Application du théorème de Pythagore

Bonjour,

Ma première année d'enseignement, je faisais appliquer le théorème de Pythagore directement avec les nombres. Puis j'ai fait un remplacement sur une classe de 3ème et le collègue m'a dit qu'il fallait absolument leur faire écrire l'égalité sous la forme :
BC x BC  = AB x AB + AC x AC , avant de remplacer et résoudre.
Ce que j'ai commencé à faire cette année.
Or ma collègue qui m'a remplacée une heure leur fait écrire directement (exemple
j'applique le théorème de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en A, donc :
BC x BC = 3 x 3 + 4 x 4.
Je ne sais pas trop quoi en penser... je crains que ça pose problème dès qu'on leur demandera un autre côté que l'hypoténuse. Mes élèves ont un niveau faible dans l'ensemble (en maths, et en français). Mais si la collègue fait ainsi, elle doit avoir ses raisons? (je ne peux pas lui demander là, sa messagerie ne fonctionne pas et cette année on ne se croise plus au collège)

Je pense que sur le coup cela ne changera pas grand chose: ceux qui comprennent écriront ce qu'il faut et les autres écriront au pif.
En revanche, passer systématiquement par le littéral permet peut-être à quelques uns de comprendre à force d'appliquer bêtement… l'espoir fait vivre.

Bonjour,

C'est un principe assez sacré en maths et en physique que d'écrire les calculs avec des lettres avant de remplacer par les nombres.
Autant qu'ils prennent directement les bonnes habitudes, sauf s'ils ont un niveau vraiment faible.

Edit : en revanche j'écrirais directement avec le carré BC^2, et non BC X BC

Comme @BendingLight, je ne vois pas comment on peut faire autrement que d'écrire l'égalité en toute lettre à chaque fois. Si on ne peut pas demander ça, autant arrêter d'essayer de faire cours.

Faibles ou pas ils intègrent à force de répétition en 4e et en 3e ( voire avant pour des calculs de longueurs de segments en 6e ou pour l'inégalité triangulaire en 5e) qu'on écrit d'abord et toujours la propriété utilisée avec les points de la figure. Cela devient un automatisme pour Pythagore, la réciproque, la trigo, Thalès... je n'ai jamais fait autrement et tous mes collègues font de même, à force de rabâcher les élèves y sont habitués et ne procèdent pas autrement.

Comme Bendinglight !

Des consignes bien précises, et exigeantes, ne sont pas nécessairement un frein à la compréhension. Au contraire, elles structurent le raisonnement des élèves fragiles.

Je ne pense pas que cela soit une question de niveau au contraire, si on fait toujours pareil alors c'est rassurant pour un élève faible.

On rédige la démonstration puis :

1/ On écrit l'égalité avec les lettres
2/ On remplace les longueurs connues (cette étape est très importante pour la suite dans le calcul littéral quand on remplacera x par sa valeur dans une expression avec des x²)

3/ on effectue les carrés

4/ on additionne ou on soustrait (pour la soustraction on travaille aussi le côté équation)
5/ on passe par la racine carrée

Le but de l'utilisation du théorème de Pythagore n'est pas uniquement de calculer un côté manquant sinon, on pourrait très bien ne rien rédiger et tout faire à la calculatrice.
On doit aussi développer d'autres savoir-faire.

Je suis d'accord, ce n'est pas bien difficile à apprendre et à force d'appliquer le modèle ça devrait rentrer, mais je parlais de "niveau" parce que c'est quand-même plus facile pour certains d'écrire directement avec les nombres.

Pour ma part, lorsque c'est un autre côté que l'hypoténuse qui est recherché, je leur fais aussi "renverser" l'égalité avec les "lettres" avant de remplacer par des nombres. Il y a donc deux étapes avec les noms des points dans ce cas là, et c'est surtout cette deuxième étape qui peut être moins évidente pour certains.

BendingLight a écrit:Je suis d'accord, ce n'est pas bien difficile à apprendre et à force d'appliquer le modèle ça devrait rentrer, mais je parlais de "niveau" parce que c'est quand-même plus facile pour certains d'écrire directement avec les nombres.

Pour ma part, lorsque c'est un autre côté que l'hypoténuse qui est recherché, je leur fais aussi "renverser" l'égalité avec les "lettres" avant de remplacer par des nombres. Il y a donc deux étapes avec les noms des points dans ce cas là, et c'est surtout cette deuxième étape qui peut être moins évidente pour certains.

