Jeu : quizz de culture mathématique, ouvert à tous :D

Kupo a écrit:Et entre l'intervalle [0 ; 1] et l'intervalle [0 ; 1 [ qui a le plus de nombres ?

Demandons à Zénon d'Elée
Lions les deux questions actuelles :
0,99999... n'est pas élément de [0 ; 1[.
Horreur

Igniatius a écrit:

Mufab a écrit:

Igniatius a écrit:

Mufab a écrit:

Mufab, tu n'as pas bien compris la notion d'infini...

Ben peut-être. (C'est pas grave, hein ?)

Mais je n'arrive pas à concevoir 0,999999... comme égal à 1.

Quel sens donnes-tu à l'écriture 0,99999..... ?
C'est la vraie question.

Pour moi, c'est un nombre qui se rapproche de un (aussi près qu'il peut), mais qui n'y arrive jamais. Il le touche presque, purée, mais non : il manquera toujours un chouille.

Très intéressant.
Quel est l'écart entre 1 et 0,9 ? Entre 1 et 0,99 ? Entre 1 et 0,999 ?
Que penses-tu donc de l'écart entre 1 et 0,9999.... qui est donc inférieur à chacun des précédents ?

Il tend vers 0. Mais non nul.

(Je crois que notre différence conceptuelle vient de ce que vous raisonnez en terme d'écritures, ayant admis des équivalences, alors que je raisonne en terme de quantités physiques... Ou alors c'est moi. Désolée pour la parenthèse.)

MAis non, il n'y a pas de différence : la limite des nombres 0,9 ; 0,99 ; 0,999 ; 0,99999999999 ; etc... est le nombre 1.
On choisit de la noter sous forme décimale 0,99999... mais je crois que tu ne donnes pas le bon sens rigoureux à cette écriture.
Chacun des termes de la suite est en effet proche de 1 mais distinct, mais pas la limite.
L'écart entre 1 et 0,9 est 0,1 ; l'écart entre 1 et 0,99 est 0,01 ; etc...
Tu entrevois bien que tu peux tjrs trouver un nombre du type 0,un nombre fini de 9 tel que l'écart avec 1 soit aussi petit que tu veux.
Quel est l'unique nombre positif inférieur à n'importe quel positif ?
C'est 0.
Donc l'écart entre 1 et 0,999.... vaut 0.
CQFD.

JPhMM a écrit:

Will.T a écrit:

JPhMM a écrit:Question : quel est l'ensemble le plus « grand » parmi ceux-ci :
* l'ensemble des nombres entiers naturels ;
* l'ensemble des nombres entiers relatifs ;
* l'ensemble des nombres entiers naturels pairs ;
* l'ensemble des nombres premiers ;
* l'ensemble des nombres rationnels ;
* l'ensemble des nombres décimaux ?

ben comme ils contiennent tous une infinité de nombre, ils n'y en a pas un plus grand que les autres non ?

Tous ces ensembles sont en bijection. Ils ont la cardinalité du dénombrable. En clair, on peut les compter les nombres qu'ils contiennent, un après l'autre, même si c'est un peu compliqué parfois.
Par contre, qu'ils soient en quantité infinie ne permet pas de dire que ces quantités soient "égales" (on dit équipotentes). Parce qu'il y a des infinis plus grands que d'autres.

Ainsi, il y a plus de nombres dans l'intervalle [0 ; 1] que dans l'ensemble des nombres décimaux.

aille, j'ai mal à la tête

c'était quoi alors la bonne réponse ?

Will.T a écrit:

JPhMM a écrit:

Will.T a écrit:

JPhMM a écrit:Question : quel est l'ensemble le plus « grand » parmi ceux-ci :
* l'ensemble des nombres entiers naturels ;
* l'ensemble des nombres entiers relatifs ;
* l'ensemble des nombres entiers naturels pairs ;
* l'ensemble des nombres premiers ;
* l'ensemble des nombres rationnels ;
* l'ensemble des nombres décimaux ?

ben comme ils contiennent tous une infinité de nombre, ils n'y en a pas un plus grand que les autres non ?

