question de notation de dérivée.

J'ai une question toute simple.  Mon fils en 1S a 2.5 points de moins sur un DS, simplement parce qu'il a écrit:

f'(a) = lim_{h-> 0}  ( f(a+h) - f(a) ) / h

pour une fonction donnée.  Puis il a fait le calcul, pour arriver au bon résultat.

Le prof a barré le f'(a), et à indiqué en bas: ... et donc ....

Je suppose, mais mon fils ne pouvait pas me le confirmer, qu'il s'agit d'une maniaquerie du genre que l'expression limite va ensemble avec un nombre qui est supposé être la limite, c.a.d.:

lim_{h->0} (f(a+h) - f(a)) / h

tout seul n'est pas une expression valable, mais: lim_{h->0} (f(a+h) - f(a)) / h  = b
est une sorte de formulation qui fait un tout.

Est-ce que cette maniaquerie est généralement appliquée ou est-ce un petit abus du prof de mon gamin ?

Je trouve cela de toute façon idiot, pour deux raisons:
1) comme la notion de limite même n'est plus au programme, de toute façon la dérivée n'a plus une base rigoureuse en 1S, et n'est qu'un outil de calcul.  La notation lim_{x->a} f(x) = b fait un ensemble dans la définition epsilon-delta de la limite, mais comme celle-ci n'est plus au programme, cette notation en soi n'a plus d'existence rigoureuse dans le programme.

2) si on veut vraiment creuser, comme une topologie séparable implique qu'une limite, quand elle existe, est unique, la notation:

lim_{x->a} f(x)

prend bien l'aspect d'une fonction de a, non ?

Dans une topologie non-séparable, cette notation est ambiguë, car il peut y avoir plusieurs éléments (disons b et c) qui satisfont:

lim_{x->a} f(x)  = b

et

lim_{x->a} f(x)  = c

où b et c sont différents.

Ce cas de figure n'est pas possible dans une topologie séparable, car à un certain moment, l'environnement de b sera différent de celui de c par définition.  

Mais honnêtement, en 1S ils n'en sont plus à considérer des topologies non-séparables (moi, dans mon temps, en 1S j'ai bien eu cette notion de mon prof, on a même considéré des topologies sur des ensembles finis, mais ces temps-là sont bien révolus).

Une topologie naturelle sur un espace métrique étant toujours séparable (car par définition on ne peut pas avoir d(a,b) = 0 avec a et b différent), il en suit bien que dans les espaces qu'on considère en 1S, la notation:

lim_{x->a} f(x)

est bien définie et unique là où la limite existe.

Ainsi, il n'est pas plus faux d'écrire:

f'(a) = lim_{h-> 0}  ( f(a+h) - f(a) ) / h

que d'écrire: f(x) = 1/x  (car comme la multiplication sur R est un groupe, l'élément inverse est aussi bien défini et unique sauf en 0),  ou d'écrire f(x) = sqrt(x)  (car la solution positive de sqrt(y)^2 = x est aussi bien définie et unique quand x est positif), et que de toute façon, cette notation a perdu toute sa rigueur dans les nouveaux programmes, non ?

Il a certainement barré car une fois que l'on a prouvé que le taux d'accroissement en a a une limite et qu'elle est finie, on peut affirmer que f est dérivable en a et alors on peut designer par f'(a) cette valeur. Pas avant.

Si je comprends bien les profs de maths sont maniaques et les profs de physique peu rigoureux ? (je suis déjà sorti...)

Un mathématicien, un physicien et un ingénieur voyagent à travers l'Ecosse et voient un mouton noir par la fenêtre du train.
"Aha," dit l'ingénieur, "je vois que les moutons écossais sont noirs."
"Hmm," dit le physicien, "tu veux dire que certains moutons écossais sont noirs."
"Non," dit le mathématicien, "tout ce qu'on sait est qu'il y a au moins un mouton en Ecosse, et qu'au moins un côté de ce mouton est noir !"

Anaxagore a écrit:Il a certainement barré car une fois que l'on a prouvé que le taux d'accroissement en a a une limite et qu'elle est finie, on peut affirmer que f est dérivable en a et alors on peut designer par f'(a) cette valeur. Pas avant.

Ah, c'est donc général. Mais, comme j’argumente ci-dessus, c'est idiot. Enfin, je lui expliquerai cela.

Car c'est la même chose pour, disons, sqrt(x), ou 1/x hein.

Cela voudrait dire qu'on ne peut pas écrire:

f(x) = 5/(x - 3) car cette expression n'existe pas en x = 3. On ne pourrait donc, si on suit le même raisonnement, écrire que f(x) = 5/(x-3) en, disons, x = 8, avant d'avoir démontré que 5/(8 - 3) existe. Pourtant, on ne se gène pas d'assigner l'expression formelle 5/(x-3) à une notation fonctionnelle, f(x) avant d'avoir étudié son domaine d'existence non ?

