Division euclidienne et notation 6e

En effet, pourquoi cela devrait-il nécessairement avoir un lien ?

Cassiopella, tu enseignes bien les maths en collège comme ton profil l'indique ? Je m'étonne que tu n'aies pas connaissance de la différence entre division décimale et division euclidienne, puisque la distinction entre les deux est clairement étudiée en collège. :-/

D'ailleurs, question aux PE d'ici : comment définit-on la division euclidienne aux élèves de primaire ?
Par exemple :
* 28 : 5 = 5,6 (division décimale) et 28 : 5 donne un quotient de 5 et un reste de 3 (division euclidienne)
* mais 30 : 5 = 6 (les 6ème me disent souvent "ah ben c'est pas une division euclidienne parce qu'il y a pas de reste" car pour eux "reste nul" = "pas de reste", or pour moi la division euclidienne de 30 par 5 donne un quotient de 6 et un reste de 0, et c'est bien une division euclidienne).

X.Y.U. a écrit:D'ailleurs, question aux PE d'ici : comment définit-on la division euclidienne aux élèves de primaire ?
Par exemple :
* 28 : 5 = 5,6 (division décimale) et 28 : 5 donne un quotient de 5 et un reste de 3 (division euclidienne)
* mais 30 : 5 = 6 (les 6ème me disent souvent "ah ben c'est pas une division euclidienne parce qu'il y a pas de reste" car pour eux "reste nul" = "pas de reste", or pour moi la division euclidienne de 30 par 5 donne un quotient de 6 et un reste de 0, et c'est bien une division euclidienne).

Je croirais entendre des histoires de carrés et de rectangles…

X.Y.U. a écrit:
D'ailleurs, question aux PE d'ici : comment définit-on la division euclidienne aux élèves de primaire ?

Je ne suis pas PE, mais pour moi on ne la définit pas. Pourquoi le ferait-on ? Cela n'a pas de sens, la division est une multiplication inversée, parler de division euclidienne n'a pas de sens au primaire.

La division, c'est la multiplication à l'envers, ce qui impose qu'elle tombe juste. Le reste est ce qu'il faut enlever au minimum au dividende pour faire fonctionner la division.

Définir la division euclidienne, c'est essayer de formaliser cet ensemble. C'est dire qu'il est toujours possible d'enlever au dividende un nombre strictement plus petit que le diviseur pour avoir une multiplication qui s'inverse. C'est à la fois trivial (les multiples du diviseurs sont espacés de la valeur du diviseur) et complètement abstrait. D'ailleurs pourquoi appeler cela une division? Quand on dit que 75 divisé par 9 donne 8 avec un reste de 3, ce n'est pas 75 divisé par 9 qui donne 8, c'est 72.

La «bonne» écriture pour la division euclidienne, ce n'est pas 75=8×9 + 3, c'est 75/9 = 8 + 3/9. Si on partage 75 unités en 9, on trouve 8 unités et il reste 3 unités à partager en 9 aussi.

Ce qui m'embête dans 75:9=8r3, c'est que 'r' n'est pas une opération mathématique et que son sens me semble être à l'extérieur de l'égalité. Comme si on écrivait '75:9=8, cette égalité donnant un reste de 3'. Mais ce n'est pas très grave. L'égalité comme relation d'équivalence, ce n'est pas pour le primaire, c'est pour le secondaire, on a le temps de fixer les choses. Vouloir imposer dès le CP une égalité au sens algébrique est probablement anticiper un peu trop les choses. L'égalité pour indiquer un résultat d'opération, c'est un bon début.

On peut passer des heures à donner le quotient et le reste sous cette forme 8r3, au moins on calcule le quotient et le reste, et on associe ça à la division par l'écriture 75:9=8r3. C'est simple et efficace. Si un inspecteur râle pour le '=', on met une flèche à la place et on n'en parle plus.

Mathador a écrit:

X.Y.U. a écrit:D'ailleurs, question aux PE d'ici : comment définit-on la division euclidienne aux élèves de primaire ?
Par exemple :
* 28 : 5 = 5,6 (division décimale) et 28 : 5 donne un quotient de 5 et un reste de 3 (division euclidienne)
* mais 30 : 5 = 6 (les 6ème me disent souvent "ah ben c'est pas une division euclidienne parce qu'il y a pas de reste" car pour eux "reste nul" = "pas de reste", or pour moi la division euclidienne de 30 par 5 donne un quotient de 6 et un reste de 0, et c'est bien une division euclidienne).

