La division à deux chiffres ou plus, CM

Bah, en réalité beaucoup utilisent la même démarche que celle du manuel de 1954.
Evidemment on va changer les énoncés...
Jeanne a partagé 35 francs entre des pauvres. Elle a donné 7 francs à chacun. Combien y avait-il de pauvres ?
 :lol: 

Après la première leçon du Courtet et Grill pour le cours élémentaire présentée plus haut, voici leur dernière pour le cours moyen :





Je me souviens de la pratique régulière de ce genre d'opérations au CM2 dans les années 60. En prenant un exemple ci-dessus :



B. Courtet et C. Grill, Arithmétique - Cours moyen - (Les Éditions de l'École, 1954)

Je remarque qu'au lieu de réécrire 60 au quatrième dividende partiel, j'aurais pu directement rajouter un 0 au troisième dividende partiel au-dessus. J'ai en fait gardé cette habitude parce que je manquais d'assurance en arithmétique, et détailler chaque étape me rassurait.
C'est le signe que nous arrivons difficilement à perdre des habitudes intellectuelles contractées à l'école primaire. Mais si un "mauvais élève" comme moi parvenait à faire ce genre d'opérations, on mesure l'incroyable régression qui s'est opérée depuis.

LouisBarthas a écrit:

doublecasquette a écrit:"Trop progressif, trop balisé", dirait-on maintenant...

http://education.blog.lemonde.fr/2014/02/13/si-lecole-nenseigne-plus-alors-pourquoi-la-conserver/#comments (voir le commentaire n° 47).

Oui, tout cela est "passéiste". Heureusement que nous avons maintenant Cap Maths, Ermel et compagnie, afin que les élèves puissent "construire leur propre savoir". Et puis, vous avez vu le dessin ? un maître qui fait de "l'enseignement frontal" en montrant au tableau, quelle horreur ! les enfants ne sont sûrement pas par groupes, face à face, en situation de "conflit socio-cognitif".
C'est vraiment la marque typique d'un "enseignement de classe", "élitiste". Il n'y a que les enfants de la bourgeoisie qui pouvaient comprendre de telles leçons. On est loin de "l'égalité des chances" que la récente "démocratisation de l'enseignement" permet de mettre en oeuvre.
 

D'ailleurs, la moustache de l'instituteur ressemble à celle d'Hitler, tout est dit !  

retraitée a écrit:D'ailleurs, la moustache de l'instituteur ressemble à celle d'Hitler, tout est dit !  

Pas de distribution de point Godwin sur un tel sujet !   :lol: 
On remarquera qu'il est en chemise et cravate, de nos jours il serait non pas en pull, non pas en t-shirt mais ... pas représenté du tout car l'élève construit son savoir.  
  

Dhaiphi a écrit:

retraitée a écrit:D'ailleurs, la moustache de l'instituteur ressemble à celle d'Hitler, tout est dit !  

Pas de distribution de point Godwin sur un tel sujet !   :lol: 
On remarquera qu'il est en chemise et cravate, de nos jours il serait non pas en pull, non pas en t-shirt mais ... pas représenté du tout car l'élève construit son savoir.  
  

Et en plus, ce serait une femme!

egomet a écrit:Et en plus, ce serait une femme!

Euh,non... Faut quand même pas pousser... L'arithmétique est affaire sérieuse !   
 :Lool: 

Louis Barthas a écrit:
"mauvais élève" dans les années 60 ! Vous avez arrêté l'école à 12 ans ?

zoupinette a écrit:Louis Barthas a écrit:
"mauvais élève" dans les années 60 !  Vous avez arrêté l'école à 12 ans ?

Non, j'ai redoublé la sixième…
 

Certes j'arrive un peu comme un cheveu sur la soupe mais il s'avère que c'est MOI qui ait appris  à ma fille dès le CE2 comment faire les divisions quel que soit le nombre de chiffres que l'on trouve au diviseur.
Je lui ai appris la méthode que l'on m'a apprise lorsque j'étais petite : pas de table de multiplications interminables (et source de nombreuses erreurs) écrites sur le côté, pas de soustractions (elles aussi sources d'erreurs) successives posées sous le dividende...