Cela voudrait aussi dire qu'on n'a pas le droit d'écrire:

f(x) = sqrt(x - 3), avant d'avoir étudié le domaine d'existence de sqrt(x-3), car cette expression n'existe pas en x < 3. Pourtant, on l'écrit sans problèmes, non ? On voit beaucoup d'exercices du genre:

f(x) = sqrt(x-3), trouver le domaine de définition de f(x). Cela veut bien dire qu'on peut assigner formellement une expression à une notation fonctionnelle, avant d'avoir déterminé où celle-ci a un sens.

Je ne vois donc pas en quoi il est différent d'écrire:

f(x) = sqrt(x - 3), et ENSUITE de considérer où cette expression est bien définie (à savoir, pour x >= 3) que d'écrire:

g(a) = lim_{h-> 0} ( f(a+h) - f(a) ) / h

(comme fonction de a)

et ensuite de considérer où cette expression est bien définie (c.a.d. où la limite existe, et est (donc) unique).

Imaginons un problème du genre:
"Nous avons un carré de coté u, qui a une surface S telle que cette surface S, ajoutée à la surface d'un carré de coté 5, est égale à T.
a) Est-ce qu'un tel carré existe pour T = 300 ? Combien est u ?
b) Est-ce qu'un tel carré existe pour T = 20 ? Combien est u ?".

Je ne vois pas ce qui est mal à écrire:

S = T - 5^2 ;

u(T) = sqrt(S) = sqrt(T - 25)

Le domaine de définition de u(T) se limite à T >= 25.

a) Ainsi, u(300) = sqrt(300 - 25) = sqrt(275)

b) u(20) n'existe pas, car l'argument de u, 20, est en dehors de son domaine de définition.

Mais quand on change "sqrt(T - 25)" en lim_{h->0} (f(x+T) - f(T)) / h soudain, cette façon naturelle d'écrire une fonction comme une expression, et d'investiguer ensuite où cette expression est bien définie, devient "haram" ?

Une limite qui n'existe pas n'est quand-même pas plus bizarre qu'une racine carré ou un inverse qui n'existe pas ? Ça n'empêche quand-même pas d'assigner cette expression à une notation de fonction f(a), pour constater en suite que, comme l'expression n'est pas définie en a, ben, simplement, a n'appartient simplement pas au domaine de définition de f ?

Pourquoi cette attitude différente entre des expressions algébriques qui sont parfois définis et parfois pas, mais qu'on assigne quand-même formellement à une notation fonctionnelle, et une expression de limite, où soudain, cela devient interdit ?

Ça veut dire que l'on ne parle pas d'un objet avant d'avoir prouvé qu'il existe.

Tamerlan a écrit:Si je comprends bien les profs de maths sont maniaques et les profs de physique peu rigoureux ? (je suis déjà sorti...)

C'est une fausse rigueur.  Mais au moins, je vois que ce que fait le prof de math de mon gamin n'est pas spécial, il suit ce qui semble être l'habitude.

La fausse rigueur semble venir du démantèlement des programmes de math, où les maths dans le secondaire ne sont plus un système rigoureux formel, mais sont un ensemble de techniques avec un peu de raisonnement intuitif et de bon sens, pour résoudre des problèmes.  Quelque part, on peut dire que les maths dans le secondaire sont retournés dans l'attitude pré-Euclidienne, où l'on savait des choses, des techniques et des "théorèmes", mais où il n'y avait pas un système cohérent, axiomatique qui tient tout ensemble.  Ma foi, on peut le regretter, mais c'est comme ça.

Seulement, de cette époque révolue, où toutes les notions avaient un sens extrêmement bien défini et réellement rigoureux, sont restées ce qui semble être des maniaqueries, car avec les notions intuitives, utilitaires et strictement mal définies qui sont enseignés aux élèves aujourd'hui (mais qui conviennent largement pour développer une intuition suffisante pour les utiliser comme outils pour résoudre des problèmes), ces exigences sont totalement arbitraires et dépourvues de sens logique.

Comme la notion de fonction même, à savoir un sous-ensemble de l'ensemble des couples de A x B tel que le premier élément de chaque couple (donc de A) n'apparaît au plus une seule fois, n'est plus introduite formellement, et qu'on fait vaguement évoluer la notion de fonction à partir d'expression de calcul "avec des lettres", la distinction entre une expression formelle (qui peut, ou non, avoir un sens) et le concept de fonction (sous-ensemble de AxB) est laissé très vague.
Alors aller pinailler de façon arbitraire sur quelles expressions sont acceptables dans une notion fonctionnelle et non est une maniaquerie, et non de la rigueur.

Une application contient en elle-même son ensemble de départ. Une application est un triplet (E, F, Gamma) où Gamma est le graphe. E est son ensemble de depart.

Le reste, ce sont des abus.

