Question concernant le théorème de Pythagore

Bonjour à tous,

Une épineuse question à vous soumettre ainsi que mon point de vue.

Lorsque j'ai appris le théorème de Pythagore, il s'agissait d'une équivalence, l'égalité étant une propriété caractéristique du triangle rectangle dans un espace euclidien, idée qui resurgit dans le socle puisqu'il ne semble plus qu'il faille parler de propriété de Pythagore ou de propriété réciproque de la propriété de Pythagore.

Mais le souci n'est pas là pour moi. Il est sur la sémantique lorsque j'entends parler de réciproque du théorème de Pythagore qui a mon sens n'existe pas puisque ce théorème est une équivalence. Pour moi, le découpage en deux propriétés a été fait dans les programmes il y déjà de très nombreuses années pour ne plus aborder le problème de la condition nécessaire et suffisante au niveau collège. Le théorème se décomposant donc en deux propriétés (l'une directe et l'autre réciproque, avec bien sûr la contraposée de la propriété directe, la contraposée de la propriété réciproque n'ayant pas beaucoup d'intérêt). Et je me suis donc heurté en retour à un collègue donnant des cours particuliers à un de mes élèves de seconde qui lui a dit que j'avais tort (soyez sans crainte, cela ne me dérange pas plus que cela) en disant que la réciproque du théorème de Pythagore n'existait pas. Et qu'il suffisait pour moi d'invoquer le théorème de Pythagore ou si on veut être précis, la réciproque de la propriété de Pythagore pour démontrer qu'un triangle est rectangle.

Merci de vos avis sur la question pour qu'on puisse tous avancer ensemble !!

Extrait du programme "officiel" de quatrième :
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- Caractériser le triangle rectangle par l’égalité de
Pythagore.
- Calculer la longueur d’un côté d’un triangle
rectangle à partir de celles des deux autres.

On ne distingue pas le théorème de Pythagore direct
de sa réciproque (ni de sa forme contraposée). On
considère que l’égalité de Pythagore caractérise la
propriété d’être rectangle.
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Mais je crois que beaucoup de collègues continuent à utiliser le "théorème de Pythagore".
Par exemple si on pose la question "ce triangle ABC est-t-il rectangle ?"
D'une part : le plus grand côté est BC et BC²=...
D'autre part : BA²+AC²=...
-OU bien donc BC² différents de BA²+AC² : le triangle ABC n'est pas rectangle d'après le théorème de Pythagore. (certains parlent de contraposition ou d'un raisonnement par l'absurde)
-OU bien donc BC² = BA²+AC² : le triangle ABC est rectangle d'après la réciproque du théorème de Pythagore.
D'après les programmes, il suffirait de justifier dans les deux cas par "d'après l'égalité de Pytagore" ?

La collègue qui annonce que le théorème de Pythagore ou sa réciproque n'existeraient pas se réfère peut-être au programme ? Ou l'élève a rapporté cette annonce à sa façon ?

Il est question de Pythagore dans la première vidéo de présentation de
http://rdassonval.free.fr/flash/flash.html
et quelques programmes en FLASH sont dans la page de quatrième de ce site.

Bonjour.

Le théorème de Pythagore ne me semble que très rarement avoir été considéré comme une équivalence. D'ailleurs, son énoncé « Le carré de la longueur de l’hypoténuse d'un triangle rectangle est égal à la somme des carrés des longueurs des cathètes. » n'induit aucune équivalence, et ne contient nullement l'affirmation selon laquelle un triangle qui vérifie cette égalité serait nécessairement rectangle.

Le découpage en deux théorèmes est ancien. Notons d'ailleurs qu'Euclide lui-même énonce à part la réciproque.

Théorème direct.



Théorème réciproque.



http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k68013g.image.f83.pagination

Je songe donc que le découpage en théorème et théorème réciproque n'est pas le fait de quelque lubie de l'éducation nationale.

dasson a écrit:Extrait du programme "officiel" de quatrième :
- Caractériser le triangle rectangle par l’égalité de Pythagore.

Il s'agirait aussi de définir le mot "caractérisation". Car le problème est bien ici la définition. Pour le dire simplement, une caractérisation figure une définition. Ce qui est propre à la notion définie l'est par sa caractérisation.
Est-ce à dire que ce qui est propre à la notion de triangle rectangle est l'égalité de Pythagore et non plus l'angle droit ?

On pourrait aussi voir cette relation de Pythagore comme un axiome de "construction" d'un espace euclidien. Il y a en effet plusieurs manières de procéder, et d'ailleurs celle d'Euclide est incomplète.

En effet (et c'est bien je crois le sens de cette injonction de caractérisation) mais alors il faudrait réécrire quasiment l'ensemble de la géométrie du collège à partir de cette caractérisation.

JPhMM a écrit:

dasson a écrit:Extrait du programme "officiel" de quatrième :
- Caractériser le triangle rectangle par l’égalité de Pythagore.

