Les mathématiques au cœur du nouveau lycée ?

Mathador a écrit:Pour moi cela n'est pas vraiment une coquille mais veut dire (de manière peu claire) que les énoncés sont au programme et que leur démonstration est en approfondissement (ce qui est contestable vu leur simplicité).

C'est aussi ce que je comprends, mais on aurait pu espérer que les textes officiels fassent quand même l'objet d'un minimum de relecture. Cela n'aurait pas coûté grand chose d'écrire trois fois "démonstration de" pour chacun des approfondissements possibles, tandis que là on a droit à une bouillie dont on doit reconstituer la signification.

Mathador a écrit:Par contre, se reposer sur une équation différentielle en 1^ère me paraît déraisonnable: à côté de cela, en Terminale STI2D on parle d'introduire les puissances d'exposant réel, ce qui me paraît plus accessible (et permet, dans un second temps, de retrouver ln en dérivant x→a^x).

Franchement, je ne suis pas convaincu que cette approche soit vraiment plus accessible avec les lycéens actuels. Définir un objet mathématique de façon détournée à partir de la dérivation me semble être une cause perdue d'avance à ce niveau, que ce soit par l'intermédiaire d'une équation différentielle ou d'un coefficient qui apparaîtrait mystérieusement après quelques contorsions autour de la définition du nombre dérivée comme limite du taux d'accroissement appliquée à une fonction puissance encore mal maîtrisée à ce stade.
A tout prendre, je me dis que la manière la moins incompréhensible d'aborder le duo exp/ln est encore celle qui est au programme de la terminale STI2D : commencer par ln comme primitive (ou intégrale si on préfère) de la fonction inverse, puis exp comme sa réciproque.

Pèp a écrit:

Mathador a écrit:

Pèp a écrit:Les démonstrations d'une simplicité triviale ?
Viens dire ça à mes élèves de TS...

Peut-être pas trivial, mais simple, oui.
Pour les propriétés en question, c'est une étape (ou deux, si on ne sépare pas bien tous les lemmes) de raisonnement et du calcul élémentaire.
Si l'on ne sait pas dériver f(x)g(-x) (propriété 1) ou f(x+y)/f(y) (par rapport à x, propriété 2) c'est que le cours sur la dérivation n'est tout simplement pas acquis.

Effectivement. J'ai donné la démo en "activité", et pour le dérivée de c(x)=f(x).f(-x), 90% d'erreur. Suis le seul dans ce cas ? Ca m'étonnerait, mais bon, peut-être que je sous estime le niveau des TS en général...D'ailleurs, il y en a qui croient encore que (u.v)'=u'.v'...

De plus, il ne faut pas minimiser la difficulté du y dans f(x+y), alors qu'on dérive par rapport à x. Ca te semble simple, certes, mais ce n'est pas le cas de mes élèves !

Il y a surtout l'organisation de la démonstration : poser h(x)=f(x).f(-x) pour montrer que f ne s'annule pas, un raisonnement par l'absurde pour montrer que f>0, poser f/g pour l'unicité, poser h(x)=f(x+y)/f(x)...

Je suis totalement d'accord avec le fait que ce n'est pas spécialement difficile (pour nous et pour les élèves qui ont les bases solides, j'allais dire "normales" mais bon...) et que ces démonstrations sont indispensables et formatrices, mais je fais le constat que dans ma classe (Spé SVT à 80%), ça passe largement au dessus de leurs têtes, et même en DS, la question de cours reste désespérément non traitée par 90% des élèves.

Ceci dit, on parlait de faire tout ça en 1ère, avec tout le reste.
Y aura-t-il le temps nécessaire de maturation pour comprendre la dérivation et l'appliquer d'une façon aussi "avancée" ?

Je suis parfaitement d'accord, cette démonstration nous semble très simple mais les élèves ordinaires de lycée n'ont actuellement pas la capacité d'abstraction nécessaire pour la comprendre réellement.

