Application du théorème de Pythagore

Je vois mal comment tu peux faire le cours sur le th. de Pythagore sans avoir déjà donné une définition de la racine carrée d'un nb positif et donc travaillé la notation carrée. En fait, cette notation est assez facilement acceptée car ils connaissent les unités d'aire.

Dans le BO il y a aussi les carrés parfaits à travailler (il faut apprendre une liste).  Ensuite, on a les bases pour lancer Pythagore (bien sûr il faut vérifier que les élèves ont bien le sens des opérations et savent trouver le nb manquant dans a+ ... = b, c'est souvent ça qui coince, pas les carrés).

En lycée ils sont nombreux à penser que le carré d'un nombre, c'est son double... donc la notation est connue, certes, mais l'automatisme n'est pas là. (Et ils confondent aire et périmètre, donc associer les unités à la formule n'aide pas.)
Je constate un problème, je n'ai pas de solution
Peut-être que la technique de t3-, « Ensuite, en exercice, les élèves ont le choix entre les deux notations, puisqu'elles sont toutes deux correctes. (Et ils se débarrassent assez vite de la notation lourde BC x BC). », peut aider certains là dessus...

Proton a écrit:Je vois mal comment tu peux faire le cours sur le th. de Pythagore sans avoir déjà donné une définition de la racine carrée d'un nb positif et donc travaillé la notation carrée. En fait, cette notation est assez facilement acceptée car ils connaissent les unités d'aire.

Dans le BO il y a aussi les carrés parfaits à travailler (il faut apprendre une liste).  Ensuite, on a les bases pour lancer Pythagore (bien sûr il faut vérifier que les élèves ont bien le sens des opérations et savent trouver le nb manquant dans a+ ... = b, c'est souvent ça qui coince, pas les carrés).

Le carré... ou au moins l'aire d'un carré est connue depuis un bon moment.... et pourquoi ne pss profiter plutôt de Pythagore pour intoduire la notion de racine carrée, ce qui fait sens car on en a vraiment besoin... voir les carrés parfaits et leurs racines lors des applications... et approfondir un peu la notion de racine carrée après... (lorsqu'on aborde vraiment les équations carrées, par exemple...).

Le problème, à force de contourner les difficultés, c'est qu'on ne les résout jamais.
Bien sûr qu'il y a des choses difficiles en Maths !
Mais les élèves ne sont pas des chiffes molles, quand même, ils sont capables de s'attaquer à des difficultés et de les résoudre.
Lorsqu'on contourne les difficultés, on finit toujours par le payer (enfin les élèves, et les collègues des années suivantes).

Tout à fait d'accord avec Ben... Je considère que c'est une forme de mensonge de cacher aux élèves les difficultés, de leur faire croire qu'ils savent faire quelque chose quand rien n'est correct. Et les élèves ne sont pas bêtes : ils arrivent à progresser sur des automatismes, mais cela prend du temps. Après, le professeur doit accepter qu'il puisse y avoir une tension avec certains élèves ou parents qui ne comprennent pas que d'un coup, on respecte le programme en faisant des maths et en ne donnant pas des bonnes notes quand rien n'est maîtrisé.

Les carrés et les cubes, de mon point de vue, il ne faut pas attendre le cours sur les puissances pour les aborder, on peut parfaitement le voir avec les aires des carrés et les volumes des cubes.

De plus je suis surpris que personne ne parle de l'énoncé du théorème de Pythagore : "Si un triangle est rectangle, alors le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés de l'angle droit"

Plus personne n'utilise cet énoncé en cours ?

Par contre je suis choqué par une méthode de résolution qui serait "mieux" qu'une autre, dire que remplacer les lettres le plus tard possible serait mieux, j'avoue que je ne comprends pas bien.

