[Maths] rédaction d'une réponse utilisant le TVI

Balthazaard a écrit:

Pèp a écrit:Plus sérieusement, dans les énoncés du bac, en général ES, on trouve des trucs du genre (ici Polynésie Sept 2018 mais il y en a plein) :

b.Montrer que l’ensemble des solutions de l’inéquation f′(x)>=0 est l’intervalle [−2ln(4) ;4].
         c.Établir le tableau de variation de la fonction f sur l’intervalle [−6 ; 4].
         d.En déduire le nombre de solutions de l’équation f(x)=0 sur l’intervalle [−6 ; 4].

Mais peut-on obtenir la stricte monotonie en résolvant f'(x)>=0 ?
Déjà que la différence entre strictement positif et positif ou nul n'est pas toujours claire, des énoncés de ce type n'arrangent pas les choses.
Qu'attend le correcteur ici ?
De plus, la plupart des élèves qui arrivent en terminale savent que "si f'>0 sur I alors f est strictement croissante sur I" mais la plupart n'ont jamais entendu "sauf éventuellement en certaines valeurs isolées de I où f' s'annule"...

C'est probablement au moment où on introduit la fonction dérivée pour étudier les variations de la fonction qu'il faut être très précis et rigoureux.
Mais avec le temps imparti en 1ère maintenant, le programme démentiel et le niveau de certains élèves à mille kilomètres de ce genre de considérations, ça ne risque pas de s'arranger...

Perso je le dis avec x--> x^3 en exemple, du coup cela me permet d'en mettre une petite couche sur discret/continu/dense/séparable/fini/infini...etc  sans aller très loin mais histoire de monter aux "bons" qui parfois ce la jouent un peu que les maths ce n'est pas que les fonctions hyper régulières des leurs énoncés habituels.

C'est ce que je faisais encore jusqu'à il y a deux ans, mais chaque année cette remarque passait de plus en plus mal tout en me faisant perdre davantage de temps à m'enliser dans des arguments qui ne trouvaient aucun écho auprès des élèves (entre autres parce que la distinction entre fonction monotone au sens large et fonction strictement monotone devenait de plus en plus confuse, mais il y a sans doute d'autres raisons) ; j'y ai donc renoncé l'an dernier pour gagner un peu de temps (c'était la première promo ayant subi un an du collège NVB sans ajustement des programmes de seconde et à qui j'ai donc dû faire des rappels-compléments-découvertes sur la racine carrée en début de première, ce qui m'a bouffé un peu plus d'une semaine en début d'année). Lorsque je l'ai annoncé à mes collègues, la réaction a été "ah bon, tu le faisais encore ?" ; mes collègues n'ont pas tort, je suis un peu lent à la détente...

VinZT a écrit:Je vois de plus en plus fleurir des tableaux de variations issus directement des programmes mis sur la calculatrice, avec les approximations d'écriture que ça engendre (le 0 barré vient peut-être de là ?), sans aucune justification préalable. Inutile de dire que, bac ou pas, j'ai bien du mal à être bienveillant …

Pareil pour moi et ça devient de plus en plus fréquent. Personnellement je mets 0 sans aucun scrupule.
Sur une cinquantaine de copies de TS corrigées au bac de l'an dernier, ceux qui avaient correctement étudié le signe de f'(x) avant de faire le tableau de variation de f se comptaient sur le doigt d'une main et issus de lycées non défavorisés !
Comme le disait Moonchild , énormément d'élèves ne font plus le lien entre le signe + dans le tableau de signe de f'(x) et f'(x)>0.
D'ailleurs mes secondes ne savent plus que x>0 signifie que x est positif

Simeon a écrit:Je comprends pas le problème avec le trait pour marquer l'alignement dans les tableaux de signes, ça me parait plutôt standard.

Le premier problème est que certains élèves font un trait tellement épais qu'il masque presque le zéro (là j'exagère un peu, mais la présentation est souvent assez moche).
Le deuxième problème est plus grave : certains élèves sont persuadés que, sans ce trait, le tableau de signe est incorrect ; il n'ont pas compris que c'est uniquement un artifice de présentation et, pour eux, le zéro doit absolument être barré verticalement. Ce genre de confusion en dit long sur leur degré de compréhension des notions les plus classiques.

kyu a écrit:

VinZT a écrit:Je vois de plus en plus fleurir des tableaux de variations issus directement des programmes mis sur la calculatrice, avec les approximations d'écriture que ça engendre (le 0 barré vient peut-être de là ?), sans aucune justification préalable. Inutile de dire que, bac ou pas, j'ai bien du mal à être bienveillant …

Pareil pour moi et ça devient de plus en plus fréquent. Personnellement je mets 0 sans aucun scrupule.
Sur une cinquantaine de copies de TS corrigées au bac de l'an dernier, ceux qui avaient correctement étudié le signe de f'(x) avant de faire le tableau de variation de f se comptaient sur le doigt d'une main et issus de lycées non défavorisés !
Comme le disait Moonchild , énormément d'élèves ne font plus le lien entre le signe + dans le tableau de signe de f'(x) et f'(x)>0.
D'ailleurs mes secondes ne savent plus que x>0 signifie que x est positif

Oui je m'en suis aussi aperçu!!