Anaxagore a écrit:Ça veut dire que l'on ne parle pas d'un objet avant d'avoir prouvé qu'il existe.

Je me demande si tu te rends compte de la difficulté philosophique dans laquelle tu te mets là
Il est très difficile de prouver l'existence d'un objet dont on ne peut pas parler

Il y a des objets dont l'existence ne fait pas de doute.

Zarathustra a écrit:

Anaxagore a écrit:Ça veut dire que l'on ne parle pas d'un objet avant d'avoir prouvé qu'il existe.

Je me demande si tu te rends compte de la difficulté philosophique dans laquelle tu te mets là
Il est très difficile de prouver l'existence d'un objet dont on ne peut pas parler

Mathématiquement on peut en parler en supposant qu'il existe au début du raisonnement.

Je te réponds rapidement entre deux cours. Il me semble que tu as saisi l'idée même si j'ai pris des raccourcis langagiers.

Quand on écrit une expression algébrique, on est censé l'écrire pour les valeurs de x pour lesquelles elle a un sens.

Au collège, on rencontre régulièrement des raisonnement erronés de ce type avec une mauvaise utilisation de la réciproque de Pythagore.

Anaxagore a écrit:Une application contient en elle-même son ensemble de départ. Une application est un triplet (E, F, Gamma) où Gamma est le graphe. E est son ensemble de depart.

Le reste, ce sont des abus.

Dans le temps, je me souviens qu'on faisait une distinction entre une application, et une fonction. Une application f: A -> B contenait, pour tout élément a de A, exactement un couple de la forme (a,x). Une fonction f: A -> B contenait, pour tout élément a de A, AU PLUS un seul couple de la forme (a,x), mais il pouvait aussi ne pas y être. C'est un peu du coté départ, ce qui était coté arrivée la distinction entre une bijection et une injection: une bijection f: A -> B était tel que pour tout élément b de B, il y avait exactement un couple de la forme (x,b) dans f, tandis qu'une injection était tel que pour tout élément b de B, il y avait AU PLUS un couple de la forme (x,b).

En soi, une fonction n'est donc pas un triplet E, F, gamma, mais est juste un ensemble de couples. L'ensemble des "premiers éléments" de chaque couple forme le domaine, D ; L'ensemble des "deuxièmes éléments" de chaque couple forme l'image, I.

Ainsi, pour toute fonction, f: D -> I est une application de D en I. Mais si on a envie d'éteindre D à un ensemble plus grand A, et d'éteindre I à un ensemble plus grand, B, on peut aussi dire f: A -> B, mais ce n'est plus une application, mais une fonction de A en B.

S'il existe une relation formelle qui est satisfaite pour tout couple (x,y) appartenant à f, c.a.d. que pour tout couple (x,y), il existe une formule tel que y = < formule en x > alors on peut écrire f(x) comme cette formule.

Par exemple, si f = {(1,1), (2,1/2), (3,1/3)}, on peut écrire: f(x) = 1/x, le domaine est {1,2,3}, l'image est {1,1/2,1/3} et f est une application de {1,2,3} en {1,1/2,1/3}.
f est alors aussi une fonction de R en R. La prescription formelle reste 1/x, mais elle reste limitée aux valeurs de x dans le domaine.

Notez que f est entièrement défini comme ensemble de couples. Tout le reste s'en déduit.

Mais on en n'est pas là. Tout ça, ce n'est pas vu.

La question consiste entre assigner une expression formelle à une expression fonctionnelle, ou non. C.a.d.: est-ce que je peux écrire l'assignation formelle:

f(x) = sqrt(x - 3)

et utiliser cette expression formelle ensuite pour déterminer l'application "maximale" f (c.a.d. trouver le domaine le plus grand imaginable qui va avec) ;

Ou va-t-on crier au feu parce qu'on assigne une expression formelle dont on n'a pas encore défini le domaine ?

Alors aller pinailler de façon arbitraire sur quelles expressions sont acceptables dans une notion fonctionnelle et non est une maniaquerie, et non de la rigueur.

L'objet de l'exercice de ton fils est de montrer que f'(a) peut être défini d'après ce que je comprends. Si l'objet de l'exercice est "un pinaillage", alors évidemment...

Je crois que n'est pas le pinailleur qui croit.

Et sa rédaction serait pas plus acceptable en des temps plus bourbakistes. Au contraire, c'est précisément pour des raisons bourbakistes qu'elle ne l'est pas.

Anaxagore a écrit:Il y a des objets dont l'existence ne fait pas de doute.

Oui, je sais. Moi.

Zarathustra a écrit:

Anaxagore a écrit:Une application contient en elle-même son ensemble de départ. Une application est un triplet (E, F, Gamma) où Gamma est le graphe. E est son ensemble de depart.

Le reste, ce sont des abus.

