[maths 1S] Fonctions associées

En 1ère S, comment gérez-vous auprès des élèves l'histoire du "signe constant" pour le sens de variation de la fonction 1/u ?

Je suis un peu cynique...c'est totalement incompréhensible pour eux compte tenu de leur vécu antérieur...faire comprendre que x²+1 est toujours positif alors que pour x²-1 ce n'est pas certain les amène déjà au toc de leurs capacités d'abstraction. Dans un autre monde peut-être.
Maintenant, passer du temps là dessus...est ce vraiment utile?

Si tu veux dire : comment démontrer que si u est de signe constant, le sens de variation de 1/u est l'inverse de celui de u, et comment expliquer plus particulièrement que la condition u de signe constant est importante, c'est simple : je ne fais pas non plus. Ni, de manière générale, les variations des fonctions associées.

C'est un truc qui serait potentiellement intéressant à travailler pour bien comprendre la définition de la croissance ou décroissance d'une fonction, mais ce genre de démonstration est typiquement ce que 90% des élèves n'ont plus les bases et les capacités d'abstraction pour comprendre. Et de toute façon, ils ne l'utiliseront plus (du moins jusqu'au bac) quand ils découvriront les applications de la dérivation.

Avec les classes qui tournent bien je préfère encore prendre le temps de faire des problèmes non triviaux sur les chapitres plus essentiels (par exemple, justement, les études de fonctions...)

OK, vous me rassurez.
Merci ! grandement ...

Mais nous sommes d'accord que cette condition est importante ?

chmarmottine a écrit:Mais nous sommes d'accord que cette condition est importante ?

C'est important lorsqu'on considère la définition générale d'une fonction croissante. Mais en pratique il ne faut pas oublier que si u est continue, 1/u a effectivement les variations contraires de celles de u (sans hypothèse supplémentaire) sur tous les intervalles où elle est définie.
Pour mettre en défaut la propriété sur un exemple utilisant les opérations usuelles, il est plus simple de recourir aux suites: (n-3/2) est une suite croissante définie sur N, et pourtant (1/(n-3/2)) est définie sur N, mais pas décroissante sur N.

chmarmottine a écrit:En 1ère S, comment gérez-vous auprès des élèves l'histoire du "signe constant" pour le sens de variation de la fonction 1/u ?

Dis une fois dans la propriété et après, on est passé dessus dans en reparler même quand on étudie les variations de 1/(x -2).
J'ai démontré les variations de la racine carrée, j'en ai déjà perdu les 3/4.

Pas la peine de se prendre la tête. Ils ne comprennent déjà pas le lien entre u et racine(u). Après moults exemples et explications, j'en ai encore qui ne comprennent pas pourquoi quand on écrit racine(x - 2) on doit regarder x - 2 >= 0 et qui me jette un regard :|

Ce qui m'inquiète de plus en plus, c'est leur incapacité à comprendre une phrase simple et un cours. Je réponds à un élève : "Dans le cours, on a vu que u et racine de u ont même variations". Réponse : j'comprends pas. Parfois, les journées sont longues.

chmarmottine a écrit:OK, vous me rassurez.
Merci ! grandement ...

Mais nous sommes d'accord que cette condition est importante ?

Ben oui, sinon ça ne marche pas...obligatoire, pas important!

Mathador a écrit:

chmarmottine a écrit:Mais nous sommes d'accord que cette condition est importante ?

C'est important lorsqu'on considère la définition générale d'une fonction croissante. Mais en pratique il ne faut pas oublier que si u est continue, 1/u a effectivement les variations contraires de celles de u (sans hypothèse supplémentaire) sur tous les intervalles où elle est définie.

Mis pas forcément sur l'union des intervalles.

Le cas standart, c'est celui où u est définie sur R par u(x)=x.

1/u est définie sur ]-infini;0[ et ]0;+infini[, décroissante sur chacun de ces deux intervalles, mais pas décroissante sur ]-infini;0[ U ]0;+infini[.

(J'aime bien ton exemple avec une suite ceci dit.)

Al9 a écrit:

chmarmottine a écrit:En 1ère S, comment gérez-vous auprès des élèves l'histoire du "signe constant" pour le sens de variation de la fonction 1/u ?

Dis une fois dans la propriété et après, on est passé dessus dans en reparler même quand on étudie les variations de 1/(x -2).
J'ai démontré les variations de la racine carrée, j'en ai déjà perdu les 3/4.

