[Maths] rédaction d'une réponse utilisant le TVI

Suite à une réunion de concertation avec des collègues pour la correction d'un bac blanc, j'ai une question pour les pinailleurs.

Le théorème de la valeur intermédaire affirme ceci.

ThéorèmeSoit f une fonction continue de [a, b] dans ℝ. Pour tout réel u compris entre f(a) et f(b), l'équation f(c) = u admet au moins une solution dans [a, b].

En pratique, au niveau terminale, on se ramène quasi uniquement à des intervalles sur lesquels la fonction est strictement monotone. On voit souvent dans les cours de cette classe un résultat rédigé sous la forme suivante.

Corollaire Soit f une fonction continue et strictement monotone de [a, b] dans ℝ. Pour tout réel u compris entre f(a) et f(b), l'équation f(c) = u admet une unique solution dans [a, b].

Voire parfois ce second corollaire.

Corollaire Soit f une fonction dérivable de [a, b] dans ℝ telle que f'>0 (ou f'<0) sur ]a;b[. Pour tout réel u compris entre f(a) et f(b), l'équation f(c) = u admet une unique solution dans [a, b].

Question maintenant (inspiré d'un sujet de bac ES) : supposons que les élèves aient démontré à la question précédente qu'une fonction f était strictement croissante sur [0;8], avec f(0)<0 et f(8)>0. Comment rédiger la réponse à la question suivante : "Montrer que l'équation f(x)=0 admet une unique solution dans [0;8]."

Certains collègues tiennent à la rédaction suivante : "La fonction f est continue et strictement monotone sur [0;8]. De plus, 0 est compris entre f(0) et f(8), donc, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédaires, l'équation f(x)=0 admet une unique solution dans [0;8]."

Personnellement, cette rédaction me gène, car autant le théorème des valeurs intermédaires est un théorème classique dont l'énoncé (ou les énoncés équivalents) me semble faire consensus, autant "le" corollaire du théorème, je ne vois pas bien ce que c'est. On peut imaginer plusieurs corollaires possibles.

A chaque fois que je vois un élève (souvent formaté par son prof) rédiger de cette façon, j'ai l'impression qu'il s'imagine que je sais ce qui est écrit dans son cahier de cours. Cette rédaction me semble naïve, et trop spécifique au programme de l'année de terminale et à l'épreuve du bac.

Quelle est votre pratique ?

Je ne comprends pas bien ce qui te gêne : c'est le fait d'écrire "d'après LE corollaire..." au lieu de "d'après UN corollaire..." ?
C'est le seul corollaire du TVI qui est au programme de terminale, donc personnellement j'ai les mêmes exigences que tes collègues. Et pour les élèves, c'est déjà un exploit de le rédiger tel quel : ils "oublient" de préciser que la fonction est continue et strictement monotone, ou de vérifier que u est bien compris entre f(a) et f(b).

Furby a écrit:Je ne comprends pas bien ce qui te gêne : c'est le fait d'écrire "d'après LE corollaire..." au lieu de "d'après UN corollaire..." ?
C'est le seul corollaire du TVI qui est au programme de terminale, donc personnellement j'ai les mêmes exigences que tes collègues. Et pour les élèves, c'est déjà un exploit de le rédiger tel quel : ils "oublient" de préciser que la fonction est continue et strictement monotone, ou de vérifier que u est bien compris entre f(a) et f(b).

Je ne suis même pas d'accord avec ça.

Dans le programme officiel, je lis :

Exploiter le théorème des valeurs intermédiaires dans le cas où la fonction est strictement monotone, pour résoudre un problème donné.

On parle d'exploiter le TVI dans une situation particulière précise, mais à aucun moment, on ne parle de l'énoncé d'un quelconque "corollaire". Au mieux, c'est une tradition et une convention implicites entre profs de terminale.

Prezbo a écrit:Personnellement, cette rédaction me gène, car autant le théorème des valeurs intermédaires est un théorème classique dont l'énoncé (ou les énoncés équivalents) me semble faire consensus, autant "le" corollaire du théorème, je ne vois pas bien ce que c'est. On peut imaginer plusieurs corollaires possibles.

Je n'ai pas enseigné à ce niveau mais le premier corollaire que tu cites est le théorème de la bijection (entre segments). La logique voudrait qu'on l'appelle ainsi, mais les programmes du lycée et la logique ne font pas bon ménage, surtout en analyse.

