Question aux profs de maths sur l'apprentissage initial de la multiplication

Bonjour

En Ce2, je traite de la technique opératoire et du sens de la multiplication. Je considère que c'est le plus gros morceau de mon programme en mathématique et, dans l'idéal (et c'est ce qui se passe pour quelques élèves), ils seront capables à la fin de la période qui lui est consacrée, d'effectuer n'importe quelle multiplication avec des entiers positifs.

Donc j'essaie vraiment de le faire bien.

Or voilà.

Cela fait 2 fois que, lors d'animations pédagogiques avec mon IEN (ex prof de math' en collège), cette opération revient sur le tapis, avec en point de mire les enseignants de Ce2, qui donneraient (je cite) "des conceptions fausses de cette opération".
J'ai beaucoup d'estime pour mon IEN, mais je n'arrive pas à être d'accord (et surtout à changer d'orientation pédagogique avec mes jeunes élèves sur ce point, pour éviter ce qu'il critique).

Le désaccord porte sur 2 conceptions :
1) automatiser l'écriture des zéros à droite pour les calculs x10, x100, x1000 induirait aux élèves, plus tard, de faire la même chose avec les décimaux.
Pourtant, cette "recette" m'apparaît comme très pratique quand il s'agit de faire une multiplication, par un nombre de plusieurs chiffres (obstacle récurrent en ce2), et de rendre moins lourde la procédure.
Pour 57 x 24, par exemple, on écrit d'abord 57x2 en première ligne, puis 57x20 en deuxième (transformé en 57x2x10), ce qui permet de placer directement le zéro, et de faire 57x2. C'est à la longue automatisé.

2) Faire comprendre le sens et la nécessité de la multiplication par l'addition réitérée.
En effet, je commence (lorsqu'ils ne savent pas les tables), par des équivalences du type 57 x 5 = 57+57+57+57+57
On constate à la longue la nécessité de poser et d'utiliser (puis de mémoriser) les tables (car pour 57x24, gloups).
Cette étape me permet juste de lier les 2 opérations, également de les distinguer (car j'ai encore beaucoup de 6x5 = 11, par exemple, au départ), et de construire, puis de récupérer si besoin les tables en avançant (par exemple, pour construire la table de 8, on ajoute "un paquet de 8" à chaque ligne.)
Cette façon de faire induirait également, selon mon IEN, de fausses conceptions sur les décimaux, entraînant l'idée que l'on trouve toujours un résultat supérieur quand on multiplie.

Je suis un peu coincée :
1) Je ne sais pas comment faire autrement
2) Je me dis que, quand ils aborderont les décimaux, il leur faudra de toute façon changer de point de vue sur les nombres.

Qu'en pensez-vous ? (En gros : qui a raison ? ) Puis-je éviter de dissocier décimaux et entiers naturels, alors que je n'ai bsolument pas à traiter des nombres à virgules dans mon niveau ?
Et surtout, comment faire autrement ?

Alors je refais la multiplication en sixième.
1) Je leur demande ce qu'ils savent sur la multiplication d'un nombre entier par 10 . Ils me disent souvent "on rajoute un zéro. Je leur fais ensuite multiplier 2,718 ( ) par 10,100 et 1000 et leur demande ce qu'on peut observer. Ils voient bien en général le décalage de la virgule. Et ensuite, avec la connaissance qu'ils ont des nombres décimaux en 6ème, on fait le lien avec le cas particulier des nombres entiers 2x10 : 2,0 x 10 = 20.
2) Pour le sens de la multiplication ,je fais comme toi au début, car c'est très intuitif, je ne vois pas comment on peut l'introduire autrement et simplement !

C'est bizarre, il faudrait que je retrouve mes notes de l'an dernier mais dans notre semblant de formation ils avaient plutôt "mis le paquet" sur le passage aux décimaux en CM1 il me semble (comme j'avais les CM1, ça me mettait la pression!)
en gros on nous conseillait de présenter la virgule comme une sorte de pivot finalement, et donc le principe du "décalage vers la gauche" restait le même qu'avec les entiers...

On me conseillait aussi de multiplier les représentations différentes des décimaux/fractions et les exercices sur les correspondances entre eux (parts de pizza, carrés de chocolats, morceaux de bandes de papier ou de cordes, nombres décimaux écrits avec une virgule, écriture fractionnaire,lecture sur un axe gradué,...)

Mufab a écrit:1) automatiser l'écriture des zéros à droite pour les calculs x10, x100, x1000 induirait aux élèves, plus tard, de faire la même chose avec les décimaux.

On travaille la technique avec des entiers et on la conserve pour les décimaux : on ne place la virgule qu'une fois le résultat obtenu.

Je ne suis pas prof de maths mais en cm2 je procède comme Tinkerbell : il faut qu'ils aient compris qu'un entier est un décimal et qu'ils puissent l'écrire sous sa forme décimale. A partir de là et à l'aide du tableau de numération, ça va assez vite, à condition qu'un travail préalable sur le chiffre des et le nombre de ait été mené.

