Chiffres, nombres, décimaux, questions de terminologie en mathématiques

Fenrir a écrit:Pour les pourcentages c'est pareil, 25% de 120g calculé comme ça : 120/100*25 c'est juste incohérent (oui le résultats est juste, mais c'est de la magie) 25 pour cent de 120g = 25 /100*120g

Je ne comprends pas pourquoi le premier calcul serait incohérent, j'y vois deux cohérences :

1/ Passage par l'unité c'est à dire la quantité en g qui correspond à 1% avec 120/100 puis on multiplie par 25, j'ai des élèves qui font régulièrement de cette manière. Certains expliquent même avec  1% <-> 1,2 g au début.

2/ Fraction d'un nombre, en 6ème, nous voyons que prendre la fraction d'un nombre se calcule de 3 manières : a/b de c : a/b * c = a*c / b = a * b/c
et nous faisons d'ailleurs des exercices où on les incite à effectuer la manière la plus facile en calcul mental : 2/3 de 18 : 18/3 * 2 = 6 * 2 = 12

Ce calcul correspond d'ailleurs au calcul d'un tiers suivi de deux tiers qu'on fait aussi en 2 étapes : 18/3 = 6 ; 6 * 2 = 12.


Après quand on établit un tableau de proportionnalité, il y a aussi des points de divergence entre les profs de math, peut-on écrire une ligne avec le titre "Pourcentage" ?

Pour ma part, je le fais ainsi. Mais je sais que les puristes vont dire que % n'est pas une unité, mais quand on donne le titre nombre d'élèves, il n'y a d'unités non plus...

Certains n'aiment pas la formule de fréquence en % suivante : "eff valeur / eff total * 100", et pourtant elle est très courante dans les livres de maths du collège...

J'utilise cette formule et j'accepte aussi la présentation suivante pour déterminer un pourcentage d'augmentation entre 250 et 261,25 : 11,25*100 / 250 = 4,5%

alors que les puristes vont préférer 11,25/250 = 4,5/100 = 4,5 % sauf que pour trouver 4,5 si on effectue bien le calcul : 11,25*100 / 250 = 4,5 donc c'est le % après 4,5 qui peut choquer c'est vrai, mais au collège peut-on reprocher aux élèves d'écrire les calculs qu'ils ont effectués alors qu'on ne cesse de les demander. Surtout qu'avec la même technique du "produit en croix" on peut écrire 20/100 * 120 = 24 g sans problème pour le calcul de 20% de 120 g.

Je ne suis pas d'accord avec ton 4,5 %.
% n'est pas une unité mais un symbole de fraction sur 100 qui signifie donc "divisé par 100". Donc 4,5% = 0,045 ce qui est bien différent de 4,5 !
Je demande aux élèves d'écrire soit 11,25/250 = 4,5/100 = 4,5 %, soit 11,25*100 / 250 = 4,5 puis de rajouter le % dans une phrase de conclusion.
Je pense que cela les aide aussi à comprendre de quoi on parle !

J'aime bien ma définition de nombre décimal en sixième :

Un nombre décimal est un nombre qu'on peut écrire avec les 10 chiffres ( 0, 1 , 2 ... , 9 ) et éventuellement une virgule. (ce qui exclu une infinité de chiffres)

Historiquement, l'écriture décimale a été inventée pour simplifier les calculs qui se faisaient avant en fractions décimales (avec au dénominateur une puissance de 10 : 1 ; 10 ; 100 ; 1000 ; etc...)

Je suis d'ailleurs toujours contre une approche de l'écriture décimale via les fractions décimales, comme si on voulait refaire le chemin historique car franchement cela n'apporte rien quand on ne maîtrise pas les fractions et si on a simplifié c'est bien la preuve qu'avant c'était trop compliqué... Pour le calcul algébrique on ne va tout de même pas écrire comme à l'époque de ceux qui ont inventé l'algèbre :
B 3 in A q - F 2 in A + A c aequatur D solide
qui s'écrit de nos jours avec l'inconnue x à la place de A et les paramètres a et b à la place de B et F q signifie au carré et c au cube :
3ax^2 - 2bx + x^3 = D

@ Rubik : oui je suis d'accord, il y a deux écoles, c'est justement ce que j'illustrais... Mais qui à raison au final, les puristes ou bien l'usage qui se répend chez les profs de collège et dans les livres ???