Dans le temps, je me souviens qu'on faisait une distinction entre une application, et une fonction.  Une application f: A -> B contenait, pour tout élément a de A, exactement un couple de la forme (a,x).  Une fonction f: A -> B contenait, pour tout élément a de A, AU PLUS un seul couple de la forme (a,x), mais il pouvait aussi ne pas y être.  C'est un peu du coté départ, ce qui était coté arrivée la distinction entre une bijection et une injection: une bijection f: A -> B était tel que pour tout élément b de B, il y avait exactement un couple de la forme (x,b) dans f, tandis qu'une injection était tel que pour tout élément b de B, il y avait AU PLUS un couple de la forme (x,b).

En soi, une fonction n'est donc pas un triplet E, F, gamma, mais est juste un ensemble de couples.   L'ensemble des "premiers éléments" de chaque couple forme le domaine, D ; L'ensemble des "deuxièmes éléments" de chaque couple forme l'image, I.

Ainsi, pour toute fonction, f: D -> I est une application de D en I.  Mais si on a envie d'éteindre D à un ensemble plus grand A, et d'éteindre I à un ensemble plus grand, B, on peut aussi dire f: A -> B, mais ce n'est plus une application, mais une fonction de A en B.

S'il existe une relation formelle qui est satisfaite pour tout couple (x,y) appartenant à f, c.a.d. que pour tout couple (x,y), il existe une formule tel que y = < formule en x > alors on peut écrire f(x) comme cette formule.

Par exemple, si f = {(1,1), (2,1/2), (3,1/3)}, on peut écrire: f(x) = 1/x, le domaine est {1,2,3}, l'image est {1,1/2,1/3} et f est une application de {1,2,3} en  {1,1/2,1/3}.
f est alors aussi une fonction de R en R.  La prescription formelle reste 1/x, mais elle reste limitée aux valeurs de x dans le domaine.

Notez que f est entièrement défini comme ensemble de couples.  Tout le reste s'en déduit.

Mais on en n'est pas là.  Tout ça, ce n'est pas vu.  

La question consiste entre assigner une expression formelle à une expression fonctionnelle, ou non.  C.a.d.: est-ce que je peux écrire l'assignation formelle:

f(x) = sqrt(x - 3)

et utiliser cette expression formelle ensuite pour déterminer l'application "maximale" f (c.a.d. trouver le domaine le plus grand imaginable qui va avec) ;

Ou va-t-on crier au feu parce qu'on assigne une expression formelle dont on n'a pas encore défini le domaine ?

La distinction fonction/application me convient parfaitement. Telles que les notions sont définies dans Bourbaki, chantre de la rigueur que tu regrettes, si tu changes E ou F, tu changes la fonction/l'application.

[quote="Anaxagore"]

L'objet de l'exercice de ton fils est de montrer que f'(a) peut être défini d'après ce que je comprends. Si l'objet de l'exercice est "un pinaillage", alors évidemment...

Je crois que n'est pas le pinailleur qui croit.

On pinaille sur une *notation*. Pas sur l'exercice de déterminer si la dérivée est bien définie ou non, mais sur la notation. J'ai essayé de faire le parallèle avec une notation algébrique, mais je n'ai visiblement pas réussi à faire passer ce qui coince.

Il y a des exercices où l'on demande:

"considérez f(x) = sqrt(x - 3) ; est-ce que 2 fait parti du domaine de f ?"

Personne ne saute au ciel parce qu'on a osé écrire une forme formelle de f(x) avant de savoir si dans le point qui nous intéresse, x = 2, cette expression formelle est bien définie.

On peut donc très bien écrire: f(2) = sqrt(2 - 3) = sqrt(-1), mais comme sqrt() n'est pas définie pour -1, f(2) n'est donc pas définie, et 2 ne fait donc pas partie du domaine de f.

Ou:
"considérez la fonction g(x) = (x^2 + 5)/(x-6). Est-ce que g est défini en 6 ?"

La réponse est: g(6) = (36 + 5)/(6 - 6) = (36 + 5)/0, mais comme l'élément inverse de 0 n'existe pas, cette expression est mal définie, et donc, g(x) n'est pas définie en 6.

Je crois qu'il n'y pas de problème à écrire ce que je viens de faire, non ?

Alors, on peut aussi bien dire:

f'(a) = lim_{h->0} (f(a+h) - f(a))/h

Si on demande si f'(2) existe, il faut donc écrire f'(2) = lim_{h->0} (f(2+h) - f(2)) / h

Quand on essaie de trouver ce qu'est cette limite, et elle n'existe pas, c'est comme si on était tombé sur un (36 + 5)/0 ou un sqrt(-1), et donc, la conclusion est bêtement que f'(2) n'existe pas, et que 2 ne fait donc pas partie du domaine de f'(a).

Je ne vois pas la différence entre écrire f(2) = sqrt(-1) qui n'existe pas, et f'(2) = une limite qui n'existe pas, pour arriver dans les deux cas à la conclusion que 2 n'est pas un élément du domaine de f, resp. de f'.