Donc je ne suis pas trop dans les choux, avec des enfants qui ne connaissent pas les décimaux ?

Peut-être peux-tu utiliser le tableau de numération pour faire "circuler" les nombres : les zéros apparaissent ou disparaissent ainsi naturellement.
Au CM2, j'utilise encore beaucoup le tableau de numération. Ca évite qu'ils retiennent des astuces en ayant oublié le cheminement qui y a conduit.
Quant aux décimaux, c'est sûr que c'est un sacré changement de paradigme, comme y disent les chercheurs. Les fractions, qui précèdent les nombres décimaux, sont encore plus difficiles à avaler, pour certains...

Clarinette a écrit:Peut-être peux-tu utiliser le tableau de numération pour faire "circuler" les nombres : les zéros apparaissent ou disparaissent ainsi naturellement.
Au CM2, j'utilise encore beaucoup le tableau de numération. Ca évite qu'ils retiennent des astuces en ayant oublié le cheminement qui y a conduit.

Oui, j'ai pensé au tableau, mais ça reviendra au même, non ?
Comment leur faire comprendre que 58x10 = 580 dans le tableau de numération ?
Imaginons 58x10. On est obligé de faire 58x10 = 50d + 80u, de les mettre dans le tableau, de re calculer...
Je ne sais pas si ça va leur apporter grand chose/décimaux.

Mais une fois que l'on a fait ça 5 ou 6 fois, ça va quand même plus vite d'ajouter direct' le zéro, non ? Sinon, pour la multiplication à 2 ou 3 chiffres, on n'est pas rendu à Loches (comme on dit chez moi).

Dhaiphi a écrit:

Mufab a écrit:1) automatiser l'écriture des zéros à droite pour les calculs x10, x100, x1000 induirait aux élèves, plus tard, de faire la même chose avec les décimaux.

On travaille la technique avec des entiers et on la conserve pour les décimaux : on ne place la virgule qu'une fois le résultat obtenu.

Je crois qu'il parlait d'erreurs comme : 1,25 x 10 = 1,250

En fait, les 58 unités glissent sur la gauche d'un rang et se transforment en 58 dizaines, donc, pour "sortir" le nombre du tableau, il faut rajouter un zéro aux unités : c'est très parlant, pour les élèves, je trouve.

Clarinette a écrit:En fait, les 58 unités glissent sur la gauche d'un rang et se transforment en 58 dizaines, donc, pour "sortir" le nombre du tableau, il faut rajouter un zéro aux unités : c'est très parlant, pour les élèves, je trouve.

Voilà, c'est ça ! Merci !

(Néanmoins, je crois que pour que mes nélèves reconnaissent sans y passer 2 semaines que 58ux10, ça fait 58d, c'est pas gagné...)

A propos de l'apprentissage initial de la multiplication, j'aimerais bien aussi avoir l'avis des collègues du secondaire sur une question qui me turlupine chaque année : attendez-vous de vos élèves qu'ils traduisent
2 + 2 + 2 par 2 x 3 ou par 3 x 2 ?


Mais je vois qu'il n'y a que Tinkerbell qui a répondu à la question de ma copine...

Ohé, y a-t-il des profs de maths dans la salle ? :ace:

Sont tous, ou partis, ou bannis... ?

3 fois 2
3 x 2 = 2 + 2 + 2

Mowgli a écrit:A propos de l'apprentissage initial de la multiplication, j'aimerais bien aussi avoir l'avis des collègues du secondaire sur une question qui me turlupine chaque année : attendez-vous de vos élèves qu'ils traduisent
2 + 2 + 2 par 2 x 3 ou par 3 x 2 ?


Mais je vois qu'il n'y a que Tinkerbell qui a répondu à la question de ma copine...

Ohé, y a-t-il des profs de maths dans la salle ? :ace:

3 x 2
On est très peu en maths au collège : JPhMM (mais il n'est pas venu ici depuis pas mal de temps), Takara, Eileen, Marie...Même sur néo on manque de prof de maths !

Sinon mufab, il est sympa ton IEN mais il vous a proposé quelles alternatives pendant la formation ?

Chic ! Des réponses ! Merci !

Donc vous préférez la lecture du signe comme "fois" plutôt que "multiplié par". On a déjà eu pas mal de débats avec des collègues (et des copines du forum) sur ce point.

Si ce n'est pas abuser, pouvez-vous expliquer les raisons de votre choix ? Ça m'intéresse beaucoup.

Plus rigoureusement, je crois qu'on devrait dire 3x2 ou 2 fois 3.
Exemple : partages d'une barre de chocolat de 6 morceaux.
En 3 parts égales : 2x3 ou 3 fois 2.
En 2 parts égales : 3x2 ou 2 fois 3.
Il s'agit de partages différents...

