question de notation de dérivée.

Zarathustra a écrit:Quand on écrit: f(x) = x^2/x, et on se demande si f(0) existe, il faut en fait se demander si l'expression formelle donnée, quand on va y substituer 0 pour x, donne des instructions de calcul qui sont exécutables.  On voit que, si on fait cela, on trouve les instructions "multipliez 0 avec 0, et divisez par 0".  On l'écrit comme 0^2/0.   Cette expression formelle existe en tant qu'expression formelle (elle est syntaxiquement correcte), mais elle implique une opération qui n'est pas exécutable: une division par 0.  Ainsi, l'expression formelle ne donne pas lieu à un nombre réel pour x = 0.  Dans la mesure où f(x) est défini seulement par cette expression, il faut conclure que f(0) n'existe pas ; c.a.d. qu'il n'y a pas un couple (0,?) dans f.

Mais il n'y a aucun moyen de constater cela sans constater que l'expression formelle va mener à un calcul non-défini.  Il faut constater que l'expression formelle nous invite à diviser par 0, pour pouvoir dire que cette expression formelle ne mène pas à un nombre, et donc pour pouvoir savoir que le couple (0,?) ne sera pas de la partie.  Comme j'ai déjà indiqué plusieurs fois, démembrer cette expression, pour dire que le truc par lequel il faut diviser sera 0, ou écrire l'expression même et voir que c'est une division par 0, est le même constat: f(0) n'existe pas, parce que l'expression formelle qui décrit l'objet f, veut qu'on divise par 0.

Lorsqu'une expression formelle nous invite à diviser par 0, on n'est pas obligé d'accepter cette invitation, il est même plus prudent de la refuser. Quand on voit que l'expression formelle d'un dénominateur s'annule, alors on s'arrête avant d'effectuer une division qui serait un non-sens mathématique ; en gros, lorsqu'on a constaté que le barillet est chargé, on s'arrête avant d'appuyer sur la gâchette en se visant la tête. Or il s'avère que, pour un mathématicien, écrire "truc/0" revient à appuyer sur la gâchette faire cette division.

Au passage, même s'il arrive qu'on le dise à l'oral dans le feu de l'action, en toute rigueur la formulation "f(0) n'existe pas" est incorrecte car la notation f(0) en elle-même suppose que f(0) existe ; il conviendrait donc de dire plutôt "la fonction f n'est pas définie en 0" ou "0 n'a pas d'image par la fonction f".

Allez, on va s'amuser un peu avec la question suivante :
Déterminer l'ensemble de définition maximal de la fonction f définie par f(x)=ln(x-2)+ln(1-x).  

Zarathustra a écrit:Non, la logique est dans l'autre sens.  On manipule ces objets formels, et s'ils donnent lieu à une contradiction, alors on sait que l'objet mathématique, suggéré par l'expression formelle, n'existe pas, au moins dans la mesure ou cette expression formelle est définissante.   Ce n'est pas parce que la manipulation marche, que l'objet existe, car ils peuvent y avoir d'autres conditions.

Je pense que nous ne donnons pas le même sens au mot "contradiction" : pour un mathématicien, une contradiction est d'obtenir comme conclusion une affirmation du type "P et non P" pour une certaine proposition P clairement définie , ce qui a un sens (FAUX) ; ce n'est pas d'obtenir une expression qui n'a aucun sens en mathématiques (comme 41/0).

wanax a écrit:*Même chose avec les exercices qui commencent par un sobre : résoudre dans R... x²  = 3 . x - 2...
Je préfèrerais proposer : soit pour tout réel x, l'égalité : x² = 3 . x - 2 Déterminer les réels pour lesquels cette égalité est vraie.
La première phrase de la solution devrait être : supposons qu'il existe un réel x tel que : x² = 3 .  - 2 .... C'est équivalent à ...

Je suis en train de me demander si une telle rédaction n'obligerait pas à faire une vérification systématique, même lorsqu'on a travaillé par équivalence à chaque étape : ces équivalences ne sont présentées comme valides que sous l'hypothèse de l'existence d'une solution, existence qu'il faut donc ensuite expliciter, même si à la fin elle paraît triviale.

Moonchild a écrit: Je pense que nous ne donnons pas le même sens au mot "contradiction" : pour un mathématicien, une contradiction est d'obtenir comme conclusion une affirmation du type "P et non P" pour une certaine proposition P clairement définie, ce qui a un sens (FAUX) ; ce n'est pas d'obtenir une expression qui n'a aucun sens en mathématiques (comme 41/0).

J'arrive après la bataille, Moonchild me semble avoir mis le doigt précisément sur le point où le mathématicien (et le logicien, d'ailleurs) et notre physicien maison se séparent.

Pas nécessairement. Une hypothèse faite en amont peut déboucher sur un calcul irréalisable en aval (41/0) qui prouvera que cette hypothèse n'avait pas à être émise.
C'est un peu le soucis rencontré en informatique: un programme imparfait (qui n'envisage pas toutes les possibilités) risque de provoquer un "bug", parfois des années plus tard. Je ne suis pas tout à fait d'accord avec cette approche - nous sommes mathématiciens donc nous refusons de voir apparaître des horreurs (41/0). Dans un raisonnement par l'absurde, ça ne me choque pas.

Un avis, PY, sur ça :

Même chose avec les exercices qui commencent par un sobre : résoudre dans R... x²  = 3 . x - 2...
Je préfèrerais proposer : soit pour tout réel x, l'égalité : x² = 3 . x - 2 Déterminer les réels pour lesquels cette égalité est vraie.
La première phrase de la solution devrait être : supposons qu'il existe un réel x tel que : x² = 3 . x - 2 .... C'est équivalent à ...

?

Je ne suis pas sûr de voir exactement les raisons qui motiveraient la modification de la convention... « résoudre » n'est pas vraiment ambigu, si ? (en ce contexte.)

On peut raisonner par analyse/synthèse au lieu de raisonner par équivalences.

BR a écrit:

Zarathustra a écrit:

BR a écrit:
Le principe est simple : en mathématiques, on ne manipule pas des objets qui ne sont pas définis.

Comme j'ai déjà essayé d'indiquer, c'est parce qu'on veut à tout prix confondre l'expression formelle et l'objet mathématique.   Quand on explore l'expression formelle, on ne manipule pas nécessairement l'objet mathématique - c'est particulièrement le cas quand le but de l'exploration est de constater si oui ou non, l'objet mathématique existe.

Les mathématiciens sont très chatouilleux sur le statut des objets qu'ils manipulent : ils peuvent éventuellement manipuler des objets dont le statut est discutable, à condition de l'expliciter. Ainsi, dans un raisonnement par l'absurde, on commence par écrire : supposons que tel objet existe (ou que telle relation soit vérifiée), avant de démontrer que l'objet hypothétique vérifie une relation impossible, ce qui permet de conclure, par l'absurde, qu'il n'existe pas d'objet tel que...

Mais c'est exactement cela qu'on fait, quand on se pose la question si une expression formelle définit un objet mathématique !

Quand on écrit un énoncé comme:

"la fonction f(x) = (x^2 + 5)/(x-6), quel est son domaine ?"

l'énoncé ne contient pas, en fait, une fonction bien définie, mais seulement une relation formelle, et c'est à l'élève de se poser la question si l'objet mathématique suggéré par cette relation formelle existe.  Donc, oui, le "supposons que l'objet existe" est implicite dans la réponse, car c'est la question à laquelle il faut répondre !

