La division à deux chiffres ou plus, CM

AndréC a écrit:

Volubilys a écrit:Désolée d'être une si mauvaise maîtresse.
  

Votre façon de faire était celle expliquée par Guy Brousseau dans ses leçons de pédagogie :
http://guy-brousseau.com/wp-content/uploads/2012/10/77-6-li%C3%A9.pdf.

No comment.

AndréC a écrit:Autre technique lorsque le dividende est décimal, faire comme s'il était entier...puis placer la virgule (Vitte 1924)

http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9480759/f74.item.r=arithmétique%20%20cours%20élémentaire.zoom

Je ne connaissais pas.

Le principe de base est le même: il y a correspondance dans les rangs entre dividende et quotient. Ici on fait correspondre après coup, c'est-à-dire qu'on place la virgule pour que les rangs correspondent en se basant sur le dernier. Cela oblige à remettre les zéros pour pouvoir placer la virgule.

Si on pose la virgule au moment où on abaisse les dixièmes, on fait correspondre au moment où les unités ont été traitées, en plaçant les zéros dès le départ.

En gros, on revient à des opérations sur les fractions décimales, comme pour la multiplication entre deux facteurs décimaux.

ycombe a écrit:No comment.

C'est délirant.

JPhMM a écrit:En gros, on revient à des opérations sur les fractions décimales, comme pour la multiplication entre deux facteurs décimaux.

C'est ce que j'aime dans cette technique, sa parenté avec la technique de la multiplication.
Faut que je la teste pour voir si elle ne serait pas plus simple pour les élèves.

AndréC a écrit:

JPhMM a écrit:En gros, on revient à des opérations sur les fractions décimales, comme pour la multiplication entre deux facteurs décimaux.

C'est ce que j'aime dans cette technique, sa parenté avec la technique de la multiplication.
Faut que je la teste pour voir si elle ne serait pas plus simple pour les élèves.

Ça va marcher sans problème si tu fais 2,1458÷38 en gardant le même nombre de chiffre après la virgule. Si tu décides de faire 3,6÷132 à 6 chiffres après la virgule, ça oblige à écrire 3,600 000÷132 dans la potence, pour partir avec dès le départ avec 6 chiffres. Et ce réglage sur le nombre de chiffres du dividende doit se faire après avoir supprimé la virgule au diviseur.

ycombe a écrit:
Si tu décides de faire 3,6÷132 à 6 chiffres après la virgule, ça oblige à écrire 3,600 000÷132 dans la potence, pour partir avec dès le départ avec 6 chiffres. Et ce réglage sur le nombre de chiffres du dividende doit se faire après avoir supprimé la virgule au diviseur.

Non, ce n'est pas obligatoire, on effectue 36 : 132 sachant qu'il faudra décaler la virgule de 1 rang vers la gauche.
Mais cela induit une plus grande technicité pour les élèves faibles. Donc, pour eux, c'est plus difficile à gérer.

Pour les élèves faibles le plus simple est de revenir à une division de deux entiers par décalage des virgules.

Les autres élèves comprennent toutes les méthodes. Leur seule angoisse est d'être contraints à effectuer une méthode qu'ils ne maîtrisent pas.

La seule que j'interdis, c'est d'écrire les multiples du diviseur.

J'ai une petite question mais ce n'est pas pour lancer une polémique. Autant je suis fan du calcul mental, des simplifications de fractions etc. Je comprends l'intérêt de poser des calculs simples qui s'effectuent ultra rapidement
Autant je me questionne sur l'intérêt de poser des multiplications ou des divisions à 5 ou 6 chiffres qui ne seront plus jamais effectué à la main. Je comprendrais plus un travail avec des arrondis et des ordres de grandeurs pour obtenir une valeur approchée permettant de juger de la pertinence du résultat exact donnée lui par une machine
Deuxième question j'ai un souvenir de preuve en forme de croix à la fin d'une division mais je ne m'en rappelle plus. Ca vous évoque qq chose?

En soi, l'intérêt est minime, mais il se trouve que poser le même problème avec des petits nombres ou avec des nombres décimaux à plusieurs décimale influe sur les capacités de résolution de ce même problème par les élèves.