En pratique, je crois qu'il est admis que 3x2 se lise
"3 multiplié par 2" ou "3 fois 2".

Clarinette a écrit:En fait, les 58 unités glissent sur la gauche d'un rang et se transforment en 58 dizaines, donc, pour "sortir" le nombre du tableau, il faut rajouter un zéro aux unités : c'est très parlant, pour les élèves, je trouve.

Pareil ! Les unités deviennent des dizaines, les dizaines deviennent des centaines et, comme il n'y a plus d'unités, on met un zéro dans la colonne des unités.
Quand, il y aura "du monde après la virgule", les dixièmes deviendront des unités et comme il n'y a plus de dixièmes, on n'écrit plus la virgule puisqu'on n'en a plus besoin... Et ainsi de suite.

Ce que je leur explique, c'est que, de gauche à droite, on lit le signe "X" "multiplié par" et de droite à gauche, on le lit "fois".
Donc 2 + 2 + 2 égale(nt) 2 X 3, c-à-d "2 multiplié par 3" ou "3 fois 2".
Ca peut sembler du pinaillage, mais dans un problème à étapes, il y a moyen de se perdre si on ne sait plus où sont et ce que représentent le multiplicande et le multiplicateur.

Clarinette a écrit:
Quant aux décimaux, c'est sûr que c'est un sacré changement de paradigme, comme y disent les chercheurs. Les fractions, qui précèdent les nombres décimaux, sont encore plus difficiles à avaler, pour certains...

Pas le temps de développer mais pour les décimaux et les fractions il faut s'appuyer assez tôt sur l'écriture usuelle des mesures, des poids et des prix : l''enfant qui mesure 1,30 m, le bébé qui pèse 3,500 kg ; le livre qui coûte 12,75 euros ...

Très tôt ? C'est-à-dire ? Mes Ce2 sont-ils concernés, ne serait-ce que dans les conversions ?

Quand j'aborde les fractions avec mes CM2, le plus dur, pour les plus têtus et ancrés dans leurs anciennes conceptions, est de leur apprendre à considérer en premier le dénominateur. C'est absolument fondamental de se demander, avant toute chose, en combien est partagée l'unité.

D'autre part, un fait qui me trouble, mais dont je n'ai pas l'explication, est que la manipulation intense de galettes, bandelettes, groupes de trombones, etc..., ne garantit pas nécessairement pour certains l'accès à une compréhension des fractions quand elles ne sont plus présentées que sous leur forme chiffrée.

Et enfin, certains élèves qui ont pédalé en fractions, s'en sortent mieux sur les décimaux, mais je suis persuadée qu'ils n'en ont pas une compréhension fine, car ces deux notions me semblent intimement liées.

Ce qui est sûr, c'est que cette étape est fondamentale en numération, et une mauvaise conception de ces notions est un handicap que se traînent les élèves jusqu'au collège (avec d'inévitables répercussions sur la notion de proportionnalité en général, notamment les pourcentages et surtout les échelles.).

oui, j'avais même lu un article d'un mathématicien (c'était en anglais donc il faudrait que je le traduise même si je le retrouvais) qui déconseillait carrément tout passage par les partages de gâteaux etc... Mais ça me paraissait bizarre d'en arriver là.
Donc on m'avait plutôt conseiller de ne pas enfermer les élèves dans une seule représentation du nombre décimal mais d'insister en permanence sur les correspondances entre les différentes façons de les représenter, avec un retour constant à l'unité (1 c'est 1,0 parce que c'est 1 et 0 dixième, c'est aussi 1,0000 c'est aussi 1,0000000000000000000 ou encore une pizza entière, 2 moitiés de pizzas, 3 tiers de pizza, 9 neuvièmes de pizzas ou encore 100 centièmes de bidule, ou cent centièmes tout court,... ) bon, le tout petit à petit et à base de petits jeux quotidiens
Par contre je pensais bêtement que le plus dur c'était qu'ils se rappellent que 4 X 3 ça donnera toujours le même résultat que 3 X 4, du coup pour ne pas les embrouiller je n'insistais pas trop sur le multiplié par vs. fois, je faisais juste attention à toujours le lire de la même façon

A la question de Mowgli : traduisez vous 2 + 2 + 2 par 2 x 3 ou par 3 x 2 ?
J'ai répondu 3 fois 2 et 3x2=2+2+2.
J'aurais du répondre 3 fois 2 et 2x3=2+2+2.
Je n'ai pas enseigné en primaire et j'ai pris la mauvaise habitude de confondre "fois" et "multiplié par"; le chant des tables de ma lointaine école ne raisonne plus...
Ce qui peut être accepté au collège (?) mais pas en primaire où la multiplication est introduite.
Je suppose que cette question a souvent été abordée dans les didactactiques du primaire.
Par exemple, 2 x 3cm et 3 x 2cm traduisent des opérations différentes.
Un nombre opère sur une mesure de grandeur...