Et peut-on accepter 20 + 10 = 30% ?

Là-dessus par contre, je suis entièrement d'accord avec toi.
J'utilise tout de même les fractions décimale pour faire le lien avec les unités de mesure de longueur (celles qui leur sont les plus familières à l'arrivée en 6e), j'ai l'impression que cela les aide pour les conversions d'unités (je leur interdis de tracer le tableau !).

Ben le problème à mes yeux c'est que l'usage qui se répand vient du fait que la rigueur mathématiques se perd beaucoup.
Quand j'ai discuté de ce sujet précisément (les %) avec ma jeune collègue (j'ai 37 ans, et elle 25, forte différence !), elle m'a répondu que ah oui effectivement mais elle n'avait jamais réfléchi à ça et que dans les livres après tout, c'était fait avec la méthode 11,25*100 / 250 = 4,5% donc ça devait aller.
Eh bien, moi, ça me désespère. Alors je suis peut-être dépassée ou ronchon, mais comment enseigner une science exacte de cette façon ?
Qu'il y ait des approximations sur des notions compliquées, je le conçois très bien, mais les élèves ont théoriquement les connaissances pour comprendre la subtilité de cette notation.

Manu7 a écrit:Et peut-on accepter 20 + 10 = 30% ?

Ma réponse est clairement non ! Cela n'a aucun sens !
Lorsque les données s'y prêtent, j'accepte 20% + 10% = 30%. Mais en expliquant qu'il faut faire très attention ....

Pour les fractions décimales, je ne savais pas qu'elles existaient avant de devenir prof en collège...

Lorsque les données s'y prêtent, j'accepte 20% + 10% = 30%. Mais en expliquant qu'il faut faire très attention ....

Dans ce cas tu acceptes : 120 * 25% = 30 g ?

Moi non plus

Manu7 a écrit:Dans ce cas tu acceptes : 120 * 25% = 30 g ?

Non, j'accepte 120g * 25% = 30g ou 25% * 120g = 30g ou 25% * 120 = 30 ou 25% * 120 = 30 ou tout autre variante cohérente quant aux unités et à l'écriture du pourcentage que mes élèves écrivent en général 25/100 ce qui montre bien qu'il y a une division par 100.

Manu7 a écrit:J'aime bien ma définition de nombre décimal en sixième :

Un nombre décimal est un nombre qu'on peut écrire avec les 10 chiffres ( 0, 1 , 2 ... , 9 ) et éventuellement une virgule. (ce qui exclu une infinité de chiffres)

Historiquement, l'écriture décimale a été inventée pour simplifier les calculs qui se faisaient avant en fractions décimales (avec au dénominateur une puissance de 10 : 1 ; 10 ; 100 ; 1000 ; etc...)

Je suis d'ailleurs toujours contre une approche de l'écriture décimale via les fractions décimales, comme si on voulait refaire le chemin historique car franchement cela n'apporte rien quand on ne maîtrise pas les fractions et si on a simplifié c'est bien la preuve qu'avant c'était trop compliqué... Pour le calcul algébrique on ne va tout de même pas écrire comme à l'époque de ceux qui ont inventé l'algèbre :
B 3 in A q - F 2 in A + A c aequatur D solide
qui s'écrit de nos jours avec l'inconnue x à la place de A et les paramètres a et b à la place de B et F q signifie au carré et c au cube :
3ax^2 - 2bx + x^3 = D

Je te propose de te faire une réponse en langage SMS ?

Si on s1plifié C ke C tro compliqué askip

Manu7 a écrit:si on a simplifié c'est bien la preuve qu'avant c'était trop compliqué...