Ah, pour le coup je ne procède pas ainsi, on remplace juste après l'écriture en lettres. Cela me permet de faire le parallèle avec les résolutions d'équations, garder des lettres partout avant d'isoler ce que l'on cherche serait trop source d'erreurs.

Je comprends, mais c'est très bien passé cette année, ils ont bien compris.
Quand je vois que ça pose problème, je reviens au remplacement "anticipé"^^.

Par renverser vous voulez dire passer de
BC x BC = AB x AB + AC x AC
à
AB x AB + AC x AC = BC x BC ?

(si je reprends la formulation plus haut, sinon j'ai aussi une préférence pour l'usage du carré)

Non plutôt passer de BC^2 = AB^2 + AC ^2 à AB^2 = BC^2 -AC^2 si on cherche AB.

(d'ailleurs c'est effectivement moins "lourd" à renverser quand on utilise la notation carré).

Je me demandais parce que parfois ça les perturbe que l'inconnue soit à droite.

On peut isoler AB² dans BC²=AB²+AC² en commençant par échanger les deux membres,
AB²+AC²=BC², avant de soustraire AC² pour arriver à AB²=BC²-AC².
D'après mon expérience, cela évite beaucoup d'erreurs de signe, pas tellement sur Pythagore mais ensuite,
pour les résolutions d'équations de façon générale.

Quant au fait de remplacer les lettres par des chiffres, il faut toujours le faire le plus tard possible.
Au début de ma carrière, je remplaçais assez vite les lettres par des chiffres, avant de commencer la résolution.

Et puis j'ai essayé de faire l'application numérique le plus tard possible ; depuis, mes élèves savent résoudre des équations (la différence de qualité d'apprentissage est remarquable).

Sans polémique aucune, quel est intérêt d'écrire BC x BC ?

La volonté de ne pas utiliser la notation puissance, j'imagine.
Ce qui me fait un peu peur...

ben2510 a écrit:La volonté de ne pas utiliser la notation puissance, j'imagine.
Ce qui me fait un peu peur...

Je l'ai fait car les élèves ne l'ont pas encore vue (pas vue en 6ème, et j'ai fait le choix de mettre le chapitre sur les puissances plus tard dans l'année). Donc comme ça ils ont le rappel à chaque fois de ce qu'est un carré. Vu qu'ils ont toujours (pour un bon tiers d'entre eux) du mal avec l'aire d'un carré...

ben2510 a écrit:On peut isoler AB² dans BC²=AB²+AC² en commençant par échanger les deux membres,
AB²+AC²=BC², avant de soustraire AC² pour arriver à AB²=BC²-AC².
D'après mon expérience, cela évite beaucoup d'erreurs de signe, pas tellement sur Pythagore mais ensuite,
pour les résolutions d'équations de façon générale.

Quant au fait de remplacer les lettres par des chiffres, il faut toujours le faire le plus tard possible.
Au début de ma carrière, je remplaçais assez vite les lettres par des chiffres, avant de commencer la résolution.

Et puis j'ai essayé de faire l'application numérique le plus tard possible ; depuis, mes élèves savent résoudre des équations (la différence de qualité d'apprentissage est remarquable).

Ce qui m'ennuie dans cette histoire, c'est que je n'ai pas encore fait la résolution d'équation (je le fais en fin d'année). Du coup la soustraction de AC² est difficile à justifier. Du coup je les fait passer par les "additions à trous", mais ça oblige à l'application numérique avant la résolution... et la gymnastique n'est pas évidente pour les plus faibles.

ben2510 a écrit:On peut isoler AB² dans BC²=AB²+AC² en commençant par échanger les deux membres,
AB²+AC²=BC², avant de soustraire AC² pour arriver à AB²=BC²-AC².
D'après mon expérience, cela évite beaucoup d'erreurs de signe, pas tellement sur Pythagore mais ensuite,
pour les résolutions d'équations de façon générale.

Ah oui, et je comprends mieux ce que voulait dire Siole.
En effet ça peut les aider.
Bon je ne le ferai pas cette année parce qu'on a déjà bien entamé le chapitre alors si je leur rajoute une étape de plus... c'est déjà "troooooop long madââââme!"
Je te rejoins sur le fait de remplacer le plus tard possible surtout que là... c'est juste une addition à "transformer".

