Division euclidienne et notation 6e

@jaybe: quand cassiopella dit quelque chose c'est vrai.
La preuve est évidente : si elle le dit c'est que c'est vrai.

cassiopella a écrit:La vraie question est à mon avis de savoir si pour les écoliers l'écriture 23:10=2 (r. 3) est bancale et mal comprise ou non? Et est-ce que la notation 23:10=2*10+3 est mieux comprise? Avez vous demandé aux élèves? Peu importe ce que nous, les adultes qui ont fait des maths, pensent de tout cela. Il faut accepter qu'on ne peut pas tout définir proprement dès le départ.

Quand on peut passer à 23:10=2*10+3? A mon avis quand on a appris à diviser et on commence à apprendre l’algorithme de division euclidienne, PPCM, PGCD.

Euh... attention à la notation complètement fausse à deux reprises, quand même, d'autant que c'est le sujet du topic..!

Et je ne vois pas en quoi le tableau n'est pas lisible pour présenter les résultats trouvés suite à une longue série de divisions euclidiennes ? Au contraire, je trouve ça très synthétique, complet, et clair.

X.Y.U. a écrit:

cassiopella a écrit:La vraie question est à mon avis de savoir si pour les écoliers l'écriture 23:10=2 (r. 3) est bancale et mal comprise ou non? Et est-ce que la notation 23:10=2*10+3 est mieux comprise? Avez vous demandé aux élèves? Peu importe ce que nous, les adultes qui ont fait des maths, pensent de tout cela. Il faut accepter qu'on ne peut pas tout définir proprement dès le départ.

Quand on peut passer à 23:10=2*10+3? A mon avis quand on a appris à diviser et on commence à apprendre l’algorithme de division euclidienne, PPCM, PGCD.

Euh... attention à la notation complètement fausse à deux reprises, quand même, d'autant que c'est le sujet du topic..!

Et je ne vois pas en quoi le tableau n'est pas lisible pour présenter les résultats trouvés suite à une longue série de divisions euclidiennes ? Au contraire, je trouve ça très synthétique, complet, et clair.

Comment ça complétement fausse ?

Il est écrit l'égalité : "23:10=2*10+3".
à gauche du signe égal, l'expression "23:10" qui est égal à 2,3.
à droite du signe égal, l'expression "2*10+3" qui est égal à 23.
Ces deux expressions ne sont pas du tout égales.
Cela m'inquiète un peu qu'un enseignant de maths n'y voit pas de souci..? :-/
C'est encore plus faux que toutes les autres notations qui ont pu apparaître dans ce topic.

X.Y.U. a écrit:Il est écrit l'égalité : "23:10=2*10+3".
à gauche du signe égal, l'expression "23:10" qui est égal à 2,3.
à droite du signe égal, l'expression "2*10+3" qui est égal à 23.
Ces deux expressions ne sont pas du tout égales.
Cela m'inquiète un peu qu'un enseignant de maths n'y voit pas de souci..? :-/
C'est encore plus faux que toutes les autres notations qui ont pu apparaître dans ce topic.

Ah oui pardon ! Je n'avais pas vu. Merci.

Pour exemple, au collège il semble ou il semblait y avoir une phrase magique du type "un cosinus est entre 0 et 1", qui persiste jusqu'en école d'ingénieurs ...

La phrase que l'on voit au collège c'est : "Le cosinus d'un angle aigu est compris entre 0 et 1."

On voit aussi : "Le carré d'un nombre relatif est positif." On ne dit pas nombre réel car ils ne connaissent pas.

Je sais bien que demander aux élèves d'écrire une phrase relève de la maltraitance, mais quand même écrire « en 23 il va 2 fois 10 et il reste 3 » ou « en 23 il va 11 fois 2 et il reste 1 » me semble beaucoup plus simple et compréhensible que d'écrire « 23 ÷ 10 : Q=2, R=3 » ou « 23 ÷ 2 : Q=11, R=1 ».