Moi, comme Mathador, j'appelle ça le théorème de la bijection.

En plus, dans 99 % des cas, on a le tableau de variations. J'ai appris aux élèves à écrire "d'après le tableau de variations et le théorème de la bijection, l'équation ...."

Prezbo a écrit:
Dans le programme officiel, je lis :

Exploiter le théorème des valeurs intermédiaires dans le cas où la fonction est strictement monotone, pour résoudre un problème donné.

On parle d'exploiter le TVI dans une situation particulière précise, mais à aucun moment, on ne parle de l'énoncé d'un quelconque "corollaire". Au mieux, c'est une tradition et une convention implicites entre profs de terminale.

Et alros ? Il est d'usage de rédiger "d'après le corollaire du TVI...", qui est quand même plus court que "d'après le TVI dans le cas où la fonction est strictement monotone....'.
Mais je parle de ce qu'on fait en TS, je ne sais plus précisément comment le programme le décline en ES.

C'est effectivement l'application du théorème de la bijection, mais il y a longtemps qu'on n'utilise plus ces notions au lycée...

On discute vraiment pour savoir si on dit le (ou un) corollaire du TVI ou le théorème de la bijection ?

De toute façon, les élèves (surtout les ES) répéteront ce que tu leur as appris comme des perroquets. Je ne vois pas trop l'intérêt de se prendre la tête là dessus.

Le problème dans l'application du théorème est souvent l'écriture de l'intervalle image où ils oublient d'inverser les bornes pour une fonction strictement décroissante. Sinon, honnêtement, je trouve ce genre de question au bac très codifiée totalement inintéressante (comme 99% des sujets btw).

J'aurais plutôt tendance à suivre les habitudes des collègues, surtout pour une préparation au Bac.

Il y en a qui ont des problèmes de riches ! Moi je voudrais bien que mes élèves cessent de prétendre que d'après le TVI la fonction est strictement continue .... Mais on sait bien qu'au bac ils auront tous les points de la question si les trois lettres TVI apparaissent quelque part.

Proton a écrit:

(...) De toute façon, les élèves (surtout les ES) répéteront ce que tu leur as appris comme des perroquets. (...)
.

Si seulement...
Mais je suis d'accord sur le fond.

Y a pas de lézard : corollaire du TVI. On peut facilement expliquer ce que sont des valeurs intermédiaires. La bijection est hors programme et n’a aucun sens pour eux.

Proton a écrit:On discute vraiment pour savoir si on dit le (ou un) corollaire du TVI ou le théorème de la bijection ?

De toute façon, les élèves (surtout les ES) répéteront ce que tu leur as appris comme des perroquets. Je ne vois pas trop l'intérêt de se prendre la tête là dessus.

J'ai bien dit que c'était une question pour pinailleurs professeurs de mathématiques. Mais je garde un peu l'espoir que, pour au moins quelques élèves, on puisse avoir un enseignement des théorèmes que ne se résume pas à "appliquer une invocation rituelle dans une situation donnée".

Je reste un peu sur ma position : le "corollaire du TVI" n'est désigné explicitement sous ce nom nulle part. A la limite, qu'on l'accepte comme une convention usuelle en terminale, ça passe. Qu'on conseille cette rédaction me gène un peu plus, puisqu'elle risque d'être reprochée aux élèves dès l'année suivante, pour ceux qui poursuivent l'étude des mathématiques.


Et le pire serait que certains collègues n'acceptent que cette rédaction. Est-ce que le terme "théorème de la bijection" serait maintenant compris et accepté par tous ?

Proton a écrit:
Le problème dans l'application du théorème est souvent l'écriture de l'intervalle image où ils oublient d'inverser les bornes pour une fonction strictement décroissante. Sinon, honnêtement, je trouve ce genre de question au bac très codifiée totalement inintéressante (comme 99% des sujets btw).

J'aurais plutôt tendance à suivre les habitudes des collègues, surtout pour une préparation au Bac.

Sur ce point, j'ai tendance à conseiller la rédaction "c est compris entre f(a) et f(b)", qui permet de contourner le problème de l'ordre des bornes de l'intervalle image. (D'autant que si une fonction est non monotone, f(a) et f(b) ne sont plus nécessairement les bornes de l'intervalle image.)