Tous ces ensembles sont en bijection. Ils ont la cardinalité du dénombrable. En clair, on peut les compter les nombres qu'ils contiennent, un après l'autre, même si c'est un peu compliqué parfois.
Par contre, qu'ils soient en quantité infinie ne permet pas de dire que ces quantités soient "égales" (on dit équipotentes). Parce qu'il y a des infinis plus grands que d'autres.

Ainsi, il y a plus de nombres dans l'intervalle [0 ; 1] que dans l'ensemble des nombres décimaux.

aille, j'ai mal à la tête

c'était quoi alors la bonne réponse ?

Ils sont tous aussi grands les uns que les autres, oui.
Mais non pas parce qu'ils contiennent tous une infinité de nombres, mais parce qu'ils contiennent tous une infinité dénombrable de nombres.

JPhMM a écrit:
Ils sont tous aussi grands les uns que les autres, oui.
Mais non pas parce qu'ils contiennent tous une infinité de nombres, mais parce qu'ils contiennent tous une infinité dénombrable de nombres.

Je ne me rappelais plus pourquoi je préfère le physique...

ayé, je m'rappelle maintenant

Will, on ne peut pas trouver de bijection entre les entiers naturels et l'intervalle [0;1] : tu ne peux créer aucune fonction de l'un vers l'autre telle que chaque élément de départ ait une image et chaque élément d'arrivée ait exactement un antécédent.

Sans doute la distinction discret / continu t'est-elle plus familière.
Sur une droite graduée, tous les points d'abscisses les nombres entiers forment un ensemble discret.
Et tous les points d'abscisses les nombres réels forment un ensemble continu.
Les premiers sont moins nombreux que les seconds.

en fait c'est "infinité dénombrable" qui me laisse perplexe...
pour moi, l'infini, n'est pas dénombrable !

Will.T a écrit:en fait c'est "infinité dénombrable" qui me laisse perplexe...
pour moi, l'infini, n'est pas dénombrable !

Intuitivement, tu peux les compter ("un", "deux", "trois", etc.)
Strictement, est dénombrable un ensemble qui a le même nombre d'éléments que l'ensemble des nombres entiers naturels (note que "compter des éléments" étant une bijection, la notion intuitive et la notion stricte sont très proches.)

Les nombres réels, on ne peut pas créer de méthode pour les compter tous.

Vous avez besoin de mes lumières les matheux?

Aux matheux, je souhaite 0,999999... très bonne nuit !

Mufab, t'as vu ça ... ils se défilent !!

Bonne nuit à vous

Pour demain :

J'ai donné mon nom à un nombre, ou plutôt à de nombreux nombres.
Si un chercheur a publié un article avec moi, son nombre est 1.
S'il a publié un article avec quelqu'un qui a publié avec moi, son nombre est 2.
Etc...
Qui suis-je donc ?

Jp, tu t'es trompé de topic, là!
Tu es troublé, c'est ça?

Mufab a écrit:
Il tend vers 0. Mais non nul.

Non : ce qui peut tendre vers 0, c'est une suite de nombres. (En termes savants, une application de N={0,1,...} vers l'ensemble des nombres réels).

Ici, 0,9999... est un symbole : il désigne la limite écrite par Ignatius.

Bon, ce sont des notions pas évidentes du tout : la notion de limite n'a été définie rigoureusement que dans la seconde moitié du XIXème siècle.

Igniatius a écrit:Pour demain :

J'ai donné mon nom à un nombre, ou plutôt à de nombreux nombres.
Si un chercheur a publié un article avec moi, son nombre est 1.
S'il a publié un article avec quelqu'un qui a publié avec moi, son nombre est 2.
Etc...
Qui suis-je donc ?

Je sais mais je n'ai pas d'idée de question...

Laisse-les chercher le temps que tu en trouves une !

Moi j'ai des questions mais pas la réponse!

le nombre d'Erdös

Well done Cassandra !

Mais cette fois-ci, ne nous laisse pas tomber : trouve une question de remplacement, STP !

En voilà une autre:

Sur le sol de cette église je répète a l'infini la règle de croissance d'un tamis ...

L'église d'Anagni et son tamis de Sierpinski.

Mais vous deux vraiment !

Bravo !

c'est gagné !