nos élèves aient suffisamment saisi ça... et même qu'on leur ait réellement expliqué.

En tout cas, c'est ainsi qu'on nous enjoint de présenter la différence et le quotient en collège.
Je n'arrive pas à savoir si c'est une meilleure façon qu'une autre :|

Ceci étant dit, dans les deux cas ce n'est pas le premier contact que les élèves ont avec l'opération: ils pouvaient déjà observer au primaire que si l'on retranche puis ajoute le même nombre, on retrouve le nombre de départ, et que si on multiplie (par exemple, avec des fractions actionnelles) 2/3 par 3 on retrouve 2.
Pour moi les véritables nouveautés sont qu'on donne ainsi un sens au fait de soustraire un nombre négatif, et qu'on fait le lien entre la fraction et la division.

Hélips a écrit:Bref "passer de l'autre côté", "transposer" ça vaudrait le fouet chez moi en seconde si cette aide pédagogique était autorisée.

Je pense au contraire qu'il faut encourager les automatismes en calcul littéral, une fois que la logique sous-jacente est comprise.

Ma femme corrige des copies de fac en physique et dès qu'elle trouve une "perle", elle me sort la copie et on en discute brièvement. Il y a bien entendu le cos (2x) = 2 cos (x), grand classique, observé sur des dizaines de copies, mais également - même au niveau licence ou maîtrise, des élèves qui ont des difficultés à résoudre des équations du premier ou du second degré et ne maîtrisent pas les bases. Quand j'ai eu mon bac dans les années 80, on savait tous développer, ordonner, factoriser et résoudre des équations simples du premier et du second degré. Et j'ajouterais "avec une certaine rapidité".

L'exemple de la résolution de ax+b=c est un exemple parmi d'autres. Ecrire que ax=c-b fait partie des automatismes nécessaires. Ensuite, quand il s'agit de résoudre ax=b, j'explique aux élèves qu'on peut tracer "mentalement" un tableau de proportionnalité et manipuler les termes dans ce tableau de proportionnalité. Cela a l'avantage de fonctionner aussi pour les cas xa/b=c/d. L'élève doit comprendre, presque visuellement, ce qu'il est permis de manipuler dans l'équation et ce qui ne l'est pas.

J'ai donc une position assez utilitariste sur la question. Par contre, je suis conscient que l'élève n'a pas forcément le recul pour comprendre que les équations sont transposées, qu'il ne s'agit pas nécessairement des mêmes équations, etc ...

Dans mes explications, je dis aux élèves qu'il existe une technique de résolution "traditionnelle", qui permet de résoudre l'équation étape par étape. C'est là que j'utilise une balance et que j'ajoute,je retranche, je divise ou je multiplie de chaque côté. Quand c'est bien maîtrisé, j'explique qu'il existe une méthode "rapide" pour faire les mêmes opérations et c'est là que j'introduis les techniques citées précédemment. Je leur précise que dans les milieux scientifiques, tout le monde utilise la méthode "rapide".

Est-ce que je mérite le fouet ?

Le problème se situe à mon avis bien davantage dans l'acquisition des priorités opératoires, les élèves ont de plus en plus de mal à en acquérir les règles, et à les appliquer.

Tout à fait d'accord. En début d'année, premier cours, je montre que toute soustraction peut être exprimée sous forme d'un addition et que toute division sous forme d'une multiplication. Additions et soustractions ont même priorité. Multiplication et division ont même priorité. Il n'existe que deux opérateur x et + et la x est prioritaire. Ensuite, j'introduis la distributivité. Identités remarquables, etc ... On fait tous ce cours. Je m'assoie sur les programmes en introduisant la notion d'opérateur. Je l'ai fait avec le petit groupe de troisièmes que j'ai chaque mardi en club maths, ils ont parfaitement compris.

Mais une fois que c'est compris, il faut des automatismes.

JPhMM a écrit:Le problème se situe à mon avis bien davantage dans l'acquisition des priorités opératoires, les élèves ont de plus en plus de mal à en acquérir les règles, et à les appliquer.

Et dans leur application au calcul littéral. Les règles opératoires sont souvent mieux connues et comprises lorsqu'on les utilise dans du tout numérique…

J'ai cru ça longtemps.
Je sais maintenant que c'est faux. Passer par du tout numérique ne permet pas d'abstraire, et c'est l'abstraction qui permet de progresser.

ben2510 a écrit:J'ai cru ça longtemps.
Je sais maintenant que c'est faux. Passer par du tout numérique ne permet pas d'abstraire, et c'est l'abstraction qui permet de progresser.

Je ne suis pas certain de voir la contradiction… ce que je dis c'est que certains élèves semblent mieux comprendre (par exemple) « 7^(3+5) = 7^3×7^5, et ça marche avec d'autres nombres à la place » que « a^(x+y) = a^x × a^y ». L'objectif reste bien sûr que les élèves arrivent à comprendre et à s'approprier la deuxième forme.

amelien a écrit:

Hélips a écrit:Bref "passer de l'autre côté", "transposer" ça vaudrait le fouet chez moi en seconde si cette aide pédagogique était autorisée.