Elle est devenue la meilleure en divisions posées... Elle met 2 minutes à les faire et retrouve rapidement ses erreurs lorsqu'elle en a...

par exemple :
4592 : 68 = ?
Je trace un arc, chapeau ou champignon dans la partie dividende au-dessus de 459 qui est plus grand que 68 (le diviseur).
Je trace un trait vertical qui part de cet arc après 45 et avant le 9 (je matérialise ainsi 45 dizaines et 6 unités).
Je trace également un arc, chapeau ou champignon au-dessus de 68 (le diviseur) avec un trait vertical qui part de cet arc et se place entre 6 et 8 (je matérialise de la même manière 6 dizaines et 8 unités).
Je dis dans 45 (dizaines) combien de fois 6 (dizaines) ?  ou dans la table de 6, qu'est-ce qui se rapproche de 45 sans le dépasser ? réponse 7 fois 6. (7x6=42).
J'inscris le 7 dans la partie quotient sous la potence et je procède ainsi pour le calcul :
a) 7 fois 8 font 56 pour aller à 9 impossible alors j'inscris en tout petit 5 dizaines en retenue à côté du 9 qui se trouve sous mon arc dans le dividende, je peux maintenant dire 56 pour aller à 59 il me faut 3 que j'inscris sous le 9 du dividende.
b) 7 fois 6 font 42 plus le 5 inscrit en retenue font 47. 47 pour aller à 45 c'est trop grand. Je dois donc réduire de 1 mon chiffre 7 inscrit au quotient, j'efface le 7 et j'inscris 6. J'efface également tous les restes partiels et les retenues dans la partie dividende.
Je reprends de la même manière en repartant de l'étape a).
a) 6 fois 8 font 48 pour aller à 9 impossible alors j'inscris en tout petit 4 dizaines en retenue à côté du 9 qui se trouve sous mon arc du dividende. 48 pour aller à 49 il faut 1 que j'inscris sous le 9 du dividende.
b) je repars du quotient : 6 fois 6(dizaines du diviseur) 36 plus le 4 mis en retenue dans le dividende : 40 pour aller à 45 il faut 5 que j'inscris sous le 5 de 45...

Mon 1er reste partiel est 51 ce qui est plus petit que 68, je peux donc continuer ma division.

J'abaisse le 2 restant au dividende à côté du 51 trouvé en 1er reste partiel, j'obtiens donc 512.
Je trace un arc au-dessus de 512 avec un trait vertical entre 1 et 2 et je cherche dans 51 (dizaines) combien de fois 6 (dizaines) ? réponse 8 fois... Mais maintenant que j'ai compris l'histoire des retenues, j'anticipe pour gagner du temps :
je vois rapidement que 8x8 font 64 et qu'il me faudra une retenue de 7 dizaines au dividende ce qui est trop car 8x6 dizaines plus 7 dizaines feront 55 dizaines qui est plus grand que 51, je vais donc baisser de 1 et mettre 7 à la place des 8 trouvés au départ. J'inscris donc le 7 à droite du 6 dans le quotient et je procède au calcul a), b) comme pour le 1er chiffre inscrit dans le quotient :
a) 7 fois 8 font 56 pour aller à 2 impossible, j'ajoute donc 6 dizaines en retenue en tout petit à côté du 2 et je peux maintenant dire 56 pour aller à 62, il faut 6 que j'inscris sous le 2 du dividende.
b) 7 fois 6 font 42, j'ajoute les 6 dizaines mises en retenue à l'instant, j'ai 48 pour aller à 51 il faut 3. Que j'inscris sous le 1 de 51. Mon reste final est 36 qui est plus petit que mon diviseur, il y a de grandes chances que ma division soit juste.
Les puristes exigeront la vérification de cette division en faisant 68x67 et en ajoutant 36 au résultat on doit retrouver 4592...

Résultat de 4592 : 68 = 67 reste 36...

Certes c'est un peu long à expliquer ainsi par écrit mais en le faisant à l'oral et en commençant par des divisions sans retenue du type 6890 : 67  cela se fait sans problème à condition de pratiquer régulièrement chaque jour jusqu'à la fin de l'année...

