Le naufrage sans fin en mathématiques. Note d’alerte du CSEN

jaybe a écrit:Je ne partage pas la formulation "piège/piégeur". Les énoncés que je qualifie ainsi sont ceux dans lesquels la part d'implicite rend non formalisable la résolution du problème (ou disons, la rend sujette à discussion/interprétation). Ici, il est juste question de montrer que la représentation première du problème n'est pas la bonne, et de motiver l'utilisation du cadre littéral comme pouvant apporter la réponse à toute personne qui accepte de travailler dans ce cadre.

lene75 a écrit:

jaybe a écrit:Je ne partage pas la formulation "piège/piégeur". Les énoncés que je qualifie ainsi sont ceux dans lesquels la part d'implicite rend non formalisable la résolution du problème (ou disons, la rend sujette à discussion/interprétation). Ici, il est juste question de montrer que la représentation première du problème n'est pas la bonne, et de motiver l'utilisation du cadre littéral comme pouvant apporter la réponse à toute personne qui accepte de travailler dans ce cadre.

On parle de PE, donc d'enseignement primaire. À ma connaissance la notation littérale n'est pas introduite en primaire. Il faut donc résoudre le problème sans. Ça me paraît être le deal de base en primaire.

Nicétas a écrit:J'aurais fait ça, de mon côté : soit x le prix de l'étui et y le prix de la tablette

on sait que x + y = 240
donc x = 240 - y
or y = x + 200
donc x = 240 - (x + 200)
donc x = 240 - x + (-200)
donc 2x = 40
donc x = 20

voilà voilà je suis curieux d'avoir vos avis de professeurs de maths sur mes réflexes...

Nicétas a écrit:J'aurais fait ça, de mon côté : soit x le prix de l'étui et y le prix de la tablette

on sait que x + y = 240
donc x = 240 - y
or y = x + 200
donc x = 240 - (x + 200)
donc x = 240 - x + (-200)
donc 2x = 40
donc x = 20

voilà voilà je suis curieux d'avoir vos avis de professeurs de maths sur mes réflexes...

ylm a écrit:

Nicétas a écrit:J'aurais fait ça, de mon côté : soit x le prix de l'étui et y le prix de la tablette

on sait que x + y = 240
donc x = 240 - y
or y = x + 200
donc x = 240 - (x + 200)
donc x = 240 - x + (-200)
donc 2x = 40
donc x = 20

voilà voilà je suis curieux d'avoir vos avis de professeurs de maths sur mes réflexes...

Le grand défaut des matheux : mettre le truc en équations alors que ça ne sert à rien.

Prezbo a écrit:

Lowpow29 a écrit:Au moins ça permet de tester les compétences pédagogiques de ceux qui trouvent la réponse

- si la tablette coûte 200€ et l'étui 40€, combien la tablette coute-t-elle de plus que l'étui ? Là j'imagine que la plupart fera 200-40=160 et verra que cela invalide leur première intuition puisqu'on voit que la tablette ne coûte que 160€ de plus que l'étui dans ce cas

Personnellement je comprends que ce soit contre-intuitif pour les gens et ça me semble plus facile à comprendre en décomposant les "prix de..." :
- prix de la tablette = combien ? Prix de l'étui + 200€
- Donc prix des deux = prix de l'étui + prix de la tablette = prix de l'étui + prix de l'étui + 200€
Donc 240€ = 200€ + 2 fois le prix de l'étui
Etc

Les problèmes de maths c'est souvent aussi une question de formulation et là c'est fait exprès pour d'abord induire en erreur...

Mais pourquoi deux étuis ? Il n'y en a qu'un.

Que certains tombent dans le piège ne me choque pas forcément. D'ailleurs, je ne suis pas adepte de cette pédagogie du piège, qui consiste essentiellement à embrouiller des apprenants déjà fragiles sous prétexte de les faire réfléchir.