Sur le fait que la plupart des sujets sont devenus trop codifiés et inintéressants, conséquence de la massification du bac, je suis bien d'accord. Mais il est difficile de placer le curseur au bon endroit en la matière.

mathmax a écrit:Il y en a qui ont des problèmes de riches ! Moi je voudrais bien que mes élèves cessent de prétendre que d'après le TVI la fonction est strictement continue .... Mais on sait bien qu'au bac ils auront tous les points de la question si les trois lettres TVI apparaissent quelque part.

Pas avec moi, en tout cas.

Je sais bien que les instructions du bac sont parfois très indulgentes, mais j'étais de jury l'année dernière, et il me semble qu'on exigeait que les hypothèses soient bien citées dans la rédaction de la question suggérant l'application du TVI.

Il me semble d'ailleurs plus important que les hypothèses soient complètes et correctement citées et la conclusion correcte plutôt que le théorème cité. Personnellement, j'accepte tout à fait une rédaction du type "f est continue et strictement monotone sur [a;b] et c est compris entre f(a) et f(b), donc l'équation f(x)=c admet une unique solution sur [a;b].

Nommer le théorème employé, c'est une bonne habitude de rédaction (et l'occasion de montrer qu'on connaît son cours), mais en soi pas une obligation logique.

La dernière fois que j'ai corrigé en ES il me semble qu'il y avait 0,5 points pour cette question, donc l'indulgence était un peu obligatoire, un quart de point de différence entre ceux qui citent une ou plusieurs hypothèses et ceux qui rédigent tout correctement. Mais tant mieux s'il existe des académies qui se permettent d'être plus exigeantes.

Comme dit Badiste75, il faut expliquer le mot bijection.  J'ai un collègue qui l'utilise, mais de ce que j'ai compris, ce mot reste quand même un peu mystérieux pour les élèves.
Le mot corollaire est souvent un mot nouveau pour eux mais simple à expliquer.
J'aurais tendance à respecter les usages du bac (usages que je lis dans les copies de bac). Je préfère ne pas faire de "zèle". Je trouve qu'il n'y a rien de pire qu'une copie avec des ∀ partout (souvent là où il ne faut pas) ou du vocabulaire "savant" mais dont le contenu est médiocre.

Je suis d'accord avec toi, le plus important est de ne pas massacrer les hypothèses ... et souvent tu lis tout et n'importe quoi sur ce point. Par contre, ils te sortent "d'après le TVI ..." sans problème. On ne peut pas mieux montrer que l'on n'a rien compris au cours

mathmax a écrit:La dernière fois que j'ai corrigé en ES il me semble qu'il y avait 0,5 points pour cette question, donc l'indulgence était un peu obligatoire, un quart de point de différence entre ceux qui citent une ou plusieurs hypothèses et ceux qui rédigent tout correctement. Mais tant mieux s'il existe des académies qui se permettent d'être plus exigeantes.

Il reste donc bien un quart de point de différence.

C'est forcément un peu compliqué de faire autrement, quand la longueur des sujets impose de ne pas mettre trop de point par question, et qu'on ne peut pas par ailleurs se permettre de descendre ceux qui ont à moitié (en étant optimiste) compris pour garder des statistiques présentables. Rien de nouveau.

C'est le dernier "vrai" théorème d'analyse utilisé en terminale, non ? C'est bien de lui associer un nom.
Et ce qui fait qu'un théorème a un nom, c'est le consensus, je suis donc pour respecter le consensus. Maintenant qu'il y ait des consensus différents selon les pays, filières, spécialités, niveaux d'étude, c'est assez inévitable, et si les élèves n'ont pas la capacité d'adaptation pour passer de corollaire du théorème des valeurs intermédiaires à théorème de la bijection, ils n'ont pas la capacité d'adaptation pour faire des études supérieurs...

En tout cas, j'aime bien ce sujet, ça me fait me rendre compte à quel point je me suis habitué/encrouté à utiliser corollaire du théorème des valeurs intermédiaires alors que ce n'était pas canonique pour moi à la base.

En TS le TVI a un énoncé un peu plus complet il me semble («  si f est continue sur un intervalle [a; b], alors elle admet un minimum m et un maximum M et toute valeur c de [m; M] admet au moins un antécédent par f ») et j’utilise pour ce fameux corollaire « théorème de la bijection ». Je fais une digression de 5 min pour expliquer que bijection désigne une fonction « réversible » et que ceux qui continueront les maths en reentendront parler. Je vais un peu plus loin s’il y a des questions.
J’explique aussi qu’on peut utiliser des intervalles ouverts et des limites pour le théorème de la bijection, mais que ça ne marche plus pour le minimum et le maximum.