Je fais partie des horribles personnes décriées par le grand Nabab qui pensent que seul l'entraînement en vue de systématiser permet d'ancrer durablement et définitivement les connaissances et les techniques... Les sportifs de haut niveau le font bien : pourquoi ce qui est vrai pour les muscles ne le serait pas pour le cerveau qui est lui aussi une sorte de muscle à faire travailler pour qu'il s'améliore...
Dans l'idéal, il faudrait que les enfants fassent chaque jour une addition, une soustraction, une multiplication et une division (bien sûr, en fonction de la progression on intégrera des décimales...)

A titre indicatif, cette année sur mes 8 CE1, 6 ont mémorisé leurs tables de multiplication et étaient capables de faire en 1 minute une division du type 6598 : 8 ! Bien sûr sans jamais poser la moindre soustraction... totalement inutile.

Les 2 autres ont compris la technique mais comme ils ne connaissaient par leurs tables, ils n'arrivaient pas à aller seuls au bout de leur calcul... Chaque fois, je les débloquais en leur donnant le chiffre à inscrire au quotient...
Au passage, ce n'est pourtant pas faute de les avoir travaillées ces tables, récitées chaque jour, écrites et données à apprendre chaque soir à la maison (bien sûr progressivement pas tout d'un coup !) et à réviser jusqu'au dernier jour de classe...

Ce qui me désole c'est de savoir :

1) que très peu d'adultes sont capables de poser une division rapide comme je le fais, y compris parmi les enseignants de CE et de CM. Mon époux prof de physique au lycée a découvert, à 45 ans, ma façon de faire avec de grands yeux tout ronds : il n'avait jamais appris à diviser ainsi... Il écrivait les tables et posait les soustractions successives... Ce qui a fait de lui un grand adepte de la calculatrice.  

2) que ce que j'ai appris cette année à mes CE1 ne leur servira pas les années suivantes puisque mes collègues n'utilisent pas la division que j'appelle "directe" (ne savaient même pas que cela existait, ils l'ont découvert au travers des calculs de ma fille) et passent par une multitude de multiplications et de soustractions... Avec une perte de temps considérable et des sources d'erreurs de calcul innombrables... Dans ces conditions, pas étonnant que l'on fasse très peu de calculs posés...   

sandrine28 a écrit:Certes j'arrive un peu comme un cheveu sur la soupe mais il s'avère que c'est MOI qui ait appris  à ma fille dès le CE2 comment faire les divisions quel que soit le nombre de chiffres que l'on trouve au diviseur.
Je lui ai appris la méthode que l'on m'a apprise lorsque j'étais petite : pas de table de multiplications interminables (et source de nombreuses erreurs) écrites sur le côté, pas de soustractions (elles aussi sources d'erreurs) successives posées sous le dividende...

  

Sandrine 28, je fais la division comme toi, je ne pige rien à la méthode des répertoires multiplicatifs, de chercher le nombre de chiffres au quotient etc...

sandrine28 a écrit: mes collègues n'utilisent pas la division que j'appelle "directe" (ne savaient même pas que cela existait, ils l'ont découvert au travers des calculs de ma fille) et passent par une multitude de multiplications et de soustractions... 

 :shock:  Il est grand temps que je quitte ce monde de l'enseignement qui m'est devenu par trop étranger.

A l'occasion, parle leur de la "preuve par 9".  

Qui n'est d'ailleurs preuve de rien du tout...

sandrine28 a écrit:Certes j'arrive un peu comme un cheveu sur la soupe mais il s'avère que c'est MOI qui ait appris  à ma fille dès le CE2 comment faire les divisions quel que soit le nombre de chiffres que l'on trouve au diviseur.
Je lui ai appris la méthode que l'on m'a apprise lorsque j'étais petite : pas de table de multiplications interminables (et source de nombreuses erreurs) écrites sur le côté, pas de soustractions (elles aussi sources d'erreurs) successives posées sous le dividende...

