Question aux profs de maths sur l'apprentissage initial de la multiplication

Sans doute, la plupart retiendront que les centièmes de mètres sont les centimètres, mais l'avantage des fractions, c'est d'être au clair quand on parle de centièmes, et je me sens plus à l'aise avec ça.

Je reprenais la réflexion d'Evariste qui se demandait si l'école primaire ne ferait pas mieux de construire sur le concret pour qu'après les élèves sachent à quoi se raccrocher pour raisonner dans l'abstrait.
Les centièmes de mètres ne suffisent pas, mais quand on y ajoute les centièmes d'euros, les centièmes de litres, les centièmes de grammes, et le système entier des centaines de milliards aux cent milliardièmes, même sans les écrire, la traduction fractionnaire devient évidente.
Et tous les élèves, même les moins matheux, sont capables de passer des décimaux aux fractions et des fractions aux décimaux parce qu'ils ont compris ce qu'ils font.

Mais les fractions ne me semblent pas abstraites, c'est très concret un huitième de pizza...
L'argument d'Evariste me paraît sensé, c'est pourquoi d'autres cheminements m'intéressent et enrichissent ma réflexion.
Après, je me répète, et c'est sans doute personnel, mais je me sens plus à l'aise dans une progression qui chemine via les fractions vers les décimaux. Tant que ça reste efficace...

Iota a écrit:Mais les fractions ne me semblent pas abstraites, c'est très concret un huitième de pizza...
L'argument d'Evariste me paraît sensé, c'est pourquoi d'autres cheminements m'intéressent et enrichissent ma réflexion.
Après, je me répète, et c'est sans doute personnel, mais je me sens plus à l'aise dans une progression qui chemine via les fractions vers les décimaux. Tant que ça reste efficace...

La rigueur de ta démarche correspond à la mise en place "historique" des décimaux au XVIII- XIXème. A cette époque, tous les systèmes de mesure sont fractionnaires. Pour imposer le système décimal, on vantait la surprenante facilité avec laquelle on pouvait faire les calculs (avec des points, pas des zéros à l'époque). C'est cette simplicité qui a fini par imposer le système décimal: il est tellement simple qu'on peut s'en servir sans rien y comprendre. Essayes d'imaginer la galère du petit Anglais calculant la surface de sa salle de classe! (Pourtant la perfide Albion a fini par adopter les décimaux en 1971 pour sa monnaie! Avant 1£= 20 schillings et 1 schilling= 12 pences).
Dans un pays où des systèmes fractionnaires sont encore en vigueur, ta démarche me semble totalement naturelle. En France, il n'existe plus aucune référence à une fraction IRL en dehors d’un « partage ».

Maintenant, s'il faut déjà maitriser entièrement le calcul fractionnaire pour construire les décimaux, mes 1ère S risqueraient bien de ne pas encore l'aborder.

Clarinette a écrit:

phi a écrit:Moi on m' a dit de mettre un zéro pointe alors c'est ce que je faisais car je suis (bête et) disciplinée

Spoiler:

Ça ne me parait pas si idiot que ça... L'an dernier je débutais dans le métier avec 0 formation, donc je suivais les conseils qu'on me donnait, quitte à faire à mon idée ensuite si je m'apercevais que ça ne collait pas
Donc cette histoire de zéro pointé (un zéro avec un point dedans) ça permettait de faire le lien avec l'année précédente (ils faisaient comme ça en ce2 alors pourquoi les perturber) et de reexpliquer ce que c'était que ce "zéro spécial" qui rappelle qu'en réalité à la deuxième ligne on multiple des dizaines à la troisième des centaines etc...
Pour les fractions et les décimaux je m'apercois que faisais aussi pas mal de choses sur les unités de mesure, au début je n'insistais pas assez sur le "cent"'de
Centième, de centimètres , le mille de milligramme etc mais au fur et à mesure je le suis aperçue de la nécessite d'insister lourdement dessus...
Je ne suis sans doute pas très claire, depuis hier je passe par l'iPhone et ce n'est pas l'idéal...

Si si, tu es très claire !

Evariste, merci pour tes explications. Si je comprends bien, historiquement les décimaux ont supplanté les fractions, ce qui rend ces dernières obsolètes et c'est pourquoi vous ne les utilisez pas, c'est ça ?
Et vous ne les utilisez pas non plus parce que la maîtrise des fractions est trop complexe pour les élèves. (Si j'ai compris de travers, il ne faut pas hésiter à me le signaler !).