En d'autres termes, chaque fois que l'existence d'un objet mathématique n'est pas avéré, on est dans le "supposons qu'il existe", pour finir par conclure que, oui, ou non, il existe ; mais pour faire cela, il faut bien se mettre dans un système qui permet de le conclure.  Le constat que l'expression formelle mène à une structure qui ne se laisse pas réduire à un nombre dans ce cas (la structure étant l'arborescence 41/0, c.a.d. une racine "/", une feuille gauche "41" et une feuille droite "0") est une indication que cette expression formelle ne se réduit pas à un nombre et ne peut donc pas, ben, définir le nombre qui est l'objet mathématique.

Le physicien peut certainement se permettre d'écrire des relations hypothétiques entre objets hypothétiques sans préciser que tout ce qu'il écrit est purement hypothétique

Vous pouvez oublier 10 minutes que je suis un physicien ?  

Ainsi, en écrivant : supposons f dérivable, alors f(x)=lim_{h->0}... = ... permet de conclure que, si f est dérivable, la dérivée est égale à telle valeur.

Là, je ne suis pas.  Si cette limite existe, la dérivabilité est prouvée, non ?  La seule et unique condition pour qu'une fonction soit dérivable dans un point de son domaine, c'est que la limite en question existe, et alors la dérivée prend cette valeur, non ?

En physique, il me semble qu'en général, le statut des objets manipulés est relativement indifférent. Ainsi, un physicien n'a aucun scrupule à manipuler des objets dont il sait qu'ils n'ont aucun sens mathématique, tant que les calculs permettent des prédictions effectives et mesurables.

Ben, les physiciens avaient déjà un peu "la main lourde", mais depuis le théorème de Haag, et les résultats spectaculaires de l’électrodynamique quantique sur le plan expérimental, je crois qu'ils ont tout simplement abandonné l'idée de rigueur...  

Mais oubliez 10 minutes que je suis un physicien.  Je ne suis d'ailleurs pas qu'un physicien.

En mathématiques, il est essentiel d'être clair et honnête sur le statut des objets que l'on manipule : on s'autorise la démarche du physicien dans un brouillon, mais il faut ensuite rédiger très souvent à rebours, afin de ne manipuler que des objets dont le statut est sans ambiguïté.

Oui, mais quand l'objet mathématique est lui-même seulement défini par un autre objet, c.a.d. un objet formel, qui peut, ou non, donner lieu à un objet mathématique, il n'y a rien de mal à manipuler cet objet formel en tant que tel.   C'est tout ce que je veux dire.  

Encore une fois, vous confondez la démarche usuelle d'un physicien, qui est indifférent au statut des objets qu'il manipule, tant qu'ils aboutissent à un résultat; et qui se borne à constater une éventuelle impossibilité. Confronté au même problème, le mathématicien commence par expliciter l'ensemble des nombres pour lesquels l'expression étudiée a un sens. Ainsi : f(x)=x^2/x est défini lorsque le dénominateur est différent de 0. Lorsque x est différent de 0, on a donc (suite de calculs sur des objets dont on sait qu'ils sont définis sans ambiguïté).

Mais je ne fais rien d'autre.  Notez que l'expression formelle a parfaitement un sens en 0: c'est, comme je le disais déjà, un arbre qui s'écrit 0^2/0.  C'est juste une suite de symboles, qui sont syntaxiquement corrects.  
C'est une opération de substitution dans un arbre, pas un calcul.  C'est exactement ce que j'essaie de dire depuis des heures.

C'est en étudiant cette suite de symboles, que l'on constate que si on l'interprète comme une instruction de calcul, il faudrait faire une division par 0, ce qui ne va pas marcher.

Constater cela dans l'arbre d'origine, ou couper cet arbre, et constater qu'on obtient un 0 dans le sous-arbre du dénominateur, est exactement la même chose.  

Il n'y a aucun moyen de constater cela sans constater que l'expression formelle va mener à un calcul non-défini.  Il faut constater que l'expression formelle nous invite à diviser par 0, pour pouvoir dire que cette expression formelle ne mène pas à un nombre, et donc pour pouvoir savoir que le couple (0,?) ne sera pas de la partie.  Comme j'ai déjà indiqué plusieurs fois, démembrer cette expression, pour dire que le truc par lequel il faut diviser sera 0, ou écrire l'expression même et voir que c'est une division par 0, est le même constat: f(0) n'existe pas, parce que l'expression formelle qui décrit l'objet f, veut qu'on divise par 0.

Justement, il y a moyen de constater que l'on manipule des expressions qui ont un sens ou non : les règles de calculs usuelles nous permettent de savoir que ln(x) est défini pour tout x>0, 1/x pour tout x différent de 0 etc... Donc, si f(x)=ln((x+6)/(x-2)), nous savons que f(x) est défini lorsque x-2 est différent de 0 et (x+6)/(x-2)>0, et que f n'est pas défini sinon. Ici, f est définie sur )-oo,-6(u)2,+oo(.

Bizarrement, f'(x)=1/(x+6)-1/(x-2) a également un sens sur )-6,2(. Cela ne nous autorise pas à conclure que f est dérivable sur R\{-6,2}, puisque f n'est définie sur )-6,2(.

Un mathématicien est comme un enfant autiste : il suffit qu'une étape du calcul ne soit pas justifiée pour qu'il refuse de lire le reste. Merci aux physiciens d'avoir un peu d'indulgence pour les mathématiciens.

Ce n'est pas vrai.  Il utilise des preuves par l'absurde.  Il écrit que sqrt(2) = p/q, pour constater que 2 = 4, et donc que p/q ne peut pas être égal à sqrt(2).  Je vois les expressions qui mènent à des instructions de calcul pas faisable, exactement comme ça.

Vous confondez encore une fois le statut des objets manipulés. Dans une démonstration par l'absurde, le mathématicien explicite clairement le statut hypothétique des relations qu'il manipule, et conclut que, puisque l'hypothèse sqrt(2)=p/q aboutit à une absurdité, sqrt(2) est irrationnel. Le mot clef dans le raisonnement mathématique est supposons. Sans ce mot clef, le raisonnement n'a aucun sens pour le mathématicien.

Mais c'est quand-même la même chose, non ?  Au départ, on n'a pas de fonction mathématique, mais un objet formel, f(x) = (x^2 + 5)/(x-6).

Il faudrait peut-être que j'explicite un peu plus la confusion que je crois dont "les profs de maths" souffrent, ou bien il y a un fort mal-entendu.

Séparons les notations que je crois qui sont confondus.

Appelons F(X) l'expression formelle (X^2 + 5) / (X - 6)

On demande s'il existe un autre objet mathématique, à savoir, une fonction f de R en R, tel que pour tout élément (x,y) de
f, l'expression formelle F(x) se réduit en un nombre qui est égal à y.

Là, je crois que j'ai pris toutes les pinces nécessaires.

Il faut donc étudier l'expression formelle F(X), et voir dans quels cas, ces expressions formelles donnent lieu à un nombre réel, quand on substitue dans F(X) un nombre réel x à la place du symbole X.

Notez que F(X) n'est qu'une expression formelle.  "mettre quelque chose dans F" veut simplement dire, effectuer un "trouver-remplacer avec X" dans la suite de symboles, rien d'autre.

Ainsi, F(++) ferait (++^2 + 5)/(++ - 6).   Juste comme suite de symboles, rien d'autre.