Balthazaard a écrit:

kyu a écrit:

VinZT a écrit:Je vois de plus en plus fleurir des tableaux de variations issus directement des programmes mis sur la calculatrice, avec les approximations d'écriture que ça engendre (le 0 barré vient peut-être de là ?), sans aucune justification préalable. Inutile de dire que, bac ou pas, j'ai bien du mal à être bienveillant …

Pareil pour moi et ça devient de plus en plus fréquent. Personnellement je mets 0 sans aucun scrupule.
Sur une cinquantaine de copies de TS corrigées au bac de l'an dernier, ceux qui avaient correctement étudié le signe de f'(x) avant de faire le tableau de variation de f se comptaient sur le doigt d'une main et issus de lycées non défavorisés !
Comme le disait Moonchild , énormément d'élèves ne font plus le lien entre le signe + dans le tableau de signe de f'(x) et f'(x)>0.
D'ailleurs mes secondes ne savent plus que x>0 signifie que x est positif

Oui je m'en suis aussi aperçu!!

Chez moi, ce n'est pas une nouveauté qu'un nombre conséquent d'élèves ne le sache pas... même en première.
Du coup, j'ai depuis longtemps pris l'habitude de le rappeler systématiquement sans me formaliser des réactions des élèves qui le découvrent à ce moment là ; il se donc pourrait que je ne me sois pas aperçu d'une évolution récente faisant qu'aucun élève ne le sache en entrant au lycée.

Sinon, à n'importe quel niveau (même en TS), j'ai toujours autant de mal à convaincre définitivement certains que -x peut éventuellement être négatif (un contre exemple dissipe sur le moment le malentendu... qui revient inévitablement quelques temps plus tard) ; sans compter ceux qui soutiennent que " -x " signifie que x est négatif.

Moonchild a écrit:
C'est un point de vue qui se défend.
Mais alors on pourrait tout aussi bien considérer qu'un tableau de signe n'a lui non plus absolument aucune valeur et exiger des phrases en français, explicites, rédigées correctement, décrivant le signe de la fonction concernée intervalle par intervalle ; et pour étudier le signe d'un produit, on pourrait exiger une disjonction de cas avec des phrases en français, explicites, rédigées correctement, décrivant le signe de chacun des facteurs et déduisant le signe de leur produit intervalle par intervalle. Il se pourrait que, dans un premier temps, dans des cas simples, ce soit formateur... mais cela risquerait aussi de devenir rapidement très fastidieux.

Pour les tableaux de signe, je les utilise. Les tableaux de variations, pas forcément (sauf si la question le demande).

Par contre le signe doit être justifié (pour le 1er degré, j'exige une inéquation, pour le 2nd degré une phrase du style, les racines sont (racines) et le coefficient dominant vaut ( valeur ) et est ( signe ) ).

A la fin du tableau de signe, je leur demande une phrase conclusion pour  travailler les quantificateurs (écrits en français). Combien d'élèves écrivent e^x > 0 sans aucun quantificateur ...

J'ai aussi le même constat, qu'il faut énormément travailler la traduction de  x > 0  en x strictement positif.

Pour le th. de la strict monotonie même si la dérivée s'annule en un nombre fini de fois, cela me semble indispensable de le faire figurer dans le cours.
Tout comme un th. pour les variations d'une fonction continue sur [a,b] mais dérivable sur ]a,b[.

Proton a écrit:Pour les tableaux de signe, je les utilise. Les tableaux de variations, pas forcément (sauf si la question le demande).

Par contre le signe doit être justifié (pour le 1er degré, j'exige une inéquation, pour le 2nd degré une phrase du style, les racines sont (racines) et le coefficient dominant vaut ( valeur ) et est ( signe ) ).

A la fin du tableau de signe, je leur demande une phrase conclusion pour  travailler les quantificateurs (écrits en français). Combien d'élèves écrivent e^x > 0 sans aucun quantificateur ...

On continue dans le hors-sujet, mais je trouve que la discussion est quand même intéressante.

Pour les tableaux de signes du premier degré, j'ai changé d'optique il y a une bonne dizaine d'années. Pendant longtemps j'ai exigé une inéquation (+ une équation ou bien la deuxième inéquation) en considérant que la propriété sur le signe de ax+b relevait trop de la recette magique, mais j'ai été confronté à plusieurs problèmes et/ou dérives.

• Alors que, à mon arrivée dans mon lycée, il y avait un relatif consensus entre profs de maths sur l'exigence d'une inéquation, au fil des ans et des mutations, de plus en plus de collègues se convertissaient à la propriété sur le signe de ax+b ; en première et en terminale, pour les élèves qui étaient passés par là, il était difficile de revenir en arrière.
  