Elle est devenue la meilleure en divisions posées... Elle met 2 minutes à les faire et retrouve rapidement ses erreurs lorsqu'elle en a...

par exemple :
4592 : 68 = ?
Je trace un arc, chapeau ou champignon dans la partie dividende au-dessus de 459 qui est plus grand que 68 (le diviseur).
Je trace un trait vertical qui part de cet arc après 45 et avant le 9 (je matérialise ainsi 45 dizaines et 6 unités).
Je trace également un arc, chapeau ou champignon au-dessus de 68 (le diviseur) avec un trait vertical qui part de cet arc et se place entre 6 et 8 (je matérialise de la même manière 6 dizaines et 8 unités).
Je dis dans 45 (dizaines) combien de fois 6 (dizaines) ?  ou dans la table de 6, qu'est-ce qui se rapproche de 45 sans le dépasser ? réponse 7 fois 6. (7x6=42).
J'inscris le 7 dans la partie quotient sous la potence et je procède ainsi pour le calcul :
a) 7 fois 8 font 56 pour aller à 9 impossible alors j'inscris en tout petit 5 dizaines en retenue à côté du 9 qui se trouve sous mon arc dans le dividende, je peux maintenant dire 56 pour aller à 59 il me faut 3 que j'inscris sous le 9 du dividende.
b) 7 fois 6 font 42 plus le 5 inscrit en retenue font 47. 47 pour aller à 45 c'est trop grand. Je dois donc réduire de 1 mon chiffre 7 inscrit au quotient, j'efface le 7 et j'inscris 6. J'efface également tous les restes partiels et les retenues dans la partie dividende.
Je reprends de la même manière en repartant de l'étape a).
a) 6 fois 8 font 48 pour aller à 9 impossible alors j'inscris en tout petit 4 dizaines en retenue à côté du 9 qui se trouve sous mon arc du dividende. 48 pour aller à 49 il faut 1 que j'inscris sous le 9 du dividende.
b) je repars du quotient : 6 fois 6(dizaines du diviseur) 36 plus le 4 mis en retenue dans le dividende : 40 pour aller à 45 il faut 5 que j'inscris sous le 5 de 45...

Mon 1er reste partiel est 51 ce qui est plus petit que 68, je peux donc continuer ma division.

J'abaisse le 2 restant au dividende à côté du 51 trouvé en 1er reste partiel, j'obtiens donc 512.
Je trace un arc au-dessus de 512 avec un trait vertical entre 1 et 2 et je cherche dans 51 (dizaines) combien de fois 6 (dizaines) ? réponse 8 fois... Mais maintenant que j'ai compris l'histoire des retenues, j'anticipe pour gagner du temps :
je vois rapidement que 8x8 font 64 et qu'il me faudra une retenue de 7 dizaines au dividende ce qui est trop car 8x6 dizaines plus 7 dizaines feront 55 dizaines qui est plus grand que 51, je vais donc baisser de 1 et mettre 7 à la place des 8 trouvés au départ. J'inscris donc le 7 à droite du 6 dans le quotient et je procède au calcul a), b) comme pour le 1er chiffre inscrit dans le quotient :
a) 7 fois 8 font 56 pour aller à 2 impossible, j'ajoute donc 6 dizaines en retenue en tout petit à côté du 2 et je peux maintenant dire 56 pour aller à 62, il faut 6 que j'inscris sous le 2 du dividende.
b) 7 fois 6 font 42, j'ajoute les 6 dizaines mises en retenue à l'instant, j'ai 48 pour aller à 51 il faut 3. Que j'inscris sous le 1 de 51. Mon reste final est 36 qui est plus petit que mon diviseur, il y a de grandes chances que ma division soit juste.
Les puristes exigeront la vérification de cette division en faisant 68x67 et en ajoutant 36 au résultat on doit retrouver 4592...

Résultat de 4592 : 68 = 67 reste 36...

Certes c'est un peu long à expliquer ainsi par écrit mais en le faisant à l'oral et en commençant par des divisions sans retenue du type 6890 : 67  cela se fait sans problème à condition de pratiquer régulièrement chaque jour jusqu'à la fin de l'année...

Je fais partie des horribles personnes décriées par le grand Nabab qui pensent que seul l'entraînement en vue de systématiser permet d'ancrer durablement et définitivement les connaissances et les techniques... Les sportifs de haut niveau le font bien : pourquoi ce qui est vrai pour les muscles ne le serait pas pour le cerveau qui est lui aussi une sorte de muscle à faire travailler pour qu'il s'améliore...
Dans l'idéal, il faudrait que les enfants fassent chaque jour une addition, une soustraction, une multiplication et une division (bien sûr, en fonction de la progression on intégrera des décimales...)