Il faut étudier cette suite de symboles, avec à la place de X, un nombre réel x, et voir si l'expression ainsi formée, donne lieu à des calculs qu'on peut effectuer quand on INTERPRÈTE les symboles comme des instructions de calcul.  Si toutes les instructions peuvent mener à un calcul qu'on peut effectuer, alors on obtient un nombre.  Et dans ce cas, l'AUTRE objet, la fonction, va contenir le couple (x, ).  Si la suite de symboles ne donne pas lieu à un nombre, car le calcul qu'il préscrit ne fonctionne pas, alors cette expression formelle ne devant pas un nombre, pour cette valeur de x, il ne peut pas y avoir un (x,?) dans f.

Mais l'exploration de F(X) ne me semble pas un "interdit".

Ainsi, F(6) = (6^2 + 5)/(6 - 6)  comme suite de symboles, après le "trouver-remplacer".  Et on peut interpréter cette expression comme des instructions de calcul, jusqu'à ce qu'on arrive à: 41/0.  Cette instruction de calcul n'est pas exécutable.  Donc F(6) résulte en 41/0, et la suite de symboles ne devient pas un nombre.  Si F(6) = 41/0, alors il n'y a pas de couple (6,0) dans f.

Seulement, dans la pratique, on utilise le même symbole, f, pour la fonction f, et l'expression que j'ai notée F(X).  Car au départ, la seule chose qui était donnée, était cette expression formelle F(X).

C'est pourquoi je suis quelque part convaincu qu'il y a continuellement une confusion entre l'expression formelle d'un coté, que j'ai noté ici F, et l'objet mathématique qu'il suggère, ici la fonction f.

C'est pour cette raison que lire les raisonnements que vous proposez est une grande souffrance : vous vous lancez tête baissée dans des calculs sans vous soucier de savoir si les objets que vous manipulez ont un sens.

Mais ils ont un sens, comme suite de symboles.  Ils ne définissent pas nécessairement l'objet mathématique qu'ils suggèrent, mais justement, pour le savoir, il faut manipuler l'expression symbolique.  

L'enfant autiste qu'est le mathématicien pleure d'effroi à lire vos manipulations, alors qu'il suffirait d'un petit mot pour l'apaiser. Par exemple : supposons f(x)=x^2/x défini. Alors ... On bien : supposons f dérivable. Alors f(x)=lim_{h->0} ...

Oui, c'est sous-entendu quand on explore l'existence, ou non, d'un objet mathématique.  Pour moi, l'expression formelle X^2/X existe (c'est évident, je viens de l'écrire!).  L'objet formel 0^2/0 existe aussi, comme suite de symboles (c'est évident, je viens de l'écrire, donc la suite de symboles existe !).  Mais cet objet formel suggère un calcul qui ne peut se faire.  Ainsi, si jamais le but de cet objet formel était de définir un nombre, ce nombre n'existera pas.  Et c'est ce qu'on cherchait, non ?

Les mathématiques n'ont pas pour objet les gesticulations symboliques.

X^2/X peut être vu sans problème comme une fraction rationnelle.

De même on a défini proprement la notion de série formelle par exemple.

vyneil a écrit:Pas nécessairement. Une hypothèse faite en amont peut déboucher sur un calcul irréalisable en aval (41/0) qui prouvera que cette hypothèse n'avait pas à être émise.
C'est un peu le soucis rencontré en informatique: un programme imparfait (qui n'envisage pas toutes les possibilités) risque de provoquer un "bug", parfois des années plus tard. Je ne suis pas tout à fait d'accord avec cette approche - nous sommes mathématiciens donc nous refusons de voir apparaître des horreurs (41/0). Dans un raisonnement par l'absurde, ça ne me choque pas.

C'est effectivement l'analogie avec l'informatique que j'ai en tête. Quand on demande le domaine de définition d'un fonction à partir d'une expression formelle on demande en fait "où est-ce que cette expression formelle, quand elle est vue comme un algorithme de calcul, va buguer ? "

Mais je commence à voir qu'il n'y a aucun espoir de faire accepter à un mathématicien que 41/0 est une expression formelle bien définie, qui, interprétée comme instruction de calcul, donne lieu à un calcul non-faisable, et que donc, l'expression 41/0 ne se réduit pas à un nombre, et que quand on ose écrire 41/0, on est brûlé sur le bûcher, et ses cendres sont en suite versés dans un volcan plein de lave bouillante ; ou pire, traité comme un physicien.

Anaxagore a écrit:Les mathématiques n'ont pas pour objet les gesticulations symboliques.

Je dirai, les mathématiques n'ont pas *seulement* pour objet les gesticulations symboliques, quand on est Platonicien, au moins. Mais les gesticulations symboliques sont quand-même une partie très importante, aussi bien dans l'activité journalière d'un mathématicien que dans l'étude profonde des fondements des mathématiques mêmes, non ?

Il y a toute une branche des maths qui étudient justement de façon très formelle, les gesticulations symboliques et les applications informatiques d'analyse symbolique sont aussi basées sur ces gesticulations formelles.

Quand elles sont définies.

Moonchild a écrit:
Lorsqu'une expression formelle nous invite à diviser par 0, on n'est pas obligé d'accepter cette invitation, il est même plus prudent de la refuser. Quand on voit que l'expression formelle d'un dénominateur s'annule, alors on s'arrête avant d'effectuer une division qui serait un non-sens mathématique ; en gros, lorsqu'on a constaté que le barillet est chargé, on s'arrête avant d'appuyer sur la gâchette en se visant la tête. Or il s'avère que, pour un mathématicien, écrire "truc/0" revient à appuyer sur la gâchette faire cette division.

Mais je suis d'accord, on ne peut pas diviser par 0. Mais, et c'est là qu'on semble avoir un différent que je n'arrive pas à saisir, quand on écrit 41/0, on n'a que l'invitation de faire une division, et justement, on ne l'accepte pas. On constate juste cette invitation. Comme on ne peut pas l'accepter, l'expression formelle 41/0 ne peut pas se réduire à un nombre, et donc, dans la mesure où elle était sensée de se réduire à un nombre pour définir un objet mathématique sous-jacent, cet objet n'existe donc pas. Ce qui était le but de l'exercice.

Au passage, même s'il arrive qu'on le dise à l'oral dans le feu de l'action, en toute rigueur la formulation "f(0) n'existe pas" est incorrecte car la notation f(0) en elle-même suppose que f(0) existe ; il conviendrait donc de dire plutôt "la fonction f n'est pas définie en 0" ou "0 n'a pas d'image par la fonction f".

Tout à fait, je suis d'accord avec vous. f(0), quand f symbolise la fonction, n'existe pas. Par contre, je voyais f(x) pendant la phase d'exploration non comme l'image de la fonction de x (car on est justement en train de voir si ça existe ou non !), mais comme mon F(X) dans l'autre message, c.a.d. une suite de symboles.

Allez, on va s'amuser un peu avec la question suivante :
Déterminer l'ensemble de définition maximal de la fonction f définie par f(x)=ln(x-2)+ln(1-x).  

A ma façon ?
On regarde donc l'expression symbolique F(X) = ln(X-2) + ln(1-X).
Pour quels nombres x est-ce que cette expression symbolique F(x) se réduit à un nombre ?
ln(x-2) ne fonctionnera que quand x > 2. Pour tout nombre inférieur à 2, ln(x-2) restera incalculable et ne se réduira donc pas à un nombre, mais gardera sa forme ln(x-2), car c'est l'image d'une fonction en un point qui n'appartient pas à son domaine.
Pour que ln(1-x) puisse être calculable, il faut que 1-x soit dans le domaine de définition de ln(u) et donc plus grand que 0, donc que x soit plus petit que 1.