• Avec le temps, de plus en plus d'élèves n'arrivaient plus à faire le lien entre la résolution de l'inéquation -3x+6>0 et le tableau de signe de -3x+6 ; ils résolvaient une inéquation pour me faire plaisir puis remplissaient le tableau de signe au hasard ou bien en utilisant la règle du signe de ax+b qu'ils avaient vue ailleurs. La méthode que je considérais comme plus formatrice (et qui l'était peut-être pour de rares exceptions) s'avérait la plupart du temps inutile voire néfaste.
  

• Je voyais apparaître de plus en plus souvent des rédactions douteuses - même chez des bons élèves - particulièrement dans la résolution des inéquations produit. J'avais très souvent droit à
  
  (2x-5)(3x+4)>0 ssi (2x-5)>0 ou (3x+4)>0
  avec ensuite la résolution des deux inéquations et le tableau de signe correctement rempli (ou pas).
  Dans le même esprit, sans forcément retrouver ce "ou" litigieux, j'ai constaté que les élèves choisissaient souvent la même inégalité que dans l'inéquation produit pour déterminer le signe de chacun des facteurs : résoudre (2x-5)(3x+4)<0 se soldait par l'étude de (2x-5)<0 et de (3x+4)<0 tandis que résoudre (2x-5)(3x+4)>=0 se soldait par l'étude de (2x-5)>=0 et de (3x+4)>=0...
  Initialement, je considérais que c'était un moyen de discerner le degré de compréhension de la méthode, mais j'ai souvent observé que cette erreur pouvait spontanément apparaître chez un élève qui ne la faisait pas précédemment et j'ai donc dû remettre en question ma certitude que le passage par les inéquations était le meilleur moyen de faire comprendre la notion.
  

• D'année en année, les copies étant de plus en plus mauvaises, j'étais amené à diminuer la part consacrée à la rédaction dans mes barèmes jusqu'à ce qu'elle devienne trop marginale pour pouvoir décemment pousser les élèves sérieux à y consacrer une énergie disproportionnée en regard de l'enjeu ; sans même pénaliser les rédactions imparfaites voire lacunaires, j'atteignais rarement le 8 de moyenne trimestrielle en première ou terminale S, avec moins d'un tiers de la classe qui dépassait péniblement le 10/20.
  

En tenant compte de tout ça, j'ai d'abord accepté la coexistence de deux rédactions pour tenir compte de ceux qui avaient vu la propriété l'année précédente avec un autre collègue, mais cela rallongeait les corrections en m'obligeant à proposer presque toujours les deux versions (les élèves de mon lycée n'ont pas beaucoup d'autonomie et si je n'écrivais que la rédaction avec les inéquations, j'avais presque toujours droit à la question "mais monsieur est-ce qu'on pouvait aussi dire que... ?", un simple réponse orale amenant un "oui mais comment on doit rédiger ?"). Puis à force de constater que l'usage de la propriété prenait manifestement le pas, j'ai fini par battre en retraite et renoncer aux inéquations sauf dans la courte phase initiale en seconde avant d'avoir démontrer le résultat magique ; j'y reviens ensuite en terminale lorsqu'il y a des choses un peu moins standardisées avec des exponentielles ou des logarithmes.



Pour le second degré, en début de première je demande la valeur du déterminant et les éventuelles racines ainsi qu'une phrase à propos du coefficient, mais en cours d'année ou en terminale selon mon humeur, je lâche du lest sur cette phrase quand je considère que la plupart des élèves a compris le principe (et que ceux qui ne l'ont pas encore compris ne le comprendront jamais).
Pour les phrases de conclusion, là encore, elles ont sans doute une vertu formatrice mais en contrepartie cela rallonge terriblement la correction en classe d'un bon paquet d'exercices et c'est autant de temps qui n'est pas consacré à faire des exercices supplémentaires (je me répète, mais mes élèves n'ayant pas beaucoup d'autonomie, la stratégie consistant à rédiger une fois la résolution et à renvoyer ensuite à ce modèle ne marche pas et soit se solde par une sorte de harcèlement à base de "mais monsieur comment on doit rédiger ?" soit conduit à ce que les élèves prennent la version non rédigée comme modèle).


Dans le même ordre d'idée, pendant longtemps j'ai exigé des justifications de tableau de variations avec phrases du genre "pour tout x appartenant à I, f'(x)>0 donc la fonction f est strictement croissante sur I" mais le temps et l'énergie passés en classe sur cette "récitation" pour un enjeu ridicule au Bac (puisqu'une telle rédaction ne rapporte quasiment aucun bénéfice) ont fini par me dissuader.

