Division euclidienne et notation 6e

Merci Manu7 ! (faisant écho au fil TIMSS)

Actuellement quand on effectue une division euclidienne sur une calculatrice collège on obtient :

32 /- 5 EXE Q=6  R=2

L'écriture classique en maths est 32 = 5x6 + 2 mais cette écriture n'explique pas vraiment la démarche, on ne sait pas si le diviseur est 5 ou 6, même chose pour le quotient.

Certains utilisent la notation 32 : 5 = 6 R 2

Cette notation me rappelle celle des congruences avec 32 = 2 mod (5) mais je constate qu'on utilisait plutôt un signe avec un triple trait...

Pour ma part je préfère autoriser 32 : 5 { Q=6 R=2  (les deux égalité l'une en dessous de l'autre car la division euclienne donne 2 résultats)

En tout cas, il manque une notation claire pour des élèves de primaire qui indique qu'on a bien fait une division euclidienne.

Et l'écriture 32 = 6x5 + 2 ne comble pas se vide.

Manu7 a écrit:Actuellement quand on effectue une division euclidienne sur une calculatrice collège on obtient :

32 /- 5 EXE Q=6  R=2

L'écriture classique en maths est 32 = 5x6 + 2 mais cette écriture n'explique pas vraiment la démarche, on ne sait pas si le diviseur est 5 ou 6, même chose pour le quotient.

Certains utilisent la notation 32 : 5 = 6 R 2

Cette notation me rappelle celle des congruences avec 32 = 3 mod (5) mais je constate qu'on utilisait plutôt un signe avec un triple trait...

Pour ma part je préfère autoriser 32 : 5 { Q=6 R=2  (les deux égalité l'une en dessous de l'autre car la division euclienne donne 2 résultats)

En tout cas, il manque une notation claire pour des élèves de primaire qui indique qu'on a bien fait une division euclidienne.

Et l'écriture 32 = 6x5 + 2 ne comble pas se vide.

"32 = 5x6 + 2" me parle car je suis professeur de mathématiques mais je ne suis pas sure que ça me parlait autant en primaire ou au collège.
"32 : 5 = 6 R 2" est la notation avec laquelle j'ai appris. Je trouvais ça un peu bizarre qu'il y ait "deux résultats" mais je pense que cette notation est largement plus claire que la première dans les petites classes.

ycombe a écrit:Pourquoi pas 1 237 /51 = 24 + 13/51 ?
=> Si on partage 1237 en 51, cela fait 24 et il reste 13 qui, eux. sont toujours à partager en 51.

Ou bien alors une vraie phrase avec de vrais mots dedans:
«1237 divisé par 51 donne pour quotient 24 et pour reste 13»

J'aime bien celle de @ycombe aussi (on la trouve parfois sur les calculatrices) même si un élève ne la comprendra pas totalement du premier coup. Et puis, ça prépare la notion de fractions donc à choisir c'est surement celle là que j'utiliserais.

Sinon, on pourrait aussi écrire 32 : 5 = (6, 2) ou séparer les deux opérations et écrire "32 div 5 = 6" et "32 mod 5 = 2"..

Il me semble avoir appris en primaire :
21 ÷ 4 : Q=5, R=1

Puis au collège, la prof nous avait dit qu'il n'y avait pas de notation officielle et que si on faisait une division euclidienne,
-soit on la posait,
-soit on faisait une phrase,
-soit on écrivait division de 21 par 4 : 21=5*4+1

Mais effectivement, une notation "officielle" manque en ce domaine.

21=5*4+1 c'est la DE de 21 par 5.
Comment peux-tu écrire le quotient avant d'avoir écrit le diviseur ?

J'imagine que ça intervenait dans un problème du type "4 enfants se partagent équitablement 21 caramels. Combien chaque enfant a-t-il de caramels ? Combien en reste-t-il ?" avec comme corrigé "21=5*4+1        Chaque enfant a 5 caramels et il en reste 1." avec le choix de poser la division ou d'écrire en toutes lettres à la place de l'égalité "21=5*4+1".

Je sais que les PE font la distinction 5 fois 4 vs 4 fois 5, pour des raisons qui m'échappent (inutile de me le réexpliquer, on l'a déjà fait ; je sais qu'elles existent,
mais je ne les comprends pas).