Que certains ne comprennent toujours pas après explication ne me surprend pas, mais montre l'ampleur du problème : du fait des mode de sélection et d'orientation, certains PE qui étaient en difficulté en maths probablement depuis le primaire restent en difficulté en maths une fois PE.

chmarmottine a écrit:Ce problème piégeux est connu et on le retrouve sous diverses versions. Je suis prof de maths, je sens le piège venir mais si je vais vite, j'y tombe dedans ....
De plus, je trouve que les explications à rallonge du type "prix de l'étui + prix de " .... compliquent les choses et mon cerveau capte plus vite avec des x ... mon cerveau est sans doute trop déformé ...

Je ne vois pas l'intérêt de ce type de problème à résoudre arithmétiquement, si ce n'est pour apprendre à se méfier des pièges. Je vois plus son intérêt dans l'apprentissage du calcul littéral et des équations.

Ma fille a eu ce type de problème en éval en 6e l'an dernier .... elle est tombée dans le piège ... je ne vois pas trop ce que j'aurais pu en tirer comme conclusion.  
C'était un exercice au milieu de plein d'autres, elle a dû lire une fois ou deux et n'a pas cherché plus loin ...

beaverforever a écrit:

chmarmottine a écrit:Ce problème piégeux est connu et on le retrouve sous diverses versions. Je suis prof de maths, je sens le piège venir mais si je vais vite, j'y tombe dedans ....
De plus, je trouve que les explications à rallonge du type "prix de l'étui + prix de " .... compliquent les choses et mon cerveau capte plus vite avec des x ... mon cerveau est sans doute trop déformé ...

Je ne vois pas l'intérêt de ce type de problème à résoudre arithmétiquement, si ce n'est pour apprendre à se méfier des pièges. Je vois plus son intérêt dans l'apprentissage du calcul littéral et des équations.

Ma fille a eu ce type de problème en éval en 6e l'an dernier .... elle est tombée dans le piège ... je ne vois pas trop ce que j'aurais pu en tirer comme conclusion.  
C'était un exercice au milieu de plein d'autres, elle a dû lire une fois ou deux et n'a pas cherché plus loin ...

Alors ce problème et ses variantes font partie d'un test psychométrique : le test de réflexion cognitive. C'est un test simple d'une dizaine de questions qui cherche à mesurer la capacité d'un individu à inhiber sa réponse instinctive et activer pertinemment sa pensée méthodique. Les données montrent que les humains (même avec un haut niveau scolaire) sont globalement mauvais, mais qu'une minorité est significativement et durablement meilleure.

Ce test fait partie d'une réflexion plus large sur les biais cognitifs et sur comment les individus se trompent dans leurs raisonnements.

L'autre idée sous-jacente derrière ce test est qu'il est peut-être possible de former les individus à améliorer leur système inhibiteur, celui qui va bloquer la réponse intuitive en détectant les indices d'une erreur probable.

D'où, sans doute, son utilisation dans la partie mathématique des tests nationaux, car connaître la proportion d'élèves intuitifs et inhibiteurs est une information intéressante.
Je ne suis pas certain qu'il soit pertinent de l'utiliser comme un exercice de mathématique sauf à vouloir en faire un support pour réfléchir sur l'inhibition cognitive.

beaverforever a écrit:

chmarmottine a écrit:Ce problème piégeux est connu et on le retrouve sous diverses versions. Je suis prof de maths, je sens le piège venir mais si je vais vite, j'y tombe dedans ....
De plus, je trouve que les explications à rallonge du type "prix de l'étui + prix de " .... compliquent les choses et mon cerveau capte plus vite avec des x ... mon cerveau est sans doute trop déformé ...

Je ne vois pas l'intérêt de ce type de problème à résoudre arithmétiquement, si ce n'est pour apprendre à se méfier des pièges. Je vois plus son intérêt dans l'apprentissage du calcul littéral et des équations.

Ma fille a eu ce type de problème en éval en 6e l'an dernier .... elle est tombée dans le piège ... je ne vois pas trop ce que j'aurais pu en tirer comme conclusion.  
C'était un exercice au milieu de plein d'autres, elle a dû lire une fois ou deux et n'a pas cherché plus loin ...