De toute façon cette démonstration, même si elle intéressante sur le plan technique, est une arnaque en terme de rigueur dans la construction du cours puisqu'elle est basée sur la propriété affirmant que si h' est nulle sur un intervalle I alors h est constante sur I, autrement dit sur le théorème des accroissements finis qui n'a pas été démontré, ni même énoncé en précisant qu'il est admis. Bref, on construit sur du vent...

Pèp a écrit:Il y a surtout l'organisation de la démonstration : poser h(x)=f(x).f(-x) pour montrer que f ne s'annule pas, un raisonnement par l'absurde pour montrer que f>0, poser f/g pour l'unicité, poser h(x)=f(x+y)/f(x)...

Inutile: on démontre d'abord la propriété de morphisme, puis on pose f(x) = f(x/2)² ≥ 0.

Moonchild a écrit:
A tout prendre, je me dis que la manière la moins incompréhensible d'aborder le duo exp/ln est encore celle qui est au programme de la terminale STI2D : commencer par ln comme primitive (ou intégrale si on préfère) de la fonction inverse, puis exp comme sa réciproque.

Comme en TC il y a 30 ans...

Moonchild a écrit:

Mathador a écrit:Par contre, se reposer sur une équation différentielle en 1^ère me paraît déraisonnable: à côté de cela, en Terminale STI2D on parle d'introduire les puissances d'exposant réel, ce qui me paraît plus accessible (et permet, dans un second temps, de retrouver ln en dérivant x→a^x).

Franchement, je ne suis pas convaincu que cette approche soit vraiment plus accessible avec les lycéens actuels. Définir un objet mathématique de façon détournée à partir de la dérivation me semble être une cause perdue d'avance à ce niveau, que ce soit par l'intermédiaire d'une équation différentielle ou d'un coefficient qui apparaîtrait mystérieusement après quelques contorsions autour de la définition du nombre dérivée comme limite du taux d'accroissement appliquée à une fonction puissance encore mal maîtrisée à ce stade.
A tout prendre, je me dis que la manière la moins incompréhensible d'aborder le duo exp/ln est encore celle qui est au programme de la terminale STI2D : commencer par ln comme primitive (ou intégrale si on préfère) de la fonction inverse, puis exp comme sa réciproque.

C'est la construction que propose Demailly dans ce document: on définit en réalité d'abord a^x, le logarithme en base a comme réciproque, et on voit ensuite que la fonction ln, définie comme associant à a la dérivée en 0 de a^x, est l'un des logarithmes précédemment étudiés.
Évidemment, avec les horaires actuels et l'état actuel du primaire et du début de collège, on ne peut pas faire rigoureusement tout l'enchaînement qu'il propose.

Moonchild a écrit:Bref, on construit sur du vent...

L'éolien, c'est l'avenir. #transitionécologique

Mathador a écrit:
C'est la construction que propose Demailly dans ce document: on définit en réalité d'abord a^x, le logarithme en base a comme réciproque, et on voit ensuite que la fonction ln, définie comme associant à a la dérivée en 0 de a^x, est l'un des logarithmes précédemment étudiés.
Évidemment, avec les horaires actuels et l'état actuel du primaire et du début de collège, on ne peut pas faire rigoureusement tout l'enchaînement qu'il propose.

La construction de Demailly est un vrai morceau de bravoure pour l'oral de l'Agrégation. Au programme du Lycée, par contre, c'est un pur délire : elle implique mille et un détails techniques subtils largement hors de portée des lycéens (y compris le lycéen que je fus, à l'époque du glorieux Bac C, en 1990...). A ce compte là, on pourrait introduire le logarithme Népérien en première à partir de la construction des primitives avec l'intégrale de Kurzweil-Henstock (un autre dada de Demailly, d'ailleurs).

On peut toujours élider certains détails difficiles et qui ne servent pas au reste du programme du niveau (je pense par exemple à la convexité des exponentielles et leur utilisation pour démontrer la dérivabilité: on peut l'admettre et l'illustrer sur les graphiques s'il n'y a pas de chapitre sur la convexité au programme). Après tout, actuellement on ne démontre pas le théorème de Cauchy-Lipschitz en Terminale S, pas plus que l'on démontrait sérieusement l'existence des intégrales auparavant.
Et entre l'utilisation d'une intégrale (même sous forme d'aire sous la courbe), celle d'une équation différentielle et celle des puissances d'exposant réel, il me semble que ce dernier objet est le plus simple à s'approprier. Il est d'ailleurs indispensable en chimie si l'on veut étudier le pH au-delà de la couleur du papier et de la trichotomie acide-neutre-basique.