Maintenant, il y en a peut-être qui vont hurler si on écrit "sqrt(-1) n'existe pas" ou "(36 + 5)/0 n'existe pas".
Mais la forme formelle d'une fonction n'est que une relation qui s'avère satisfaite entre les premiers et les deuxièmes éléments des couples qui forment cette fonction.
Quand la seule chose qu'on *détient* de la fonction, c'est cette expression formelle, il faut bien l'appliquer au candidat du domaine, et voir comment il s'exprime formellement, même s'il n'est pas bien défini, pour constater qu'il n'est pas bien défini, hein.

Quand tu réfléchis au domaine maximal sur lequel une fonction pourrait être définie, c'est que tu ne l'as pas encore définie.

Je n'ai pas lu dans le détail les tirades de Zarathustra, mais je crois que ce qui été sanctionné ici ce n'est pas d'avoir écrit quelque chose comme :
g(a) = lim_{h-> 0} ( f(a+h) - f(a) ) / h
mais d'avoir écrit :
f'(a) = lim_{h-> 0}  ( f(a+h) - f(a) ) / h
Bon, je sais, la nuance peut paraître insignifiante, mais l'idée c'est que dès lors qu'on écrit f'(a) cela sous-entend que le nombre dérivé de f en a existe.
Effectivement, il pourrait y avoir plus ou moins le même problème avec l'écriture g(a) sauf si on fait la distinction entre fonction et application qui apparemment était une exception culturelle française (mais je ne sais plus trop à quel stade en est le débat sur cette convention, et de toute manière la nuance est hors de portée d'un lycéen actuel).
Dans le cas présent, je suppose que la question était "étudier la dérivabilité de la fonction f en a", ce qui exige de démontrer cette dérivabilité ; commencer alors par écrire f'(a) revient implicitement à admettre la dérivabilité de f en a et donc à commettre, sinon une véritable erreur de raisonnement, au moins une grosse faute de rédaction.
Pour conclure, si les 2,5 points ont vraiment été enlevés uniquement pour ça (n'y a-t-il pas une autre erreur ?), alors je dirais que ce professeur a bien de la chance de pouvoir maintenir un tel niveau d'exigence car moi je n'ose quasiment plus poser ce type de question en DS et, les rares fois où je m'y risque, le total des points de cette question ne dépasse pas 1,5 point car je sais d'avance que je n'aurais dans le meilleur des cas pas plus que quatre ou cinq élèves qui arriveront à en obtenir la moitié.

Écrire g(a) ne change rien, si la limite n'existe pas, difficile de donner un sens à l'égalité.
Quant à juger le professeur, je ne sais pas le cours qu'il a fait. Moi, je ne sanctionnerait pas cette écriture par une baisse de note, MAIS si dans son cours il a fortement insisté sur ce point de rigueur et qu'il a bien dit qu'il ne fallait pas faire cela, on peut penser que le élèves étaient attendus au tournant.

En ce moment, je parle de vecteurs et il y a des rédactions fausses que j'ai signalées en cours et je me réserve le droit de sanctionner les  "preuves" plus ou moins bancales, les élèves sont prévenus. Il est fort possible que sur une copie hors contexte quelqu'un trouve que j'ai eu la main lourde sur un détail (qui faisait partie des exigences du devoir, les élèves étant prévenus)
Une notation doit toujours pour moi s'interpréter dans le contexte d'une progression de cours, et l'absence de mémoire, la distraction et la mauvaise foi des élèves est sans limite.

Quant à dire que cela relève d'un niveau stratosphérique, je ne suis pas tout à fait d'accord, on peut rentrer en effet dans LE cas précis , mais (et je pense que c'est le plus vraisemblable) on peut insister sur le fait qu'en maths on ne nomme pas un objet sans avoir prouvé qu'il existe. On ne parle pas du point A intersection de d et d' sans savoir si cette intersection existe!!! (sauf raisonnement par l'absurde clairement identifié)

Zarathustra a écrit:

Anaxagore a écrit:L'objet de l'exercice de ton fils est de montrer que f'(a) peut être défini d'après ce que je comprends. Si l'objet de l'exercice est "un pinaillage", alors évidemment...

Je crois que n'est pas le pinailleur qui croit.

On pinaille sur une *notation*.  Pas sur l'exercice de déterminer si la dérivée est bien définie ou non, mais sur la notation.  J'ai essayé de faire le parallèle avec une notation algébrique, mais je n'ai visiblement pas réussi à faire passer ce qui coince.

Il y a des exercices où l'on demande:

"considérez f(x) = sqrt(x - 3) ; est-ce que 2 fait parti du domaine de f ?"

Personne ne saute au ciel parce qu'on a osé écrire une forme formelle de f(x) avant de savoir si dans le point qui nous intéresse, x = 2, cette expression formelle est bien définie.