J'ai la nette impression que l'on est prêt à écarter le sens pour s'épargner l'écriture d'une phrase.
Certes cela rend les maths plus « magiques ».
Mais je ne crois pas que ce soit le but de l'enseignement des mathématiques.

J'ai parfois des élèves qui décrivent tous leurs calculs par des phrases et c'est vraiment pénible à suivre. Je ne suis pas d'accord, pour moi les maths c'est pour nous simplifier la vie. Avant on n'utilisait pas les signes +, -, x, /, = , etc... Et lire une résolution d'équation de cette époque est vraiment difficile.
Donc je pense que les notations doivent s'améliorer et évoluer avec le temps.

On écrit bien 32 = 2 mod (5) (normalement avec un triple trait mais aussi avec le = par abus)
donc 32 : 5 = 6 R 2 ne me choque pas tellement.

Manu7 a écrit:

Pour exemple, au collège il semble ou il semblait y avoir une phrase magique du type "un cosinus est entre 0 et 1", qui persiste jusqu'en école d'ingénieurs ...

La phrase que l'on voit au collège c'est : "Le cosinus d'un angle aigu est compris entre 0 et 1."

On  voit aussi : "Le carré d'un nombre relatif est positif." On ne dit pas nombre réel car ils ne connaissent pas.

Malheureusement les deux mots "aigu" et "relatif" disparaissent chez la plupart des élèves ... il n'est que de voir les élèves de terminale S, à l'époque pas si lointaine où on y enseignait les nombres complexes, résoudre d'un péremptoire "pas possible" l'équation dans C : z² = - 4 ...

X.Y.U. a écrit:Il est écrit l'égalité : "23:10=2*10+3".
à gauche du signe égal, l'expression "23:10" qui est égal à 2,3.
à droite du signe égal, l'expression "2*10+3" qui est égal à 23.
Ces deux expressions ne sont pas du tout égales.
Cela m'inquiète un peu qu'un enseignant de maths n'y voit pas de souci..? :-/
C'est encore plus faux que toutes les autres notations qui ont pu apparaître dans ce topic.

J’y ai vu et je pense les autres aussi une coquille clairement

Dans les cas concrets avec unités, c'est déjà plus simple à écrire sans confusion : 32 € = 5 × 6 € + 2 €

Manu7 a écrit:

Je sais bien que demander aux élèves d'écrire une phrase relève de la maltraitance, mais quand même écrire « en 23 il va 2 fois 10 et il reste 3 » ou « en 23 il va 11 fois 2 et il reste 1 » me semble beaucoup plus simple et compréhensible que d'écrire « 23 ÷ 10 : Q=2, R=3 » ou « 23 ÷ 2 : Q=11, R=1 ».

J'ai la nette impression que l'on est prêt à écarter le sens pour s'épargner l'écriture d'une phrase.
Certes cela rend les maths plus « magiques ».
Mais je ne crois pas que ce soit le but de l'enseignement des mathématiques.

J'ai parfois des élèves qui décrivent tous leurs calculs par des phrases et c'est vraiment pénible à suivre. Je ne suis pas d'accord, pour moi les maths c'est pour nous simplifier la vie. Avant on n'utilisait pas les signes +, -, x, /, = , etc... Et lire une résolution d'équation de cette époque est vraiment difficile.
Donc je pense que les notations doivent s'améliorer et évoluer avec le temps.

On écrit bien 32 = 2 mod (5) (normalement avec un triple trait mais aussi avec le = par abus)
donc 32 : 5 = 6 R 2 ne me choque pas tellement.