Demandez par exemple combien coûte un bonbon lorsque l'on en achète 3 pour 6 € en tout.
Et demandez combien coûte une calculette lorsque un lot de 35 calculettes identiques coûte 463,75 €.

Avec ou sans calculette, le premier problème est résolu par tous, le deuxième est majoritairement trouvé difficile.

Faire des calculs avec des grands nombres ou des décimaux à plusieurs décimales permet au cerveau de s'abstraire de la complexité des nombres pour ne voir que le problème en lui-même .

Mais justement, n'est on pas dans une situation qui finalement n'a plus de sens et qui revient alors à une prouesse sur un objet mathématique? Est ce que le prix d'une calculette pour un lot de 25 calculette à 175e Est aussi juger difficile?

Pour que les élèves puissent comprendre que ces deux problèmes sont des problèmes de divisions, ils doivent acquérir une familiarité avec les nombres décimaux.

C'est en ayant de la familiarité avec les décimaux que les élèves finissent par comprendre que ces deux problèmes relèvent de la même situation.
Et pour avoir de la familiarité, de la proximité avec les nombres, il faut les manipuler.

On retrouve le même problème avec les puissances en quatrième :

Un disque dur à une capacité de 1,5 Go. Combien de fichiers de 1,5 Mo peut-il contenir ?
Même en rappelant que 1 Go = 10^9 octets (10 puissance 9) et 1 Mo = 10^6 octets et avec une calculatrice scientifique autorisée le problème est massivement échoué.

Pourtant, il s'agit là aussi d'un problème de division.

Les élèves n'ayant pas de familiarité avec les nombres ne comprennent plus qu'il s'agit du même problème que le nombre de boites de 6 oeufs que l'ont peut remplir avec 6000 oeufs.

La technicité permet de créer une proximité avec les nombres telle que les élèves arrivent à penser le problème pour ce qu'il est : un problème de division.

Je dirais même qu'un problème avec des nombres trop simples implique rapidement l'usage possiblement trivial d'une multiplication à trou. De fait, de nombreux problèmes très simples sont gérés mentalement par une multiplication à trou, dès les plus petites classes.
C'est la "complexité" des nombres engagés qui impose d'utiliser une division.

AndréC a écrit:Un disque dur à une capacité de 1,5 Go. Combien de fichiers de 1,5 Mo peut-il contenir ?

Pour un mathématicien, 1000 ; pour un informaticien, 1024

Mb, Mo, MB ?

jaybe a écrit:

AndréC a écrit:Un disque dur à une capacité de 1,5 Go. Combien de fichiers de 1,5 Mo peut-il contenir ?

Pour un mathématicien, 1000 ; pour un informaticien, 1024

Les définitions ont été modifiées, désormais (et je le regrette) 1Gio = 1024 x 1024 x 1024
et 1 Mio =1024 x 1024.
Alors que 1 Go = 10^9 et 1 Mo = 10^6.

Bien vu ! C'était pour un vieil informaticien, donc...

ycombe a écrit:Allez, un petit document sur la question que je viens de finir pour mes sixièmes. J'ai essayé de survoler tous les cas, y compris celui dans lequel le chiffre du quotient n'est pas trouvé du premier coup.

Je viens de poser une question sur stackexchange pour coder ces retenues avec xlop.

https://tex.stackexchange.com/questions/406258/how-to-place-carried-numbers-in-the-french-division-algorithm-with-xlop

Si xlop avait une option permettant d'effectuer cet algorithme, ce serait merveilleux.

Dès que j'en aurai le temps, j'apprendrai à coder en TeX (quelle galère !) juste pour modifier la macro \opidiv de l'excellent package de Jean-Côme Charpentier xlop et lui ajouter une option : division à la française... En attendant ce jour, un bricolage avec LaTeX sera suffisant.

JPhMM a écrit:Je dirais même qu'un problème avec des nombres trop simples implique rapidement l'usage possiblement trivial d'une multiplication à trou. De fait, de nombreux problèmes très simples sont gérés mentalement par une multiplication à trou, dès les plus petites classes.
C'est la "complexité" des nombres engagés qui impose d'utiliser une division.