Ainsi, quand x > 2, F(x) = ln(x-2) + ln(1-x), où la première partie se réduit à un nombre calculable, mais pas la deuxième partie. Ce n'est donc pas un nombre.

Quand x <= 2, la première partie restera formelle car ne se réduit pas à un nombre. Quand 2 >= x >= 1, la deuxième partie restera formelle aussi, mais quand x < 1, la deuxième partie deviendra un nombre (car l'image d'une fonction numérique, prise dans son domaine). Cela dit, comme la première partie n'est pas un nombre (mais restera une suite de symboles qui n'est pas un nombre), ça restera une expression formelle qui ne se réduit pas à un nombre.

Ainsi, pour aucun x en R, cette expression se réduit à un nombre ; ça "bugue" partout. Ainsi, la fonction définie par cette expression formelle, f, est égale à {}, et le domaine aussi. On peut dire que c'est une fonction qui est égale à son domaine

L'expression formelle (suite de symboles) existe bien sûr pour tout réel (et pour tout symbole, d'ailleurs). Mais comme elle ne peut pas se réduire à un nombre, pour aucun réel, ça ne donne jamais lieu à un couple de la fonction.

Ainsi, F(5) = ln(5-2) + ln(1-5) = ln(3) + ln(-4) = 1.098... + ln(-4). Mais comme ln(-4) n'est pas un nombre réel car -4 n'appartient pas au domaine de définition de ln (comme fonction R->R), cette expression formelle ne se réduit pas à un nombre, et ne peut donc définir l'image de 5 sous f. Ainsi, il n'y aura pas de couple (5,?) dans f.

Zarathustra a écrit:Non, la logique est dans l'autre sens.  On manipule ces objets formels, et s'ils donnent lieu à une contradiction, alors on sait que l'objet mathématique, suggéré par l'expression formelle, n'existe pas, au moins dans la mesure ou cette expression formelle est définissante.   Ce n'est pas parce que la manipulation marche, que l'objet existe, car ils peuvent y avoir d'autres conditions.

Je pense que nous ne donnons pas le même sens au mot "contradiction" : pour un mathématicien, une contradiction est d'obtenir comme conclusion une affirmation du type "P et non P" pour une certaine proposition P clairement définie , ce qui a un sens (FAUX) ; ce n'est pas d'obtenir une expression qui n'a aucun sens en mathématiques (comme 41/0).

Je me suis très mal exprimé là (et tout le monde à sauté dessus ). Je n'aurai pas dû utiliser le mot "contradiction". J'aurai dû dire "un algorithme non-exécutable". Comme 41/0 donne lieu à une division non-exécutable, et ln(-4) donne lieu à la recherche d'image sous une fonction hors de son domaine. Donc une suite de symboles qui ont syntaxiquement un sens, mais qui ne permettent pas une réduction de la suite de symboles à un résultat, car ce résultat n'existe pas.

Ok, j'avoue, j'ai un petit coté pervers, et je me suis acharné à infliger de la souffrance aux mathématiciens autistes

Il y a des manières d'étendre ln aux complexes.

vyneil a écrit:Pas nécessairement. Une hypothèse faite en amont peut déboucher sur un calcul irréalisable en aval (41/0) qui prouvera que cette hypothèse n'avait pas à être émise.
C'est un peu le soucis rencontré en informatique: un programme imparfait (qui n'envisage pas toutes les possibilités) risque de provoquer un "bug", parfois des années plus tard. Je ne suis pas tout à fait d'accord avec cette approche - nous sommes mathématiciens donc nous refusons de voir apparaître des horreurs (41/0). Dans un raisonnement par l'absurde, ça ne me choque pas.

Il est vrai que j'ai été un peu restrictif dans mon message précédent puisque la contradiction peut apparaître sous la forme d'une proposition Q parfaitement définie dont la valeur de vérité est trivialement FAUX ("P et non P" en étant un cas particulier). Une hypothèse faite en amont peut donc déboucher sur une contradiction qui par exemple pourra prendre la forme de la proposition "0=41" (cette affirmation a un sens mathématique : "le nombre 0 est égal au nombre 41" et elle est évidemment fausse dans R) ; mais le raisonnement par l'absurde, malgré sa dénomination, n'autorise pas à employer des notations absurdes comme 41/0 (si on en arrive là, c'est qu'on s'est planté dans la rédaction car il y a toujours un moyen de l'éviter).

Zarathustra a écrit:Mais je suis d'accord, on ne peut pas diviser par 0. Mais, et c'est là qu'on semble avoir un différent que je n'arrive pas à saisir, quand on écrit 41/0, on n'a que l'invitation de faire une division, et justement, on ne l'accepte pas. On constate juste cette invitation.

Ah non, pour un mathématicien, écrire 41/0 n'est pas seulement constater cette invitation, c'est aussi l'accepter, se rendre à la soirée et picoler comme un trou (voir plus bas la partie avec la définition du quotient de deux nombre réels).

Zarathustra a écrit:

vyneil a écrit:Pas nécessairement. Une hypothèse faite en amont peut déboucher sur un calcul irréalisable en aval (41/0) qui prouvera que cette hypothèse n'avait pas à être émise.
C'est un peu le soucis rencontré en informatique: un programme imparfait (qui n'envisage pas toutes les possibilités) risque de provoquer un "bug", parfois des années plus tard. Je ne suis pas tout à fait d'accord avec cette approche - nous sommes mathématiciens donc nous refusons de voir apparaître des horreurs (41/0). Dans un raisonnement par l'absurde, ça ne me choque pas.

C'est effectivement l'analogie avec l'informatique que j'ai en tête.  Quand on demande le domaine de définition d'un fonction à partir d'une expression formelle on demande en fait "où est-ce que cette expression formelle, quand elle est vue comme un algorithme de calcul, va buguer ?  "

Mais je commence à voir qu'il n'y a aucun espoir de faire accepter à un mathématicien que 41/0 est une expression formelle bien définie, qui, interprétée comme instruction de calcul, donne lieu à un calcul non-faisable, et que donc, l'expression 41/0 ne se réduit pas à un nombre, et que quand on ose écrire 41/0, on est brûlé sur le bûcher, et ses cendres sont en suite versés dans un volcan plein de lave bouillante ; ou pire, traité comme un physicien.  

Je sais qu'il ne faut plus ramener la question sur le tapis, mais cela reste quand même une approche de physicien.

Selon ce point de vue, en partant d'une expression formelle n/d (avec n et d réels) vue comme une instruction de calcul, il faut faire l'expérience d'évaluer le calcul qu'elle représente pour distinguer deux cas :
- si ce calcul s'avère possible alors n/d existe en tant que nombre ;
- si ce calcul s'avère impossible alors n/d n'existe pas en tant que nombre (d'ailleurs, au passage, il serait intéressant d'expliquer la raison pour laquelle 41/0 est un calcul tellement impossible alors que 41/3 ne le serait pas).
Dans cette approche par essai-erreur, la notation de l'objet précède sa propre définition ; c'est en quelque sorte son usage qui défini a posteriori le sens de la notation. Ce n'est pas du tout ainsi que l'on procède en maths où l'existence de l'objet (dans une certaine structure) doit précéder l'existence de sa notation ; on peut trouver que c'est une marque de psychorigidité, mais c'est une règle intangible en maths.