Je relance mon soutien à Manu7.
En physique et en chimie, on a également des langages appropriés et c'est pénible d'avoir des phrases et des phrases alors qu'un langage existe. C'est très net dans les premières années du supérieur (où les fameuses phrases d'intro ou de conclusion sont souvent zappées), il faut que certains étudiants arrêtent avec leur rédaction-bouillie.
Et le langage approprié subit aussi des discussions et des modes.

jaybe a écrit:

cassiopella a écrit:@jaybe, là tu parles du cas général et des années 70 (les reformes des maths modernes partout dans le monde, y compris l'URSS).

Faut-il comprendre de votre phrase que, pour vous, les personnes qui se sont intéressées aux questions épistémologiques depuis les années 70 et ensuite sont, ou avaient des liens particuliers avec celles qui ont décidé qu'il fallait éradiquer la géométrie naturelle, introduire le plus rapidement possible le concept d'ensemble et définir la droite par la notion de bijection ? Parce que sinon, je ne vois pas du tout le lien (?)

Tu peux me dire "tu" Déjà tu as ignoré la première partie, avant "et". Ce que je veux dire, c'est qu'il faut relativiser. Les recherches en 70-80, voir 90 étaient dans le vent des maths modernes. Il a fallut du temps pour se rendre compte que cela ne fonctionne pas et encore du temps pour analyser. Les conclusions des articles publiés entre 1965-1989 ont été largement revu. Et de façon global, ce que je reproche un professeur français de maths (professeur lambda), c'est d'être toujours accroché aux maths modernes et au Bourbakisme. Tout ce thème le montre. Vous avez été biberonné avec les maths qui ne pouvait être que exactes et ultra précises, cela vous dérange des notations floues. Mais... elles sont plus pédagogiques et répondent à un certain besoin.

cassiopella a écrit: Oui, il y a certains problèmes avec le signe =. Mais cela ne signifie pas qu'il faut tout changer et surtout changer quelque chose qui fonctionne.

Beaucoup de monde n'est pas d'accord avec votre "quelque chose qui fonctionne" et encore une fois, le nombre de ressources sur le sujet est très élevé.

A bon? Beaucoup c'est qui et combien? Combien de prof de maths au monde considère qu'écrire 23:10=2 (r. 3) est dangereux et il faut changer cette écriture???

cassiopella a écrit:  Il faut tout simplement considérer 17:4=4 (r. 1) comme une écriture que l'élève comprend et qu'il ne se méprend pas sur le signe =. En gros l'écriture 4 (r. 1) est équivalent à 17/4 ou à 4,25. C'est un peu comme la notation 43/4 très utilisée hors de France et qui signifie 4 + 3/4.

Et quand ces équivalences sont testées chez les élèves, les taux de réussite ne sont vraiment pas terribles...

A bon? Le taux de réussite des élèves de Singapour, des élèves russes n'est pas terrible? Pourtant les statistiques disent le contraire! Pourquoi un élève singapourien, russe, américain, canadien, américain, allemand etc. écrit 23:10=2 (r. 3) et ne se méprend pas sur la signification du signe =, alors que l'élève français si. Pourquoi pour l'élève français cette écriture n'est pas adaptée?

X.Y.U. a écrit:Il est écrit l'égalité : "23:10=2*10+3".
à gauche du signe égal, l'expression "23:10" qui est égal à 2,3.
à droite du signe égal, l'expression "2*10+3" qui est égal à 23.
Ces deux expressions ne sont pas du tout égales.
Cela m'inquiète un peu qu'un enseignant de maths n'y voit pas de souci..? :-/
C'est encore plus faux que toutes les autres notations qui ont pu apparaître dans ce topic.

Oups, je n'ai pas fait attention. Désolée, c'est une coquille. Ce que je voulais dire : l'enfant a devant lui un exercice 23:10. Il commence par écrire 23:10=... Qu'est-ce qu'il doit mettre après le signe d'égalité?

cassiopella a écrit:Ce que je voulais dire : l'enfant a devant lui un exercice 23:10. Il commence par écrire 23:10=... Qu'est-ce qu'il doit mettre après le signe d'égalité?