Si on a simplifié c'est que ça permet d'utiliser les mêmes algorithmes de calcul qu'avec les nombres entiers, ce qui est un gain d'efficacité. La simplicité porte sur les méthodes applicables, pas sur les concepts (et le concept de nombre à virgule est un poil plus compliqué à appréhender que les fractions).

Je rappelle que, même si on oublie de l'enseigner aux élèves, la lecture des parties décimales se fait normalement en utilisant une fraction décimale. On ne lit pas 3,105 en disant «trois virgule un zéro cinq» qui est ridicule, mais trois et cent  cinq millièmes, de même que 3 105 ne se lit pas "trois un zéro cinq" mais «trois mille cent cinq».

ycombe a écrit:le concept de nombre à virgule est un poil plus compliqué à appréhender que les fractions

J'ai plutôt l'impression inverse, les élèves comprennent très mal la notion de fraction. Au primaire, j'ai appris l'écriture décimale sans passer par les fractions, sans grande théorie, plutôt de manière empirique en passant par les tableaux de conversion et les différentes unités, actuellement, on veut apprendre l'écriture décimale comme une nouveauté, alors que les enfants manipulent déjà cette écriture avec les euros ou bien les mesures comme 2,4 cm. On peut expliquer ce qu'est un dixième en l'écrivant 0,1 sans passer par 1/10. Dans ma génération, il ne me semble pas que cela à créer une confusion terrible. Et nous savions parfaitement manipuler les tableaux de convertion (m, m², m3) avant le passage en CM2.
3,145 = 3 + 0,1 + 0,04 + 0,005 me semble plus facile à aborder que 3,145 = 3 + 1/10 + 4/100 + 5/1000, en plus pour ceux qui ne savent pas trop comment ça marche, cela laisse entendre qu'on peut facilement additionner des fractions de dénominateurs différents. Dans ma tête quand j'entends 35 centièmes, je visualise 0,35. Pour l'ensemble de la numération je visualise essentiellement comme je l'ai appris c'est à dire avec les chiffres rangés dans un tableau, ce qui donne aussi une facilité pour manipuler la notation scientifique, les conversions, l'ordre, les ordres de grandeurs, etc...


Pour la lecture des parties décimales, je me souviens qu'avant c'était au programme en 6ème, donc on n'oublie pas de l'enseigner, on a décidé de ne plus l'enseigner, c'est en effet dommage. D'un autre côté la lecture complète n'est pas très utilisée, pour 3,105 il est préférable de dire : "trois unités et cent cinq millièmes" pour éviter les confusions comme pour 20,01 : "vingt et un centième" que l'on peut confondre avec 0,21. Dans ce chapitre, on voyait aussi la différence entre chiffre des dizaines et nombres de dizaines. Ce n'était pas facile à expliquer car encore une fois, les élèves ne savaient pas manipuler les tableaux de conversion... Pourtant, c'était sans important de comprendre complètement notre numération, ce qui n'est plus le cas aujourd'hui, mes élèves qui arrivent au collège disent souvent que la moitié de 7 n'existe pas, ou bien qu'il n'y a rien entre 8,6 et 8,7. Ou bien sur un morceau de droite graduée en dixièmes, ils placent 2 avant 3 au lieu de 2,9.

Manu7 a écrit:Dans ce chapitre, on voyait aussi la différence entre chiffre des dizaines et nombres de dizaines. Ce n'était pas facile à expliquer car encore une fois, les élèves ne savaient pas manipuler les tableaux de conversion...

Il me semble que les nombres de dizaines, centaines, etc. sont encore au programme.
Je crois surtout de mon côté que les élèves n'en saisissent pas vraiment l'intérêt. Pour en donner, il suffirait d'enseigner le critère de divisibilité par 7, qui est mis en défaut si l'on utilise le chiffre des dizaines au lieu du nombre de dizaines.