Par exemple, une définition mathématiquement acceptable du quotient de deux nombres réels n et d est, dans le corps des nombres réels, le produit de n par l'inverse de d. Si l'inverse de d existe (appelons le temporairement d'), alors le quotient, que l'on notera n/d, est défini comme étant le produit n*d'.
Pour pouvoir écrire 41/0 dans le contexte du corps des réels, il faudrait donc avoir à sa disposition dans R un inverse de 0, que je noterai temporairement 0', afin de pouvoir définir 41/0 comme étant 41*0' ; or cet inverse de 0 aurait la fâcheuse tendance d'être incompatible avec la structure d'un corps sauf si celui-ci est réduit à un seul élément, ce qui n'est pas le cas de R. Ainsi, écrire 41/0 remet en cause soit la nature de R, soit la définition mathématique d'un quotient de deux nombres réels ; sacrée gueule de bois !

Bien sûr, on peut toujours inventer un ensemble des expressions formelles doté de ses règles spécifiques et auquel appartiendrait 41/0, mais je ne vois pas vraiment quel en est l'intérêt car il me semble y avoir une faille dans la démarche qui suit :

Zarathustra a écrit:Appelons F(X) l'expression formelle (X^2 + 5) / (X - 6)

On demande s'il existe un autre objet mathématique, à savoir, une fonction f de R en R, tel que pour tout élément (x,y) de
f, l'expression formelle F(x) se réduit en un nombre qui est égal à y.

Là, je crois que j'ai pris toutes les pinces nécessaires.

Il faut donc étudier l'expression formelle F(X), et voir dans quels cas, ces expressions formelles donnent lieu à un nombre réel, quand on substitue dans F(X) un nombre réel x à la place du symbole X.

Notez que F(X) n'est qu'une expression formelle.  "mettre quelque chose dans F" veut simplement dire, effectuer un "trouver-remplacer avec X" dans la suite de symboles, rien d'autre.

Ainsi, F(++) ferait (++^2 + 5)/(++ - 6).   Juste comme suite de symboles, rien d'autre.

Il faut étudier cette suite de symboles, avec à la place de X, un nombre réel x, et voir si l'expression ainsi formée, donne lieu à des calculs qu'on peut effectuer quand on INTERPRÈTE les symboles comme des instructions de calcul.  Si toutes les instructions peuvent mener à un calcul qu'on peut effectuer, alors on obtient un nombre.  Et dans ce cas, l'AUTRE objet, la fonction, va contenir le couple (x, ).  Si la suite de symboles ne donne pas lieu à un nombre, car le calcul qu'il préscrit ne fonctionne pas, alors cette expression formelle ne devant pas un nombre, pour cette valeur de x, il ne peut pas y avoir un (x,?) dans f.

Dans toute cette démarche, pour savoir si l'expression formelle (X^2+5)/(X-6) avec un nombre réel x à la place de X donne lieu à des calculs qu'on peut effectuer quand on interprète les symboles comme des instructions de calcul, il faut justement avoir préalablement défini le sens de ces symboles comme instructions de calcul sur les réels. Autrement dit, il faut préalablement avoir défini ce qu'est le quotient de deux nombres réels, sinon on en revient à la question posée précédemment : pourquoi 41/0 est-il un calcul impossible tandis que 41/3 ne le serait pas ?
De plus, dans le cas où la suite de symboles "ne donne pas lieu à un nombre", il faudrait quand même préciser ce à quoi elle "donne lieu".

Anaxagore a écrit:Il y a des manières d'étendre ln aux complexes.

Sauf à 0.
Pauvre 0, non seulement on lui interdit d'aller se promener sous les jupes des filles les traits de fraction, mais en plus on ne lui laisse même pas le droit de rencontrer la belle ln. Il ne faudra pas s'étonner s'il finit par se faire des complexes.

Anaxagore a écrit:Il y a des manières d'étendre ln aux complexes.

Tu vas te blesser aux coupures de Riemann

Moonchild a écrit:
Je sais qu'il ne faut plus ramener la question sur le tapis, mais cela reste quand même une approche de physicien.

Je dirais plutôt, d'explorateur.  On est dans le "on va voir ce que ça donne".  Mais un mathématicien, confronté à un problème, se trouve dans exactement la même situation.  La seule différence (sur ce point, je sens que ça va déraper très vite si je ne prends pas toutes mes précautions... ) entre le physicien, l'écrivain, et le mathématicien, est que le premier est confronté à un problème qui concerne la nature, le deuxième, un problème littéraire, et le troisième, un problème mathématique.  Mais en face d'un problème (dans son domaine) dont on ne connaît pas la solution, il faut bien se mettre à explorer.
Le physicien se demande si le neutrino possède une masse ou non (il ne le sait pas encore) ;
l'écrivain se demande comment faire le plan de son nouveau best-seller (il ne le sait pas encore) ;
le mathématicien se demande si l'expression qu'on vient de lui servir a un sens en x = 6 (il ne le sait pas encore).

J'ai l'impression que cette phase d'exploration, qui est pourtant l'essentiel dans le métier, est reléguée "au brouillon", pour revenir en suite, avec une solution toute faite, comme si l'essentiel, à savoir, l'exploration, n'a jamais eu lieu, et qu'on connaissait la réponse dès le départ.

Seulement, la partie intéressante dans tout problème, c'est l'exploration, le chemin qui nous a permis de passer de "je ne sais pas" à "Euréka!", et pas la rédaction de la réponse, non ?  La rédaction de la réponse, c'est pour le comptable et le bibliothécaire, mais là où ça fait toute la différence, c'est entre une exploration qui fonctionne, et une qui patauge, non ?

Selon ce point de vue, en partant d'une expression formelle n/d (avec n et d réels) vue comme une instruction de calcul, il faut faire l'expérience d'évaluer le calcul qu'elle représente pour distinguer deux cas :
- si ce calcul s'avère possible alors n/d existe en tant que nombre ;
- si ce calcul s'avère impossible alors n/d n'existe pas en tant que nombre (d'ailleurs, au passage, il serait intéressant d'expliquer la raison pour laquelle 41/0 est un calcul tellement impossible alors que 41/3 ne le serait pas).

Ben, toujours pour la même raison: 41/0 veut dire qu'il nous faut l'élément inverse multiplicatif dans le champs (tu dis toujours "corps" ?  Je croyais qu'un corps était un champs qui manquait la commutativité dans le groupe multiplicatif, ou est-ce que je me trompe là ?) numérique sous considération, qui n'existe pas.  C'est comme écrire ln(-4).  Il faut s'arrêter là, car ln(-4) existe comme expression symbolique (je viens de l'écrire, ça existe donc), mais ne représente pas un nombre car -4 n'appartient pas au domaine de la fonction ln, et donc, il n'y a pas de nombre qui peut correspondre à ln(-4).
Finalement, écrire 41/0 n'est rien d'autre qu'une notation pratique pour "division(41,0)", où "division" est une fonction de R x R_0 -> R et que le couple (41,0) ne fait pas parti du domaine (à son tour du fait que division(x,y) = multiplication(x,inverse_m(y)), et que "inverse_m(y)" est une fonction de R_0 ->R_0, et que donc, 0 n'appartient pas au domaine de "inverse_m").
Toutes ces notations ne sont que des "appels de fonctions" dont l'écriture formelle ne se transforme en objet mathématique que si l'argument fait parti du domaine de la fonction en question.  Ce n'est pas plus étrange d'écrire f(6), ln(-4), ou 41/0.  Dans tous les cas, on fait appel à une fonction hors de son domaine, et donc, l'objet décrit par l'expression formelle, est inexistant.  C'est un élément de {}.

Dans cette approche par essai-erreur, la notation de l'objet précède sa propre définition ; c'est en quelque sorte son usage qui défini a posteriori le sens de la notation.