A titre indicatif, cette année sur mes 8 CE1, 6 ont mémorisé leurs tables de multiplication et étaient capables de faire en 1 minute une division du type 6598 : 8 ! Bien sûr sans jamais poser la moindre soustraction... totalement inutile.

Les 2 autres ont compris la technique mais comme ils ne connaissaient par leurs tables, ils n'arrivaient pas à aller seuls au bout de leur calcul... Chaque fois, je les débloquais en leur donnant le chiffre à inscrire au quotient...
Au passage, ce n'est pourtant pas faute de les avoir travaillées ces tables, récitées chaque jour, écrites et données à apprendre chaque soir à la maison (bien sûr progressivement pas tout d'un coup !) et à réviser jusqu'au dernier jour de classe...

Ce qui me désole c'est de savoir :

1) que très peu d'adultes sont capables de poser une division rapide comme je le fais, y compris parmi les enseignants de CE et de CM. Mon époux prof de physique au lycée a découvert, à 45 ans, ma façon de faire avec de grands yeux tout ronds : il n'avait jamais appris à diviser ainsi... Il écrivait les tables et posait les soustractions successives... Ce qui a fait de lui un grand adepte de la calculatrice.  

2) que ce que j'ai appris cette année à mes CE1 ne leur servira pas les années suivantes puisque mes collègues n'utilisent pas la division que j'appelle "directe" (ne savaient même pas que cela existait, ils l'ont découvert au travers des calculs de ma fille) et passent par une multitude de multiplications et de soustractions... Avec une perte de temps considérable et des sources d'erreurs de calcul innombrables... Dans ces conditions, pas étonnant que l'on fasse très peu de calculs posés...   

J'ai parfaitement compris ta méthode. Reste à leur expliquer au niveau du sens.
Par exemple:
je repars du quotient : 6 fois 6(dizaines du diviseur) 36 plus le 4 mis en retenue dans le dividende : 40 pour aller à 45 il faut 5 que j'inscris sous le 5 de 4
Comment leur expliques-tu? 36+4 pour aller à 45, c'est pareil que 36 pour aller à 45-4?

En tout cas, cette méthode est bien moins source d'erreurs. Cette année, je faisais bêtement avec le répertoire multiplicatif et les soustractions posées (à ma décharge, j'ai dû faire deux années de maths en une seule, à marche forcée, pour que mes CM2 aient le minimum vital pour la 6ème)

LouisBarthas a écrit:

doublecasquette a écrit:"Trop progressif, trop balisé", dirait-on maintenant...

http://education.blog.lemonde.fr/2014/02/13/si-lecole-nenseigne-plus-alors-pourquoi-la-conserver/#comments (voir le commentaire n° 47).

Oui, tout cela est "passéiste". Heureusement que nous avons maintenant Cap Maths, Ermel et compagnie, afin que les élèves puissent "construire leur propre savoir". Et puis, vous avez vu le dessin ? un maître qui fait de "l'enseignement frontal" en montrant au tableau, quelle horreur ! les enfants ne sont sûrement pas par groupes, face à face, en situation de "conflit socio-cognitif".
C'est vraiment la marque typique d'un "enseignement de classe", "élitiste". Il n'y a que les enfants de la bourgeoisie qui pouvaient comprendre de telles leçons. On est loin de "l'égalité des chances" que la récente "démocratisation de l'enseignement" permet de mettre en oeuvre.
 

Oui, c'est scandaleux, c'est ce que faisait mon père dans sa classe de pauvres petits paysans et ouvriers à la cambrousse; C'est vraiment étonnant que tant d'eux aient pu réussir avec ces méthodes élitistes !   

Celadon a écrit:Qui n'est d'ailleurs preuve de rien du tout...

Ne t'inquiète pas, j'en connais les limites.   

Des comptables, aux manches de lustrine, l'utilisaient pour vérifier leurs interminables additions.   

zazouyle a écrit:
J'ai parfaitement compris ta méthode. Reste à leur expliquer au niveau du sens.
Par exemple:
je repars du quotient : 6 fois 6(dizaines du diviseur) 36 plus le 4 mis en retenue dans le dividende : 40 pour aller à 45 il faut 5 que j'inscris sous le 5 de 4
Comment leur expliques-tu? 36+4 pour aller à 45, c'est pareil que 36 pour aller à 45-4?