Si c'est cela le début et qu'il faut une suite, je trouve que la seule réponse acceptable c'est 23:10 = 2,3. C'est la seule réponse qui tient avec le signe égal.
Si l'on veut rester sur les entiers, pourquoi pas 23:10 ~ 2 (environ égal).
Mais donner deux nombres (quotient et reste) suite à une opération, pour moi ce n'est pas possible avec les notations dont on dispose.
Et je n'ai pas envie de faire autrement car le signe "=" est tellement malmené par nos élèves au collège que je tiens fortement à rester exigeante et rigoureuse (voire rigide) avec ce signe égal !
Je pense que certains collègues le sont moins et que ça peut poser problème pour un élève qui passe d'un prof à un autre, c'est sans doute déstabilisant, mais je considère qu'on n'a rien à disposition pour faire autrement. :-/

Et pourquoi pas écrire le résultat sous forme d'une mini-potence sans les détails ? Par exemple

Code:

151 | 12
  7 |----
    | 12

Personnellement, à l'oral, en primaire j'ai appris : 10 divisé par 6 égale 1 reste 4. Donc la notation avec Q et R ne me choque pas, même si elle n'est pas mathématiquement exacte.
De même en prépa, j'ai appris 10 = 4 (mod 6).
L'important c'est que tout le monde comprenne. Le plus difficile pour les élèves, à mon avis, c'est comprendre quand il faut faire une division euclidienne, et quand faire une division décimale.

Mathador a écrit:Et pourquoi pas écrire le résultat sous forme d'une mini-potence sans les détails ? Par exemple

Code:

151 | 12
  7 |----
    | 12

Parce qu'il est utile de pouvoir écrire une opération aussi bien en ligne qu'en colonne ?
L'écriture d'une DE en ligne est a=bq+r, mais bien sûr un certain nombre d'élèves arrivant de primaire ont vu la forme a:b=qRr,
c'est l'occasion de parler du symbole d'égalité, qui au primaire signifie souvent "et puis après je calcule", en tout cas il est souvent
traité comme un simple signe de ponctuation.
Il me semble que l'utilisation correcte du symbole d'égalité est un objectif de collège et pas de primaire,
même si bien sûr les collègues PE peuvent préparer le terrain en demandant d'écrire une seule opération par égalité,
p.ex 2*3=6 et 4+6=10 plutôt que 2*3=6+4=10
N'empêche qu'il y a un temps pour tout, que des élèves de primaire utilisent a:b=qRr ne me choque pas plus que ça,
il sera temps au collège de passer à a=bq+r (l'essentiel est quand même que les élèves sachent poser une DE...)

Mathador a écrit:Et pourquoi pas écrire le résultat sous forme d'une mini-potence sans les détails ? Par exemple

Code:

151 | 12
  7 |----
    | 12

Mais... et la réponse? :sourit: En tout cas quand j'étais élève, on effectuait une division posée (potence????), mais on devait toujours écrire à la fin Réponse : 151:12= 12 (r. 7)

Flo44 a écrit:
L'important c'est que tout le monde comprenne. Le plus difficile pour les élèves, à mon avis, c'est comprendre quand il faut faire une division euclidienne, et quand faire une division décimale.

Hum... c'est quoi la différence? Tu veux dire division en ligne et division posée (potence)?

ben2510 a écrit:
Il me semble que l'utilisation correcte du symbole d'égalité est un objectif de collège et pas de primaire,

Est-ce le cas? Si oui, cela expliquerai les difficultés de nos élèves avec le signe =.

cassiopella a écrit:

Flo44 a écrit:
L'important c'est que tout le monde comprenne. Le plus difficile pour les élèves, à mon avis, c'est comprendre quand il faut faire une division euclidienne, et quand faire une division décimale.

Hum... c'est quoi la différence? Tu veux dire division en ligne et division posée (potence)?