C'est exactement ça qu'on veut dire par "formel", non ?  Le formel est l'écriture, le nom, d'un truc dont on ne sait pas encore s'il existe.  Si on appelle l'assassin de Jean-Claude, Jules, on a un nom pour parler du suspect éventuel.  S'il s'avère que Jean-Claude s'était finalement suicidé, ben alors, Jules n'est pas une personne qui existe.  Mais ça n'a pas empêché de mettre un nom sur un suspect éventuel, pendant l'enquête.  (je m'adapte à ton sens morbide dans les exemples....)  Au moins, on pouvait parler du gars qu'on cherchait, même s'il n'existait pas.  C'est en cherchant qu'on a trouvé qu'il n'y avait pas de Jules.  "Jules" était le nom générique d'un ensemble de solutions qu'on est en train de construire, et il peut s'avérer que cet ensemble est vide.  Alors Jules est le nom générique d'un élément de l'ensemble vide et n'existe donc pas.

Ce n'est pas du tout ainsi que l'on procède en maths où l'existence de l'objet (dans une certaine structure) doit précéder l'existence de sa notation ; on peut trouver que c'est une marque de psychorigidité, mais c'est une règle intangible en maths.

Ok.  Je comprends.  Je crois qu'on se rend la vie difficile comme ça, mais bon.  Peut-être que le danger de confondre des objets formels sans existence mathématique avec ceux qui existent et d'arriver à des absurdités est considéré plus grand que la facilité d'avoir un nom pour un truc dont on est en train d'explorer l'existence ou non, mais je crois qu'il y a une part de psycho-rigidité dedans, qui mène à une sorte "d'hypocrisie", que je dénonçais, car cette manipulation interdite est exactement ce qu'on va faire sur un brouillon pendant la phase d'exploration, pour trouver ce qu'il fallait démontrer ; pour ensuite, en marche arrière, écrire ces découvertes en premier, et d'en "déduire" le résultat.

Parler de f(6) comme le suspect du crime qui n'existe peut-être pas, ne me dérange pas, tant qu'on sait que ce n'est qu'une expression symbolique qui n'est pas encore une incarnation d'un objet mathématique.  Mais je vois bien que c'est visiblement "haram".

Je me demande s'il y a un seul cas de figure où considérer une expression formelle d'un objet mathématique qui n'existe pas, peut mener à une réelle erreur.

Par exemple, une définition mathématiquement acceptable du quotient de deux nombres réels n et d est, dans le corps des nombres réels, le produit de n par l'inverse de d. Si l'inverse de d existe (appelons le temporairement d'), alors le quotient, que l'on notera n/d, est défini comme étant le produit n*d'.
Pour pouvoir écrire 41/0 dans le contexte du corps des réels, il faudrait donc avoir à sa disposition dans R un inverse de 0, que je noterai temporairement 0', afin de pouvoir définir 41/0 comme étant 41*0'

hehehe

C'est exactement de ça que je parle !  "que je noterai temporairement".  


< mon bazar avec ln(x-2) - ln(1-x) >

Dans toute cette démarche, pour savoir si l'expression formelle (X^2+5)/(X-6) avec un nombre réel x à la place de X donne lieu à des calculs qu'on peut effectuer quand on interprète les symboles comme des instructions de calcul, il faut justement avoir préalablement défini le sens de ces symboles comme instructions de calcul sur les réels. Autrement dit, il faut préalablement avoir défini ce qu'est le quotient de deux nombres réels, sinon on en revient à la question posée précédemment : pourquoi 41/0 est-il un calcul impossible tandis que 41/3 ne le serait pas ?
De plus, dans le cas où la suite de symboles "ne donne pas lieu à un nombre", il faudrait quand même préciser ce à quoi elle "donne lieu".

Ben, à rien du tout, tiens.  C'est une expression formelle qui n'incarne pas un objet mathématique.  Comme le "Jules" de l'enquête qui n'existe pas comme humain, mais seulement comme nom d'un truc hypothétique dont on cherchait s'il existait ou non.  Comme tout caractère dans une oeuvre de fiction, si on veut !  C'est toute l'idée du "formel": ce ne sont que des symboles, des noms.  Peut-être qu'ils symbolisent un objet mathématique, peut-être non.

Comme le "x" dans x^2 + 9 = 0 (dans les réels).  Comme le x dans "pour tout x, élément de {}, ....".  Il n'y en a pas.  Mais il a quand-même un nom.  Quand on donne l'équation x^2 + 9 = 0 à résoudre dans R, on devrait écrire:
"trouvez l'ensemble maximal S, tel que, pour tout x dans S partie de R, nous avons x^2 + 9 = 0"
La réponse à la question est: S = {}.
Ainsi, après avoir trouvé la réponse, nous pouvons donc dire:
Pour tout x, élément de {}, x^2 + 9 = 0.

Notez que nous avons donné un nom, x, à un objet qui n'existe pas.

Le f(6) peut être vu comme le "x" dans le "pour tout x élément de {}".  f(6) est le symbole du deuxième élément du couple X qui est l'intersection entre {6} X R et f.  Comme cette intersection est vide, f(6) est le symbole du deuxième élément du couple X, élément de {}.

Il m'échappe totalement pourquoi ce nom f(6) dans "pour tout (6,f(6)) élément de l'intersection de {6} X R et f: f(6) . 0 = 41 "... serait plus choquant que "pour tout x élément de {}, x^2 + 9 = 0"

Le "pour tout élément x" n'implique pas le "il existe", si l'ensemble dont on parle, est vide, mais permet quand-même de mettre un nom au truc qui n'existe pas.

Zarathustra a écrit:

Moonchild a écrit:
Je sais qu'il ne faut plus ramener la question sur le tapis, mais cela reste quand même une approche de physicien.

Je dirais plutôt, d'explorateur.  On est dans le "on va voir ce que ça donne".  Mais un mathématicien, confronté à un problème, se trouve dans exactement la même situation.  La seule différence (sur ce point, je sens que ça va déraper très vite si je ne prends pas toutes mes précautions... ) entre le physicien, l'écrivain, et le mathématicien, est que le premier est confronté à un problème qui concerne la nature, le deuxième, un problème littéraire, et le troisième, un problème mathématique.  Mais en face d'un problème (dans son domaine) dont on ne connaît pas la solution, il faut bien se mettre à explorer.
Le physicien se demande si le neutrino possède une masse ou non (il ne le sait pas encore) ;
l'écrivain se demande comment faire le plan de son nouveau best-seller (il ne le sait pas encore) ;
le mathématicien se demande si l'expression qu'on vient de lui servir a un sens en x = 6 (il ne le sait pas encore).

Il y a des points communs, sans doute, et ils sont amenés à travailler ensemble (quand ce n'est pas par le biais de la même personne) mais je pense qu'il y a une différence intrinsèque entre leurs rôles.

- Le physicien tente de comprendre son univers en en simplifiant la modélisation, en disant quelles données il prend en compte et quelles informations il choisit de négliger (sinon, en prenant en compte toutes les composantes, les calculs qui en découleraient seraient infaisables).
Petite parenthèse. Contrairement à ce que suggèrent les programmes actuels, ce ne devrait pas être le boulot du mathématicien. Fin de la parenthèse.
Le physicien cherche à appréhender son univers de façon "scientifique". Comme les résultats de ses recherches dépendent de la modélisation qu'il a faite on peut dire, en quelque sorte, qu'il y a une partie du physicien dans les résultats qu'il obtient.

