[Maths EDS 1re] Fonction exponentielle

Je précise que jusqu'ici, je n'ai jamais pris de Tale : je vois ce qui se fait en Tale sur la fonction exponentielle, mais je n'ai jamais eu à l'enseigner.

Comment comptez-vous vous y prendre pour introduire la fonction exponentielle en 1ère ?
J'ai beau lire et relire les programmes, je ne vois pas trop ce qui est attendu.
Merci pour vos idées !

Lorsque j'étais élève, l'enseignant a quasiment zappé la méthode d'Euler, a posé comme axiome que le problème de Cauchy y'=y, y(0)=1 a une solution, et démontré le reste. Mais c'était une classe 100% spé maths de l'avant-Châtel…
L'un des problèmes quasi insolubles là-dedans, c'est que le caractère « naturel » de ln et exp n'apparaît que dans l'aspect différentiel des fonctions. Il y a plusieurs façons de l'expliciter:
-exp est la seule exponentielle égale à sa dérivée
-ln est la seule fonction dont la dérivée en 1 vaut 1
-ln(a) est la dérivée de x->a^x en 0
-etc.
mais aucune ne me semble vraiment adaptée à la classe de 1^ère.

Si je prends des première cette année, je ferai deux choses AVANT la fonction exponentielle :

* le second degré y compris la dérivation et la continuité (sous la forme des petites variations de la variable amènent des petites variations de la fonction), et le lien entre les deux notions,
puis (après un intermède géométrique : géo ana et ps histoire de rester dans le second degré) la même chose sur le troisième degré (et peut être les fonctions inverse et racine).
Ainsi dès septembre on parlera de dérivation, de tangentes, de coefficient directeur, de vitesse.
* les suites, les généralités, les suites arithmétiques, les suites GEOMETRIQUES, sans doute les suites arithmético-géométriques, et les calculs de taux moyen (les racines n-ièmes aka puissances fractionnaires)

En décembre je ferai sans doute les probas.

En janvier février exp et ln :
* d'abord les logarithmes comme opération inverse des puissances entières,
* ensuite les fonctions exponentielles comme prolongement des suites géo à Z puis Q puis R par continuité,
* l'application des logarithmes aux problèmes de seuil.

Cette façon de procéder permet d'avoir les relations fonctionnelles.

Ensuite je laisserai venir (rappelons que depuis septembre on lit des nombres dérivés sur des graphiques et on étudie des fonction polynomes), éventuellement en attaquant les formules de dérivation (sqrt u)', (uv)', (u/v)'.
Il y en aura bien un qui me demandera pour ln ou pour exp !
A partir des relations fonctionnelles et en admettant la dérivabilité en zéro (en un pour ln évidemment), le chapitre est fini.

Mes deux centimes.

ben2510 a écrit:En janvier février exp et ln :
* d'abord les logarithmes comme opération inverse des puissances entières,
* ensuite les fonctions exponentielles comme prolongement des suites géo à Z puis Q puis R par continuité,
* l'application des logarithmes aux problèmes de seuil.

Quand e apparaît-il dans ta progression ? Cette liste pourrait être traitée avec uniquement des logarithmes et exponentielles dont la base est fournie.

Exp, ln et e apparaissent dans le deuxième temps, lorsqu'on s'intéresse à la dérivabilité de exp_a et log_a (les exponentielles et logarithmes de base quelconque).
A noter que j'établis que tous les logarithmes sont proportionnels entre eux au moment de l'application des logarithmes aux problèmes de seuil (et aux équations et inéquations faisant intervenir des exponentielles, de façon plus générale), par la formule de changement de base log_a(x)=log_b(x)*log_a(b). Cela induit bien sûr que leurs dérivées sont elles-mêmes proportionnelles.

Bref je pars sur une progression plus proche du cheminement historique (et plus proche de ce que font les autres pays européens).

Euh, ln c'est pas en première...

On peut ne garder que les aspects exponentiels de la progression sus-mentionnée.
1) exponentielle en base a comme prolongation à R de la suite géométrique (aⁿ)
2) règles de calcul sur l'exponentielle de base a
3) l'exponentielle en base a est dérivable en 0 (admis)
4) si f(x)=a^x, alors f' = f'(0)×f
5) si f'(0)=1, f est l'exponentielle naturelle et satisfait à la définition au programme.
Pour construire la fonction pour le 5), il suffit de constater que la dérivée de 2^ax est a×C×2^ax, et l'exponentielle recherchée est donc 2^x/C=e^x, où e=2^1/C et C est la dérivée en 0 de l'exponentielle en base 2 (on a donc C=ln(2), mais on n'a pas besoin de le savoir).

Faire l'exponentielle sans faire le logarithme n'a guère de sens pour moi.
Que ce soit en terminale ou en première, j'ai toujours fait les deux ensemble.

Ok mais avec le nombre de trucs à faire en 4h, c'est peut-être pas la peine d'en rajouter...

En formation informative, un "atelier" sur l'intro de l'exponentielle en 1ère a mené à cetteapproche par le taux d'évolution moyen pour doubler un capital menant à "e"...mais "retoquée" par l'IPR disant que ce n'était pas conforme au programme : unique solution de f'=f telle que f(0)=1. A priori, construction de la courbe par la méthode d'Euler, on admet l'existence et l'unicité et on déboule sur les formules (pas d'approfondissement, temps raisonnable, on s'adapte au public, on diversifie et toussa)...

Mais qui s'intéresse encore à l'avis des IPR ?

ben2510 a écrit:Mais qui s'intéresse encore à l'avis des IPR ?

Pas moi ; en revanche, je m'intéresse à l'avis du sablier qui me dit que l'année avance vite, très vite et qu'il ne reste pas vraiment de temps à consacrer aux belles activités d'introduction qui permettent au prof de maths de s'offrir un petit plaisir solitaire devant les élèves.

On peut retourner le problème dans tous les sens : quelle que soit l'approche choisie, introduire la fonction exponentielle mobilisera une certaine technicité que les élèves ne pourront pas acquérir sans y consacrer un temps dont nous ne disposons pas dans la plupart des lycées parce qu'il faut déjà essayer - sans grand succès - de leur faire acquérir un technicité minimale sur les objets étudiés au collège.

Donc, à moins de sacrifier une autre partie du programme, il va falloir se résoudre à balancer comme un cheveu sur la soupe l'existence et l'unicité d'une mystérieuse fonction f telle que f'=f et f(0)=1, puis à en admettre les propriétés usuelles. Finalement c'est un peu ce qu'on fait actuellement en terminale, sauf qu'on va éluder la phase initiale des démonstrations qui de toute façon laissait la grande majorité de mes élèves dans un état de compréhension proche de celui qu'on peut ressentir après avoir assisté à la projection d'un des derniers films de David Lynch. Ensuite, à force d'utiliser des e^x dans des calculs, les élèves finiront bien par accepter la présence de cet objet mathématique étrange ; les meilleurs d'entre eux arriveront même à se convaincre qu'ils y comprennent quelque chose.

Sinon, personnellement, je suis très réservé sur la construction de la courbe par la méthode d'Euler : les dernières fois que j'ai fait quelque chose du genre en première, vers 2009 ou 2010, dans le cadre plus simple d'une primitive de la fonction inverse (plus simple car au moins on cherchait une fonction dont la dérivée était explicite, ce qui n'est pas le cas avec le problème f'=f), j'ai simplement perdu une heure de cours à m'agiter tout seul, tout ça pour obtenir une courbe approximative sans aucun contrôle de l'erreur commise...