Pas la peine de se prendre la tête. Ils ne comprennent déjà pas le lien entre u et racine(u). Après moults exemples et explications, j'en ai encore qui ne comprennent pas pourquoi quand on écrit racine(x - 2) on doit regarder x - 2 >= 0 et qui me jette un regard :|

Ce qui m'inquiète de plus en plus, c'est leur incapacité à comprendre une phrase simple et un cours. Je réponds à un élève : "Dans le cours, on a vu que u et racine de u ont même variations". Réponse : j'comprends pas. Parfois, les journées sont longues.

Le concept de "variations" n'est pas clair, pour eux...tout simplement parce que la familiarité avec les nombres n'est pas acquises. -1<3 ne saute pas aux yeux de tous...sans parler de -10< -3. Les "tableaux" de variations (spécialité française parait-il) ajoutent à la confusion...croissant c'est la flèche qui monte...qu'est que ça veut dire? que la courbe "monte"...d'accord mais de f(3) et f(10) quel est le plus grand?....!!!!????**** déjà c'est quoi f(3)?
En 1ère S tu peux tout à fait avoir des élèves qui font des tableaux correct et qui sèchent sur "quelle est la plus grande valeur de f"? ou qui prennent systématiquement le bout de l'intervalle.

L'inconvénient de la réunion d'intervalles, c'est que ça paraît artificiel, et ce n'est pas évident à comprendre ni à illustrer (Monsieur, il y a que des flèches vers le bas et vous dites que ce n'est pas décroissant ?).
Alors que pour les suites, la restriction à N permet beaucoup plus de liberté en retirant toute contrainte topologique significative (toutes les suites étant continues selon la topologie usuelle de R). Et encore, je n'ai pas posé une vraie suite de troll telle que (1/cos(n)) définie sur N.

Je ne parle pas de signe constant. Je fais ces deux phrases après avoir défini la fct 1/f.

si pour tout x de I, f(x) > 0, alors f et 1/f ont des variations contraires sur I.
si pour tout x de I, f(x) < 0, alors f et 1/f ont des variations contraires sur I.

Sinon ils ont tendance à dire que la fonction inverse est décroissante sur R* ...
Donc je préfère découper.

On aurait pu se contenter de u(x)+k et u(x+k), juste pour l'aspect graphique et le lien avec les phénomènes physiques, tout le reste ne sert pas à grand chose, la dérivation fournissant une « méthode » plus automatique.

tout à fait ... d'ailleurs je ne me souviens plus, mais c'est encore dans le futur programme de 1ère ?

L’intérêt de ce chapitre réside surtout sur la bonne maîtrise des priorités de calcul ou des enchaînements de fonction pour fabriquer une fonction pas complètement triviale : l’application aux variations est secondaire finalement.

Badiste75 a écrit:L’intérêt de ce chapitre réside surtout sur la bonne maîtrise des priorités de calcul ou des enchaînements de fonction pour fabriquer une fonction pas complètement triviale : l’application aux variations est secondaire finalement.

Oui, je vois ça comme ça. C'est l'occasion aussi de "faire sortir les constantes multiplicatives".

Franchement, je suis de plus en plus désespérée, même en 1S (une classe qui est censée être bonne, qui plus est).

Beaucoup d'élèves ont du mal à comprendre que 3/x= 3*(1/x).
Quand j'ai abordé le sens de variation de 1/u, j'ai perdu les 3/4 de la classe.
Je me suis rendue compte à la fin que beaucoup confondent signe et sens de variation ...

Du coup, en rentrant chez moi, je suis allée farfouiller dans les cours que m'avait passés un collègue (censé être LE prof de maths du lycée) quand je suis arrivée en lycée ... il omet complètement cette histoire de signe ...

Prezbo a écrit:Et de toute façon, ils ne l'utiliseront plus (du moins jusqu'au bac) quand ils découvriront les applications de la dérivation.

C'est tombé au BAC S en 2016 (question 4 de l'exercice 4) : lien entre le minimum de f(x) = x + 765/x et le maximum de 5.6x/(x²+765) = 5.6/f(x) sur ]0;50].

chmarmottine a écrit:

Badiste75 a écrit:L’intérêt de ce chapitre réside surtout sur la bonne maîtrise des priorités de calcul ou des enchaînements de fonction pour fabriquer une fonction pas complètement triviale : l’application aux variations est secondaire finalement.