En fait je leur explique le 4 mis en retenue correspond à des dizaines, je réunis donc des dizaines : 36 dizaines + 4 dizaines soit 40 dizaines pour aller à 45 dizaines il faut 5 dizaines...

Bien entendu, toute cette démarche sous-entend que les enfants distinguent nombre de dizaines et chiffre des dizaines... quoique...

A vouloir mettre du sens partout, on finit par ne plus rien apprendre aux enfants ou alors au prix d'explications extrêmement compliquées qui noient les enfants au lieu de les repêcher...

Pour ma part, petite, je me moquais pas mal de cette histoire de dizaines, je faisais ce que l'on me disait de faire point barre... et visiblement ça ne m'a pas trop mal réussi...

J'ai appris ( a priori sans difficultés majeures) avec cette méthode; Et j'ai été horrifiée de l'usine à gaz qu'on a enseignée à mes enfants, avec un répertoire multiplicatif, et des soustractions partout qui rendaient l'opération très brouillonne . Une page entière pour une division ...

Allez, un petit document sur la question que je viens de finir pour mes sixièmes. J'ai essayé de survoler tous les cas, y compris celui dans lequel le chiffre du quotient n'est pas trouvé du premier coup.





J'ai adopté la méthode classique dite on cache le même nombre de chiffres au diviseur et au dividende pour trouver le quotient plutôt que l'ordre de grandeur, parce qu'elle présente l'avantage de ne jamais donner un chiffre trop petit, contrairement aux ordres de grandeur.

En passant, la méthode du pont me laisse perplexe, j'aimerais bien que, comme dans la division longue américaine, on apprenne aux élèves à mettre d'abord des 0. Par exemple pour 11945÷47 on dirait d'abord 1÷47 fait 0 et il reste 1, 11÷47 fait 0 et il reste 11, puis 119÷47 fait 2…

On ne passerait au pont qu'ensuite et on préparerait ainsi la division décimale, dans laquelle il est possible de commencer par un ou plusieurs 0 (1,1945÷47 par exemple).

A qui s'adresse ce polycopié ?

AndréC a écrit:A qui s'adresse ce polycopié ?

À mes sixièmes d'une part et à leurs parents d'autre part. Les sixièmes le voient et le revoient en cours, ils n'ont pas vraiment besoin de ça (et c'est un peu difficile à lire pour la plupart d'entre eux), mais les parents me disent qu'ils n'arrivent pas à trouver la méthode sur le net.

En effet, c'est trop compliqué pour les élèves et limite pour les parents, je pensais que cela s'adressait aux professeurs des écoles.

J'ai toujours effectué les divisions comme vous..

Depuis l'an dernier, je reprends avec mes sixièmes la technique et le sens de la multiplication puis de la division en en faisant faire une par jour.

Et pour ce faire, j'ai copié la progression des livres de CM1 et CM2 des années 60 qui sont très progressifs et très bien faits.

Dons la progression de l'époque, on commençait par des divisions à un chiffre au diviseur et un au quotient, puis un au diviseur et deux au quotient, puis deux au diviseur mais un seul chiffre au quotient et enfin deux et deux, avant passer au cas général.

Je suis reparti de ce qu'ils savent, en fait. Ils connaissent la technique avec les soustractions et le répertoire. J'ai donc insisté sur la méthode pour trouver le chiffre du quotient, et sur la technique de multiplication-soustraction chiffre par chiffre avec retenue.

Ce qui est difficile pour eux, comme d'habitude, c'est de désapprendre ce qu'ils ont appris pour apprendre la méthode correcte. On gagnerait tellement de temps en leur apprenant directement la bonne méthode.

En quoi le pont est-il gênant ?

Progression des années 60 (Ardiot) :

https://manuelsanciens.blogspot.fr/2016/06/ardiot-wanauld-budin-calcul-cm1-1963_28.html

- un chiffre au diviseur
- diviseur à 2 chiffres, 1 chiffre au quotient
- diviseur à 2 ou 3 chiffres
- division à quotient décimal
- dividende décimal
- diviseur décimal
- diviseur multiples de 10; 100 ou 1000
- zéro intercalaires au quotient
- quotient plus petit que 1
- diviseur plus petit que 1
- quotient approché