Alors ce problème et ses variantes font partie d'un test psychométrique : le test de réflexion cognitive. C'est un test simple d'une dizaine de questions qui cherche à mesurer la capacité d'un individu à inhiber sa réponse instinctive et activer pertinemment sa pensée méthodique. Les données montrent que les humains (même avec un haut niveau scolaire) sont globalement mauvais, mais qu'une minorité est significativement et durablement meilleure.

Ce test fait partie d'une réflexion plus large sur les biais cognitifs et sur comment les individus se trompent dans leurs raisonnements.

L'autre idée sous-jacente derrière ce test est qu'il est peut-être possible de former les individus à améliorer leur système inhibiteur, celui qui va bloquer la réponse intuitive en détectant les indices d'une erreur probable.

D'où, sans doute, son utilisation dans la partie mathématique des tests nationaux, car connaître la proportion d'élèves intuitifs et inhibiteurs est une information intéressante.

Je ne suis pas certain qu'il soit pertinent de l'utiliser comme un exercice de mathématique sauf à vouloir en faire un support pour réfléchir sur l'inhibition cognitive.

Mathador a écrit:

Nicétas a écrit:J'aurais fait ça, de mon côté : soit x le prix de l'étui et y le prix de la tablette

on sait que x + y = 240
donc x = 240 - y
or y = x + 200
donc x = 240 - (x + 200)
donc x = 240 - x + (-200)
donc 2x = 40
donc x = 20

voilà voilà je suis curieux d'avoir vos avis de professeurs de maths sur mes réflexes...

Si je veux faire du mal aux mouches, je dirais que ta preuve n'est pas complète puisque tu n'as ni raisonné par équivalence ni vérifié la solution.
Pour le reste, tu as modélisé le problème par un système de 2 équations à 2 inconnues (sans vraiment expliciter ce système). Cela fonctionne, mais je préfère de mon côté limiter le nombre d'inconnues, et directement dire que la tablette coûte 200+x plutôt que de poser y. Cela revient à anticiper une résolution par substitution du système auquel tu t'es ramené.

Nicétas a écrit:Pour la vérification, je n'ai pas pris la peine de l'écrire, c'est vrai ; et pour l'équivalence, je dois utiliser ⇔ ?

Mathador a écrit: soit de conclure en français si c'est un problème « concret » posé en français.

Prezbo a écrit:

lene75 a écrit:À mon sens le problème vient ici de l'énoncé et pas des réponses. L'énoncé suggère de passer par un raisonnement concret. Or je n'arrive pas à voir de situation concrète dans laquelle il se poserait. S'il y en a, elles sont vraisemblablement tout à fait exceptionnelles. Le plus probable est qu'il s'agit d'un problème abstrait qui a été traduit a posteriori dans des termes concrets qui lui sont inadaptés, et qu'il faut donc retraduire en des termes abstraits pour le résoudre (les fameux 2 étuis qui ne correspondent à aucune réalité) alors même que l'énoncé suggère le contraire. Je suis sûre qu'il y aurait beaucoup moins d'erreurs si le problème était présenté avec des variables plutôt qu'avec une pseudo situation concrète.

Je m’explique. Si on vous donne les données du problème : une tablette et son étui coûtent 200€, l'étui coûte 40€. Quelle question posez-vous à partir de ces données ? C'est-à-dire, dans la vie réelle, celle où on peut être amené à acheter des tablettes et des étuis, de quelle autre information pourriez-vous avoir besoin ?
Il me semble qu'ici la seule réponse possible est que ce qu'on veut connaître est le prix de la tablette sans l'étui, parce qu'on pourrait vouloir acheter la tablette sans étui ou comparer le prix de la tablette dans ce lot indivisible au prix d'une autre tablette vendue seule : ai-je plutôt intérêt à acheter une autre tablette vendue seule et à acheter l'étui à part ? C'est donc ce que la plupart des gens vont spontanément calculer.