BR a écrit:

Mathador a écrit:
C'est la construction que propose Demailly dans ce document: on définit en réalité d'abord a^x, le logarithme en base a comme réciproque, et on voit ensuite que la fonction ln, définie comme associant à a la dérivée en 0 de a^x, est l'un des logarithmes précédemment étudiés.
Évidemment, avec les horaires actuels et l'état actuel du primaire et du début de collège, on ne peut pas faire rigoureusement tout l'enchaînement qu'il propose.

La construction de Demailly est un vrai morceau de bravoure pour l'oral de l'Agrégation. Au programme du Lycée, par contre, c'est un pur délire : elle implique mille et un détails techniques subtils largement hors de portée des lycéens (y compris le lycéen que je fus, à l'époque du glorieux Bac C, en 1990...). A ce compte là, on pourrait introduire le logarithme Népérien en première à partir de la construction des primitives avec l'intégrale de Kurzweil-Henstock (un autre dada de Demailly, d'ailleurs).

Pourquoi c'est un morceau de bravoure? C'est ainsi qu'on enseigne l’exponentielle et les logarithmes à l'étranger. C'est tout à fait à la porté des élèves si:
- ils ont les bases (toutes les sections 1-6) qui sont acquises progressivement pendant le collège et au début du lycée.
- le langage est traduit en français compréhensible par les élèves et on limite l'utilisation des notations mathématiques.

Il faudra bien un jour refaire des programmes corrects, avec en particulier :
* la modélisation par une suite en classe de troisième, la notion de progression arithmétique, de progression géométrique, et les moyennes arithmétique, géométrique, quadratique et harmonique
* le logarithme décimal en troisième, en lien avec l'écriture scientifique et l'utilisation de papier linlog, loglin, loglog
* la dérivation "à la main" en classe de seconde, au moins sur les polynômes de degré <=3 et les fonctions rationnelles

ben2510 a écrit:Il faudra bien un jour refaire des programmes corrects, avec en particulier :
* la modélisation par une suite en classe de troisième, la notion de progression arithmétique, de progression géométrique, et les moyennes arithmétique, géométrique, quadratique et harmonique
* le logarithme décimal en troisième, en lien avec l'écriture scientifique et l'utilisation de papier linlog, loglin, loglog
* la dérivation "à la main" en classe de seconde, au moins sur les polynômes de degré <=3 et les fonctions rationnelles

J'y rajouterais les tables de logarithmes.

Oui ! (Et de cosinus/sinus/tangentes et racines, avec un peu d'interpolation linéaire par dessus, ce qui participe à la construction de la notion de nombre)

Les racines peuvent se calculer avec les tables de logarithmes, et ce serait d'ailleurs une bonne raison d'aborder ces dernières dès le milieu du collège.

A mon avis pas besoin de calculer les racines. On demande de les simplifier, c'est tout. Comme les fractions - il suffit de les mettre sous la forme irréductible. Je préfère avoir dans une copie x=1/3 ou y=3racine(5) au lieu de x≈0,33 et y≈6,71

Les deux écritures sont utiles, en particulier en trigo quand on calcule un triangle il est raisonnable de donner des valeurs approchées afin de pouvoir contrôler le résultat sur la figure.

cassiopella a écrit:A mon avis pas besoin de calculer les racines. On demande de les simplifier, c'est tout. Comme les fractions - il suffit de les mettre sous la forme irréductible. Je préfère avoir dans une copie x=1/3 ou y=3racine(5) au lieu de x≈0,33 et y≈6,71

Et à faire cela on se restreint à l'algèbre sans faire apparaître ces racines comme des nombres réels. Dans ce cas, autant commencer les nombres complexes en 3^ème…
D'ailleurs, la simplification pour avoir le radicande le plus simple possible n'a pas toujours été la norme: chez Girard le nombre 3rac(2) était noté rac(18).
Pour moi, les écritures rac(18)=3rac(2) et 4,2 ≤ rac(18) ≤ 4,3 sont toutes deux intéressantes.