Outre le temps que cela mobilise en cours, j'ai noté que, de façon générale, ces exigences de rédaction finissent parfois par pénaliser certains élèves scolaires mais pas très rapides qui mettent un point d'honneur à satisfaire au mieux de leur possibilités les attentes du professeur au risque, le jour de l'examen, de perdre beaucoup plus de points en n'ayant pas le temps de traiter certaines questions que les miettes qu'ils auront gagnées en exhibant leur bonne volonté sur un sujet dont le barème ne tient finalement pas tellement compte de la rigueur des réponses.
En temps contraint (que ce soit pour le traitement du programme sur l'ensemble de l'année ou en vue des devoirs en temps limité), je n'ai pas réussi à trouver un compromis satisfaisant entre rigueur et efficacité.

Proton a écrit:Pour le th. de la strict monotonie même si la dérivée s'annule en un nombre fini de fois, cela me semble indispensable de le faire figurer dans le cours.
Tout comme un th. pour les variations d'une fonction continue sur [a,b] mais dérivable sur ]a,b[.

En théorie, je suis parfaitement d'accord avec toi sur ce point ; mais en pratique je me retrouve devant mes élèves et je dois essayer de boucler le programme...

J'essaie de privilégier l'inéquation à la propriété du signe d'une fonction affine car lorsqu'on arrive aux exponentielles, on a absolument besoin de la méthode des inéquations.

Je me pose la même question chaque année pour des élèves faibles et arrivés au bout de leur scolarité : comment obtenir les signes à partir des variations, avec une explication efficace, que je pourrais rabâcher à l'oral. L'explication semble passer mais manque de rigueur : j'en viens à me demander si je ne vais pas passer à un schéma (une droite, sa pente, un signe à chaque bout).

Pour ma part depuis pas mal de temps déjà je demande systématiquement pour les facteurs du 1er et seconde degré un schéma comme justification (avec les valeurs clefs justifiées et non pas lues approximativement sur la calculatrice). Schéma justifié..(f(x)=ax+b...la représentation est une droite, l'intersection avec Ox est...etc...plus ou moins développé suivant la difficulté du sujet)
Je trouve cela relativement formateur, on revoit systématiquement la notion (c infra) de signe d'une fonction et le par cœur ne marche pas puisqu'il faut interpréter le graphique, je sais que des collègues ne me suivent pas (faut des phrases...des équations...dire signe de a..opposé du signe de a...etc) mais je m'y tiens.

Matheod a écrit:J'essaie de privilégier l'inéquation à la propriété du signe d'une fonction affine car lorsqu'on arrive aux exponentielles, on a absolument besoin de la méthode des inéquations.

Oui mais il y a une petite contradiction pour moi...

Nous sommes tous d'accord, je pense, pour dire que la résolution d'équation est LA méthode à appliquer pour les tableaux de signe, le reste n'est plus ou moins qu'artifices détournés, mais  nous sommes aussi d'accord (cf infra) que cela passe très difficilement en seconde ou en première..soit nous ne savons pas l’enseigner (peu probable, tout le monde a tout essayé) , soit les élèves ne sont plus assez murs pour affronter ce genre de raisonnement.

Donc si ils ne sont pas assez murs, exiger ce qui n'est pas possible revient à donner de mauvaises habitudes (voir le post de Moonchild) dont il sera difficile de se détourner ou pire conforter le "par cœur"  pour les rédactions qui est l'attitude la plus mortifère en maths...

Alors que faire?...à mon avis, si il ne sont pas assez murs, attendre qu'ils le soient, et justement parier que les raisonnements devenus difficiles sur les inéquations seront plus abordables un an après quand ils s'exerceront sur les logs ou les expos. Certains ne seront jamais prêts, mais nous ne sommes pas responsables des dommages de l'orientation choisie.

Pour résumer, insister sur là dessus, compte tenu de la situation en arguant que cela sera utile plus tard me semble faire fausse route.

Je ferai un parallèle avec le piano sur un forum que je suis aussi...un mec veut s'attaquer à La Campanella de Liszt avec un niveau insuffisant, video à l'appui...il est très clair qu'il n'arrivera à rien même si il arrive à jouer à peu près le début, il se fera vraisemblablement mal et prendra l'habitude de mauvaises positions de poignet et de bras dont il sera quasiment impossible de se débarrasser plus tard, et qui même, l’empêcheront de progresser dans des morceaux plus faciles, alors qu'en commençant à travailler du (beaucoup) plus basique il n'arrivera (tant le morceau est difficile pour un amateur) sans doute pas non plus à jouer La Campanella un jour mais préservera ses années de piano à venir, et il pourra, peut-être, reprendre le morceau dans le futur en ayant conscience des difficultés et du chemin à prendre pour les résoudre.

Balthazaard a écrit:Pour ma part depuis pas mal de temps déjà je demande systématiquement pour les facteurs du 1er et seconde degré un schéma comme justification (avec les valeurs clefs justifiées et non pas lues approximativement sur la calculatrice). Schéma justifié..(f(x)=ax+b...la représentation est une droite, l'intersection avec Ox est...etc...plus ou moins développé suivant la difficulté du sujet)
Je trouve cela relativement formateur, on revoit systématiquement la notion (c infra) de signe d'une fonction et le par cœur ne marche pas puisqu'il faut interpréter le graphique, je sais que des collègues ne me suivent pas (faut des phrases...des équations...dire signe de a..opposé du signe de a...etc) mais je m'y tiens.