Je croirais entendre des histoires de carrés et de rectangles…

Je veux bien aussi la réponse au sujet des définitions des carrés et des rectangles en primaire, oui ! Je vois les aberrations dans les leçons de ma fille........ :-/ et toutes les idées fausses ancrées dans les têtes des ptits 6ème qui débarquent au collège.

A défaut de donner une définition, expliquer clairement quand on utilise l'une ou l'autre ne fait pas de mal !

Quand on veut et qu'on peut diviser l'unité du dividende.
Quand on ne veut pas ou qu'on ne peut pas diviser l'unité du dividende.

Après pour le classique "un carré est il un rectangle ?" qui fait répondre à 95% des élèves de la classe en début de 6eme un "noooon" plein d'assurance car pour eux ce sont deux familles différentes et non l'une qui est un cas particulier de l'autre.... je remarquerai que des stagiaires qui viennent d'avoir le CAPES ne comprenne pas pourquoi j'insiste sur "au moins deux côtés de même mesure" quand je défini le triangle isocèle pour justement éviter que le triangle équilatéral se retrouve éjecté de cette catégorie...

X.Y.U. a écrit:

Mathador a écrit:

X.Y.U. a écrit:D'ailleurs, question aux PE d'ici : comment définit-on la division euclidienne aux élèves de primaire ?
Par exemple :
* 28 : 5 = 5,6 (division décimale) et 28 : 5 donne un quotient de 5 et un reste de 3 (division euclidienne)
* mais 30 : 5 = 6 (les 6ème me disent souvent "ah ben c'est pas une division euclidienne parce qu'il y a pas de reste" car pour eux "reste nul" = "pas de reste", or pour moi la division euclidienne de 30 par 5 donne un quotient de 6 et un reste de 0, et c'est bien une division euclidienne).

Je croirais entendre des histoires de carrés et de rectangles…

Je veux bien aussi la réponse au sujet des définitions des carrés et des rectangles en primaire, oui ! Je vois les aberrations dans les leçons de ma fille........ :-/ et toutes les idées fausses ancrées dans les têtes des ptits 6ème qui débarquent au collège.

Je me souviens que cela avait déjà été débattu sur Néo, mais on en revient au même type de problème: classification unique d'un objet ou d'une opération (ce que semblent faire certains PE) vs. classifications imbriquées des plus générales aux plus particulières (ce que l'on attend au collège).

RequiemForADream a écrit:Après pour le classique "un carré est il un rectangle ?" qui fait répondre à 95% des élèves de la classe en début de 6eme un "noooon" plein d'assurance car pour eux ce sont deux familles différentes et non l'une qui est un cas particulier de l'autre.... je remarquerai que des stagiaires qui viennent d'avoir le CAPES ne comprenne pas pourquoi j'insiste sur "au moins deux côtés de même mesure" quand je défini le triangle isocèle pour justement éviter que le triangle équilatéral se retrouve éjecté de cette catégorie...

Si on m'avait interrogé là-dessus je n'aurais pas mis de « au moins » car pour moi « deux côtés de même mesure » veut déjà dire « il existe un couple de côtés ayant même mesure » c'est-à-dire « AB=AC ou BA=BC ou CA=CB », prédicat vérifié par les triangles équilatéraux.

Toute la différence entre "au moins" et "exactement" quand rien n'est précisé... en 6e je trouve utile de le preciser pour justement les ramener tranquillement à l'idee que si nous n'en avons besoin que de deux pour avoir ce nom, alors en avoir trois n'est pas rédhibitoires (car oui trop spuvent j'ai entendu qu'un triangle equilateral n'était pas isocèle :-/ ).

Mathador a écrit:

RequiemForADream a écrit:Après pour le classique "un carré est il un rectangle ?" qui fait répondre à 95% des élèves de la classe en début de 6eme un "noooon" plein d'assurance car pour eux ce sont deux familles différentes et non l'une qui est un cas particulier de l'autre.... je remarquerai que des stagiaires qui viennent d'avoir le CAPES ne comprenne pas pourquoi j'insiste sur "au moins deux côtés de même mesure" quand je défini le triangle isocèle pour justement éviter que le triangle équilatéral se retrouve éjecté de cette catégorie...