La différence : savoir s'il faut donner le quotient décimal ou s'il faut un quotient entier et un reste, en fonction du contexte de l'exercice

Donc, si je résume : à un moment, on va apprendre aux élèves à écrire 10:4=2 reste 2, et puis plus tard, on va lui dire que, ah oui mais attends non, en fait c'est 10:4=2,5 (ou la version avec la barre de fraction que j'ai la flemme d'écrire), et puis quand il y aura juste l'opération, il faudra deviner quelle écriture est la bonne en fonction du contexte, si contexte il y a. Mais le principal problème, c'est les mathématiques modernes et le bourbakisme. Bien, je pense qu'on a fait le tour, chacun pourra se faire son opinion, inutile d'en rajouter.

jaybe a écrit:Donc, si je résume : à un moment, on va apprendre aux élèves à écrire 10:4=2 reste 2, et puis plus tard, on va lui dire que, ah oui mais attends non, en fait c'est 10:4=2,5 (ou la version avec la barre de fraction que j'ai la flemme d'écrire), et puis quand il y aura juste l'opération, il faudra deviner quelle écriture est la bonne en fonction du contexte, si contexte il y a.

Quand on a appris à diviser et quand on sait manipuler les fractions, plus besoin d'écrire 10:4=2 reste 2. Mais je pense que @Flo44 parlait des problèmes où on doit se limiter aux nombres entières.

Mais le principal problème, c'est les mathématiques modernes et le bourbakisme. Bien, je pense qu'on a fait le tour, chacun pourra se faire son opinion, inutile d'en rajouter.

Bah oui, c'est ce chipotage qui empêche d'utiliser les méthodes plus efficaces. La notation 10:4=2 reste 2 fonctionne bien avec les petits dans plein de pays, mais l'éducation que tu as eu t'empêche d'accepter cette réalité. Alors que... je suis sure que tu as appris la division de cette façon. Soit on prêche par l'exactitude et une partie des élèves sera larguée et n'apprendra pas comment faire une division avec le reste. Soit on assoupie nos exigences et on réduit considérablement le nombre des élèves largués qui ne comprennent pas. Tel est le choix!

cassiopella a écrit:

jaybe a écrit:Donc, si je résume : à un moment, on va apprendre aux élèves à écrire 10:4=2 reste 2, et puis plus tard, on va lui dire que, ah oui mais attends non, en fait c'est 10:4=2,5 (ou la version avec la barre de fraction que j'ai la flemme d'écrire), et puis quand il y aura juste l'opération, il faudra deviner quelle écriture est la bonne en fonction du contexte, si contexte il y a.

Quand on a appris à diviser et quand on sait manipuler les fractions, plus besoin d'écrire 10:4=2 reste 2. Mais je pense que @Flo44 parlait des problèmes où on doit se limiter aux nombres entières.

Mais le principal problème, c'est les mathématiques modernes et le bourbakisme. Bien, je pense qu'on a fait le tour, chacun pourra se faire son opinion, inutile d'en rajouter.

Bah oui, c'est ce chipotage qui empêche d'utiliser les méthodes plus efficaces. La notation 10:4=2 reste 2 fonctionne bien avec les petits dans plein de pays, mais l'éducation que tu as eu t'empêche d'accepter cette réalité. Alors que... je suis sure que tu as appris la division de cette façon. Soit on prêche par l'exactitude et une partie des élèves sera larguée et n'apprendra pas comment faire une division avec le reste. Soit on assoupie nos exigences et on réduit considérablement le nombre des élèves largués qui ne comprennent pas. Tel est le choix!

J'admire toujours la compétence universelle de cassiopella.
Elle ne cite jamais rien d'objectif qui puisse confirmer ses opinions.
Mais elle les assène avec une conviction impressionnante.
C'est très beau de rencontrer quelqu'un qui bénéficie d'une inspiration quasiment surnaturelle, et je l'envie vraiment.