Un collègue qui a changé d'établissement il y a plusieurs années était très partisan de la référence à un schéma pour les fonctions affines et d'autres y ont recours car c'est plus ou moins la méthode induite par les programmes récents ; moi je reste assez réservé mais pas pour des considérations purement rédactionnelles.

Tout d'abord, je dois reconnaître dans ce cas une certaine efficacité au recours à un schéma, du moins pour les élèves qui ont à peu près compris ce qu'est une représentation graphique de fonction et qui sont moins nombreux qu'on a tendance à le croire : autant la lecture graphique des variations ne pose pas trop de problème, autant celle du signe est une autre affaire et j'ai encore pu le constater cette semaine en première avec la courbe d'une fonction totalement quelconque (c'était la courbe d'une dérivée f' dont il fallait déterminer le signe pour ensuite retrouver la courbe de f parmi trois autres candidates ; il se peut que la relative difficulté de la démarche ait provoqué une saturation de leurs neurones, mais je ne peux pas m'empêcher de penser que la lecture graphique du signe n'est pas devenu un automatisme). En dépit de son caractère visuel, une courbe représentative de fonction est un objet quand même assez abstrait et je ne crois pas que les élèves aient tous spontanément saisi les implicites.
Plus généralement, il me semble l'avoir déjà dit dans un autre fil (ce devait être celui consacré aux récents documents d'accompagnement), en tant que prof de maths on est plutôt enclin à croire qu'un schéma est forcément explicite et permet toujours de mieux faire comprendre une propriété algébrique ou analytique, mais on oublie sans doute que le lien entre le calcul et le graphique est loin d'être immédiatement acquis.
Cela dit, on peut considérer comme tu l'écris que c'est l'occasion de faire d'une pierre deux coups et de réviser en même temps les lectures graphiques de courbes et les études de signes ; ça sera efficace pour certains, mais en contrepartie ça en embrouillera d'autres. S'il n'y avait que cet argument, je ne le trouverais pas décisif.

Ce qui me gêne un peu plus est d'avoir souvent constaté en début d'année première que, lorsqu'il faut étudier le signe d'une expression de la forme ax+b, des élèves me répondent assez souvent "a est positif donc c'est croissant". Je passe sur le "c apostrophe" qui est une véritable plaie permanente quel que soit le domaine traité, ce qui me dérange ici est que, quand on leur demande une étude de signe, les élèves répondent spontanément par des variations ; c'est une erreur classique et sans doute inévitable, mais je crains qu'elle ne soit favorisée par la méthode consistant à déterminer le signe des fonctions affines grâce à leur sens de variations.
D'ailleurs, sur le plan purement mathématique, je trouve cette approche très inesthétique : pourquoi sortir la grosse artillerie des variations alors que le signe de ax+b s'obtient par des calculs algébriques beaucoup plus élémentaires, pourquoi faire un tel détour quand on peut arriver au même endroit beaucoup plus directement ? C'est un peu comme quand, en terminale, on justifie la continuité d'une fonction par sa dérivabilité (et là, je trouve le moyen de me raccrocher au sujet initial).
Sur le plan pédagogique, cette approche qui est suggérée depuis plusieurs programmes de lycée me paraît en quelque sorte être une inversion de l'ordre "naturel" d'apprentissage : le signe est une notion algébrique qui devrait à mon sens être acquise avant d'aborder une notion analytique telle que le sens de variations ; c'était ce qui se faisait du temps où j'étais élève puisque les tableaux de signes étaient étudiés au collège (ce devait être en troisième) tandis que les variations étaient au programme de seconde. Dans le cursus actuel, quelle que soit la progression adoptée par le prof de maths (sauf s'il fait une impasse majeure), les élèves découvrent ces deux notions la même année ; personnellement, en seconde, j'essaie de les séparer en traitant d'abord le signe de façon algébrique avant les variations et je conclus par le lien entre les deux mais je crains que l'intervalle de temps soit tout de même insuffisant pour éviter des confusions massives.

Moonchild a écrit:

Balthazaard a écrit:Pour ma part depuis pas mal de temps déjà je demande systématiquement pour les facteurs du 1er et seconde degré un schéma comme justification (avec les valeurs clefs justifiées et non pas lues approximativement sur la calculatrice). Schéma justifié..(f(x)=ax+b...la représentation est une droite, l'intersection avec Ox est...etc...plus ou moins développé suivant la difficulté du sujet)
Je trouve cela relativement formateur, on revoit systématiquement la notion (c infra) de signe d'une fonction et le par cœur ne marche pas puisqu'il faut interpréter le graphique, je sais que des collègues ne me suivent pas (faut des phrases...des équations...dire signe de a..opposé du signe de a...etc) mais je m'y tiens.