On sait que ABC est rectangle en C, alors d'après le théorème de Pythagore :
AB² = AC² + BC²

Résolution 1 :
AB² = AC² + BC²
5² = 4² + BC²
25 = 16 + BC²
BC² = 25 - 16
BC² = 9
BC² = Rad (9)
BC = 3

Résolution 2:
AB² = AC² + BC²
BC² = AB² - AC²
BC² = 5² - 4²
BC² = 25 - 16
BC² = 9
BC² = Rad (9)
BC = 3

Pour moi ces 2 méthodes sont équivalentes, je ne vois pas comment on peut mettre plus de points à l'une qu'à l'autre, et pour moi c'est simplement une résolution la démonstration avec Pythagore s'arrête à la ligne AB² = AC² + BC², le reste quelque soit la méthode c'est une résolution d'équation et de nombreuses méthodes sont valables.

A la fin, je connais aussi des profs qui impose d'écrire que BC étant une longueur alors on retient uniquement la solution positive donc BC = RAD (9).

Manu7 a écrit:Par contre je suis choqué par une méthode de résolution qui serait "mieux" qu'une autre, dire que remplacer les lettres le plus tard possible serait mieux, j'avoue que je ne comprends pas bien.

C'est le cas en sciences physiques car on ne considère alors pas les valeurs numériques données dans les énoncés comme exactes (avec quelques exceptions, comme la vitesse de la lumière par exemple).

Jusqu'à il y a allez... 7 ou 8 ans je faisais la 2 jusqu'au bout y compris la solution positive... Jusqu'à il y a 3 ans je faisais la 1 avec la solution positive... et depuis 3 ans la 1 sans la solution positive. Je vieillis, je me décourage. Moi qui ne prenais jamais la REP+ comme excuse, je fatigue un peu. Je vais au plus facile, notamment parce qu'on a de moins en moins de remplacements quand les collègues ne sont pas affectés à temps, ou absents, du coup il y a urgence à colmater les brèches. On fait de notre mieux pour garder l'essentiel, mais quand on voit qu'ils passent en 2ndeGT avec 4 de moyenne en maths...

D'accord avec TFS sur la notion de racine carrée, je la découvre aussi avec Pythagore et ensuite on voit la notion de racine carré, sachant qu'on ne voit presque plus rien depuis la réforme on doit voir uniquement la définition et c'est vrai que le point le plus important est vu avec les équations x² = a.

Bon courage aux profs de lycée qui doivent franchir tous seuls les obstacles avec les racines carrées sachant qu'avant on voyait les simplifications du style V12 = 2V3
on voyait aussi les développements (V3 + 5)² avec les identités remarquables... Bref ils avaient un an de recul sur les bases des racines carrées, et maintenant on peut admettre qu'ils n'ont aucun recul sur cette notion.

Et on les utilisait en trigo avec les valeurs remarquables... quand je compare les cours à mes débuts avec certains de mes pauvres cours actuels...

Mathador a écrit:

Manu7 a écrit:Par contre je suis choqué par une méthode de résolution qui serait "mieux" qu'une autre, dire que remplacer les lettres le plus tard possible serait mieux, j'avoue que je ne comprends pas bien.

C'est le cas en sciences physiques car on ne considère alors pas les valeurs numériques données dans les énoncés comme exactes (avec quelques exceptions, comme la vitesse de la lumière par exemple).

Oui mais je ne vois pas trop le rapport vu que nous travaillons justement avec des valeurs exactes, et si vraiment on veut aller au bout de la théorie et bien en avant et on écrit alors :

AB = RAD (AC²-BC²)  ou bien AB = RAD (AC²+BC²)  

au moins on ne fait aucune différence entre addition et soustraction car je trouve assez étonnant que pour additionner on remplace directement alors que quand on doit soustraire et bien c'est différent alors qu'il n'y a aucune différence en vrai.

C'est aussi très dangereux pour les maths de faire croire aux élèves qu'il faut toujours suivre un seul chemin alors qu'il existe d'autres chemins tout aussi corrects.

Par exemple un élève peut bien rédiger :
AB² = AC² + BC²
5² = 4² + BC²
donc BC = 3 car 5² = 25 et 4² + 3² = 16 + 9 = 25
nous avons eu une vive discussion en formation sur ce sujet car pour les uns on était obligé de passer par la racine carrée et pour les autres ce n'était pas une obligation. Certains avaient peur que l'on confonde avec la réciproque mais au final ils ont admis que c'étaient eux qui confondaient car la démonstration s'arrête bien à la première égalité. Et certains profs confondent Pythagore avec sa réciproque car ils pensent que les calculs font parties de la démonstration.