En TES j’énonce le TVI sans parler de minimum et de maximum, et effectivement je désigne par « corollaire du TVI » le théorème de la bijection, en insistant surtout sur le fait qu’il faut ajouter l’hypothèse de la fonction strictement monotone. Et l’erreur la plus courante des élèves est de ne plus savoir de quel intervalle ils parlent... voire même, parce que le manuel présente à part le cas de l’équation f(x)=0, ils pensent que f(a) et f(b) doivent être de signes opposés (ça c’est pour les élèves qui n’écoutent pas bien en cours et veulent utiliser le manuel comme solution de secours).

Ne pas nommer les choses, c'est ajouter au malheur du monde.

Les programmes officiels ont fait le choix de ne pas nommer ce théorème : il n'y a pas lieu d'imposer aux élèves une rédaction particulière et sanctionner l'utilisation du terme «théorème des valeurs intermédiaires» au lieu de «théorème de la bijection», «un corollaire du TVI» ou «le corollaire du TVI». Le programme officiel entretient officiellement la confusion, puisque face à la capacité attendue :

Programme officiel a écrit:Exploiter le théorème des valeurs intermédiaires dans le cas où la fonction est strictement monotone, pour résoudre un problème donné.

il est indiqué :

Programme officiel a écrit:Ce cas particulier est étendu au cas où f est définie sur un intervalle ouvert ou semi-ouvert, borné ou non, les limites de f aux bornes de l’intervalle étant supposées connues.

En suivant le programme officiel, on pourrait ainsi rédiger : «d'après un cas particulier du TVI, ...»

Je n'enseigne pas en TES, mais en TS et j'utilise sans vergogne le nom « théorème de la bijection », programme ou pas.
Qu'un élève écrive de façon automatique « d'après le (ou un) corollaire du TVI » ou « d'après le théorème de la bijection » ne lui fera pas attraper la psittacose (et j'accepte les deux rédactions, corsican egg).
J'ajoute qu'il m'arrive d'évoquer le concept de bijection dans d'autres domaines (par exemple pour illustrer le lien entre C et l'ensemble des points du plan). On ne sait jamais, des fois que j'arrive à en cultiver un ou deux

Mathoune a écrit:En TS le TVI a un énoncé un peu plus complet il me semble («  si f est continue sur un intervalle [a; b], alors elle admet un minimum m et un maximum M et toute valeur c de [m; M] admet au moins un antécédent par f ») et j’utilise pour ce fameux corollaire « théorème de la bijection ».

Pour moi avec le supplément que tu adjoins au TVI tu mélanges deux théorèmes différents, qui sont les cas particuliers de deux théorèmes plus généraux bien distincts:
1) L'image d'un connexe par une fonction continue est connexe.
2) L'image d'un compact par une fonction continue est compacte.
Je ne vois d'ailleurs pas bien à quoi te sert ce supplément qui relève de la compacité, à moins que tu l'utilises pour démontrer le théorème de Rolle et en déduire les propriétés permettant de justifier les études de fonction.

Mathoune a écrit:J’explique aussi qu’on peut utiliser des intervalles ouverts et des limites pour le théorème de la bijection, mais que ça ne marche plus pour le minimum et le maximum.

Ce qui est logique au vu de ce que je dis plus haut, étant donné que les intervalles autres que les segments sont connexes mais pas compacts.

Non, j’avoue ne pas avoir été jusqu’au théorème de Rolle. Ceci-dit avec ma classe de l’an dernier j’aurais pu. Il y avait vraiment une très bonne tête de classe, dont trois élèves qui ont intégré des prépas de très bon niveau (Saint Louis, Pasteur et Condorcet), ce qui est exceptionnel pour mon lycée mal classé de banlieue. Le niveau était du coup très hétérogène et je faisais des DM différenciés (8 élèves au niveau « approfondissement », une douzaine en niveau « soutien » et le reste en niveau « normal »). L’un de mes meilleurs élèves m’a d’ailleurs remercié pour ces devoirs et mes exigences de rédaction, en me montrant l’un de ses DM de MPSI de cette année, et ça m’a fait très plaisir.