Cependant cela n'a pas tellement de sens à mon avis d'écrire le quotient 5 avant d'avoir écrit le diviseur 4 ;
l'écriture a=bq+r est une DE posée en ligne pour moi, y compris des cas comme 355=17*20+15.

23=2*10+3
23=2*11+1
représentent des divisions euclidiennes ( pas les mêmes ).

Je sais bien que demander aux élèves d'écrire une phrase relève de la maltraitance, mais quand même écrire « en 23 il va 2 fois 10 et il reste 3 » ou « en 23 il va 11 fois 2 et il reste 1 » me semble beaucoup plus simple et compréhensible que d'écrire « 23 ÷ 10 : Q=2, R=3 » ou « 23 ÷ 2 : Q=11, R=1 ».

J'ai la nette impression que l'on est prêt à écarter le sens pour s'épargner l'écriture d'une phrase.
Certes cela rend les maths plus « magiques ».
Mais je ne crois pas que ce soit le but de l'enseignement des mathématiques.

ben2510 a écrit:Je sais que les PE font la distinction 5 fois 4 vs 4 fois 5, pour des raisons qui m'échappent (inutile de me le réexpliquer, on l'a déjà fait ; je sais qu'elles existent,
mais je ne les comprends pas).

Cependant cela n'a pas tellement de sens à mon avis d'écrire le quotient 5 avant d'avoir écrit le diviseur 4 ;
l'écriture a=bq+r est une DE posée en ligne pour moi, y compris des cas comme 355=17*20+15.

Pour information, je vais répéter ce qu'on m'avait expliqué (désolée) : en gros pour les petits la multiplication n'est pas commutative, avoir 5 fois 4 biscuits et 4 fois 5 biscuits ce n'est pas la même chose pour eux.

verdurin a écrit:23=2*10+3
23=2*11+1
représentent des divisions euclidiennes ( pas les mêmes ).

Je sais bien que demander aux élèves d'écrire une phrase relève de la maltraitance, mais quand même écrire « en 23 il va 2 fois 10 et il reste 3 » ou « en 23 il va 11 fois 2 et il reste 1 » me semble beaucoup plus simple et compréhensible que d'écrire « 23 ÷ 10 : Q=2, R=3 » ou « 23 ÷ 2 : Q=11, R=1 ».

J'ai la nette impression que l'on est prêt à écarter le sens pour s'épargner l'écriture d'une phrase.
Certes cela rend les maths plus « magiques ».
Mais je ne crois pas que ce soit le but de l'enseignement des mathématiques.

Je suis d'accord, il vaut parfois mieux écrire les choses en français qu'utiliser une notation bancale ou mal comprise.

verdurin a écrit:23=2*10+3
23=2*11+1
représentent des divisions euclidiennes ( pas les mêmes ).

Je sais bien que demander aux élèves d'écrire une phrase relève de la maltraitance, mais quand même écrire « en 23 il va 2 fois 10 et il reste 3 » ou « en 23 il va 11 fois 2 et il reste 1 » me semble beaucoup plus simple et compréhensible que d'écrire « 23 ÷ 10 : Q=2, R=3 » ou « 23 ÷ 2 : Q=11, R=1 ».

J'ai la nette impression que l'on est prêt à écarter le sens pour s'épargner l'écriture d'une phrase.
Certes cela rend les maths plus « magiques ».
Mais je ne crois pas que ce soit le but de l'enseignement des mathématiques.

Ce que j'ai graissé fait partie des rituels que j'ai mis en place 3 fois par semaine depuis septembre en 6e et en 5e. Au début ça a été compliqué de faire le lien avec la division euclidienne. Après la toussaint, la majorité a acquis ces automatismes et la décomposition d'une fraction comme la somme d'un entier et d'une fraction inférieure à 1 est mieux passée que les années précédentes.

verdurin a écrit:23=2*10+3
représente une division euclidienne

Pas pour moi. Il ne peut rester 3 si tu divises par 2.
Bien sûr, l'usage dividende=diviseur * quotient +reste n'est qu'un usage ; mais je ne vois pas pourquoi tu ne voudrais pas respecter cet usage ?