Je pense au contraire qu'il faut encourager les automatismes en calcul littéral, une fois que la logique sous-jacente est comprise.

Sauf que lorsque les élèves jouent aux dés pour trouver la solution de 2x=0, ça montre bien qu'ils n'ont pas compris la logique sous-jacente. Donc je maintiens, personne ne transpose, personne n'utilise la "méthode rapide" dans mon cours. Il y a ceux qui ont besoin d'écrire les étapes intermédiaires (et donc qui les écrivent) et ceux qui n'en ont pas besoin (et donc qui ne les écrivent pas).
Chacun ses marottes, la mienne c'est de bannir tout ce qui pourrait ressembler à une formule magique parce qu'on n'a pas compris d'où ça sort et qu'on applique sans rien comprendre (en seconde et en classes scientifiques au moins).

Hélips a écrit:

amelien a écrit:

Hélips a écrit:Bref "passer de l'autre côté", "transposer" ça vaudrait le fouet chez moi en seconde si cette aide pédagogique était autorisée.

Je pense au contraire qu'il faut encourager les automatismes en calcul littéral, une fois que la logique sous-jacente est comprise.

Sauf que lorsque les élèves jouent aux dés pour trouver la solution de 2x=0, ça montre bien qu'ils n'ont pas compris la logique sous-jacente. Donc je maintiens, personne ne transpose, personne n'utilise la "méthode rapide" dans mon cours. Il y a ceux qui ont besoin d'écrire les étapes intermédiaires (et donc qui les écrivent) et ceux qui n'en ont pas besoin (et donc qui ne les écrivent pas).
Chacun ses marottes, la mienne c'est de bannir tout ce qui pourrait ressembler à une formule magique parce qu'on n'a pas compris d'où ça sort et qu'on applique sans rien comprendre (en seconde et en classes scientifiques au moins).

Et heureusement bien d'autres personnes défendent ce même point de vue.

Dans mes bras !

Idem pour moi, beaucoup de mes élèves pensent que changer de côté revient à changer de signe et de fait résolvent 2x = 7 par x = 7/-2 (ou -2/7 aussi ), et je dois revenir aux propriétés de 4eme.

Balthazaard a écrit:
Mon but n'est pas du tout de polémiquer mais je constate qu'il est très difficile de faire sentir la différence de nature entre 2 ; 1/2 ;1/3 ; rac(7) et pi, bien qu'on en ait parfois besoin dans les démonstrations élémentaires. Je ne suis pas sur que la perception soit si intuitive que cela. En fait je pense même qu'elle n'est pas intuitive du tout et que les élèves ne sont pas assez familiarisés avec les "nombres", je ne rejette la faute sur personne si ce n'est sur la baisse de niveau que tout le monde constate.
De mon temps,en 1975, en seconde C on envoyait la factorisation de la forme canonique pour en déduire les formules, je ne me souviens pas de ma réaction!
Par contre je me souviens que l'on avait construit l'anneau des polynômes façon Bourbaki, je ne sais pas si c'était au programme (les anneaux oui..)

On ne m'a jamais expliqué à quoi servent les nombres, pourquoi on a imaginé des fractions, des racines carrés, des nombres imaginaires. C'est dommage, au final ça prends très peu de temps, et ça clarifie pas mal de chose !

Pour le reste, en tant que professeur de physique chimie, je m'oblige à écrire toutes les étapes quand je corrige, mais je n'oblige personne à le faire. Je m'oblige même à mettre dans une autre couleur l'opération introduite à chaque ligne...

wilfried12 a écrit:Idem pour moi, beaucoup de mes élèves pensent que changer de côté revient à changer de signe et de fait résolvent 2x = 7  par x = 7/-2 (ou -2/7 aussi    ), et je dois revenir aux propriétés de 4eme.

Beaucoup d'élèves ont entendu qu'on "passe de l'autre côté en changeant de signe", alors qu'on "passe de l'autre côté en changeant d'opération".
Pour traiter ton exemple, je dirais: "le 2 doit passer de l'autre côté, il est "attaché" par une multiplication, donc il doit arriver en division".

Vous pouvez sortir le fouet si vous voulez, mais les élèves de lycée auxquels on présente comme ça finissent par acquérir les automatismes. En revanche il faut le redire de manière systématique à chaque fois qu'on résout une équation, et pas se contenter de le montrer une fois dans l'année.

C'est ce genre d'automatismes qui étaient enseignés il y a bien longtemps. À mon avis, c'est la mode d'écrire les opérations de chaque côté (du type 2x = 7 <=> 2x/2 = 7/2 <=> x = 7/2) qui fait des ravages. Bien sûr cette mode part d'une bonne intention : les élèves sont censés "comprendre le pourquoi" et pas "appliquer bêtement", mais au final on n'obtient ni l'un ni l'autre.

Ah mais c'est bien ce que je leur dis, mais ce n'est pas forcément suffisant, une fois qu'ils ont en tête quelque chose de faux, c'est assez dur d'y remédier.