- L'écrivain crée quelque chose qui n'existe pas encore avant lui ; bien entendu, il s'inspire de son entourage et son travail peut mettre en lumière des vérités (mais qu'est-ce qu'une vérité? Vous avez quatre heures.) mais ce n'est certainement pas son objectif premier. Son œuvre reste par essence ancrée dans sa propre humanité, elle ne peut pas exister sans lui. La part de l'écrivain dans son œuvre est immense.

- Le mathématicien découvre des choses qui existeraient sans lui. Son implication dans les résultats trouvés est nulle. Les applications des maths sont nombreuses: physique, stats, informatique etc. Tant mieux si ça peut servir, après tout, mais dans le fond, on s'en fout. En aucun cas le mathématicien ne pense pouvoir expliquer scientifiquement son univers car pour lui, ce qu'il découvre est un jeu. Curieusement lié à l'univers, d'ailleurs ! Ce qui explique pourquoi beaucoup de vrais mathématiciens (pas les profs) finissent leur vie en abordant des questions de théologie auxquelles ils ne croyaient pas nécessairement au début de leur vie.

Zarathustra a écrit:  Peut-être que le danger de confondre des objets formels sans existence mathématique avec ceux qui existent et d'arriver à des absurdités est considéré plus grand que la facilité d'avoir un nom pour un truc dont on est en train d'explorer l'existence ou non, mais je crois qu'il y a une part de psycho-rigidité dedans, qui mène à une sorte "d'hypocrisie", que je dénonçais, car cette manipulation interdite est exactement ce qu'on va faire sur un brouillon pendant la phase d'exploration, pour trouver ce qu'il fallait démontrer ; pour ensuite, en marche arrière, écrire ces découvertes en premier, et d'en "déduire" le résultat.

Parler de f(6) comme le suspect du crime qui n'existe peut-être pas, ne me dérange pas, tant qu'on sait que ce n'est qu'une expression symbolique qui n'est pas encore une incarnation d'un objet mathématique.  Mais je vois bien que c'est visiblement "haram".

Bah

Pour prendre encore une autre comparaison que celle de la roulette russe, une qui implique un chimiste (en espérant ne vexer personne, du coup), quand un chimiste écrit un peu n'importe quoi sur sa feuille, il y a des chances qu'il se fasse exploser dans son labo, la réalité se chargeant darwiniennement de son élimination. Pour le malheur du mathématicien, il n'existe pas de mécanisme de sélection équivalent dans son cas, et il risque de persévérer non seulement dans l'erreur, mais pire, dans le non-sens : il doit donc faire particulièrement gaffe à ce qu'il écrit

Zarathustra a écrit:J'ai l'impression que cette phase d'exploration, qui est pourtant l'essentiel dans le métier, est reléguée "au brouillon", pour revenir en suite, avec une solution toute faite, comme si l'essentiel, à savoir, l'exploration, n'a jamais eu lieu, et qu'on connaissait la réponse dès le départ.

Effectivement, la phase d'exploration est souvent occultée dans la production finale ; la mise en forme d'un texte mathématique doit respecter des règles bien précises dont celle de bien définir tous les objets dont il traite et de respecter les conventions de notations usuelles, mais il n'est pas tenu d'expliquer comment son rédacteur a eu l'idée de mettre en oeuvre le raisonnement qui y est décrit.

Zarathustra a écrit:Finalement, écrire 41/0 n'est rien d'autre qu'une notation pratique pour "division(41,0)", où "division" est une fonction de R x R_0 -> R et que le couple (41,0) ne fait pas parti du domaine (à son tour du fait que division(x,y) = multiplication(x,inverse_m(y)), et que "inverse_m(y)" est une fonction de R_0 ->R_0, et que donc, 0 n'appartient pas au domaine de "inverse_m").

Non, il y a une convention très claire en maths : 41/0 désigne le résultat de cette division. On peut bien sûr remettre en cause cette convention ou n'importe quelle autre, mais il faut que l'ensemble reste cohérent ; et si tout le monde fait ça, il va devenir difficile de se comprendre.

Zarathustra a écrit:C'est exactement ça qu'on veut dire par "formel", non ?  Le formel est l'écriture, le nom, d'un truc dont on ne sait pas encore s'il existe.  Si on appelle l'assassin de Jean-Claude, Jules, on a un nom pour parler du suspect éventuel.  S'il s'avère que Jean-Claude s'était finalement suicidé, ben alors, Jules n'est pas une personne qui existe.

Et pourtant si : dans le cas où Jean-Claude s'est suicidé alors Jules c'est Jean-Claude.
En revanche, si Jean-Claude a fait un AVC en lisant une démonstration mathématique, rien ne permet d'affirmer avec certitude que celui qui l'a rédigée s'appelle Jules.

Zarathustra a écrit:Je me demande s'il y a un seul cas de figure où considérer une expression formelle d'un objet mathématique qui n'existe pas, peut mener à une réelle erreur.

Par exemple :

Code:

Pour tout x réel,
0x=0 équivaut à x=0/0
et comme, formellement a/a=1
alors 0x=0 équivaut à x=1

ou encore :

Code:

Pour tout x réel, on a 0x=0.
En prenant par exemple x=41/0, on remarque que 0x=0*(41/0).
Or d'après les règles de calcul formel sur les fractions, 0*(41/0)=(0*41)/0=41 et donc 0x=41.
On a ainsi démontré que 41=0

Comme je l'écrivais plus haut, il faut que les notations employées et les règles de calcul formel constituent un ensemble cohérent ; ce n'est plus le cas dès lors qu'on s'autorise à écrire 0 au dénominateur.
En revanche, on pourra prendre pour convention que 0!=1 sans que cela n'engendre la moindre incohérence et, d'ailleurs, on ne se privera pas de le faire.

Zarathustra a écrit:

Par exemple, une définition mathématiquement acceptable du quotient de deux nombres réels n et d est, dans le corps des nombres réels, le produit de n par l'inverse de d. Si l'inverse de d existe (appelons le temporairement d'), alors le quotient, que l'on notera n/d, est défini comme étant le produit n*d'.
Pour pouvoir écrire 41/0 dans le contexte du corps des réels, il faudrait donc avoir à sa disposition dans R un inverse de 0, que je noterai temporairement 0', afin de pouvoir définir 41/0 comme étant 41*0'

hehehe

C'est exactement de ça que je parle !  "que je noterai temporairement".

Mais en maths rien n'interdit de donner un nom à un objet hypothétique (sous réserve bien sûr d'avoir préalablement mentionné son statut hypothétique - le cas des équations/inéquations posant un problème spécifique car ce statut hypothétique est souvent implicite) à condition que la notation employée ne vienne pas briser la cohérence de l'ensemble du système de notations, conventions et règles de calcul.

Zarathustra a écrit:Ben, à rien du tout, tiens.  C'est une expression formelle qui n'incarne pas un objet mathématique.  Comme le "Jules" de l'enquête qui n'existe pas comme humain, mais seulement comme nom d'un truc hypothétique dont on cherchait s'il existait ou non.  Comme tout caractère dans une oeuvre de fiction, si on veut !  C'est toute l'idée du "formel": ce ne sont que des symboles, des noms.  Peut-être qu'ils symbolisent un objet mathématique, peut-être non.

C'est sans doute de la psychorigidité, mais en maths, on se restreint à travailler sur des objets mathématiques. Si, on manipule une expression formelle qui ne symbolise pas un objet mathématique, alors on fait autre chose que des maths.

Zarathustra a écrit:Le f(6) peut être vu comme le "x" dans le "pour tout x élément de {}".  f(6) est le symbole du deuxième élément du couple X qui est l'intersection entre {6} X R et f.  Comme cette intersection est vide, f(6) est le symbole du deuxième élément du couple X, élément de {}.

