Souverain bien et bonheur : une contradiction d'Aristote ?

@JPhMM : C'est une lecture difficile, où je dois beaucoup admettre d'autorité, faute de culture mathématique. Mais c'est super intéressant de mieux comprendre ces problèmes axiomatiques.

J'ai lu p.44 :

"There were really two  sorts  of   set-theoretic   paradoxes   that   threatened  early,  intuitive  set  theory:  paradoxes  of  size  and  paradoxes like  those  engendered  by  the  Russell  set,  the  set  of all sets  that are  not  members  of  themselves.".

Est-ce que tu sais à quoi l'auteur fait allusion sous le nom de paradoxes of size ? Je serais très curieux de savoir.

Là, je viens de finir. Merci pour ce voyage encore assez psychédélique (pour moi) dans le monde des hypersets. :nerveux:  Pourquoi existe-t-il des opposants aux hyperensembles en fait ? C'est tout de suite louche... Que leurs reprochent-ils ? Existe-t-il des raisons mathématiques pour en venir à se proposer d'interdire par des axiomes à une idée mathématique d'être manipulée, ou est-ce toujours un genre de jugement métaphysique sur la nature des mathématiques ?

@Pauvre Yorick : Merci. Effectivement c'est une évidence. Mais je m'énervais juste un peu contre l'agressivité latente que suppose une telle question. Si l'on demande une explication, il faut s'attendre à en recevoir.

Je ne suis pas certain.
Peut-être évoque-t-il des paradoxes comme celui de G.W. Berry :

Soit l'expression « le plus petit nombre naturel qu'on ne peut pas désigner en moins de vingt-cinq syllabes ».

Elle désigne un entier bien déterminé. Par définition, cet entier ne peut pas être désigné par une expression de moins de vingt-cinq syllabes. Or elle possède elle-même vingt-quatre syllabes !

JPhMM a écrit:

Puisque tu n'es pas mathématicien, je te propose de parler d'ensemble plutôt de classe, même si un prof de maths m'écorcherait pour moins que cela.

Soit N l'ensemble de tous les nombres entiers. C'est-à-dire N = {0; 1; 2; ...}
N n'est pas un nombre entier, c'est l'ensemble des nombres entiers.

Jusque là tout est clair pour moi.

Par contre là:

JPhMM a écrit:
Donc il n'est pas élément de lui-même, c'est-à-dire qu'il ne vérifie pas la condition nécessaire et suffisante pour être élément de N.

Pourquoi "donc"? Et qu'est ce qu'un élément au sens mathématique du terme?

Il n'est pas élément de lui-même car il contient déjà une infinité de nombres?

JPhMM a écrit:
Supposons un ensemble R qui regroupe ainsi tous les ensembles qui ne sont pas éléments d'eux-mêmes.
Mathématiquement :
R = {x|x∉x}
R est-il élément de lui-même ?
Si oui (donc : R∈R), alors il vérifie la propriété de ses éléments, c'est-à-dire : R∉R. Contradiction.
Si non (donc  : R∉R), alors il ne vérifie pas la propriété de ses éléments, donc : non(R∉R) <=> R∈R. Contradiction.

Mais concrètement, à part N, que peut il exister en mathématiques comme ensembles?

Ah, c'est marrant le paradoxe de Berry :ycombe: !

Il me semble juste que ce n'est pas vraiment un paradoxe mais plutôt la démonstration par l'absurde de l'inexistence d'aucun être indésignable en moins de vingt-cinq syllabes. Ce qui est un truisme en fait. Par le jeu de la convention linguistique, un seul signe différentiel peut suffir à désigner n'importe quel être. Même Nyarlathotep - le Shèd aux milles visages - peut être désigné en cinq syllabes.

Les paradoxes de Cantor et de Burali-Forti plutôt.

Il fait probablement référence aussi au paradoxe de la cardinalité de l'ensemble de tous les ensembles (dans le vocabulaire de l'époque pré-Crise des Fondements).

Je m'explique.

Soit un ensemble quelconque.
Par exemple E = {pomme, poire, scoubidou}
Le cardinal de E est 3, car il contient 3 éléments.
card(E)=3

Une partie P de E est un ensemble qui contient, ou pas, chacun des éléments respectivement.
Donc P peut être :
(*) l'ensemble vide. (aucun des trois éléments de E n'est élément de P)
(*) {pomme} (pomme est dans P, mais ni poire ni scoubidou)
(*) {poire} (etc)
(*) {scoubidou}
(*) {pomme, poire}
(*) {pomme, scoubidou}
(*) {poire, scoubidou}
(*) {pomme, poire, scoubidou} (c'est-à-dire E lui-même)

Donc il y a 8 parties possibles de E.
On dit que le cardinal de l'ensemble des parties de E est 8. Card(P(E))=8