Si on m'avait interrogé là-dessus je n'aurais pas mis de « au moins » car pour moi « deux côtés de même mesure » veut déjà dire « il existe un couple de côtés ayant même mesure » c'est-à-dire « AB=AC ou BA=BC ou CA=CB », prédicat vérifié par les triangles équilatéraux.

Pour toi oui mais pour des élèves de 6eme qui commencent à peine leur formation en mathématiques ce n'est pas si évident.

AmyR a écrit:

Mathador a écrit:

RequiemForADream a écrit:Après pour le classique "un carré est il un rectangle ?" qui fait répondre à 95% des élèves de la classe en début de 6eme un "noooon" plein d'assurance car pour eux ce sont deux familles différentes et non l'une qui est un cas particulier de l'autre.... je remarquerai que des stagiaires qui viennent d'avoir le CAPES ne comprenne pas pourquoi j'insiste sur "au moins deux côtés de même mesure" quand je défini le triangle isocèle pour justement éviter que le triangle équilatéral se retrouve éjecté de cette catégorie...

Si on m'avait interrogé là-dessus je n'aurais pas mis de « au moins » car pour moi « deux côtés de même mesure » veut déjà dire « il existe un couple de côtés ayant même mesure » c'est-à-dire « AB=AC ou BA=BC ou CA=CB », prédicat vérifié par les triangles équilatéraux.

Pour toi oui mais pour des élèves de 6eme qui commencent à peine leur formation en mathématiques ce n'est pas si évident.

En même, ajouter un insistant au moins, c'est s'éviter de faire comprendre que "deux côtés égaux" ne veut pas dire "exactement deux".

X.Y.U. a écrit:
Cassiopella, tu enseignes bien les maths en collège comme ton profil l'indique ? Je m'étonne que tu n'aies pas connaissance de la différence entre division décimale et division euclidienne

Ce n'est pas ce que j'ai dis, on parlait du contexte. @Proton et @Pat_B ont répondu à ma question.

Manu7 a écrit:En 2021, n'oublions pas d'être agréables entre nous. Oui cassiopella apporte une autre vision qui parfois nous dérange et alors ? Quel est l'intérêt de débattre uniquement avec des personnes du même avis ?

Bonne année 2021.
Quand j'ai fait des remarques sur cassiopella on était encore en 2020. C'est le passé.
Mais, même si on est en 2021, il n'en reste pas moins vrai qu'au mauvais vieux temps du « bourbakisme » la France était plutôt en tête du classement TIMSS.
On peut donc se demander pourquoi de mauvaises méthodes conduisaient à de bons résultats.

Manu7 a écrit: . . .Si un jour on nous dit que l'écriture officielle de la division euclidienne c'est 32 : 5 = 6 R 2 et bien on devra bien l'accepter, non ? Et dans 30 ans les profs de maths pourront défendre cette écriture en disant qu'elle est formidable.

Je suis d'accord avec la première proposition : si on me l'avais imposé, je l'aurais enseignée.  
Mais si on l'impose on peut prédire que dans trente ans des profs de maths pourront défendre cette écriture en disant qu'elle est formidable. Pas les profs de maths.

Manu7 a écrit:C'est comme l'histoire du théorème de Pythagore au collège, pendant 5 ou 6 ans, on nous a dit d'enseigner Pythagore comme une équivalence et ensuite on est revenu à Pythagore direct et réciproque. Pour ma part, j'étais très à l'aise avec la version équivalence car c'est ainsi que je l'ai appris au collège, mais personne n'a raison ou tort. Sauf qu'en France, on change tout régulièrement et on peut même changer d'un prof à l'autre, comment après tous ces revirements faire croire aux élèves que nous enseignons une science rigoureuse ?
Le pire dans cet exemple de Pythagore c'est qu'à la correction du DNB, des profs voulaient absolument retirer des points pour ceux qui oubliaient "réciproque" alors que ce n'était plus au programme !!! En clair, on finit par reprocher aux élèves de bien rédiger comme on leur a appris !!!

Il me semble que les propositions « A<=> B » et « (A => B) et (B=>A) » sont identiques.