Un collègue qui a changé d'établissement il y a plusieurs années était très partisan de la référence à un schéma pour les fonctions affines et d'autres y ont recours car c'est plus ou moins la méthode induite par les programmes récents ; moi je reste assez réservé mais pas pour des considérations purement rédactionnelles.

Tout d'abord, je dois reconnaître dans ce cas une certaine efficacité au recours à un schéma, du moins pour les élèves qui ont à peu près compris ce qu'est une représentation graphique de fonction et qui sont moins nombreux qu'on a tendance à le croire : autant la lecture graphique des variations ne pose pas trop de problème, autant celle du signe est une autre affaire et j'ai encore pu le constater cette semaine en première avec la courbe d'une fonction totalement quelconque (c'était la courbe d'une dérivée f' dont il fallait déterminer le signe pour ensuite retrouver la courbe de f parmi trois autres candidates ; il se peut que la relative difficulté de la démarche ait provoqué une saturation de leurs neurones, mais je ne peux pas m'empêcher de penser que la lecture graphique du signe n'est pas devenu un automatisme). En dépit de son caractère visuel, une courbe représentative de fonction est un objet quand même assez abstrait et je ne crois pas que les élèves aient tous spontanément saisi les implicites.
1) Plus généralement, il me semble l'avoir déjà dit dans un autre fil (ce devait être celui consacré aux récents documents d'accompagnement), en tant que prof de maths on est plutôt enclin à croire qu'un schéma est forcément explicite et permet toujours de mieux faire comprendre une propriété algébrique ou analytique, mais on oublie sans doute que le lien entre le calcul et le graphique est loin d'être immédiatement acquis.
Cela dit, on peut considérer comme tu l'écris que c'est l'occasion de faire d'une pierre deux coups et de réviser en même temps les lectures graphiques de courbes et les études de signes ; ça sera efficace pour certains, mais en contrepartie ça en embrouillera d'autres. S'il n'y avait que cet argument, je ne le trouverais pas décisif.

Ce qui me gêne un peu plus est d'avoir souvent constaté en début d'année première que, lorsqu'il faut étudier le signe d'une expression de la forme ax+b, des élèves me répondent assez souvent "a est positif donc c'est croissant". Je passe sur le "c apostrophe" qui est une véritable plaie permanente quel que soit le domaine traité, ce qui me dérange ici est que, quand on leur demande une étude de signe, les élèves répondent spontanément par des variations ; c'est une erreur classique et sans doute inévitable, mais je crains qu'elle ne soit favorisée par la méthode consistant à déterminer le signe des fonctions affines grâce à leur sens de variations.
2) D'ailleurs, sur le plan purement mathématique, je trouve cette approche très inesthétique : pourquoi sortir la grosse artillerie des variations alors que le signe de ax+b s'obtient par des calculs algébriques beaucoup plus élémentaires, pourquoi faire un tel détour quand on peut arriver au même endroit beaucoup plus directement ? C'est un peu comme quand, en terminale, on justifie la continuité d'une fonction par sa dérivabilité (et là, je trouve le moyen de me raccrocher au sujet initial).
Sur le plan pédagogique, cette approche qui est suggérée depuis plusieurs programmes de lycée me paraît en quelque sorte être une inversion de l'ordre "naturel" d'apprentissage : le signe est une notion algébrique qui devrait à mon sens être acquise avant d'aborder une notion analytique telle que le sens de variations ; c'était ce qui se faisait du temps où j'étais élève puisque les tableaux de signes étaient étudiés au collège (ce devait être en troisième) tandis que les variations étaient au programme de seconde. Dans le cursus actuel, quelle que soit la progression adoptée par le prof de maths (sauf s'il fait une impasse majeure), les élèves découvrent ces deux notions la même année ; personnellement, en seconde, j'essaie de les séparer en traitant d'abord le signe de façon algébrique avant les variations et je conclus par le lien entre les deux mais je crains que l'intervalle de temps soit tout de même insuffisant pour éviter des confusions massives.

D'accord avec le 1) mais là encore cultiver et renforcer le lien graphique <---> abstrait me semble une "compétence" (aaaargh..) utile dans pas mal de domaines.
Beaucoup moins avec le 2) je ne prononce pas le mot "variation" dans les histoires de signe une fonction affine "donne" une droite une fonction du second degré une parabole dont les caractéristiques graphiques sont données par la valeur du "a" c'est tout, au raz des pâquerettes peut-être mais c'est bien de ce dont on discute, cela peut être parfaitement mis en place sans jamais avoir prononcé le mot "variations" qui effectivement n'apporte que confusion à ce moment.

Pour ce qui est des considérations de rigueur , d'élégance, de cohérence dans la progression générale, à mon avis on s'est assis dessus dés que la Term C est devenue Term S, ça doit remonter à 83/84 je pense..