On peut donc très bien écrire: f(2) = sqrt(2 - 3) = sqrt(-1), mais comme sqrt() n'est pas définie pour -1, f(2) n'est donc pas définie, et 2 ne fait donc pas partie du domaine de f.

Ou:
"considérez la fonction g(x) = (x^2 + 5)/(x-6).  Est-ce que g est défini en 6 ?"

La réponse est: g(6) = (36 + 5)/(6 - 6)  = (36 + 5)/0, mais comme l'élément inverse de 0 n'existe pas, cette expression est mal définie, et donc, g(x) n'est pas définie en 6.

Je crois qu'il n'y pas de problème à écrire ce que je viens de faire, non ?

Alors, on peut aussi bien dire:

f'(a) = lim_{h->0} (f(a+h) - f(a))/h

Si on demande si f'(2) existe, il faut donc écrire f'(2) = lim_{h->0} (f(2+h) - f(2)) / h

Quand on essaie de trouver ce qu'est cette limite, et elle n'existe pas, c'est comme si on était tombé sur un (36 + 5)/0 ou un sqrt(-1), et donc, la conclusion est bêtement que f'(2) n'existe pas, et que 2 ne fait donc pas partie du domaine de f'(a).

Je ne vois pas la différence entre écrire f(2) = sqrt(-1) qui n'existe pas, et f'(2) = une limite qui n'existe pas, pour arriver dans les deux cas à la conclusion que 2 n'est pas un élément du domaine de f, resp. de f'.

Maintenant, il y en a peut-être qui vont hurler si on écrit "sqrt(-1) n'existe pas" ou "(36 + 5)/0 n'existe pas".
Mais la forme formelle d'une fonction n'est que une relation qui s'avère satisfaite entre les premiers et les deuxièmes éléments des couples qui forment cette fonction.
Quand la seule chose qu'on *détient* de la fonction, c'est cette expression formelle, il faut bien l'appliquer au candidat du domaine, et voir comment il s'exprime formellement, même s'il n'est pas bien défini, pour constater qu'il n'est pas bien défini, hein.

Comme n'importe quel prof de maths, je vais hurler qu'il ne faut pas écrire (36 + 5)/0 car le nombre 41/0 n'existe pas (une rédaction correcte aurait été par exemple d'écrire que "puisque g(x) = (x^2 + 5)/(x-6) et que 6-6=0 alors g n'est pas définie en 6").

Je crois que la difficulté réside dans un implicite lié au statut de la lettre : lorsqu'on écrit "soit f la fonction définie f(x) = sqrt(x - 3)" cela sous-entend "pour toutes les valeurs (re-sous-entendues "réelles") de x pour lesquelles cette expression a un sens".
Mais dès lors qu'on fixe une valeur précise à ce x et que cette valeur tombe hors du domaine de  définition - par exemple si on écrit g(6) dans l'exemple précédent - alors cette notation n'a plus aucun sens et on a commis une erreur de rédaction, voire de raisonnement si on est un peu tatillon.
Plus subtil :
- écrire "soit f la fonction définie par f(x) = sqrt(x - 3)" est correct en vertu de l'implicite mentionné ci-dessus ;
- mais écrire "soit x un nombre réel, on pose f(x) = sqrt(x - 3)" pose problème car cela sous-entend que l'expression "sqrt(x - 3)" a un sens pour n'importe quel nombre réel x, ce qui est évidemment faux.

Balthazaard a écrit:Écrire g(a) ne change rien, si la limite n'existe pas, difficile de donner un sens à l'égalité.
Quant à juger le professeur, je ne sais pas le cours qu'il a fait. Moi, je ne sanctionnerait pas cette écriture par une baisse de note, MAIS si dans son cours il a fortement insisté sur ce point de rigueur et qu'il a bien dit qu'il ne fallait pas faire cela, on peut penser que le élèves étaient attendus au tournant.

En ce moment, je parle de vecteurs et il y a des rédactions fausses que j'ai signalées en cours et je me réserve le droit de sanctionner les  "preuves" plus ou moins bancales, les élèves sont prévenus. Il est fort possible que sur une copie hors contexte quelqu'un trouve que j'ai eu la main lourde sur un détail (qui faisait partie des exigences du devoir, les élèves étant prévenus)
Une notation doit toujours pour moi s'interpréter dans le contexte d'une progression de cours, et la mémoire, la distraction et la mauvaise foi des élèves est sans limite

Voilà. Si, du jour au lendemain, il me prenait la lubie d'enlever 2,5 points pour cette erreur, je comprendrais que mes élèves se plaignent d'un revirement aussi brusque ; mais si ce professeur a insisté sur cet écueil en cours, alors sa notation est parfaitement légitime. Et je le répète, il a bien de la chance de pouvoir consacrer du temps et de l'énergie à une telle nuance ; dans mon lycée, nous avons tous dû renoncer à ce genre d'exigence car une réponse correcte avec uniquement l'erreur mentionnée ici serait chez nous une grande victoire.