A mon avis, sur le premier point, d'accord les fractions sont rarement utilisées (un peu comme les nombres sexagésimaux, c'est vieux ) dans les mesures de la vie courantes (quoique, dans les mesures de temps, elles existent encore), mais c'est une idée mathématique passionnante, que ce morceau d'unité, et les problèmes autour des fractions sont très intéressants, et sont liés à la règle de trois et aux produits en croix qu'ils verront sûrement au collège.

En ce qui concerne la maîtrise des fractions, je ne demande pas à mes élèves un niveau de 1ère S (ou alors, le niveau a réellement beaucoup baissé :shock: ).
Simplement, on travaille sur les parties entière et décimale des fractions, en les positionnant sur une droite et en les décomposant de façon systématique. Ils revoient ainsi les notions de multiple, de reste de division...
Que certains de mes élèves se réfugient dans un aspect mécanique du passage fractions/décimaux, c'est possible (les mêmes que pour la division, qui ont entrevu la possibilité d'un sens mais qui l'ont perdu en route), mais c'est déjà ça. On revient sur ce sens avec les mesures, juste après, et une paire d'entre eux recolle au sens à ce moment-là.
Ce qui me conforte dans cette idée, c'est que ça se passe bien pour mes élèves. Ils accrochent bien, les évals sont bonnes et ne montrent pas d'incompréhension massive (sauf J, mais lui, c'est une autre histoire).
Et les parents très réactifs de ma classe (autre signe évident qui me sert de baromètre) ne viennent pas me voir en me disant que leur Lapinou n'a pas compris les fractions/les décimaux et qu'il faut absolument l'aider.

Si tes élèves accrochent bien, comprennent bien c'est donc que ta stratègie est bonne.
Je suis juste surpris par la méthode mais il ne faut surtout pas changer une équipe qui gagne.

Oui, c'est une position qu'on aurait toujours dû garder dans l'EN .
Votre méthode me surprend aussi, mais c'est tout l'intérêt de ce type d'échanges, ça donne à penser. Merci à vous, donc

Iota a écrit:Votre méthode me surprend aussi,

On maîtrise bien les nombres décimaux quand on maîtrise également les fractions décimales.

Le problème soulevé est extrêmement complexe — si complexe que certains éléments semblent avoir échappé à l'IEN en question.

Permettez-moi quelques rappels.

Il faut d'abord distinguer l'opération (ou loi, si vous préférez) de multiplication sur les entiers et les algorithmes de multiplication sur la représentation des nombres entiers. Souvent passée à la trappe, cette distinction (au moins dans l'esprit de l'enseignant) est primordiale, tout simplement parce que l'écriture positionnelle en base dix dépend de l'opération de multiplication. En d'autres termes, quand on écrit 153, on utilise déjà implicitement (mais massivement) toutes les propriétés de la loi multiplication.

En effet, écrire en positionnelle base dix 33+28=61 c'est déjà utiliser implicitement 33+28=3*10+3+2*10+8=(3+2)*10+(3+8)=(3+2)*10+11=(3+2)*10+10+1=(3+2)*10+1*10+1=(3+2+1)*10+1=6*10+1=60+1=61
Notez que sans le dire, on utilise déjà la distributivité (dans les deux sens) et l'élément neutre de la multiplication.
L'addition étant définie (et sans nul doute ayant été inventée) en écriture unaire (où la même opération s'écrit : |||||||||||||||||||||||||||||||||+||||||||||||||||||||||||||||=|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||), on voit déjà qu'il faut distinguer l'addition des entiers et les algorithmes qui permettent d'obtenir l'écriture de la somme de deux nombres entiers (algorithmes qui diffèrent pour chaque système d'écriture des nombres).
Je me permets d'ailleurs de rappeler que la commutativité de l'addition sur les entiers (rarement démontrée durant toute une scolaire) a été démontrée très tardivement à l'aide de l'écriture unaire (par Hilbert, si ma mémoire est bonne).