C'est d'ailleurs assez marrant, j'ai appris le théorème de Pythagore comme une équivalence dans mes années collège et je trouve que cela donne une meilleure vision des choses que ceux qui ont appris avec la réciproque et quand nous avons du changer d'approche pendant 4 ou 5 ans et bien j'étais très à l'aise alors que les profs plus jeunes avaient l'impression qu'on maquillait la vérité...

Au passage, rares sont les profs de lycée a savoir que la réciproque de Pythagore n'existait plus pendant cette période et ils ont continué comme avant et les élèves se sont adaptés par la force des choses...

Mais pourquoi "rad" ? Radical ?

Pour répondre à ta question, mathématiquement les deux rédactions sont correctes, et (à mon avis) il n'est pas question de mettre plus de points à l'une qu'à l'autre.
Mais l'enjeu n'est pas là (pas dans les évaluations, ni même dans le chapitre sur Pythagore).
L'enjeu est de construire l'abstraction, et de raisonner sur des grandeurs plutôt que sur des valeurs numériques.
En tout cas dans mon expérience travailler de façon littérale est plus efficace dans les apprentissages.

TFS a écrit:
Le carré... ou au moins l'aire d'un carré est connue depuis un bon moment.... et pourquoi ne pss profiter plutôt de Pythagore pour intoduire la notion de racine carrée, ce qui fait sens car on en a vraiment besoin...

Non.

Si on a besoin de la notion de racine carrée pour le théorème de Pythagore, on enseigne la racine carrée AVANT Pythagore. Mais mélanger les deux en pensant «faire sens» est une erreur qui conduit à ne rien faire correctement.

(
De manière générale, l'argument «faire sens» en pédagogie indique quasiment à coup sûr qu'on est en train de lire une connerie. Voir cette vidéo vers 1min 10

)

Sinon, si l'on veut absolument amener à la racine carrée dans un contexte géométrique, on peut construire un carré d'aire 2 par découpage de deux carrés d'aire 1 et il n'y a alors nul besoin du théorème de Pythagore pour justifier la construction.

ben2510 a écrit:Mais pourquoi "rad" ? Radical ?

Pour répondre à ta question, mathématiquement les deux rédactions sont correctes, et (à mon avis) il n'est pas question de mettre plus de points à l'une qu'à l'autre.
Mais l'enjeu n'est pas là (pas dans les évaluations, ni même dans le chapitre sur Pythagore).
L'enjeu est de construire l'abstraction, et de raisonner sur des grandeurs plutôt que sur des valeurs numériques.
En tout cas dans mon expérience travailler de façon littérale est plus efficace dans les apprentissages.

Oui "Rad" pour radical, j'aime bien rappeler aux élèves qu'il y a deux racines carrées et un seul radical. Cela sera très bon quand ils verront les racines nièmes de l'unité.
Je me souviens de mon prof de collège qui interdisait l'expression racine carrée de 2.


Pour le reste je suis d'accord, il faut travailler de manière littérale, mais après je posais la question de savoir où s'arrêter en 4ème ? Certains vont remplacer une ligne plus tôt ou une ligne plus tard, mais personne n'ira jusqu'à RAD (AB² - BC²) donc il faut aussi savoir s'arrêter où cela nous semble bien pour la progression de nos élèves.
Ce qui m'inquiète c'est la question initiale de ce fil qui proposait de ne pas écrire l'égalité avec des lettres car sans même parler d'écriture littérale, je trouve qu'il manquerait surtout la conclusion du théorème de Pythagore pour moi AB² = 4² + 3² n'a pas le même sens que AB² = AC² + BC².