Rubik a écrit:Je ne suis pas d'accord avec ton 4,5 %.
% n'est pas une unité mais un symbole de fraction sur 100 qui signifie donc "divisé par 100". Donc 4,5% = 0,045 ce qui est bien différent de 4,5 !
Je demande aux élèves d'écrire soit 11,25/250 = 4,5/100 = 4,5 %, soit 11,25*100 / 250 = 4,5 puis de rajouter le % dans une phrase de conclusion.
Je pense que cela les aide aussi à comprendre de quoi on parle !

+1.

Au lycée, on passe son temps à se battre (sans grand succès), dans les filères (ex) ES et STMG, pour que les élèves n'écrivent pas soit 11,25*100 / 250 = 4,5%. Parce que c'est faux.

Rédaction conseillée :

11,25/250 = 0,045 = 4,5 %

Ou, pour ceux qui ont vraiment du mal à faire la multiplication par 100 sans l'écrire

11,25/250 = 0,045
0,045*100=4,5

donc l'augmentation est de 4,5%.

Manu7 a écrit:

ycombe a écrit:le concept de nombre à virgule est un poil plus compliqué à appréhender que les fractions

J'ai plutôt l'impression inverse, les élèves comprennent très mal la notion de fraction. Au primaire, j'ai appris l'écriture décimale sans passer par les fractions, sans grande théorie, plutôt de manière empirique en passant par les tableaux de conversion et les différentes unités, actuellement, on veut apprendre l'écriture décimale comme une nouveauté, alors que les enfants manipulent déjà cette écriture avec les euros ou bien les mesures comme 2,4 cm. On peut expliquer ce qu'est un dixième en l'écrivant 0,1 sans passer par 1/10. Dans ma génération, il ne me semble pas que cela à créer une confusion terrible. Et nous savions parfaitement manipuler les tableaux de convertion (m, m², m3) avant le passage en CM2.
3,145 = 3 + 0,1 + 0,04 + 0,005 me semble plus facile à aborder que 3,145 = 3 + 1/10 + 4/100 + 5/1000, en plus pour ceux qui ne savent pas trop comment ça marche, cela laisse entendre qu'on peut facilement additionner des fractions de dénominateurs différents. Dans ma tête quand j'entends 35 centièmes, je visualise 0,35. Pour l'ensemble de la numération je visualise essentiellement comme je l'ai appris c'est à dire avec les chiffres rangés dans un tableau, ce qui donne aussi une facilité pour manipuler la notation scientifique, les conversions, l'ordre, les ordres de grandeurs, etc... [...].

C'est bizarre... Je me rappelle très bien, en primaire (CM2 je pense), qu'on nous a expliqué les décimaux en divisant une unité en 10 pour avoir des dixièmes, puis encore en 10 pour des centièmes, et qu'on a matérialisé tout ça par des cubes, des barres et des plaques de bois qui représentaient des 100ème, des 10ème et des unités... qu'on a manipulés exactement comme on l'avait fait en CP ou CE1 pour la numération décimale.
Mais donc, puisque c'était un partage en 10, et qu'on appelait ça des dixièmes, on passait bien par des fractions, au moins à l'oral. Je ne me souviens absolument pas si on voyait la notation fractionnaire par contre... C'est peut-être à ça que tu fais allusion. Mais on savait tous ce que signifiait un dixième, un quart, un demi, un huitième...

Par contre, je ne suis pas d'accord quand tu dis qu'ils connaissent déjà les décimaux. Non, ma fille de 10 ans (très médiocre en maths) ne connaît pas les décimaux, ni sur les mesures de longueur ni même en euro : chaque fois qu'elle en rencontrait, elle ne comprenait pas ce que c'était -c'est tout juste si elle commence à comprendre que 50 centimes c'est la moitié d'un euro, pour elle c'st très flou... et finalement elle va comprendre tout ça au même moment que l'apprentissage des décimaux à l'école. Avant, c'était trop tôt.