Moonchild a écrit:Je n'ai pas lu dans le détail les tirades de Zarathustra, mais je crois que ce qui été sanctionné ici ce n'est pas d'avoir écrit quelque chose comme :
g(a) = lim_{h-> 0} ( f(a+h) - f(a) ) / h
mais d'avoir écrit :
f'(a) = lim_{h-> 0}  ( f(a+h) - f(a) ) / h
Bon, je sais, la nuance peut paraître insignifiante, mais l'idée c'est que dès lors qu'on écrit f'(a) cela sous-entend que le nombre dérivé de f en a existe.

Ah, c'est donc là qu'on "boucle".  C'est toute la distinction entre une expression formelle (qui peut, ou non, avoir un sens pour un paramètre donné) et un objet mathématique, qui lui, existe bien sûr bel et bien.  Mais cette distinction est rendue complètement floue dans les programmes actuels.  

Quand on écrit: g(x) = 1/(x - 5), on ne fait qu'assigner une expression formelle, c.a.d. g(x) est maintenant "la formule", ou même, "l'algorithme": "prend ce qu'on te donne comme x, soustrais 5.  Trouve l'inverse de ce nombre".  

g, considéré comme fonction (c.a.d. ensemble de couples), n'est plus défini en tant que tel au lycée (à ce que je comprends).  Donc, dans la mesure où l'on parle de "fonction" au lycée, on veut en fait dire "l'expression formelle, là où elle marche".

De la même façon, on peut considérer la dérivée.  La dérivée, c'est "le truc avec la limite, là où ça marche".  Ici, c'est encore plus évident, puisque le concept de limite même est un concept flou, car jamais introduit formellement au programme du lycée actuel.

Alors, f'(a) est un truc formel, à savoir, limite de h->0 pour l'expres​sion(f(a+h) - f(a))/h, et par la "fonction dérivée" on entend cette expression formelle, là où ça marche.

Effectivement, il pourrait y avoir plus ou moins le même problème avec l'écriture g(a) sauf si on fait la distinction entre fonction et application qui apparemment était une exception culturelle française

J'ai eu mon enseignement dans une autre langue, et c'était la même distinction.... (je ne suis pas francophone d'origine).

Dans le cas présent, je suppose que la question était "étudier la dérivabilité de la fonction f en a", ce qui exige de démontrer cette dérivabilité ; commencer alors par écrire f'(a) revient implicitement à admettre la dérivabilité de f en a et donc à commettre, sinon une véritable erreur de raisonnement, au moins une grosse faute de rédaction.

C'est étrange qu'on considère qu'écrire f'(a) implique son existence, mais écrire lim_{h->0} (f(a+h) - f(a))/h n'implique pas l'existence de la limite, hein.   On a ici exactement le genre de "purisme mal placé" que je dénonce.  On ne peut pas PROUVER l'existence d'un objet mathématique sans donner un nom à l'objet dont on veut parler.  On se fait du mal pour rien.  

Je ne vois pas la différence entre:

1) l'écriture formelle f'(a) = lim_{h->0} (f(a+h) - f(a))/h  
(qui peut très bien ne pas exister pour a = 2)

2) l'écriture formelle f(x) = sqrt(x - 3)
(qui n'existe pas pour x = 2)

3) l'équation x^2 + 3 = 0
(qui n'a pas de solution pour x)

Ce sont des expressions formelles, et il faut de la manipulation pour voir si elles correspondent à un objet mathématique.  Mais il n'y a rien de mal à manipuler des expressions formelles, surtout dans la preuve même de l'existence (ou du contraire).

En fait, par détournement, on joue un petit jeu "hypocrite" en ne pas vouloir considérer une expression formelle qui n'implique pas l'existence d'un objet mathématique, et là où on le chasse par la porte, ça revient par la fenêtre. Car il faut bien donner un nom au truc qui n'existe pas pour pouvoir montrer qu'il n'existe pas.  Ce "nom" est une expression formelle, forcément mal formée, mais dont on n'a pas encore VU qu'elle était mal formée.

Comme je disais déjà, strictement parlé, on pourrait même pas écrire x^2 + 3 = 0, car il n'existe pas un objet, représenté par x, tel que cette relation tient (en R, bien entendu).  Mais pour s'en assurer, il faut bien manipuler cette expression avec un objet, x, qui n'existe pas !

Ainsi, écrire f(x) = sqrt(x-3), il faut bien manipuler l'expression pour constater que pour x = 2, ça ne fonctionne pas.

Pour conclure, si les 2,5 points ont vraiment été enlevés uniquement pour ça (n'y a-t-il pas une autre erreur ?), alors je dirais que ce professeur a bien de la chance de pouvoir maintenir un tel niveau d'exigence.