Tout comme dans la propriété des angles alternes-internes égaux quand les droites sont parallèles, je n'aime pas voir : "Donc AÔC = 47°"
Je demande "Donc AÔC = BÛD = 47°"

Manu7 a écrit:
Pour le reste je suis d'accord, il faut travailler de manière littérale, mais après je posais la question de savoir où s'arrêter en 4ème ? Certains vont remplacer une ligne plus tôt ou une ligne plus tard, mais personne n'ira jusqu'à RAD (AB² - BC²) donc il faut aussi savoir s'arrêter où cela nous semble bien pour la progression de nos élèves.

Effectivement c'est intrigant. Je me suis posé la question, et des brumes de ma mémoire a émergé une réponse : le théorème de Pythagore concerne les aires, et non les longueurs. La conclusion de Pythagore est donc (p.ex) AB²=16, et on a fini.
[il se trouve qu'incidemment cela permet de prouver que AB=4, mais ce n'est plus Pythagore]

Manu7 a écrit:
Tout comme dans la propriété des angles alternes-internes égaux quand les droites sont parallèles, je n'aime pas voir : "Donc AÔC = 47°"
Je demande "Donc AÔC = BÛD = 47°"

Pareil.

Manu7 a écrit:
Par contre je suis choqué par une méthode de résolution qui serait "mieux" qu'une autre, dire que remplacer les lettres le plus tard possible serait mieux, j'avoue que je ne comprends pas bien.

Règle générale en sciences : on résout les équations formellement et on ne fait l'application numérique qu'à la fin. Cela a quelques avantages:
- maîtrise du calcul algébrique
- solution générale indépendante des valeurs numériques
- les arrondis ne seront portés que sur les derniers calculs ce qui améliore la précision
- facilite le calcul d'erreur.

C'est, d'une manière générale, la meilleure habitude à prendre. C'était la façon normale de procéder quand j'étais au collège et encore plus au lycée .

Manu7 a écrit:
Je demande "Donc AÔC = BÛD = 47°"

Je suggère:

Montrons que AÔC = 47°
D'une part BÛD = 47° et d'autre part les droites ..parallèles.. alternes-machin ...
...
donc AÔC = BÛD
CQFD

Pinaillage:

@ycombe : nostalgie quand tu nous tiens... c'est vrai qu'on devait parler de la transitivité quand j'étais en 3ème... Je trouvais que la transitivité était une belle propriété, je l'a trouvais plus jolie que la commutativité ou l'associativité...

Sinon nous sommes d'accord qu'à un moment on souhaite voir l'égalité des 2 angles.

De plus, ycombe tu ne réponds pas vraiment à ma question sur le remplacement, alors à ton époque quand tu étais au collège allais-tu jusqu'à RADICAL (AB² + BC²) ?

Pour ma part je n'ai vu cette formulation qu'en lycée.

@ben2510 : pour moi le théorème de Pythagore s'arrête encore plus tôt, il se termine quand on écrit l'égalité, ensuite le reste c'est de la résolution d'équation.
Tout comme la réciproque de Pythagore qui ne commence qu'après avoir effectué les calculs voire constater que les calculs sont égaux.

Personnellement, je vois le calcul de carrés de nombres dans le chapitre juste avant Pythagore : dans les relatifs. Je mets les carrés de relatifs juste après avoir vu le produit de deux nombres. Ainsi les carrés sont encore bien frais dans leur tête. Au début de Pythagore, on se rend compte de la logique du mot "carré" avec le lien avec l'aire du carré. Dans la leçon sur Pythagore, je réserve un paragraphe sur les carrés parfaits (jusqu'à 12) juste avant de noter les deux exemples d'applications numériques (exercices types), ça passe plutôt bien. Lorsque nous découvrons les 1ères applications ensemble, je mets des nombres permettant de faire tous les calculs facilement de tête (on tombe sur un carré parfait que l'on reconnaît), puis une fois que ça semble compris je mets un exemple où le nombre cherché n'est pas un entier (par ex : BC²= 28), je leur demande de deviner quand même de tête la valeur de BC (l'approximation est facile après avoir vu les carrés parfaits), puis j'aborde alors la notion de racine carrée en lien avec la touche magique de la calculette qui nous permet d'avoir une meilleure précision qu'à l'unité.