En effet : chaque élément est présent ou pas (deux possibilités) dans une partie de E.
Or E contient 3 éléments.

pomme est élément de la partie ou pas : 2 possibilités (élément de P /ou/ pas élément de P)
poire est élément de la partie ou pas : 2 possibilités (élément de P /ou/ pas élément de P)
scoubidou est élément de la partie ou pas : 2 possibilités (élément de P /ou/ pas élément de P)

Nombre total de possibilités : 2x2x2 = 2³= 8

En généralisation le raisonnement à un ensemble E quelconque, on démontre la formule suivante : card(P(E))=2^card(E)
On démontre à partir de là que pour tout E, non nécessairement fini : card(P(E)) > card(E)

SAUF QUE.

Soit Ω l'ensemble de tous les ensembles.
Alors P(Ω)=Ω par définition de Ω. (en première approche P(Ω) est seulement inclus dans Ω, mais on démontre assez aisément que c'est une égalité, cela me semble d'ailleurs assez intuitif. D'ailleurs, nous n'avons même pas besoin de l'égalité pour arriver au paradoxe).
Donc card(P(Ω)) = card(Ω)
Et de plus, par la formule card(P(E)) > card(E) pour tout ensemble E, il vient que card(P(Ω)) > card(Ω)

card(P(Ω)) = card(Ω) et card(P(Ω)) > card(Ω). Contradiction.

Le problème est toujours évidemment un paradoxe de la représentativité. L'objet désigné par des "mots" existe-t-il ?
Le paradoxe de la cardinalité de l'ensemble de tous les ensembles est intéressant en cela qu'il pointe du doigt là où cela pourrait effectivement poser problème.
En effet, si Ω existe alors son cardinal est maximal, c'est-à-dire qu'il n'existerait aucun infini "plus grand que lui".
D'où la question : existe-t-il effectivement un ensemble "maximal" ? Si oui, alors le paradoxe reste entier. Si non, alors le paradoxe est résolu.

Nous comprenons que nous ne sommes pas du tout dans la même situation que le paradoxe de Russell qui relève du tiers exclu (le barbier se rase lui-même avec une valuation de vérité égale à 1/2, pour le dire très vite).

Aiôn a écrit:Ah, c'est marrant le paradoxe de Berry :ycombe: !

Il me semble juste que ce n'est pas vraiment un paradoxe mais plutôt la démonstration par l'absurde de l'inexistence d'aucun être indésignable en moins de vingt-cinq syllabes. Ce qui est un truisme en fait. Par le jeu de la convention linguistique, un seul signe différentiel peut suffir à désigner n'importe quel être. Même Nyarlathotep - le Shèd aux milles visages - peut être désigné en cinq syllabes.

Ce n'est pas si simple.
En définissant mathématiquement la notion de syllabe, et en déduisant que le nombre de syllabes différentes est fini, on démontre que le nombre d'objets distincts désignés par 24 syllabes ou moins est fini. Sauf que le nombre de nombres entiers est infini.

Parménide a écrit:

JPhMM a écrit:

Puisque tu n'es pas mathématicien, je te propose de parler d'ensemble plutôt de classe, même si un prof de maths m'écorcherait pour moins que cela.

Soit N l'ensemble de tous les nombres entiers. C'est-à-dire N = {0; 1; 2; ...}
N n'est pas un nombre entier, c'est l'ensemble des nombres entiers.

Jusque là tout est clair pour moi.

Par contre là:

JPhMM a écrit:
Donc il n'est pas élément de lui-même, c'est-à-dire qu'il ne vérifie pas la condition nécessaire et suffisante pour être élément de N.

Pourquoi "donc"? Et qu'est ce qu'un élément au sens mathématique du terme?

Il n'est pas élément de lui-même car il contient déjà une infinité de nombres?

Les éléments de N sont 0, 1, 2, 17, 123252372309, bref, ce sont les nombres naturels.
N n'est pas un nombre.
Donc N n'est pas élément de N.

Parménide a écrit:

JPhMM a écrit:
Supposons un ensemble R qui regroupe ainsi tous les ensembles qui ne sont pas éléments d'eux-mêmes.
Mathématiquement :
R = {x|x∉x}
R est-il élément de lui-même ?
Si oui (donc : R∈R), alors il vérifie la propriété de ses éléments, c'est-à-dire : R∉R. Contradiction.
Si non (donc  : R∉R), alors il ne vérifie pas la propriété de ses éléments, donc : non(R∉R) <=> R∈R. Contradiction.

Mais concrètement, à part N, que peut il exister en mathématiques comme ensembles?