(et pour les pourcentages, +1 aussi : au collège j'accepte les calculs avec le 100 uniquement s'ils ont opté pour la méthode "tableau de proportionnalité" et que le tableau est apparent ; sinon, je me bats pour voir clairement des fractions... et au lycée, ils sont grands, donc pas de *100 apparent)

11,25/250 = 0,045
0,045*100=4,5

Et 11,25/250 * 100 = 4,5 c'est bien la même chose, non ? Et quand on présente dans un tableau c'est plus facile à écrire ainsi, non ?

Et quand on cherche le tiers de 12 millions d'habitants est-ce si grave d'écrire : 12/3 = 4 millions d'habitants au lieu de :

12/3 = 4 donc cela représente 4 millions d'habitants ?

Manu7 a écrit:

11,25/250 = 0,045
0,045*100=4,5

Et 11,25/250 * 100 = 4,5 c'est bien la même chose, non ? Et quand on présente dans un tableau c'est plus facile à écrire ainsi, non ?

Ce que je n'accepte pas est 11,25*100 / 250 = 4,5%.

4,5 et 4,5%, ce n'est pas la même chose.

D'ailleurs, même si 4,5% peut se comprendre comme "4,5 centièmes" ou 4,5/100, je suis réticent à ce que les élèves écrivent 4,5% sans me préciser 4,5% de quelle quantité..

Quand on fait les évolutions successives, on insiste bien sur le fait qu'augmenter de 10%, puis de 10% ne revient pas à augmenter de 20%. Parce que ce n'est pas 10% de la même quantité à chaque fois.

Manu7 a écrit:
Et quand on cherche le tiers de 12 millions d'habitants est-ce si grave d'écrire : 12/3 = 4 millions d'habitants au lieu de :

12/3 = 4 donc cela représente 4 millions d'habitants ?

Mais un pourcentage n'est pas une unité.

Encore une fois, 4,5%, c'est 4,5/100, et non 4,5.

Pat B a écrit:C'est bizarre... Je me rappelle très bien, en primaire (CM2 je pense), qu'on nous a expliqué les décimaux en divisant une unité en 10 pour avoir des dixièmes, puis encore en 10 pour des centièmes, et qu'on a matérialisé tout ça par des cubes, des barres et des plaques de bois qui représentaient des 100ème, des 10ème et des unités... qu'on a manipulés exactement comme on l'avait fait en CP ou CE1 pour la numération décimale.
Mais donc, puisque c'était un partage en 10, et qu'on appelait ça des dixièmes, on passait bien par des fractions, au moins à l'oral. Je ne me souviens absolument pas si on voyait la notation fractionnaire par contre... C'est peut-être à ça que tu fais allusion. Mais on savait tous ce que signifiait un dixième, un quart, un demi, un huitième...

Oui, oui c'est exactement cela. Je suis d'accord avec toi sur les cubes, les barres et les plaques, etc... (En CE1 pour ma part, et le graal c'était le gros cube en base 10 que seuls les plus rapides avaient le droit d'emprunter à notre maitresse celui de 1000 !!!) et bien sûr qu'on parlait de dixièmes en sachant exactement de quoi on parlait, on savait aussi qu'un dixième de mètre c'est un décimètre, un dixième de cm c'était un milimètre, c'était très clair et limpide, nous avions aussi le socle en bois avec les poids à l'intérieur... Je vois que nous sommes de la même époque donc tu as sans doute vu les nombres en base 2, base 3, etc... Avec des paquets de 2 ou des paquets de 3, c'était très rigolo, et franchement quand on redécouvre le système binaire en informatique ou en algèbre de Boole, ou encore les bases dans les espaces vectoriels quel avantage énorme nous avions, pour moi une base c'est concret.

Mais pour nous 1 dixième c'écrivait 0,1, on savait que c'était l'unité divisée en 10, j'ai appris plus tard que cela s'écrivait 1/10, et je n'ai jamais écris des expressions telles que : 3 + 1/10 + 5/100
ni 315/100 comme on le voit en primaire actuellement...
Mon instituteur (très élitiste) nous avait fait découvrir le calcul fractionnaire en partant des divisions. Mais à cette époque, je me souviens bien qu'en sixième les élèves des autres écoles n'avaient pas vu l'écriture fractionnaire que j'ai à nouveau utilisé seulement en 4ème.