J'avoue que pour le signe des fonctions affines, j'accepte qu'ils passent par les variations. Ils doivent trouver la racine par une équation, puis ils ont le choix entre une inéquation (et certains ont effectivement du mal à comprendre le lien entre la solution de l'inéquation et l'endroit où on doit mettre le + ou le - dans le tableau), ou une petite explication du genre "la pente vaut ..., positif, donc la fonction est croissante, donc d'abord négative et ensuite positive".
Mais je refuse l'explicatoin "signe de a, opposé du signe de a", que certains me sortent parce que le prof particulier l'autorise, et qui relève pour moi de la recette magique à apprendre par coeur sans comprendre (et qui pourrait prêter à confusion avec le signe d'une fonction du second degré... et puis, pour moi, je n'utilise pas ax+b mais mx+p, déjà !)

Pat B a écrit:J'avoue que pour le signe des fonctions affines, j'accepte qu'ils passent par les variations. Ils doivent trouver la racine par une équation, puis ils ont le choix entre une inéquation (et certains ont effectivement du mal à comprendre le lien entre la solution de l'inéquation et l'endroit où on doit mettre le + ou le - dans le tableau), ou une petite explication du genre "la pente vaut ..., positif, donc la fonction est croissante, donc d'abord négative et ensuite positive".
Mais je refuse l'explicatoin "signe de a, opposé du signe de a", que certains me sortent parce que le prof particulier l'autorise, et qui relève pour moi de la recette magique à apprendre par coeur sans comprendre (et qui pourrait prêter à confusion avec le signe d'une fonction du second degré... et puis, pour moi, je n'utilise pas ax+b mais mx+p, déjà !)

J'y suis allergique aussi, mais j'y suis aussi allergique pour le second degré...car le côté recette y est tout aussi présent. C'est d'ailleurs en grande partie une des raisons qui me fait raisonner (résonner?) sur un graphique.

Balthazaard a écrit:Beaucoup moins avec le 2)  je ne prononce pas le mot "variation" dans les histoires de signe  une fonction affine "donne" une droite une fonction du second degré une parabole dont les caractéristiques graphiques sont données par la valeur du "a" c'est tout, au raz des pâquerettes peut-être mais c'est bien de ce dont on discute, cela peut être parfaitement mis en place sans jamais avoir prononcé le mot "variations" qui effectivement n'apporte que confusion à ce moment.

Alors nous ne sommes finalement pas vraiment en désaccord puisque ce que tu fais comporte une différence majeure avec ce que j'ai observé chez certains collègues et lu dans de trop nombreux manuels qui étudient d'abord les variations des fonctions affines et en déduisent la propriété du signe ; dans leurs cas, le signe est envisagé comme une conséquence des variations et c'est précisément cette démarche sur laquelle j'ai de sérieux doutes.

Balthazaard a écrit:Pour ce qui est des considérations de rigueur , d'élégance, de cohérence dans la progression générale, à mon avis on s'est assis dessus dés que la Term C est devenue Term S, ça doit remonter à 83/84 je pense..

La terminale C est devenue terminale S une dizaine d'année plus tard ; c'est sans doute la première qui a muté de C à S vers 83/84. En tant qu'élève, je suis passé entre les deux et, sans aller jusqu'à des considérations d'élégance, pour autant que je puisse en juger avec mes souvenirs biaisés, il n'y avait pas d'incohérence majeure dans la progression générale malgré des allégements significatifs au cours de cette période (par exemple, les espaces vectoriels avaient disparu de la terminale C un ou deux ans avant que je n'y entre).

Les EV permettaient une introduction élégante de la géométrie affine je trouve. Les dessins que nous faisons maintenant n'étaient pas LA géométrie mais un exemple de géométrie. On peut dire que l'on perdait une certaine habilité à lire les figures par manque d'entrainement , les bons y gagnaient une ouverture d'esprit vers les dimensions supérieures à trois, voire infinies.
La géométrie d'aujourd'hui ne me semble pas être un modèle d'élégance et de cohérence.

Balthazaard a écrit:

Pat B a écrit:J'avoue que pour le signe des fonctions affines, j'accepte qu'ils passent par les variations. Ils doivent trouver la racine par une équation, puis ils ont le choix entre une inéquation (et certains ont effectivement du mal à comprendre le lien entre la solution de l'inéquation et l'endroit où on doit mettre le + ou le - dans le tableau), ou une petite explication du genre "la pente vaut ..., positif, donc la fonction est croissante, donc d'abord négative et ensuite positive".
Mais je refuse l'explicatoin "signe de a, opposé du signe de a", que certains me sortent parce que le prof particulier l'autorise, et qui relève pour moi de la recette magique à apprendre par coeur sans comprendre (et qui pourrait prêter à confusion avec le signe d'une fonction du second degré... et puis, pour moi, je n'utilise pas ax+b mais mx+p, déjà !)