Vulgairement : "Ensemble" est une structure. Une boîte bordélique, si tu préfères. Dès que tu mets des objets en vrac dans une boite, c'est un ensemble.
Par exemple, tu as l'ensemble des droites du plan.
L'ensemble des fonctions continues.
L'ensemble vide (la boite, mais il n'y a rien dedans).
Etc.

Voilà. La semaine prochaine, on définit un vecteur comme classe d'équivalence de la relation d'équipollence, et roule ma poule on peut passer en... 3e ?

Pas de nos jours, RM, pas de nos jours

Aiôn a écrit:@JPhMM : C'est une lecture difficile, où je dois beaucoup admettre d'autorité, faute de culture mathématique. Mais c'est super intéressant de mieux comprendre ces problèmes axiomatiques.

J'ai lu p.44 :

"There were really two  sorts  of   set-theoretic   paradoxes   that   threatened  early,  intuitive  set  theory:  paradoxes  of  size  and  paradoxes like  those  engendered  by  the  Russell  set,  the  set  of all sets  that are  not  members  of  themselves.".

Est-ce que tu sais à quoi l'auteur fait allusion sous le nom de paradoxes of size ? Je serais très curieux de savoir.

Là, je viens de finir. Merci pour ce voyage encore assez psychédélique (pour moi) dans le monde des hypersets. :nerveux:  Pourquoi existe-t-il des opposants aux hyperensembles en fait ? C'est tout de suite louche... Que leurs reprochent-ils ? Existe-t-il des raisons mathématiques pour en venir à se proposer d'interdire par des axiomes à une idée mathématique d'être manipulée, ou est-ce toujours un genre de jugement métaphysique sur la nature des mathématiques ?

@Pauvre Yorick : Merci. Effectivement c'est une évidence. Mais je m'énervais juste un peu contre l'agressivité latente que suppose une telle question. Si l'on demande une explication, il faut s'attendre à en recevoir.

"Opposant" n'est sans doute pas le mot.
Dès lors qu'une idée mathématique est consistante, il n'y a aucune raison d'avoir une opposition.
Les critères de sélection sont assez simples : si une idée permet de répondre à des questions que les autres idées ne peuvent pas résoudre ou permet de répondre plus facilement à des questions que les autres idées résolvent plus difficilement, alors elle est retenue. C'est donc un critère pragmatique, essentiellement. Une idée est retenue si elle sert à quelque chose.

JPhMM a écrit:
Vulgairement : "Ensemble" est une structure. Une boîte bordélique, si tu préfères. Dès que tu mets des objets en vrac dans une boite, c'est un ensemble.
Par exemple, tu as l'ensemble des droites du plan.
L'ensemble des fonctions continues.
L'ensemble vide (la boite, mais il n'y a rien dedans).
Etc.

Plus perturbant : l'ensemble des ensembles est un ensemble, et en plus on peut démontrer qu'il n'est pas vide puisqu'il contient l'ensemble vide

William Foster a écrit:

JPhMM a écrit:
Vulgairement : "Ensemble" est une structure. Une boîte bordélique, si tu préfères. Dès que tu mets des objets en vrac dans une boite, c'est un ensemble.
Par exemple, tu as l'ensemble des droites du plan.
L'ensemble des fonctions continues.
L'ensemble vide (la boite, mais il n'y a rien dedans).
Etc.

Plus perturbant : l'ensemble des ensembles est un ensemble, et en plus on peut démontrer qu'il n'est pas vide puisqu'il contient l'ensemble vide

Encore faut-il démontrer qu'il existe.

Cf. plus haut.

JPhMM a écrit:

William Foster a écrit:

JPhMM a écrit:
Vulgairement : "Ensemble" est une structure. Une boîte bordélique, si tu préfères. Dès que tu mets des objets en vrac dans une boite, c'est un ensemble.
Par exemple, tu as l'ensemble des droites du plan.
L'ensemble des fonctions continues.
L'ensemble vide (la boite, mais il n'y a rien dedans).
Etc.

Plus perturbant : l'ensemble des ensembles est un ensemble, et en plus on peut démontrer qu'il n'est pas vide puisqu'il contient l'ensemble vide

Encore faut-il démontrer qu'il existe.

Cf. plus haut.

Ah oui, je n'avais pas remonté le fil assez haut... My bad.
M'apprendra à flemmarder, tiens...

Merci pour les réponses.

Je conçois que ma remarque sur le paradoxe de Berry était sans doute parfaitement idiote. Mon niveau de mathématiques, honteux, est celui du bac L de 2003, en ayant arrêté depuis... Ce qui est sans doute en-dessous du niveau moyen national... Et le passage par le signifiant du nombre en langue naturelle me déboussole un peu je crois.