Après tout ton égalité équivaut à 10*2=23-3, mais il me semble difficile de dire que cette égalité représente une division euclidienne.

ben2510 a écrit:

verdurin a écrit:23=2*10+3
représente une division euclidienne

Pas pour moi. Il ne peut rester 3 si tu divises par 2.
Bien sûr, l'usage dividende=diviseur * quotient +reste n'est qu'un usage ; mais je ne vois pas pourquoi tu ne voudrais pas respecter cet usage ?

Après tout ton égalité équivaut à 10*2=23-3, mais il me semble difficile de dire que cette égalité représente une division euclidienne.

En fait, personnellement, je n'ai jamais retenu clairement " dividende = diviseur * quotient +reste" (qui donnerait ici 23=10*2+3) mais plutôt "dans 23, il y a 2 fois 10 et il reste 3", ce que j'écris instinctivement 23 = 2*10 + 3  (je suppose donc que toute la question est alors de se dire que "deux fois dix" s'écrit "10*2" : 10 multiplié par 2... ce que j'ai oublié depuis au moins le CE1 ou CE2 puisque la multiplication est commutative.)

La vraie question est à mon avis de savoir si pour les écoliers l'écriture 23:10=2 (r. 3) est bancale et mal comprise ou non? Et est-ce que la notation 23:10=2*10+3 est mieux comprise? Avez vous demandé aux élèves? Peu importe ce que nous, les adultes qui ont fait des maths, pensent de tout cela. Il faut accepter qu'on ne peut pas tout définir proprement dès le départ.

Quand on peut passer à 23:10=2*10+3? A mon avis quand on a appris à diviser et on commence à apprendre l’algorithme de division euclidienne, PPCM, PGCD.

verdurin a écrit:
Je sais bien que demander aux élèves d'écrire une phrase relève de la maltraitance, mais quand même écrire « en 23 il va 2 fois 10 et il reste 3 » ou « en 23 il va 11 fois 2 et il reste 1 » me semble beaucoup plus simple et compréhensible que d'écrire « 23 ÷ 10 : Q=2, R=3 » ou « 23 ÷ 2 : Q=11, R=1 ».

Je propose de comparer. Imaginons qu'on a cet exercice :

Calculer :
17:4    22:6   27:5   59:9   27:7   53:8   78:9   25:10   38:11   50:20

Ta façon décrire donne:

en 17 il va 4 fois 4 et il reste 1
en 22 il va 3 fois 6 et il reste 4
en 27 il va 5 fois 5 et il reste 2
en 59 il va 6 fois 9 et il reste 5
en 27 il va 3 fois 7 et il reste 6
en 53 il va 6 fois 8 et il reste 5
en 78 il va 8 fois 9 et il reste 6
en 25 il va 2 fois 10 et il reste 5
en 38 il va 3 fois 11 et il reste 5
en 50 il va 2 fois 20 et il reste 10

Alors que la "fausse" approche donne:

17:4=4 (r. 1)
22:6=3 (r. 4)
27:5=5 (r. 2)
59:9=6 (r. 5)
27:7=3 (r. 6)
53:8=6 (r. 5)
78:9=8 (r. 6)
25:10=2 (r. 5)
38:11=3 (r. 5)
50:20=2 (r. 10)

Sachant que le but est de faire les divisions et non écrire des phrases, on utilise ton approche ou l'approche "fausse"?

Je crois qu'il est dangereux d'utiliser des notations peu utiles et trop particulières.

@ben2510 : je cois que la multiplication est commutative. Et que a=b signifie que l'on peut remplacer toutes les occurrences de a par b dans n'importe quelle formule.

@cassiopella : plutôt qu'utiliser une notation spéciale, rien n'interdit de faire un tableau du genre

Code:

dividende | diviseur | quotient | reste 
17        | 4        | 4        | 1
22        | 6        | 3        | 4

Il vaut mieux que l'enseignant pense un peu à ce qu'il fait plutôt que d'introduire des notations douteuses.

Ou pourquoi pas sous forme de potence.