BR a écrit:

Mathador a écrit:
C'est la construction que propose Demailly dans ce document: on définit en réalité d'abord a^x, le logarithme en base a comme réciproque, et on voit ensuite que la fonction ln, définie comme associant à a la dérivée en 0 de a^x, est l'un des logarithmes précédemment étudiés.
Évidemment, avec les horaires actuels et l'état actuel du primaire et du début de collège, on ne peut pas faire rigoureusement tout l'enchaînement qu'il propose.

La construction de Demailly est un vrai morceau de bravoure pour l'oral de l'Agrégation. Au programme du Lycée, par contre, c'est un pur délire : elle implique mille et un détails techniques subtils largement hors de portée des lycéens (y compris le lycéen que je fus, à l'époque du glorieux Bac C, en 1990...). A ce compte là, on pourrait introduire le logarithme Népérien en première à partir de la construction des primitives avec l'intégrale de Kurzweil-Henstock (un autre dada de Demailly, d'ailleurs).

Je partage tes réserves. Si elle s'adresse à quelqu'un qui a déjà du recul sur les mathématiques, l'approche de Demailly est très intéressante pour montrer qu'on peut construire rigoureusement les fonctions exponentielles et logarithmes en ne mobilisant que des notions assez élémentaires (pas de primitives/intégrales, pas d'équations différentielles) mais cette "économie" de ressources se paie car en contrepartie elle implique de nombreuses contorsions calculatoires à base d'encadrements et de passages à la limite dans tous les sens. Pour des élèves qui découvrent les fonctions exponentielles et logarithmes, on peut craindre que ces démonstrations alambiquées ne finissent par totalement éclipser les objets qu'elles permettent de construire ainsi que les propriétés qu'elles sont censées mettre en évidence.
J'admets que l'idée de prolonger les suites géométriques par des fonctions à variables réelles peut sans doute être assez intuitive, mais si on part de ce point de vue, les démonstrations des propriétés des fonctions exponentielles s'avèrent d'une lourdeur pédagogique qui n'a rien à envier à celle des autres approches.

Sinon, c'est assez anecdotique, mais Demailly s'autorise dans cet article beaucoup d'abus de notations :
- des mélanges égalités/inégalités du genre a < b = c ;
- des dérivées douteuses comme (ln(x))' ou (a^x)'.
Avec cet article, Demailly s'adresse sans doute à des gens qui ont une formation mathématique supérieure et pour qui ces abus de notation n'induiront pas de perceptions erronées, mais c'est quand même un indice qui suggère que la mise en pratique de ce "projet" devant des lycéens concrets n'a pas fait l'objet d'une réflexion vraiment aboutie.

cassiopella a écrit:Pourquoi c'est un morceau de bravoure? C'est ainsi qu'on enseigne l’exponentielle et les logarithmes à l'étranger. C'est tout à fait à la porté des élèves si:
- ils ont les bases (toutes les sections 1-6) qui sont acquises progressivement pendant le collège et au début du lycée.
- le langage est traduit en français compréhensible par les élèves et on limite l'utilisation des notations mathématiques.

Est-ce qu'à l'étranger ils font vraiment toutes les démonstrations des sections 4 à 6 dans leur intégralité ?

En tout cas, je n'ai certes pas pris le temps d'y réfléchir sérieusement, mais a priori je ne vois pas bien comment il serait possible de traduire toutes ces étapes en français compréhensible par les élèves tout en limitant l'utilisation des notations mathématiques.

Ramanujan974 a écrit:

Moonchild a écrit:
A tout prendre, je me dis que la manière la moins incompréhensible d'aborder le duo exp/ln est encore celle qui est au programme de la terminale STI2D : commencer par ln comme primitive (ou intégrale si on préfère) de la fonction inverse, puis exp comme sa réciproque.

Comme en TC il y a 30 ans...