Si vous pensez qu'on n'aborde pas la technique opératoire de la division avant le CM1... donc on oblige en quelque sorte les élèves à faire ces multiplications à trous, et surtout on ne fait "que" des problèmes numériquement assez simples pour avoir recours à ces multiplications à trous. Sans oublier que beaucoup de "fichiers" ne parlent pas de division "partage" avant le CE1...

J'ai fait une  version (c'est un brouillon) pour mes élèves. J'ai repris à quelque chose près les explications du manuel Ardiot ainsi que celui de Adam :
https://manuelsanciens.blogspot.fr/2016/06/ardiot-wanauld-budin-calcul-cm1-1963_28.html

https://manuelsanciens.blogspot.fr/2015/03/adam-gouzou-arithmetique-cm1-1965.html

A la différence de @ycombe, je ne fais pas barrer les restes partiels lorsqu'il y a erreur d'estimation, je fais effacer comme il était souvent enseigné à cette époque. Pour le reste, j'ai emprunté à @ycombe quelques explications qui ne figurent pas dans les manuels de CM1 de l'époque.

Voici donc, le premier jet (brouillon) de l'algorithme à destination des élèves (et de leur parents) :

Chaque méthode est un algorithme, pour la division ou la soustraction on veut toujours que les élèves comprennent exactement ce qui se passe, mais pour la multiplication il existe aussi de nombreux algorithmes et les élèves savent-ils au moins que dans notre méthode on utilise la distributivité ??? Si on devait expliquer l'algorithme de la multiplication et bien ce ne serait pas si simple...
Finalement, on veut que les élèves posent les calculs pour quelles raisons ?

En parlant d’algorithme de la division, j'ai eu un exercice en DEUG : créer un algorithme de la division de très grands nombres. C'est très efficace comme exercice pour se rendre compte à quel point on ne connait pas la division et pour la multiplication c'est pareil. Car il ne faut pas trop fatiguer les ordinateurs, suivant les algorithmes on peut obtenir des résultats en quelques secondes ou bien quelques dizaines de minutes...

ycombe a écrit:Allez, un petit document sur la question que je viens de finir pour mes sixièmes. J'ai essayé de survoler tous les cas, y compris celui dans lequel le chiffre du quotient n'est pas trouvé du premier coup.





J'ai adopté la méthode classique dite on cache le même nombre de chiffres au diviseur et au dividende pour trouver le quotient plutôt que l'ordre de grandeur, parce qu'elle présente l'avantage de ne jamais donner un chiffre trop petit, contrairement aux ordres de grandeur.

En passant, la méthode du pont me laisse perplexe, j'aimerais bien que, comme dans la division longue américaine, on apprenne aux élèves à mettre d'abord des 0. Par exemple pour 11945÷47 on dirait d'abord 1÷47 fait 0 et il reste 1, 11÷47 fait 0 et il reste 11, puis 119÷47 fait 2…

On ne passerait au pont qu'ensuite et on préparerait ainsi la division décimale, dans laquelle il est possible de commencer par un ou plusieurs 0 (1,1945÷47 par exemple).

Bonsoir,

J'ai appris les divisions avec les soustractions posées et le répertoire multiplicatif.
C'est ainsi que je l'enseigne à mes élèves depuis bientôt 10 ans, mes collègues l'enseignent de la même manière.

Cette méthode me satisfait de moins en moins et si j'ai encore des sixièmes l'année prochaine, je souhaiterais faire évoluer mon cours sur la division.

Je remercie ycombe pour son document dont la lecture a été instructive pour moi. Il va falloir que je m’entraîne avant d'envisager d'enseigner différemment.

J'aimerais savoir comment vous procédez quand le diviseur a plus de 2 chiffres (en restant raisonnable, 3 ou 4 chiffres au maximum).
Merci.

PS : j'enseigne en collège, mais comme l'enseignement de la division commence à primaire j'ai posté ici, j'espère ne pas avoir eu tort.