Bien évidemment, l'opération de multiplication sur les entiers est définie par l'addition (dire autre chose est un mensonge) (attention, je parle bien de l'opération ici, et non de la loi). Mais il faut encore distinguer les écritures. On comprend bien que :
|||*|||||=|||||+|||||+|||||=||||||||||||| (on fait la somme du second facteur avec lui-même autant de fois (moins un, puisqu'on ne peut faire la somme que d'au moins deux termes) qu'il y a de | dans le premier facteur).
Cette définition ne permet pas de multiplier par 1 ni par 0 (voilà pourquoi dans de nombreux ouvrages, il est de bon gout de rajouter une proposition pour la multiplication par 1 et une pour la multiplication par 0).
Inutile de dire que démontrer que a*b=b*a avec une telle définition est un véritable tour de force, mais le problème principal n'est pas là, même si certains élèves ne comprennent pas pourquoi 13*25=25*13 (ils ont d'ailleurs raison de ne pas comprendre, si on ne leur a jamais démontré).

Le problème principal surgit dès qu'on veut utiliser l'écriture positionnelle (à base dix, mais pas uniquement).
En effet, déjà dans cette écriture, multiplier un chiffre par dix est équivalent à augmenter son rang d'un. Première difficulté, on rencontre une propriété de la multiplication, valable uniquement à cause du choix de l'écriture, qu'on a en plus utilisée depuis longtemps sans "connaître" la multiplication (mais tout le monde sait qu'on a fait semblant de ne pas la connaître).
Bref 6*10=10+10+10+10+10+10 par définition de la multiplication.
Et 6*10=60 par propriété de la multiplication sur l'écriture positionnelle en base dix (à moins que ce ne soit l'inverse... )

Les choses se corsent encore quand on désire multiplier deux nombres entiers quelconques.

Restons simples.
23*10 = ?
Déjà nous avons besoin d'associativité et distributivité (a+b)*c=a*c+b*c (propriété de l'opération sur les entiers, propriété que nous sommes sensés ignorer), pour pouvoir obtenir calculer le produit (algorithme sur l'écriture des entiers).
En effet :
23*10=(20+3)*10=20*10+3*10=2*10*10+3*10=2*100+3*10=200+30=230.
Dès lors, oui, multiplier par dix, c'est bien ajouter un zéro, par définition même de l'écriture positionnelle en base dix.

Plus complexe.
23*15 = (20+3)*15=20*15+3*15= (en utilisant le principe précédent) = 300+45=345.
Cela peut vous sembler stupide, mais comment justifier la validité de l'algorithme de "poser une multiplication" sans faire usage de la distributivité ? D'ailleurs, peut-être certains élèves s'étonnent-ils que systématiquement, en posant une opération, la commutativité "marche" (moi, cela m'étonnait vraiment).
Je m'explique :
Poser 23*15 revient à faire : 23*5+23*10=115+230=345.
Et poser 15*23 revient à faire : 15*3+15*20=45+300=345.
Comment est-il possible de comprendre qu'en commutant on arrive à faire une addition dont les termes sont respectivement toujours différents mais dont la somme est toujours égale ? Ici 115+230=45+300. Quand on y réfléchit une seconde, si on ne connait pas la distributivité, cela peut dérouter (et cela déroute).
Et au risque de sembler radoter, cette difficulté n'a rien à voir avec l'opération-loi de multiplication, mais bien avec notre façon d'écrire les nombres entiers.

Nous pourrions, bien sûr, parler aussi du zéro, qui, dans l'algorithme, passe plusieurs fois du statut d'élément absorbant de la loi de multiplication à celui de chiffre signifiant le cardinal de l'ensemble (vide) d'un rang (par exemple : "aucune dizaine", et non "zéro dizaine", pour le dire (trop) simplement)

J'ai déjà été trop long.
Je pourrai plus tard évoquer les conséquences de cette distinction opération/algorithme sur les nombres décimaux (et leurs écritures), mais vous comprenez déjà sans doute qu'enseigner (les règles) de multiplication en base dix, c'est déjà faire un choix didactique, qui est imposé par le fait que ces règles-là ne peuvent pas se justifier mathématiquement sans une connaissance poussée des mécanismes de l'écriture positionnelle en base dix, et une connaissance poussée des propriétés de la loi de multiplication. Et si les enfants ont le plus souvent cette première connaissance à un degré qui nous échappe parfois en secondaire, on ne peut/doit pas attendre d'eux d'avoir la seconde.

Je rappelle en guide de première conclusion, que tous ces problèmes proviennent du fait que la multiplication est une loi sans doute connue depuis au minimum 20 000 avant JC (cf le merveilleux bâton d'Ishango pour s'en convaincre ), et que Stevin a inventé l'écriture décimale en 1586, dans un court texte (La Disme), que tout enseignant devrait lire pour comprendre à quel point cette écriture est une conséquence des lois de la multiplication et de l'addition. Toute personne qui demanderait d'enseigner rigoureusement (en toute connaissance mathématique de cause, pour ainsi dire), demanderait donc qu'on enseignât d'abord les lois et leurs propriétés (et idéalement sur des écritures unaires), avant même de commencer à apprendre l'écriture décimale.