Oui, je vois ça comme ça. C'est l'occasion aussi de "faire sortir les constantes multiplicatives".

Franchement, je suis de plus en plus désespérée, même en 1S (une classe qui est censée être bonne, qui plus est).

Beaucoup d'élèves ont du mal à comprendre que 3/x= 3*(1/x).
Quand j'ai abordé le sens de variation de 1/u, j'ai perdu les 3/4 de la classe.
Je me suis rendue compte à la fin que beaucoup confondent signe et sens de variation ...

Je me bats avec acharnement et ardeur pour tenter de leur faire comprendre l'intérêt de la notation m.s^-1, régulièrement, inlassablement.
L'an dernier, mon meilleur élève m'a demandé si "on a le droit de dire que G fois m1m2/d² c'est égal à Gm1m2 le tout sur d² ?".
En maths comme en physique, toute la substance un tantinet scientifique ne peut trouver sa place dans un esprit complètement saturé par la moindre opération.

Call_BB5A a écrit:

Prezbo a écrit:Et de toute façon, ils ne l'utiliseront plus (du moins jusqu'au bac) quand ils découvriront les applications de la dérivation.

C'est tombé au BAC S en 2016 (question 4 de l'exercice 4) : lien entre le minimum de f(x) = x + 765/x et le maximum de 5.6x/(x²+765) = 5.6/f(x) sur ]0;50].

Je n'irai pas mettre de la théorie pour répondre à une question de bon sens.

Pourtant, ce qui n'est pas un minimum théorisé sera vite oublié, car peu compris.

chmarmottine a écrit:En 1ère S, comment gérez-vous auprès des élèves l'histoire du "signe constant" pour le sens de variation de la fonction 1/u ?

Depuis plusieurs années, je gère l'affaire en ne parlant plus du tout des variations de 1/u. Je me contente d'appliquer le sens de variations de la fonction inverse avec des exemples du genre f(x)=3+4/(x-5) et seulement pour faire trouver un encadrement de f(x) quand x appartient à un intervalle donné en décomposant le calcul de f(x) en plusieurs opérations élémentaires. Rien que ça, c'est déjà trop dur pour eux : même avec des valeurs numériques, il ne comprennent pas vraiment pourquoi la fonction inverse ne peut ici être utilisée qu'avec des nombres de même signe.

Et depuis cette année, j'ai aussi abandonné rac(u). En fait, pour les fonctions associées, je me borne à u+k et k*u en lien avec l'effet de ces opérations sur les inégalités.

Badiste75 a écrit:L’intérêt de ce chapitre réside surtout sur la bonne maîtrise des priorités de calcul ou des enchaînements de fonction pour fabriquer une fonction pas complètement triviale : l’application aux variations est secondaire finalement.

Oui et là, c'est le drame. Après avoir traité des exemples de sens de variations de u+k et k*u, je viens de constater récemment en corrigeant des copies que pour 2x²+6x+5 ma meilleure élève n'a pas été capable de reconnaître qu'il fallait appliquer la propriété vue pour le sens de variations de ax²+bx+c (je pense que ça a été une pure perte de temps de la démontrer et je regrette car, n'ayant pas d'AP en première S, je suis très en retard dans le programme) et qu'elle y a vu l'enchaînement suivant :
x -> x² -> 2x² -> 2x²+x -> 2x²+6x -> 2x²+6x+5
et le fait d'ajouter x est considéré comme l'addition d'une constante.

Bref, il faudrait tout reprendre au début, et il n'y a pas le temps.

Balthazaard a écrit:Le concept de "variations" n'est pas clair, pour eux...tout simplement parce que la familiarité avec les nombres n'est pas acquises.

Oui, il y a ça, c'est évident. Et aussi parce que la familiarité avec les manipulations algébriques d'inégalités est pour ainsi dire inexistante.
Sur ce point, les programmes actuels tout comme ceux à venir sont absurdes : ils introduisent la notion de variations d'une fonction alors que les élèves n'ont presque jamais travaillé sur la notion d'ordre au-delà de ce qui est complètement trivial et les quelques priorités qu'ils étudieront sur l'ordre sont abordées sous l'angle des fonctions ce qui fait que, en mettant ainsi la charrue avant les boeufs, on rend les choses beaucoup plus confuses.

ben2510 a écrit:Pourtant, ce qui n'est pas un minimum théorisé sera vite oublié, car peu compris.