C'est ce que j'ai connu en tant qu'élève et avec le recul je dirais que c'était un compromis plutôt raisonnable qui restait assez accessible tout en permettant de conserver une certaine rigueur.  
Le principal défaut de cette approche est que l'exponentielle arrivait assez tard dans l'année de terminale, après le logarithme népérien qui lui-même supposait d'avoir d'abord traité les primitives/intégrales. Il me semble d'ailleurs qu'au moment de la réforme Chatel, la contrainte de pouvoir utiliser au plus vite l'exponentielle en sciences physiques a d'ailleurs été un argument pour justifier l'approche des programmes actuels alors que ceux qui précédaient laissaient davantage de latitude aux enseignants.

D'abord Ln comme primitive de la fonction inverse et exp comme réciproque, ça marche, c'était l'ancien programme de ES je crois.

Maintenant, l'approche fonction telle que f=f' et f(0)=1, méthode d'Euler, construction de la courbe grâce à l'approximation affine puis démonstration de l'unicité et du signe, c'est sympa aussi, mais ils n'y arrivent pas et la méthode d'Euler a disparu de 1ère.
On peut même débuter par l'équation fonctionnelle : f(x+y)=f(x).f(y) et montrer que ça revient à trouver f telle que f'=f. A l'ancienne.

Le problème, c'est le TEMPS !

B

j'ai reçu cet après-midi un lien vers un communiqué de presse concernant les maths dans la réforme du lycée :
https://www.education.gouv.fr/cid140498/l-enseignement-des-mathematiques-dans-la-reforme-du-lycee-en-classe-de-premiere-et-terminale-de-la-voie-generale.html

Il y a bien évidement la preuve que l'enseignement scientifique est la panacée mathématique !! (j'suis trop bête, j'avais pas encore compris que les élèves allaient y faire plein de maths qui vont leur faire comprendre les sciences, j'avais dû mal lire !)

Les maths complémentaires (si l'établissement a les moyens horaires de l'ouvrir... ) sont aussi accessibles aux élèves de terminale n'ayant pas suivi la spécialité maths en 1re qui pourront la demander. "Cependant, les deux programmes étant en partie liés, une remise à niveau des élèves concernés sera nécessaire"

Chaque semaine une nouveauté dans cette magnifique réforme (qui devait améliorer la formation pour le post-bac, auquel on va demander de s'adapter pour de la remise à niveau du public très varié qui va arriver !) !! C'est insupportable !

Y a-t-il quelqu'un (smf , apmep , cnrs , .... scnf ??? ) pour envoyer un contre-communiqué ?!

jean-20100 a écrit:

Y a-t-il quelqu'un (smf , apmep , cnrs , ....  scnf ??? ) pour  envoyer un contre-communiqué ?!

C'est 1 reponse au communiqué de l'APMEP et de la SMF

Ok... C'est pas le ministère qui a commencé, mais ça n'excuse pas tout.

jean-20100 a écrit:Ok... C'est pas le ministère qui a commencé, mais ça n'excuse pas tout.

Au contraire, c'est le ministère qui a commencé avec ça réforme de merde et qui a continué en mentant lors des différentes interviews.

Ouaip ! Mais là ça devient n'importe quoi ! Ça prend l'eau de partout leur réforme qu'ils veulent absolument imposer !
Notre chef nous a confirmé cet après-midi qu'un élève qui voulait faire une spé "rare" ( NSI ou langue ancienne par exemple , mais pas arts... pourquoi , mystère ?? ) devrait pouvoir aller faire ses 4 h dans le lycée d'à côté. J'espérais encore qu'ils autoriseraient les élèves à changer directement d'établissement, comme c'est le cas actuellement avec les voies technologiques, ce qui fonctionnait très bien. Ben non... J'aimerais savoir qui prend ce genre de décisions. Il y a peut-être un vraie bonne raison à ces âneries !

B

Bonjour, et merci pour ces informations complètes, qui mettent du baume au coeur !
Avec une synergie suffisante, peut-être que...

- Collectif "Sauver les lettres"

J'ai trouvé l'intrus !!


C'était pas ça le jeu ?