Tout ce qui a été appris de travers tôt dans la scolarité subsiste pendant très longtemps sous cette forme erronée. Il est donc essentiel d'enseigner les mathématiques avec rigueur dès le début, en particulier l'emploi du signe = que l'on voit utiliser à tort et à travers ensuite sinon. En particulier dans les "opérations qui se suivent" (on fait une remise de 10 euros puis une deuxième remise de 15 euros, le prix initial est 100 euros, combien vais je payer ? Réponse 100 - 10 = 90 - 15 = 75, je vais payer 75 euros)
Pour exemple, au collège il semble ou il semblait y avoir une phrase magique du type "un cosinus est entre 0 et 1", qui persiste jusqu'en école d'ingénieurs ...

Ou alors on se lâche:
17//4 =4
17%4 =1

Oui, avec un langage de programmation c'est déjà plus rigoureux ...

Dans le sujet TIMSS, j'ai déjà donné le lien vers un manuel russe où la notion 17:4=4 (r. 1) est utilisée. En cherchant un peu sur internet, on tombe sur la même notation aux Etats-Unis, au Canada, en Allemagne, en Angleterre. Si on creuse plus, je suis sure qu'on trouvera d'autres pays. Cette notation semble être adaptée par presque tous et ne pose pas de problèmes d'apprentissage. Alors pourquoi voulez vous changer? On se plaigne sans cesse, qu'on nous imposer d'inventer la roue en cours de maths en France.  Mais là vous êtes en train de créer la roue. Le problème de vos tableaux et autres notations est qu'ils sont inadaptés aux "automatismes". Pour bien comprendre la division sans et avec le reste, il faut faire beaucoup beaucoup d'exercices qui ont pour but de calculer.

@verdurin

plutôt qu'utiliser une notation spéciale, rien n'interdit de faire un tableau du genre

Hélas ce n'est pas plus lisible. Les élèves doivent faire des centaines de division.

@Voltaire,

Il est donc essentiel d'enseigner les mathématiques avec rigueur dès le début

C'est une vision des maths modernes, Bourbakiste. Dans tous les pays cela a été un échec. Impossible d'être rigoureux avec les petits enfants. Si on est rigoureux, ils ne comprennent pas. Et c'est pire que d'être peu rigoureux.

en particulier l'emploi du signe = que l'on voit utiliser à tort et à travers ensuite sinon. En particulier dans les "opérations qui se suivent" (on fait une remise de 10 euros puis une deuxième remise de 15 euros, le prix initial est 100 euros, combien vais je payer ? Réponse 100 - 10 = 90 - 15 = 75, je vais payer 75 euros)

Hum, le fait d'écrire  17:4=4 (r. 1) ne conduit pas à ce genre d'erreur dans les autres pays. Je ne vois pas pourquoi en France c'est différent.

cassiopella a écrit:Hum, le fait d'écrire  17:4=4 (r. 1) ne conduit pas à ce genre d'erreur dans les autres pays. Je ne vois pas pourquoi en France c'est différent.

Il existe à ce jour des centaines (milliers ?) d'articles dans les revues pédagogiques, écrits par des professeurs de dizaines de pays différents et à tous les niveaux des cursus scolaires, qui se sont intéressés à la mauvaise compréhension du signe égal chez les élèves, ses origines, ses effets, etc. et la plupart des problèmes connus avec ce signe sont identifiés partout. Mais c'est peut-être un complot des pédagogistes ?

jaybe a écrit:

cassiopella a écrit:Hum, le fait d'écrire  17:4=4 (r. 1) ne conduit pas à ce genre d'erreur dans les autres pays. Je ne vois pas pourquoi en France c'est différent.

Il existe à ce jour des centaines (milliers ?) d'articles dans les revues pédagogiques, écrits par des professeurs de dizaines de pays différents et à tous les niveaux des cursus scolaires, qui se sont intéressés à la mauvaise compréhension du signe égal chez les élèves, ses origines, ses effets, etc. et la plupart des problèmes connus avec ce signe sont identifiés partout.

Si tu me donnes le lien vers l'article qui dit que la notation 17:4=4 (r. 1) entraine les erreurs avec le signe =, je suis prenante. Mais vu à quel point cette notation est utilisée, je doute que tu trouveras. Et aussi, il ne faut pas oublier que les problèmes sont spécifiques à chaque pays. Parce que les pratiques ne sont pas les mêmes.