Je n'arrive pas à me représenter de situation dans laquelle on aurait besoin de savoir combien la tablette coûte de plus que l'étui. Il me semble que c'est une information qui n'a aucune utilité.

Dans les vieux manuels de primaire, on trouve ce genre d'exercice : trouver la question qui se pose, ou l'information manquante. Ici l'information qui nous manque, c'est le prix de la tablette, pas combien la tablette coûte de plus que l'étui.

Édit : Pardon, je me suis embrouillée avec les différents messages. Si je ne me trompe pas, l'énoncé initial est : "Une tablette et son étui coûtent 240€. La tablette coûte 200€ de plus que l'étui." C'est encore plus tordu. Vous avez déjà vu un magasin dans lequel on n'affiche pas le prix de l'objet mais on vous dit qu'il coûte 200€ de plus qu'un autre dont on ne connaît pas non plus le prix ? Je ne refais pas tout le message au-dessus, il suffit de transposer : on voit bien ici que l'énoncé ne fait référence à aucune situation concrète vraisemblable, or le fait de l'énoncer en des termes concrets suggère qu'il faudrait pour le résoudre se référer à une situation concrète. Ce que font les gens, qui vont mentalement au magasin, et se plantent donc fatalement.

Oui, c'est bien ça. Du faux concret dans lequel on motive de façon totalement artificielle une mise en équation avec une formulation volontairement piégeuse. C'est un piège classique, et je trouve finalement inintéressant sauf pour faire mousser celui qui pose la colle.

On peut arriver à la même équation avec un problème bien plus naturel. J'achète deux cartouches d'encre et une tablette à 200€. sachant que je paye 240€ au total, quel est le prix d'une cartouche d'encre ?

Verdurette a écrit:En constellation mathématiques la semaine dernière, pour comprendre comment se sentent les élèves face à la résolution de problèmes. Nous étions une vingtaine.
Une tablette et son étui coûtent 240 euros, la tablette coute 200 euros de plus que l'étui.
Combien coûte l'étui ?

J'ai le regret de dire que j'ai été la seule à trouver la réponse.
Le reste de la troupe a trouvé  40.
Et il a été littéralement impossible de faire comprendre à certains que  1 étui + 1 tablette = 1 étui + 1 étui + 200 = 240  donc 2 étuis = 40
Mais pourquoi deux étuis ? Il n'y en a qu'un.

dandelion a écrit:Les mathématiques étudiées en primaire sont utiles dans la vie de tous les jours justement. Nous avons des élèves qui ne pourraient pas faire certains métiers manuels faute de connaissances mathématiques suffisantes. Il faut tout de même faire un peu de mathématiques pour faire de la pâtisserie ou de la menuiserie, il en faut aussi pour mesurer les médicaments que l’on administre à ses enfants. Les enseignants de primaire doivent permettre aux enfants d’intégrer certaines notions de façon précisément à les rendre si machinales qu’elles sont intuitives.
Quand un professeur d’anglais se rend compte que ses élèves ont des difficultés en maths, c’est que c’est très visible, et que cela handicape les élèves dans leur quotidien. Et comme j’ai fait un peu de primaire, je sais que ce qui dérange mes élèves ce sont des notions qui devraient être acquises en fin de primaire ou de 6e. Récemment mes élèves de 1e devaient retrouver l’âge de deux personnes, avec mention de deux années, et une mention de l’âge durant l’une des années pour chaque personne, et bien cette question que je pensais facile n’a pas été bien réussie, certains élèves calculant même que les deux personnes avaient vieilli à des vitesses différentes. Il s’agissait d’une soustraction de six années, sur un nombre inférieur à 25 … Entre ça et les coefficients qui changeraient la moyenne parce que tu utilises des chiffres de 1 à 4 plutôt que d’utiliser 0.25 à 1, on a de grands moments de solitude.
Soit on se dit que les enfants sont devenus plus bêtes (on ne peut l’exclure absolument d’ailleurs, il y a peut-être des facteurs environnementaux à prendre en considération), soit on se dit qu’on a manqué quelque chose. Je penche pour la seconde option en priorité et je postule que si on n’a pas appris à calculer des pourcentages ou, pire, qu’on ne sait pas diviser ou multiplier, on aura bien du mal à réussir en mathématiques, y compris si on est un logicien hors pair.

lene75 a écrit:

L_Apeiron a écrit:
Mon propos consiste juste à dire que la relation de cause à effet "ce n'est pas utile dans la vie de tous les jours donc je ne vois pas l'intérêt de l'enseigner" me paraît être contradictoire avec les mathématiques.