Mais on peut remarquer qu'au mauvais vieux temps du « bourbakisme » triomphant la France avait d'excellents résultats aux tests TIMSS.

Ce qui me fait penser que cassiopella raconte quasiment n'importe quoi, mais avec une grande conviction.

En 2021, n'oublions pas d'être agréables entre nous. Oui cassiopella apporte une autre vision qui parfois nous dérange et alors ? Quel est l'intérêt de débattre uniquement avec des personnes du même avis ?

Au sujet des PE et des tests TIMSS, il faut aussi remarquer que les élèves dont le PE est de formation scientifique ont de moins bons résultats que les autres en maths. Cela doit aussi nous interpeler, non ? A priori, j'aurai pensé l'inverse.

Si un jour on nous dit que l'écriture officielle de la division euclidienne c'est 32 : 5 = 6 R 2 et bien on devra bien l'accepter, non ? Et dans 30 ans les profs de maths pourront défendre cette écriture en disant qu'elle est formidable.

C'est comme l'histoire du théorème de Pythagore au collège, pendant 5 ou 6 ans, on nous a dit d'enseigner Pythagore comme une équivalence et ensuite on est revenu à Pythagore direct et réciproque. Pour ma part, j'étais très à l'aise avec la version équivalence car c'est ainsi que je l'ai appris au collège, mais personne n'a raison ou tort. Sauf qu'en France, on change tout régulièrement et on peut même changer d'un prof à l'autre, comment après tous ces revirements faire croire aux élèves que nous enseignons une science rigoureuse ?
Le pire dans cet exemple de Pythagore c'est qu'à la correction du DNB, des profs voulaient absolument retirer des points pour ceux qui oubliaient "réciproque" alors que ce n'était plus au programme !!! En clair, on finit par reprocher aux élèves de bien rédiger comme on leur a appris !!!

Plusieurs contextes différents :

Proton a écrit:Plusieurs contextes différents :

Problèmes de même structure mais de surfaces différentes. Rappelons que repérer la structure d'un problème (et oublier sa surface) est difficile et nécessite beaucoup d'entraînement dans le domaine considéré. Il semble favorable de mettre en évidence la structure lors de la correction.

Une étude sur des étudiants de première année de Sciences Physiques avait montré qu'après 6 mois d'études, ils classaient toujours les problèmes par leur surface alors que, bien entendu, les physiciens expérimentés les classent par leur structure. Mais les activités du type "À quel type de problème a-t-on affaire ?" n'aident pas, on n'a jamais trouvé le moyen de transformer un novice en expert sans beaucoup de travail.

Manu7 a écrit:
Au sujet des PE et des tests TIMSS, il faut aussi remarquer que les élèves dont le PE est de formation scientifique ont de moins bons résultats que les autres en maths. Cela doit aussi nous interpeler, non ? A priori, j'aurai pensé l'inverse.

La première chose que j'ai envie de dire, c'est que compte-tenu de la très faible proportion de PE dont la formation est scientifique, quel est la fiabilité statistique de ce résultat ?

En effet, pourquoi cela devrait-il nécessairement avoir un lien ?

Cassiopella, tu enseignes bien les maths en collège comme ton profil l'indique ? Je m'étonne que tu n'aies pas connaissance de la différence entre division décimale et division euclidienne, puisque la distinction entre les deux est clairement étudiée en collège. :-/

D'ailleurs, question aux PE d'ici : comment définit-on la division euclidienne aux élèves de primaire ?
Par exemple :
* 28 : 5 = 5,6 (division décimale) et 28 : 5 donne un quotient de 5 et un reste de 3 (division euclidienne)
* mais 30 : 5 = 6 (les 6ème me disent souvent "ah ben c'est pas une division euclidienne parce qu'il y a pas de reste" car pour eux "reste nul" = "pas de reste", or pour moi la division euclidienne de 30 par 5 donne un quotient de 6 et un reste de 0, et c'est bien une division euclidienne).