En fait, après avoir appris à multiplier par 0,1 ; 0,01, etc... tu peux justifier la multiplication de deux décimaux.

En effet :
5,26 x 3,2 = 526 x 0,01 x 32 x 0,1
= 526 x 32 x 0,01 x 0,1
= 16832 x 0,001
= 16,832

Pour les élèves, tu peux évidemment parler en termes de déplacement de virgule.

(Témoignage sans grand intérêt, prétexte pour causer de nos méthodes et des obstacles).

C'est dur dur d'enseigner les math (quoi, c'est pas un scoop ?)

Hier, je voulais passer de la multiplication par un nombre d'un chiffre (style 45 x 3) à la multiplication par 20, 30, 40...
Ça a l'air simple, comme ça :
- ils savent multiplier par 10;
- il savent multiplier par 2, 3, 4...
Donc ça ne devrait pas poser de souci.

Et encore une fois, je me trouve en tension entre deux options pédagogiques :
- ou tenter de leur faire comprendre, via un quadrillage 18x30, par exemple, que ce quadrillage est partageable en 3 parties de 18x10;
- ou partir directement de l'écrit : 18x30, c'est 18x3x10, parce que 30 c'est 3x10. Et d'appliquer ensuite automatiquement cette formule : pour multiplier par 30, je multiplie par 3, puis par 10;
- ou faire l'un après l'autre (ce que j'ai fait).

Et il va falloir recommencer car j'en ai perdu les trois quarts.
(Souvent parce que la multiplication par 3 et/ou par 10 est déjà oubliée. Alors les 2 successivement...).

Je trouve que les quadrillages ça embrouille un peu, non?

arcenciel a écrit:Je trouve que les quadrillages ça embrouille un peu, non?

Moi aussi. Et en passant par les billets de 10, 20 et 50 euros ? Ça ne les aiderait pas à faire émerger le concept de "multiplication par un nombre de dizaines" ?

Les miens avaient semble-t-il très bien compris et cette étape s'était très bien passée (je leur faisais repasser le zéro en rouge et ils devaient mettre une flèche rouge vers la ligne du résultat) et puis, quand nous sommes passés à la multiplication à deux chiffres, à part le premier jour où, tout beau tout nouveau, ils y sont tous arrivés, catastrophe complète : huit élèves sur dix oubliaient le "zéro de la deuxième ligne" !
Il a fallu reprendre patiemment, en faire tous les jours pendant quelque temps, et puis là, ça y est, plus personne n'oublie que "multiplier par des dizaines, c'est multiplier par "10 fois ...", donc on fabrique des dizaines et on n'a plus d'unités".

arcenciel a écrit:Je trouve que les quadrillages ça embrouille un peu, non?

Oui, pour ce genre de démonstration, ce n'est pas le plus simple.

L'intérêt de "jouer" assez tôt avec les unités de mesures, c'est de présenter des situations du type :
30 m x 5 = 3 dam x 5 = 15 dam = 150 m

Avec toutes les variantes qui ne manquent pas.

Mufab a écrit:

Et il va falloir recommencer car j'en ai perdu les trois quarts.
(Souvent parce que la multiplication par 3 et/ou par 10 est déjà oubliée. Alors les 2 successivement...).

C'est toujours ainsi, quand on aborde une nouvelle notion ...

Il faut répéter, répéter, recommencer ...

Après on traite les enseignants de "radoteurs"...
C'est une déformation professionnelle.

Sapotille a écrit:

Mufab a écrit:

Et il va falloir recommencer car j'en ai perdu les trois quarts.
(Souvent parce que la multiplication par 3 et/ou par 10 est déjà oubliée. Alors les 2 successivement...).

C'est toujours ainsi, quand on aborde une nouvelle notion ...

Il faut répéter, répéter, recommencer ...

Après on traite les enseignants de "radoteurs"...
C'est une déformation professionnelle.

Et être patient, patient, patient... (sauf que je la perds de plus en plus cette satanée patience...)

Mufab a écrit:Et il va falloir recommencer car j'en ai perdu les trois quarts.

Un quart qui suit, c'est pas mal, tu peux envisager de poursuivre.