VinZT a écrit:Sans polémique aucune, quel est intérêt d'écrire BC x BC ?

J'utilise également le BC x BC en début d'année, pour la raison suivante.

J'introduis le théorème de Pythagore avec une animation geogebra qui montre une égalité d'aires. Du coup, les élèves font leurs premiers pas avec le th. de Pythagore en calculant des aires (de carrés) : 3 x 3 = 9 ; 4 x 4 = 16 ; 16+9=25 ; donc le "grand" carré aura pour côté 5. Lors de cette phase de prise en main, les élèves utilisent peu la notation 3²=9.
J'écris donc l'énoncé du théorème en cohérence avec le travail précédent : avec BC x BC = ... . J'ajoute : "On peut aussi noter BC²=...".

Ensuite, en exercice, les élèves ont le choix entre les deux notations, puisqu'elles sont toutes deux correctes. (Et ils se débarrassent assez vite de la notation lourde BC x BC).

depuis, mes élèves savent résoudre des équations

Certes, mais avec l'inconvéniant de cumuler plusieurs difficultés (nouveau théorème + équations). Je préfère garder la résolution d'équations en 4e pour le milieu d'année.
J'ai remarqué, avec l'approche visuelle par les aires, que beaucoup d'élèves écrivent directement AB²=BC²-AC² (ou la variante sans carrés) sans passer par l'égalité BC²=AB²+AC². Ils ont compris, sans équation, que si la somme de deux aires A1 et A2 est égale à A3, on trouvera A1 par différence entre A3 et A2. Le lien entre addition à trou et soustraction semble assez bien maîtrisé (miracle !!).
Je m'étonne que vous parlier tous d'équations, alors qu'on a uniquement besoin de la définition de la soustraction pour conclure.
Je vous assure que si les élèves ont compris ce qu'ils font, et donc qu'on a juste une addition à trou, il n'y a plus besoin de "renverser" magique et ils ne seront pas perturbés suivant que BC² soit dans le membre de gauche ou de droite...

Flo44 a écrit: Je l'ai fait car les élèves ne l'ont pas encore vue (pas vue en 6ème, et j'ai fait le choix de mettre le chapitre sur les puissances plus tard dans l'année). Donc comme ça ils ont le rappel à chaque fois de ce qu'est un carré. Vu qu'ils ont toujours (pour un bon tiers d'entre eux) du mal avec l'aire d'un carré...

Je pense que ça vaut le coup de leur refaire un topo rapide sur les carrés (et les cubes tant qu'à faire) avant de commencer Pythagore (sans leur parler des puissances en général, c'est habituel de faire les puissances après Pythagore). Normalement carrés et cubes sont au programme de 5e.

Flo44 a écrit:
Ce qui m'ennuie dans cette histoire, c'est que je n'ai pas encore fait la résolution d'équation (je le fais en fin d'année). Du coup la soustraction de AC² est difficile à justifier. Du coup je les fait passer  par les "additions à trous", mais ça oblige à l'application numérique avant la résolution... et la gymnastique n'est pas évidente pour les plus faibles.

Là aussi tu peux leur expliquer ça sans avoir vu la technique générale des équations, ça les prépare, c'est quand même assez intuitif.
Et sinon ce n'est pas grave, s'ils ont un niveau faible tu écris la première étape avec des lettres et ensuite tu remplaces par des chiffres.
Je crois que c'est la façon de faire de la plupart des profs de maths (?) bon mais je ne suis pas allée vérifier partout.
L'an dernier mes élèves avaient plus de mal, donc je leur mettais tous les points s'ils remplaçaient par des nombres dès la deuxième étape, et un point bonus s'ils renversaient d'abord l'égalité avec des lettres.

ben2510 a écrit:
Et puis j'ai essayé de faire l'application numérique le plus tard possible ; depuis, mes élèves savent résoudre des équations (la différence de qualité d'apprentissage est remarquable).

C'est ce que je faisais au début de ma carrière... puis petit à petit j'ai "lâché du lest" et remplacé juste après " l'énoncé " en lettres, parce que cela passait mieux. Mais ce que tu écris me fait songer à retenter l'année prochaine de remplacer le plus tard possible, je ne m'y suis plus risquée depuis de nombreuses années, trop contente qu'ils arrivent déjà au bout ainsi...