Pour ta fille, oui malheureusement je suis d'accord avec toi, pour ma part mes enfants ont découvert les nombres décimaux en CM2, pendant la dernière semaine celle de juillet !!! Dans d'autres écoles, ils commencent début CM1. Je n'aime pas avancer trop vite, et pourtant je pense sincèrement que de voir les fractions avant les nombres décimaux est une erreur. Surtout avec des PE qui finalement maîtrisent bien plus le calcul en écriture décimale que le calcul fractionnaire. Quand je regarde les livres et les ressources sur des sites académiques sur les fractions décimales, je suis très scéptique.
Pour ma part, le passage de l'écriture entière à l'écriture décimale n'est qu'une continuité, on prolonge le tableau avec le même principe, dix fois plus petit, j'ai appris de cette manière... Ce qui est géniale dans cette écriture c'est que 0,3 = 0,30 = 0,300 et ainsi on découvre qu'entre deux décimaux on peut toujours en trouver une autre, c'est un jeu. C'était aussi une époque (années 70) où les enfants n'avaient pas de calculatrices donc c'est clair que les astuces de calcul étaient bien plus utiles pour remplir un tableau de proportionnalité que le produit en croix !!!

Comment expliquer que 3/10 + 5/100 = 35/100 ? Ce n'est pas si simple, souvent on voit des explications qui passent par l'écriture décimale c'est absurde...

Manu7 a écrit:Et quand on cherche le tiers de 12 millions d'habitants est-ce si grave d'écrire : 12/3 = 4 millions d'habitants au lieu de :

12/3 = 4 donc cela représente 4 millions d'habitants ?

On peut avoir une rédaction (presque) aussi compacte que la première et tout de même correcte:
12 millions/3 = 4 millions d'habitants.

Oui bien sûr, mais bon quand on enchaîne les calculs, il est rare de recopier partout les unités ou bien les multiples et sous-multiples. Vous écrivez vraiment plusieurs fois millions dans des calculs ?

Comme (35 millions - 28 millions)/28 millions ...

Si je veux avoir directement le bon résultat, oui, tout comme pour les unités physiques: AB² = AC² + CB² = 16 m² + 9 m² = 25 m² donc AB = 5 m par exemple.
L'alternative est de tout faire en littéral avant l'application numérique, comme on me l'a enseigné en physique en prépa.

Oui, c'est intéressant. Nous n'avons pas du tout suivi le même formatage c'est marrant. Moi, mes profs de math refusaient les unités dans les calculs. Et j'ai toujours fait ainsi, et quand on pouvait se passer d'une phrase réponse comme un calcul de volume, on mettait l'unité uniquement au résultat.

Manu7 a écrit:Oui, c'est intéressant. Nous n'avons pas du tout suivi le même formatage c'est marrant. Moi, mes profs de math refusaient les unités dans les calculs. Et j'ai toujours fait ainsi, et quand on pouvait se passer d'une phrase réponse comme un calcul de volume, on mettait l'unité uniquement au résultat.

Cela dépend peut-être de l'âge, enfin celui de nos professeurs. J'ai sensiblement le même âge que toi et il nous était interdit de mêler les unités dans les calculs tant en terminale C que plus tard en physique et biologie à l'université. L'unité n'apparaissait qu'à la fin, avec l'application numérique. C'est un réflexe qui m'est resté.

Mathador a écrit:Si je veux avoir directement le bon résultat, oui, tout comme pour les unités physiques: AB² = AC² + CB² = 16 m² + 9 m² = 25 m² donc AB = 5 m par exemple.
L'alternative est de tout faire en littéral avant l'application numérique, comme on me l'a enseigné en physique en prépa.

On m'a toujours enseigné, dès le collège, à ne faire les applications numériques qu'à la fin.

Mais il est vrai que j'ai été qualifié récemment de très vieux.