Je ne râle pas pour ces 2.5 points.  On s'en fout.   Mais il y a une contradiction entre le coté totalement "intuitif" et l'absence de vraie rigueur dans les programmes actuels, et des exigences (notés ou non) qui n'ont plus lieu d'être car ils n'ont plus aucune valeur logique dans le cadre des programmes actuels.  Imposer des interdits de notation, qui ne sont plus basées sur une déduction logique du pourquoi, c'est ce que j'appelle pinailler et de la fausse rigueur.

car moi je n'ose quasiment plus poser ce type de question en DS et, les rares fois où je m'y risque, le total des points de cette question ne dépasse pas 1,5 point car je sais d'avance que je n'aurais dans le meilleur des cas pas plus que quatre ou cinq élèves qui arriveront à en obtenir la moitié.

C'est le cas dans sa classe, d'ailleurs.  Je n'ai rien contre une grande exigence, mais il faut rester cohérent.  On ne peut pas exiger des choses sur des notations qui sont intuitives et floues car toutes les notions abstraites qui pourraient indiquer l'erreur logique ne font plus parti du programme.  La notion même de limite ne veut en fait rien dire pour les élèves.  Donc il faut arrêter de faire semblant qu'ils savent rigoureusement de quoi on parle.

On n'écrit pas quelque chose qui n'a pas de sens.

Lorsqu'on écrit lim c'est que l'on a par un théorème l'existence de la limite.

Moonchild a écrit:
Comme n'importe quel prof de maths, je vais hurler qu'il ne faut pas écrire (36 + 5)/0 car le nombre 41/0 n'existe pas (une rédaction correcte aurait été par exemple d'écrire que "puisque g(x) = (x^2 + 5)/(x-6) et que 6-6=0 alors g n'est pas définie en 6").
Je crois que la difficulté réside dans un implicite lié au statut de la lettre : lorsqu'on écrit "soit f la fonction définie f(x) = sqrt(x - 3)" cela sous-entend "pour toutes les valeurs (re-sous-entendues "réelles") de x pour lesquelles cette expression a un sens".
Mais dès lors qu'on fixe une valeur précise à ce x et que cette valeur tombe hors du domaine de  définition - par exemple si on écrit g(6) dans l'exemple précédent - alors cette notation n'a plus aucun sens et on a commis une erreur de rédaction, voire de raisonnement si on est un peu tatillon.
Plus subtil :
- écrire "soit f la fonction définie par f(x) = sqrt(x - 3)" est correct en vertu de l'implicite mentionné ci-dessus ;
- mais écrire "soit x un nombre réel, on pose f(x) = sqrt(x - 3)" pose problème car cela sous-entend que l'expression "sqrt(x - 3)" a un sens pour n'importe quel nombre réel x, ce qui est évidemment faux.

Oui, mais c'est cela que j'essaie de faire comprendre que c'est "hypocrite". Pour prendre l'exemple de g(x) = (x^2 + 5) / (x - 6), qui est une expression formelle, il faut bien "mettre 6 dedans" pour VOIR qu'on va diviser par 0. Pour ne pas écrire cette "horreur" de 41/0, alors on fait semblant de ne pas le faire, et on va regarder par quoi on divise, c'est (x-6), et là, on va mettre 6 dedans, et constater que c'est 0. Mais c'est exactement ce qu'on avait dit qu'on pouvait pas faire: "mettre dedans et constater qu'on a un 0 en bas". On prend le "morceau d'en bas, on met dedans, et on voit si ça donne 0", c'est exactement la même chose que "mettre dedans et voir si on a 0 en bas".

Ecrire "g(x) = u(x) / v(x), et g(0) est la division de u(0) par v(0) mais v(0) est 0, donc ça ne marche pas" n'est pas formellement différent de "g(0) = u(0)/v(0) = u(0)/0"

Car de toute façon, l'objet mathématique n'existe pas. g(0) n'existe pas. On peut donc pas écrire que g(x) = u(x)/v(x) pour x = 0. L'égalité n'avait déjà pas de sens. Donc tout ce qu'on fait avec cette expression n'est que formel de toute façon.

Eviter d'écrire "41/0" pour CONSTATER que ça ne marche pas, CAR il y a un 0 en bas, mais en même temps dire que le truc (qui n'existe pas!) serait la division de 41 par un truc qui devient 0, est hypocrite. On fait deux fois la même chose. On a une expression formelle, qui devient 0 en bas, et donc, qui ne se matérialise pas en un objet mathématique existant. L'expression formelle même n'a donc pas de sens, mais il faut bien la considérer, manipuler dessus comme si c'était le cas, pour s'en rendre compte. Ecrire "A/B est 41/0 donc ça ne marche pas, ou A est 41, et B est 0, donc A/B ne marche pas, est quand-même identique dans la démarche, non ?