Je crois que personne n'a dit ça. Ce qui est critiqué, c'est le fait de laisser croire qu'on est face à une situation de tous les jours alors que ce n'est pas le cas, et donc de suggérer un type de raisonnement pour la résolution du problème qui n'est pas le raisonnement adéquat dans le but de tromper celui à qui on pose le problème, qu'on aura volontairement mis sur la mauvaise piste pour le piéger.

Il me semble que ça a deux effets pervers :
1) pour les élèves en difficulté (et vraisemblablement les PE pas très calés en maths), les embrouiller en les empêchant d'acquérir d'abord des procédures élémentaires, et les décourager parce qu'ils ont faux alors qu'ils pensaient avoir enfin compris ce qu'il fallait faire. On a le même problème avec les leçons de français où l'exemple qui illustre la leçon est souvent un truc de derrière les fagots qui sème la confusion au lieu d'être le cas le plus classique auquel on s'attendrait pour une première approche de la notion pour des débutants ;
2) pour tous, ça créé des confusions entre les modes de raisonnement qu'il est ensuite difficile de rééduquer.

L_Apeiron a écrit:
Tenez, pour la route, en voilà une autre :

"Un homme regarde une photographie et affirme : « Je n’ai point de frère ni de sœur, mais le fils de l'homme sur ce portrait est le fils de mon père. »

De qui cet homme regarde-t-il le portrait ?"

dandelion a écrit:J’ai posé le problème à mon mari (qui parvient toujours à faire les problèmes de maths de notre fille en maths spé, même s’il doit réfléchir) et il est lui aussi tombé dans le piège. Il a ensuite corrigé son erreur mais comme j’ai fait la moue, il a pu déduire qu’il s’était trompé du fait d’une influence extérieure. Il est objectivement ‘bon en maths’.
Je ne vois pas trop en quoi cet exercice est intéressant en primaire. Je me dis même que c’est le type de problème qui peut faire, à tort, conclure ‘qu’on n’est pas bon en maths’, et renoncer. Il s’agit pour moi d’un exercice de style qui n’a guère d’intérêt, si ce n’est de montrer qu’on est meilleur puisqu’on est au courant du piège.
En primaire, le focus sur les connaissances, la manipulation et la maîtrise de la syntaxe française , d’un minimum de vocabulaire et de rigueur sont a priori suffisants. Les enseignants de primaire n’ont pas besoin d’être des spécialistes en mathématiques, ils ont besoin d’être des spécialistes de l’enseignement des mathématiques aux enfants. Est-ce que faire faire cet exercice aux enseignants de primaire est de nature à aider les enseignants du primaire à enseigner les mathématiques? Je suis sceptique.

maikreeeesse a écrit:Pourtant PE, je ne suis pas tombée dans le piège car j'ai identifié ce type de problème courant. Mais j'ai un souci avec le schéma en barre. Soit l'élève a identifié le problème, comme moi,  sait qu'il y a un piège et éventuellement que la différence vaudra 2 étuis (ou tout objet recherché) et alors nul besoin d'un schéma, soit il ne sait pas, il fait son schéma mais ne saura pas que la partie grisée dans le prix de la tablette  correspondra au prix d'un étui et donc ne pourra diviser par 2 la différence. Il tâtonnera. Mais là encore il me semble qu'il n' y a pas besoin du schéma. Pour moi il vient après et non avant, comme catégorisation mais pas comme aide à la résolution.