Flo44 a écrit:

ben2510 a écrit:La volonté de ne pas utiliser la notation puissance, j'imagine.
Ce qui me fait un peu peur...

Je l'ai fait car les élèves ne l'ont pas encore vue (pas vue en 6ème, et j'ai fait le choix de mettre le chapitre sur les puissances plus tard dans l'année). Donc comme ça ils ont le rappel à chaque fois de ce qu'est un carré. Vu qu'ils ont toujours (pour un bon tiers d'entre eux) du mal avec l'aire d'un carré...

ben2510 a écrit:On peut isoler AB² dans BC²=AB²+AC² en commençant par échanger les deux membres,
AB²+AC²=BC², avant de soustraire AC² pour arriver à AB²=BC²-AC².
D'après mon expérience, cela évite beaucoup d'erreurs de signe, pas tellement sur Pythagore mais ensuite,
pour les résolutions d'équations de façon générale.

Quant au fait de remplacer les lettres par des chiffres, il faut toujours le faire le plus tard possible.
Au début de ma carrière, je remplaçais assez vite les lettres par des chiffres, avant de commencer la résolution.

Et puis j'ai essayé de faire l'application numérique le plus tard possible ; depuis, mes élèves savent résoudre des équations (la différence de qualité d'apprentissage est remarquable).

Ce qui m'ennuie dans cette histoire, c'est que je n'ai pas encore fait la résolution d'équation (je le fais en fin d'année). Du coup la soustraction de AC² est difficile à justifier. Du coup je les fait passer  par les "additions à trous", mais ça oblige à l'application numérique avant la résolution... et la gymnastique n'est pas évidente pour les plus faibles.

Voila, c'est bien ce qui me fait peur : le fait d'avoir tellement élagué les prérequis que le théorème de Pythagore ne peut plus s'insérer dans une progression cohérente ; en principe quand tu arrives à Pythagore, tu as déjà abordé les puissances (carré et cube), ainsi que des rudiments sur les équations.

Je ne dis pas que c'est de ta faute, attention !
Je dis qu'à force d'allègements (quel mot répugnant), le programme de collège ne ressemble plus à grand-chose.

BC x BC au lieu de BC²  ?! Je découvre là les étonnantes interrogations de mes collègues profs de math.

Je vous le dis directement, vous les perdez avec ça, parole d'un ancien élève qui était "nul en math". En fait, vous rajoutez une étape dans un processus déjà compliqué... et pour la mémorisation de la formule ça brouille les pistes. Beaucoup de choses se jouent dès les premières minutes dans la découverte d'une nouvelle notion/propriété.

A mon avis il faut faire bref et efficace : le petit prérequis qui va bien sur les carré/racine carrée, puis tu passes direct à la "vraie" formule, cela qu'ils aient vu les puissances ou non.

Albert Jarl a écrit:BC x BC au lieu de BC²  ?! Je découvre là les étonnantes interrogations de mes collègues profs de math.

Je vous le dis directement, vous les perdez avec ça, parole d'un ancien élève qui était "nul en math". En fait, vous rajoutez une étape dans un processus déjà compliqué... et pour la mémorisation de la formule ça brouille les pistes. Beaucoup de choses se jouent dès les premières minutes dans la découverte d'une nouvelle notion/propriété.

A mon avis il faut faire bref et efficace : le petit prérequis qui va bien sur les carré/racine carrée, puis tu passes direct à la "vraie" formule, cela qu'ils aient vu les puissances ou non.

Tu as tout à fait raison. Le théorème de Pythagore n'a guère besoin des pré-requis évoqués (puissance... transposition...).
Au contraire, c'est l'occasion de travailler ces dernières sans le dire et de faire acquérir de petits automatismes qui serviront à justifier des règles plus générales.

Je vois mal comment tu peux faire le cours sur le th. de Pythagore sans avoir déjà donné une définition de la racine carrée d'un nb positif et donc travaillé la notation carrée. En fait, cette notation est assez facilement acceptée car ils connaissent les unités d'aire.

Dans le BO il y a aussi les carrés parfaits à travailler (il faut apprendre une liste).  Ensuite, on a les bases pour lancer Pythagore (bien sûr il faut vérifier que les élèves ont bien le sens des opérations et savent trouver le nb manquant dans a+ ... = b, c'est souvent ça qui coince, pas les carrés).