Il s'agirait aussi de définir le mot "caractérisation". Car le problème est bien ici la définition. Pour le dire simplement, une caractérisation figure une définition. Ce qui est propre à la notion définie l'est par sa caractérisation.
Est-ce à dire que ce qui est propre à la notion de triangle rectangle est l'égalité de Pythagore et non plus l'angle droit ?

Une propriété caractéristique peut être choisie comme défininition puisqu’elle y est équivalente, mais rien n’oblige à le faire.
Pour les triangles, si on démontre que vérifier l’égalité de Pythagore est équivalent à avoir un angle droit, alors les deux propriétés sont le propre des triangles rectangles, le choix de l’une ou l’autre comme définition n’est qu’une préférence pédagogique, d’un point de vue purement mathématique c’est pareil de choisir l’une ou l’autre ou d’énoncer un théorème-définition qui dit « Les deux propriétés suivantes sont équivalentes. Les triangles qui les vérifient sont appelés triangles rectangles. »

En effet.
Mais alors, quelle différence entre la propriété caractéristique d'une notion et une proposition équivalente à sa définition ?

Rodolphe06800 a écrit:Bonjour à tous,

Une épineuse question à vous soumettre ainsi que mon point de vue.

Lorsque j'ai appris le théorème de Pythagore, il s'agissait d'une équivalence, l'égalité étant une propriété caractéristique du triangle rectangle dans un espace euclidien, idée qui resurgit dans le socle puisqu'il ne semble plus qu'il faille parler de propriété de Pythagore ou de propriété réciproque de la propriété de Pythagore.

Une équivalence est démontré par deux implications (une dans chaque sens). Il me semble dangereux de le cacher aux élèves. Bien sur on peut dire qu'il s'agit d'une propriété caractéristique des espaces euclidiens, mais niveau collège ou lycée, il me semble que ça relève du délire. Je me vois assez mal en seconde faire de la théorie sur les formes quadratiques.

Rodolphe06800 a écrit:Mais le souci n'est pas là pour moi. Il est sur la sémantique lorsque j'entends parler de réciproque du théorème de Pythagore qui a mon sens n'existe pas puisque ce théorème est une équivalence. Pour moi, le découpage en deux propriétés a été fait dans les programmes il y déjà de très nombreuses années pour ne plus aborder le problème de la condition nécessaire et suffisante au niveau collège.

Le découpage a été fait depuis très longtemps pour aborder le problème des conditions nécessaires et suffisantes.
Si on ne considère que des équivalences, on perd la quasi totalité de la logique.

Rodolphe06800 a écrit: Le théorème se décomposant donc en deux propriétés (l'une directe et l'autre réciproque, avec bien sûr la contraposée de la propriété directe, la contraposée de la propriété réciproque n'ayant pas beaucoup d'intérêt). Et je me suis donc heurté en retour à un collègue donnant des cours particuliers à un de mes élèves de seconde qui lui a dit que j'avais tort (soyez sans crainte, cela ne me dérange pas plus que cela) en disant que la réciproque du théorème de Pythagore n'existait pas. Et qu'il suffisait pour moi d'invoquer le théorème de Pythagore ou si on veut être précis, la réciproque de la propriété de Pythagore pour démontrer qu'un triangle est rectangle.

Merci de vos avis sur la question pour qu'on puisse tous avancer ensemble !!

C'est dommage que ça ne te dérange pas.
Le point de vue historique sur la géométrie n'est pas qu'elle est une application triviale de l'algèbre linéaire. Presque tout le monde sait qu'un triangle rectangle a (au moins) un angle droit. Et tout le monde sait ce qu'est un angle droit. Presque personne ne sait que l'angle droit peut-être défini à partir d'une forme quadratique sur R².
Et des mathématiciens meilleurs que moi et, vraisemblablement, que toi ont passé un temps important à démontrer le théorème de Pythagore et sa réciproque à partir de considérations sur des axiomes d'Euclide.

[edit] PS : je trouve que le programme de quatrième est vraiment nul. Je me demande encore comment il a pu être validé.

PPS : il faut aussi remarquer que A équivalent à B nécessite une réflexion (du genre contraposée ) pour affirmer non A équivalent à non B.

Qu'est-ce que c'est reposant de lire des considérations dans un français précis... Encore, collègues, encore !

Bonjour Verdurin

Le découpage a été fait depuis très longtemps pour aborder le problème des conditions nécessaires et suffisantes.
Si on ne considère que des équivalences, on perd la quasi totalité de la logique.

Ne crois-tu pas plutôt qu'il a été fait pour aborder le problème des conditions nécessaires ou suffisantes ? La condition nécessaire et suffisante étant quelque peu compliquée au niveau collège. J'initie les élèves à cette logique en ce début d'année de seconde et crois-moi ce qui peut paraitre simple et évident aux yeux de certains l'est beaucoup moins pour la grande majorité.