Quand aux profs de maths qui retirent des points quand on ne respecte pas leur manies, je dirais que ce n'est malheureusement pas une espèce en voie extinction.
Je me souviens d'un élève de première venu contester sa note pour le premier contrôle de l'année. Il avait 17 et quand il est venu me demander le pourquoi de cette note je lui ai indiqué ses erreurs.
Et ce n'était pas du tout sa question : il avait mis son nom à droite et la date à gauche, il avait souligné les résultats sans changer de couleur au lieu de les encadrer dans une autre couleur etc. Et il trouvait sa note trop bonne.
Effectivement il n'avait jamais dépassé 12 de moyenne en math les années précédentes.
Il est vrai que c'était un élève désagréable : trop bon et trop peu servile.
Mais il a fini avec un premier prix au concours général, pas en math, en physique. Ce qui demande quand même des compétences mathématiques nettement au-dessus de la moyenne.

En conclusion de cette anecdote je me demande si certains collègues sont capables de comprendre un raisonnement qui n'est pas celui qu'ils ont prévu.
Et je pleure.

Il me semble que les propositions « A<=> B » et « (A => B) et (B=>A) » sont identiques.

Oui mais certains profs de maths n'acceptent pas l'idée que " A <=> B " s'appelle le théorème de Pythagore car pour eux cela doit être " A => B ".

Manu7 a écrit:

Il me semble que les propositions « A<=> B » et « (A => B) et (B=>A) » sont identiques.

Oui mais certains profs de maths n'acceptent pas l'idée que " A <=> B " s'appelle le théorème de Pythagore car pour eux cela doit être " A => B ".

La question a déjà été abordée ici:
https://www.neoprofs.org/t53770-question-concernant-le-theoreme-de-pythagore

61 = 3 x 19 + 4 est l'écriture de la division euclidienne de 61 par 19. MAIS ce n'est pas l'écriture de la division euclidienne de 61 par 3.
Depuis le début on parle de LA division euclidienne comme si c'était une notion intuitive. Or pas du tout.
Dans N, a = b x q + r est la division euclidienne de a par b si (et seulement si), a , b, q et r sont entiers naturels ET 0 <= r < b
Je ne vous inflige pas la définition dans Z ... et pourtant ...

Voltaire a écrit:
Dans N Z, a = b x q + r est la division euclidienne de a par b si (et seulement si), a , b, q et r sont entiers naturels ET 0 <= r < |b|
Je ne vous inflige pas rappelle la définition dans Z ... et pourtant ...

Hopopop.

Bah, c'est juste que - 61 = 4 x (- 19) + 15, division euclidienne de - 61 par - 19, cela n'est pas si évident
(et bien sûr - 61 = - 4x 19 + 15, 61 = (- 4) x (- 19) + 4 divisions euclidiennes de - 61 par 19 et de 61 par - 19)
Mais cela sort clairement du cadre de ce fil.

Gardons ces subtilités pour l'année de terminale en Maths Expertes (au troisième trimestre).

Voltaire a écrit:Bah, c'est juste que - 61 = 4 x (- 19) + 15, division euclidienne de - 61 par - 19, cela n'est pas si évident

Et d'ailleurs les environnements informatiques ne sont pas forcément d'accord:

Code:

>>> (-61)/(-19)
3
>>> (-61)%(-19)
-4

(Python 2 sous Linux amd64)

Code:

>>> (-61)//(-19)
3
>>> (-61)%(-19)
-4

(Python 3 sous Linux amd64, idem sous Linux armhf)

Code:

# (-61)/(-19);;    
- : int = 3
# (-61) mod (-19);;
- : int = -4

(OCaml sous Linux amd64)

Et encore, ici les langages que j'ai testés sont d'accord entre eux. Ce n'est pas toujours le cas:

Code:

>>> (-61)//(19)
-4
>>> (-61)%(19)
15

(Python 3, Linux amd64)

Code:

# (-61)/(19);;   
- : int = -3
# (-61) mod (19);;
- : int = -4

(OCaml, Linux amd64)

Les mathématiques et l'informatique, vaste débat ... cependant un reste négatif pour une division euclidienne, comment dire ... c'est quand, pour faire le partage, on doit donner de sa propre poche ?