Certes mais...Pour le cas précis qui nous occupe, faut-il vraiment traiter toute la théorie sur des opérations sur les fonctions, qui sera peu exploitée (et est à mon avis difficilement compréhensible faute de bases suffisantes en théorie des ensembles[1]), pour éventuellement répondre à la question 4 de l'exercice 4 d'un sujet de baccalauréat ou un concepteur a décidé de se rappeler que s'était aussi au programme, alors même qu'un raisonnement de bon sens permet de répondre à la question ?

Je n'étais pas correcteur cette année là, mais je serais curieux de savoir quelle proportion des candidats ont répondu à la question, ou plus globalement abordé en profondeur cet exercice, d'ailleurs. Et quelles consignes de correction ont été données.


[1] Par exemple, je me demande ce que les élèves comprennent vraiment d'une formulation du type "f+g est la fonction définie sur D par (f+g)(x)=f(x)+g(x)", qu'on trouve encore souvent dans les manuels.

ben2510 a écrit:Pourtant, ce qui n'est pas un minimum théorisé sera vite oublié, car peu compris.

mouais...c'est comme ça qu'on en vient à calculer delta pour factoriser x²-1 (avec un taux de réussite d'environ 50%) ou pire -b/(2a) pour étudier les variations de f(x)=ax+b

Prezbo a écrit:

ben2510 a écrit:Pourtant, ce qui n'est pas un minimum théorisé sera vite oublié, car peu compris.

Certes mais...Pour le cas précis qui nous occupe, faut-il vraiment traiter toute la théorie sur des opérations sur les fonctions, qui sera peu exploitée (et est à mon avis difficilement compréhensible faute de bases suffisantes en théorie des ensembles[1]), pour éventuellement répondre à la question 4 de l'exercice 4 d'un sujet de baccalauréat ou un concepteur a décidé de se rappeler que s'était aussi au programme, alors même qu'un raisonnement de bon sens permet de répondre à la question ?

Je n'étais pas correcteur cette année là, mais je serais curieux de savoir quelle proportion des candidats ont répondu à la question, ou plus globalement abordé en profondeur cet exercice, d'ailleurs. Et quelles consignes de correction ont été données.


[1] Par exemple, je me demande ce que les élèves comprennent vraiment d'une formulation du type "f+g est la fonction définie sur D par (f+g)(x)=f(x)+g(x)", qu'on trouve encore souvent dans les manuels.

Rien...du reste je ne l'utilise plus, passant par une fonction auxiliaire (est-ce vraiment mieux...?)

Prezbo a écrit:

ben2510 a écrit:Pourtant, ce qui n'est pas un minimum théorisé sera vite oublié, car peu compris.

Certes mais...Pour le cas précis qui nous occupe, faut-il vraiment traiter toute la théorie sur des opérations sur les fonctions, qui sera peu exploitée (et est à mon avis difficilement compréhensible faute de bases suffisantes en théorie des ensembles[1]), pour éventuellement répondre à la question 4 de l'exercice 4 d'un sujet de baccalauréat ou un concepteur a décidé de se rappeler que s'était aussi au programme, alors même qu'un raisonnement de bon sens permet de répondre à la question ?

Je n'étais pas correcteur cette année là, mais je serais curieux de savoir quelle proportion des candidats ont répondu à la question, ou plus globalement abordé en profondeur cet exercice, d'ailleurs. Et quelles consignes de correction ont été données.


[1] Par exemple, je me demande ce que les élèves comprennent vraiment d'une formulation du type "f+g est la fonction définie sur D par (f+g)(x)=f(x)+g(x)", qu'on trouve encore souvent dans les manuels.

Je n'ai pas parlé d'opérations sur les fonctions.
J'ai dit que ne pas expliciter que pour des nombres de même signe le passage à l'inverse inverse l'ordre (*) signifie que les élèves ne le savent pas.
Je ne vois pas ce que du bon sens viendrait faire ici (et si les élèves en avaient, on s'en serait aperçu).

(*) "Monsieur vous avez écrit deux fois le même mot", c'est du vécu.

Balthazaard a écrit:

ben2510 a écrit:Pourtant, ce qui n'est pas un minimum théorisé sera vite oublié, car peu compris.

mouais...c'est comme ça qu'on en vient à calculer delta pour factoriser x²-1  (avec un taux de réussite d'environ 50%)   ou pire -b/(2a) pour étudier les variations de f(x)=ax+b

Non.
Ce que tu décris est un manque de réflexion, ce n'est pas ce dont je parle.