Il m'échappe totalement pourquoi ce nom f(6) dans "pour tout (6,f(6)) élément de l'intersection de {6} X R et f: f(6) . 0 = 41 "... serait plus choquant que "pour tout x élément de {}, x^2 + 9 = 0"

Déjà, tout simplement parce que, par convention, f(6) désigne un objet existant et non pas le second élément d'un couple qui n'existe pas.

Et puis aussi parce que la phrase, "pour tout (6,f(6)) élément de l'intersection de {6} X R et f: f(6) . 0 = 41 " n'a aucun sens mathématique :
- on ne peut quantifier que des variables et il va quand même falloir enfreindre pas mal de conventions pour considérer 6 comme une variable ;
- la succession de lettres, de chiffres et de symboles "l'intersection de {6} X R et f: f(6) . 0 = 41 " ne veut absolument rien dire car, quand bien même on remplacerait f(6) par un autre symbole, la notation "f: f(6) . 0 = 41" resterait syntaxiquement incorrecte, elle ne décrit donc pas un ensemble et encore moins un sous-ensemble de R² dont on pourrait rechercher l'intersection avec {6} X R.

Sinon, le "pour tout x élément de {}" est quand même à manier avec précaution car on arrive vite à écrire que "pour tout x élément de {}, 2+2=5".

Zarathustra a écrit:(tu dis toujours "corps" ?  Je croyais qu'un corps était un champs qui manquait la commutativité dans le groupe multiplicatif, ou est-ce que je me trompe là ?)

Le terme "corps" n'est pas restrictif de ce point de vue, il désigne un anneau dont tout élément non nul est inversible pur la multiplication ; un corps peut donc être commutatif ou non (pour la multiplication). En France, on n'utilise pas le terme "champ" pour désigner un "corps commutatif", du moins on ne l'utilisait pas à l'époque où j'ai fait mes études.

Conversation très intéressante et une forte envie de participer même si j'arrive un peu tard.
Pour revenir à la question initiale :

Zarathustra a écrit:J'ai une question toute simple.  Mon fils en 1S a 2.5 points de moins sur un DS, simplement parce qu'il a écrit:

f'(a) = lim_{h-> 0}  ( f(a+h) - f(a) ) / h

pour une fonction donnée.  Puis il a fait le calcul, pour arriver au bon résultat.

Le prof a barré le f'(a), et à indiqué en bas: ... et donc ....

Je suppose, mais mon fils ne pouvait pas me le confirmer, qu'il s'agit d'une maniaquerie […]
Est-ce que cette maniaquerie est généralement appliquée ou est-ce un petit abus du prof de mon gamin ?

Même si on voit assez bien ce qui a pu se produire (cf BR) et même si des réponses très convaincantes et variées dans leur forme (de l'expéditive-ce n'est pas péjoratif- d'Anaxagore qui provoque toujours un sourire à la précision imagée de Moonchild en passant par celles de Balthazaard et BR) ont déjà été apportées, serait-il possible d'avoir l'énoncé exact de la question et éventuellement la rédaction de votre fils (photo de cette partie de la copie) ?

Non mais plutôt que tenter des contorsions invraisemblables, Zarathustra aurait pu nous parler de l'exemple des nombres complexe tels qu'ils sont apparus historiquement.

Notons quand même que lors d'un DS, l'élève n'est pas vraiment censé être en phase exploratoire à propos des notions sur lesquelles il est interrogé.  

Je n'interviens plus sur le corpus du sujet.
Par contre puisqu'on parle de division par zéro, deux liens que j'avais posté ailleurs sur ce sujet.
Une perle à lire absolument  

http://hubertelie.com/u_set_scien-fr-250-000-division-par-zero-0-fait-entrer-science-et-technologie-dans-nouvelle-dimension.html

Un travail rigoureux sur le même sujet qui montre que beaucoup de choses sont possibles si on prend les précautions qui vont avec et si on est conscient des limitations qui en découlent, de "vraies" maths.

https://www.google.fr/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=&ved=0ahUKEwi09-uYg9bRAhXEnBoKHcQWAIEQFghjMAc&url=http%3A%2F%2Fwww2.math.su.se%2Freports%2F2001%2F11%2F2001-11.pdf&usg=AFQjCNFLpYu29LWQQ7sjfEYmpHoXF0NIHg&cad=rja

vyneil a écrit:
- Le mathématicien découvre des choses qui existeraient sans lui. Son implication dans les résultats trouvés est nulle. Les applications des maths sont nombreuses: physique, stats, informatique etc. Tant mieux si ça peut servir, après tout, mais dans le fond, on s'en fout. En aucun cas le mathématicien ne pense pouvoir expliquer scientifiquement son univers car pour lui, ce qu'il découvre est un jeu. Curieusement lié à l'univers, d'ailleurs ! Ce qui explique pourquoi beaucoup de vrais mathématiciens (pas les profs) finissent leur vie en abordant des questions de théologie auxquelles ils ne croyaient pas nécessairement au début de leur vie.

Ça devient assez philosophique, mais je crois qu'il y autant de "mathématicien" dans les maths qu'il "découvre" (position Platonicienne) qu'il y ait du "physicien" dans les lois qu'il "découvre". D'ailleurs, si on pose la question à Roger Penrose (est-ce un physicien ou un mathématicien, d'ailleurs ?), on serait étonné des réponses qu'il suggère dans "The Road to Reality" (il y a sans doute une traduction française).

Mais tout le monde semble penser que mon argumentaire va dans le sens de la négligence de l'existence où non d'un objet mathématique. Ce n'est pas du tout ce que je dis. Je dis qu'il n'y a rien de choquant à considérer de donner un nom, un symbole, à un hypothétique objet mathématique qui peut très bien finalement, ne pas exister, et que c'est chose naturelle à faire, quand on explore, justement, son existence, ou non.
Je ne dis pas qu'on peut manipuler des objets formels COMME SI c'était des objets mathématiques existants. Là, c'est la catastrophe assurée. Je dis simplement que, pendant la phase d'exploration, il n'y a rien de mal à donner UN NOM, un symbole, au truc dont on est en train de déterminer s'il existe, ou non. Ce n'est pas un manque de rigueur. La rigueur consiste en distinguant bien ce dont on a prouvé que ça existe, de ce dont on n'a pas fait cela. Une façon radicale est bien sûr de jamais parler de celui dont on prononce pas le nom, et de ne jamais donner un nom à un truc qui n'existe pas, mais ça rend la vie plus difficile.

Et je relève des situations dans lesquels les mathématiciens font exactement ce qu'ils prétendent, est interdit. Et il y a même une notation pour cela: Pour tout x, élément de S partie de R. L'objet, élément de S, peut très bien ne pas exister si S est l'ensemble vide. Et il a quand même un nom.

Le "pour tout x élément de {} partie de R, x^2 + 9 = 0" est l'affirmation qu'un élément, potentiellement un nombre réel, et ayant un nom, x, satisfaisant une contradiction, n'existe pas.

On vous l'a dit sur tous les tons. Tout est dans la manière de conduire son raisonnement.

Le "pour tout x élément de {} partie de R, x^2 + 9 = 0" est l'affirmation qu'un élément, potentiellement un nombre réel, et ayant un nom, x, satisfaisant une contradiction, n'existe pas.

Il me semble que cela a été exploré et épuisé par Russel avec "l'actuel roi de France est chauve" et la réponse est plus subtile.

Zarathustra, si vous voulez un exemple pertinent prenez la distribution de Dirac.