Est-ce que l'existence de tous ces monstres mathématiques n'est pas un obstacle à la vie contemplative ? C'est très angoissant tout ça... Et faut-il y voir des arguments pour penser que le principe de non-contradiction est problématique ? Peut-être faut-il s'en tenir à la théologie si logique et mathématiques sont non seulement incertaines mais même contradictoires...

Parménide a écrit: Il y a d'ailleurs des rumeurs à ma fac disant qu'il était presque impossible aujourd'hui d'avoir un concours de philosophie sans avoir derrière soi une licence de maths. J'essaie de me persuader qu'il s'agit d'une ineptie totale, mais j’avoue que parfois... surtout quand on lit certains rapports de jury...

Aiôn a écrit:@Parménide : Il s'agit d'une inéptie totale.

En effet, c'est complètement faux. Mais on peut le regretter. Jusqu'aux années... 1970 ? (je ne sais plus exactement), il fallait, pour s'inscrire à l'agrégation de philosophie, avoir validé quelques UV de licence (UV, ancêtres des UE) dans une discipline scientifique (en pratique j'imagine que ça se limitait à mathématiques, physique ou biologie). C'était une excellente chose et je trouve extrêmement regrettable que ce ne soit plus le cas.

Leibniz disait que les bons mathématiciens sont nécessairement philosophes, et que les bons philosophes sont nécessairement mathématiciens. Surprenant de voir que ce thread a tourné a l'étude de la théorie des ensembles !

Aiôn a écrit:Est-ce que l'existence de tous ces monstres mathématiques n'est pas un obstacle à la vie contemplative ?

Je serais tenté de dire : au contraire. Les paradoxes mettent en exergue une profondeur cachée de la notion même de vérité, des recoins, des questions, qui poussent la réflexion plus loin. Par exemple : et si on considérait un tiers (non exclus, donc) ?

Mezziaz a écrit:Leibniz disait que les bons mathématiciens sont nécessairement philosophes, et que les bons philosophes sont nécessairement mathématiciens. Surprenant de voir que ce thread a tourné a l'étude de la théorie des ensembles !

Pas tant que cela. Je songe que toute question fondamentale (par exemple le bonheur) pose la question de la vérité, qui est très activement questionnée par la théorie des ensembles.

Mezziaz a écrit:Leibniz disait que les bons mathématiciens sont nécessairement philosophes, et que les bons philosophes sont nécessairement mathématiciens. Surprenant de voir que ce thread a tourné a l'étude de la théorie des ensembles !

Quel bon sens ce Leibniz.

Anaxagore a écrit:

Mezziaz a écrit:Leibniz disait que les bons mathématiciens sont nécessairement philosophes, et que les bons philosophes sont nécessairement mathématiciens. Surprenant de voir que ce thread a tourné a l'étude de la théorie des ensembles !

Quel bon sens ce Leibniz.

N'est-ce pas.
C'est pas comme Newton.

Et paf, ça c'est gratuit.

Aiôn a écrit:Merci pour les réponses.

Je conçois que ma remarque sur le paradoxe de Berry était sans doute parfaitement idiote.

Il n'y a pas de question idiote.

JPhMM a écrit:

Anaxagore a écrit:

Mezziaz a écrit:Leibniz disait que les bons mathématiciens sont nécessairement philosophes, et que les bons philosophes sont nécessairement mathématiciens. Surprenant de voir que ce thread a tourné a l'étude de la théorie des ensembles !

Quel bon sens ce Leibniz.

N'est-ce pas.
C'est pas comme Newton.

Et paf, ça c'est gratuit.

Pas tant que ça : action à distance. Franchement.

PauvreYorick a écrit:

JPhMM a écrit:

Anaxagore a écrit:

Mezziaz a écrit:Leibniz disait que les bons mathématiciens sont nécessairement philosophes, et que les bons philosophes sont nécessairement mathématiciens. Surprenant de voir que ce thread a tourné a l'étude de la théorie des ensembles !

Quel bon sens ce Leibniz.

N'est-ce pas.
C'est pas comme Newton.

Et paf, ça c'est gratuit.

Pas tant que ça : action à distance. Franchement.

Quelle gravité dans le propos.

PauvreYorick a écrit:

JPhMM a écrit:

Anaxagore a écrit:

Mezziaz a écrit:Leibniz disait que les bons mathématiciens sont nécessairement philosophes, et que les bons philosophes sont nécessairement mathématiciens. Surprenant de voir que ce thread a tourné a l'étude de la théorie des ensembles !

Quel bon sens ce Leibniz.

N'est-ce pas.
C'est pas comme Newton.

Et paf, ça c'est gratuit.

Pas tant que ça : action à distance. Franchement.

Tiens. J'ai commandé le nouveau livre sur la théorie des ensembles chez Calvage et Mounet au Père Noël.