En fait je n’ai pas vérifié dans le programme, j’ai repris la formulation du manuel que nous utilisons en TS (Déclic). Alors qu’en TES nous avons Transmath.

Personnellement je ne m'attache pas beaucoup aux noms de théorèmes.
J'aime quand mes élèves associent la continuité avec l'existence de la valeur intermédiaire et la monotonie avec son unicité.
C'est ce genre de rédaction qui me plaît en secondaire (en supérieur le formalisme doit l'emporter par contre).

Pour avoir pratiqué plusieurs lycée, dans un seul, c'était "théorème de la bijection", pour les autres, corollaire du TVI, mais partout, ce sont les conditions pour l'employer qui priment.
Au bac, je crois que (hélas) un simple "d'après le tableau de variations" avec le c de f(x)=c sur la flèche suffit.
Sinon, vu en bac blanc (en TS) :
"le corolère du théorème"
"d’après l’extension du corollaire du tableau de variations intermédiaires" et là...

Moi tous les ans j’ai quelques « théorèmes des valeurs interdites » en ES...

Mathoune a écrit:Moi tous les ans j’ai quelques « théorèmes des valeurs interdites » en ES...

Moi aussi!

Sinon je disais "un" corollaire.

En tous les cas c'est vrai que c'est une question de rédaction qui "opposait" pas mal de collègues. Entre ceux qui acceptaient " d'après le tableau de variations on a" et ceux qui voulaient l'énoncé du théorème global puis son application numérique... un gouffre. ..

La référence par une phrase au tableau de variation complété avec   m et x0 (alpha )  dedans  qui suffit au bac ça fait 20 ans que c'est paru noir sur blanc  dans un question réponse sur les programmes ( ..doc de l'IG il me semble  )

ça avait fait grincer des dents  , souvenir  de commission de correction au Bac  L option maths an 2000 environ ,  un collègue (du genre à ne pas tolérer f(3) = -2 <0 à la place de f(3) = -2 donc f(3) <0 ) me déclare qu'il n'accepte pas ça et qu'il  a obligé les élèves de sa TL à bien rédiger .....  et qu'il les avait dressé pour ça  ...

Le monde étant petit ,  il se trouve que c'est moi qui ai corrigé  100 % de ses élèves,   tous rassemblés dans  la même enveloppe   copies de niveau  "normal " mais au moment de LA question,  ça a donné comme d'habitude voire pire :
 90 % des réponses avec des  hypothèses oubliées,  confusions entre x/ alpha  ,  f(x) , 0  ,  et surtout une belle collection de phrases de charabia :
"la fonction a une solution " (habituel  ) mais aussi  "l'équation f(x) =0  ou   "f( alpha )= 0  est strictement croissante donc "
et même  l'intervalle [a;b]   qui se retrouve  "continu(e)"  et ou   "croissant(e)"  ou "qui a une solution "  

Joli résultat  de  l'entraînement "intensif",  très convaincant  

***********
A mes TS  je parle de th de la bijection  ,  relation /fonction/ application/ bijection présentés avec des patates dignes des années 70 qui m'avaient plu (ou des cours de 5° du début des 80's) mis au tableau  ( en disant qu'ils le ont droit d'oublier tout ça )    puis x-> x²  / racine de x  ,  on en reparle plus tard  avec  sin / arcsin  ..... exp/ ln ...
Rque  : Après le TVI  J'ai écris dans le cours "TH admis "   l'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle  (+ contre exemple )
et autorise donc la passage "d'ensemble image" à  "intervalle image"  
formulation que je recommande  pour la dernière hypothèse du th de la bijection pour les cas non bornés  
  "intervalle image  par f de  .....   est  ......  qui  contient  0"   plutôt que lire " 0 est compris entre -2 et + infini "  ou pire "entre f(a ) = -2 et   f(+ infini ) = +infini "

MAIS  à tous ceux qui ne se sentent pas à l'aise,  je recommande pour le BAC et mes DS  (pas DM )  de compléter  le  tableau de variation sans rien oublier,  vérifier la cohérence et de se contenter d'écrire " le tableau de variation ainsi complété montre que "... 
...ça me parait mieux  que d'infliger au correcteur les inepties citées plus haut et de donner la preuve manifeste qu'ils ne comprennent rien au vocabulaire employé  ....