Mais c'est peut-être un complot des pédagogistes ?

Je suis très méfiante des pédagogistes français et des articles académiques en français. Après tout c'est eux qui ont fait couler la navire France. Quoique il y a des bons articles et études, mais ils sont ignorés par l'institution. :|

Cela correspond juste à un cas particulier de la perception du signe égal comme un opérateur, ce qui mène à des soucis qui sont identifiés depuis au moins le milieu des années 70 dans la littérature didactique américaine (et qui étaient probablement déjà connus avant et ailleurs, mais pas publiés ?). Des gens comme Gattegno se sont aussi intéressés à cela, mais je ne connais pas assez bien pour savoir s'il serait correct de dire que le concept d'égalité-opérateur était déjà comprise par les didacticiens d'avant, où qu'ils aient exercés et bien que ces professeurs ne se seraient sans doute pas définis ainsi.

@jaybe, là tu parles du cas général et des années 70 (les reformes des maths modernes partout dans le monde, y compris l'URSS). Oui, il y a certains problèmes avec le signe =. Mais cela ne signifie pas qu'il faut tout changer et surtout changer quelque chose qui fonctionne. Il faut tout simplement considérer 17:4=4 (r. 1) comme une écriture que l'élève comprend et qu'il ne se méprend pas sur le signe =. En gros l'écriture 4 (r. 1) est équivalent à 17/4 ou à 4,25. C'est un peu comme la notation 43/4 très utilisée hors de France et qui signifie 4 + 3/4.

cassiopella a écrit:@jaybe, là tu parles du cas général et des années 70 (les reformes des maths modernes partout dans le monde, y compris l'URSS). Oui, il y a certains problèmes avec le signe =. Mais cela ne signifie pas qu'il faut tout changer et surtout changer quelque chose qui fonctionne. Il faut tout simplement considérer 17:4=4 (r. 1) comme une écriture que l'élève comprend et qu'il ne se méprend pas sur le signe =. En gros l'écriture 4 (r. 1) est équivalent à 17/4 ou à 4,25. C'est un peu comme la notation 43/4 très utilisée hors de France et qui signifie 4 + 3/4.

En gros, si on a fait 21:5 l'écriture 4(r. 1) est équivalente à 21/5.
Je trouve dommageable qu'elle ne soit pas univoque.

cassiopella a écrit:@jaybe, là tu parles du cas général et des années 70 (les reformes des maths modernes partout dans le monde, y compris l'URSS).

Faut-il comprendre de votre phrase que, pour vous, les personnes qui se sont intéressées aux questions épistémologiques depuis les années 70 et ensuite sont, ou avaient des liens particuliers avec celles qui ont décidé qu'il fallait éradiquer la géométrie naturelle, introduire le plus rapidement possible le concept d'ensemble et définir la droite par la notion de bijection ? Parce que sinon, je ne vois pas du tout le lien (?)

cassiopella a écrit: Oui, il y a certains problèmes avec le signe =. Mais cela ne signifie pas qu'il faut tout changer et surtout changer quelque chose qui fonctionne.

Beaucoup de monde n'est pas d'accord avec votre "quelque chose qui fonctionne" et encore une fois, le nombre de ressources sur le sujet est très élevé.

cassiopella a écrit:  Il faut tout simplement considérer 17:4=4 (r. 1) comme une écriture que l'élève comprend et qu'il ne se méprend pas sur le signe =. En gros l'écriture 4 (r. 1) est équivalent à 17/4 ou à 4,25. C'est un peu comme la notation 43/4 très utilisée hors de France et qui signifie 4 + 3/4.

Et quand ces équivalences sont testées chez les élèves, les taux de réussite ne sont vraiment pas terribles... ce qui pourrait signifier que tout ceci est bien plus compliqué qu'il ne le semble et qu'en voulant bien faire, on risque de mettre en place des interprétations qui à moyen ou long terme seront au mieux problématiques. Mais pour cela, encore faut-il accepter qu'il y a bien un problème...

@jaybe: quand cassiopella dit quelque chose c'est vrai.
La preuve est évidente : si elle le dit c'est que c'est vrai.