J'y suis allergique aussi, mais j'y suis aussi allergique pour le second degré...car le côté recette y est tout aussi présent. C'est d'ailleurs en grande partie une des raisons qui me fait raisonner (résonner?) sur un graphique.

Je raisonne aussi sur le graphique pour le second degré (parabole tournée vers le haut ou le bas), à chaque fois que j'ai à étudier le signe... mais en fait, sur les copies, j'accepte le signe sans justification puisque c'est écrit dans le cours...

Pour nommer ce théorème autrement que "théorème de la bijection" que pensez-vous du nom "TVI strictement monotone" ?

J'ai déjà entendu "cas strictement monotone du TVI" et "corollaire du TVI dans le cas strictement monotone".
Qu'est-ce que tu reproches à "théorème de la bijection" ?
Evidemment il faut définir la notion de bijection, mais cela permet ensuite de parler de bijection réciproque, en particulier pour le couple ln/exp.

ben2510 a écrit:J'ai déjà entendu "cas strictement monotone du TVI" et "corollaire du TVI dans le cas strictement monotone".

Ces formulations me semblent pas mal, en tout cas meilleures que l'invocation "du" corollaire du TVI sans préciser lequel, mais sont-elles très communes et seront-elles comprises ?

Proton a écrit:Pour nommer ce théorème autrement que "théorème de la bijection" que pensez-vous du nom "TVI strictement monotone" ?

C'est le théorème ou la valeur intermédiaire qui est strictement monotone ?

Non ce sont les intermédiaires qui sont stricts et les valeurs qui sont monotones ! A moins que ce soit l'inverse ?

Expliquer la notion de correspondance biunivoque prend 2 minutes à tout casser, et les élèves comprennent ça bien (vous êtes 30 devant moi, je peux associer à chacun de vous un et un seul numéro entre 1 et 30, mais vous n'êtes pas pour autant des numéros), puis nommer la chose "bijection", sans rien exiger d'autre qu'un nom, ça ne me semble ni infaisable ni hors-programme.

On peut (on pouvait) ensuite réemployer ce gros mot de bijection au moment des nombres complexes.
J'ajoute que, même si les élèves râlent, ils sont en général contents d'avoir appris un nouveau mot. Certains l'oublient, et alors ? D'autres le retiennent et comprennent l'idée.

À force de limiter le vocabulaire, on limite la pensée.

Proton a écrit:Pour nommer ce théorème autrement que "théorème de la bijection" que pensez-vous du nom "TVI strictement monotone" ?

Je pense que la créativité a ses limites. Il existe une terminologie standard pour ce résultat dans les études supérieures : le théorème de la bijection. Pourquoi utiliser une autre terminologie ? Le seul résultat concret de cette timidité sera d'ajouter un peu de confusion pour vos élèves qui continueront dans le supérieur et qui pourront hésiter entre l'usage standard et le nom créatif que vous utilisiez. Qui sait ? Peut-être penseront-ils que le TVI strictement monotone du cours de Terminale est un résultat différent du théorème de la bijection du cours de L1.

Il convient d'être pragmatique dans la lecture du programme : les programmes n'interdisent pas d'utiliser la terminologie théorème de la bijection, ils se contentent de ne pas l'évoquer. On peut légitimement utiliser cette terminologie et rédiger, par exemple :

La fonction f : x ↦ x² - 3 est continue, strictement croissante sur [0, 2], et vérifie : f(0) = - 3  et f(2) = 1.
D'après le théorème de la bijection, f définit donc une bijection de [0, 2] sur [-3, 1], c'est à dire que, pour tout y∈[-3, 1], l'équation d'inconnue x∈[0,2] : f(x) = y a une unique solution.
Comme y = 0 ∈[-3, 1], nous en déduisons que l'équation d'inconnue x∈[0,2]  : x² - 3 = 0 a une unique solution.

Naturellement, on peut se contenter de dresser le tableau de variation et conclure :

D'après le tableau de variation, l'équation : x² - 3 = 0 a une unique solution x∈[0,2].

C'est un peu ambigu, conforme à l'esprit des programmes de 2012, cela évite d'évoquer le théorème qui n'a pas de nom au Lycée et cela rapporte certainement tous les points au Bac.

Les programmes en vigueur depuis 2012, que l'on peut retrouver sur https://www.apmep.fr/Programmes-de-mathematiques-de, précisaient en effet en commentaire, page 5 du programme de Terminale S :

On convient que les flèches obliques d’un tableau de variation traduisent la continuité et la stricte monotonie de la fonction sur l’intervalle considéré.

Dresser un tableau de variation suffisait donc pour vérifier les hypothèse du théorème de la bijection.

Ce commentaire a disparu dans les programmes de 2020 : impossible de savoir si, désormais, la formulation : «d'après le tableau de variation...» suffit, mais je ne doute pas de la clémence des correcteurs du Baccalauréat sur ce point.

Bijection est revenu dans le programme de spé de TG. Donc plutôt revenu au goût du jour.