question de notation de dérivée.

Anaxagore a écrit:
Lorsqu'on écrit des mathématiques, on écrit des mathématiques.

Certes, c'est très tautologique, mais je dirais quand-même que c'est hors sujet...

Je me permets de faire remarquer que se poser la question de savoir ce que l'on a le droit d'écrire ou non en mathématiques a causé de sacrés maux de tête au siècle dernier (avec en particulier l'existence ou non d'objets tels que X={E|E \in E}) et que la tentative de certains de faire passer Zarathustra pour un zozo ne me semble pas apporter une grande aide à ce dernier. En tout cas, certains n'ont pas fait preuve de leurs meilleures qualités pédagogiques sur ce fil.

Allez Jaybe. Faut mouiller la chemise. On te laisse les clefs, n'oublie pas de fermer en partant.

Je n'ai pas de réponse simple à apporter à toutes ses questions. C'est bien de l'avouer de temps en temps, non ?

On a répondu.

Zarathustra a écrit:

Balthazaard a écrit:Sommaire de cette page :
   La prétendue impossibilité de Diviser par Zéro: toute la Lumière sur un grand Mensonge scientifique!
 

A défaut de répondre à une question parfaitement légitime, simple et claire, peut-être parce qu'elle vous gêne, je ne sais pas, il me semble que vous essayez de noyer le poisson avec beaucoup de hors sujet et de fausse logique, non ?  En quoi cette question simple vous gêne tellement ?

"Pourquoi interdire l'expression symbolique d'un objet mathématique dont, justement, la question est son existence et dont l'expression symbolique, comme toujours, représente le problème auquel cet objet, s'il existe, serait l'unique solution ?"   Quel est l'avantage de faire cela sur le plan logique - ou autrement, quel problème se poserait-il si on le permettait ?

C'est une question simple, non ?  Vous êtes incapable d'y répondre et il vous faut 8 pages pour finalement, aller totalement hors sujet avec des propositions qui, à part un petit jeu social qui peut être amusant de votre coté - et je vous souhaite beaucoup de joie, c'est finalement le but de tout le monde - ne contribuent pas à la discussion ?  Vous adhérez à des interdits sans savoir pourquoi et quand on vous pose la question, ça vous embête à ce point-là ?

Disons que si je fais abstraction de ce que j'ai écrit et que je me contente de lire ce que tous les autre ont pu dire j'y ai vu de multiples fois la réponse à votre question. Mais il est vrai que je ne me place pas sur le plan de l'affectif et que je n'ai pas à condamner un méchant prof de maths qui a mis une mauvaise note à mon fil qui avait écrit NE VOUS EN DÉPLAISE n'importe quoi.

Je laisse ce fil à d'autre j'en ai marre de votre supériorité auto proclamée.
Ce fil d'un bout à l'autre n'a jamais parlé de maths, il devrait être déplacé en "société" ou autre.
J'envie ceux qui ont été assez malins pour le voir dès le début et ne pas s'y frotter ou Anaxagore qui a tout de suite compris la vacuité d'y participer.

jaybe a écrit:Je n'ai pas de réponse simple à apporter à toutes ses questions. C'est bien de l'avouer de temps en temps, non ?

Vous non, comme moi d'ailleurs mais de grands esprits s'y sont plongés et on peut difficilement balayer ou ignorer ce qu'ils ont dit ou écrit.

Voici un exemple qui, je l'espère, réglera la question :

u(x) = 1  sur R+  uniquement (non défini ailleurs)
v(x) = 1  sur R-   uniquement (non défini ailleurs)

u et v sont dérivables sur leur intervalle de définition avec
u'(x) = 0 sur R+  et  v'(x) = 0 sur R-

La fonction f=u/v n'étant définie qu'en 0, elle n'est pas dérivable
alors même que (u'v-uv')/v² existe et est bien défini en 0.

Zarathustra a écrit:out a fait.  Mais, comme je disais, cette structure "formelle" est quelque part intermédiaire entre le formel brut niveau "langage formel type L1", et "le fonctionnel réel".  C.a.d. on a une structure d'objet mathématique (l'anneau polynomial formel par exemple) qui n'est pas un ensemble de fonctions, mais qui est quand-même équipé de plus de structure (c'est un anneau: il a donc des règles de CALCUL, qui ne sont pas présentes au niveau L1).

Au niveau formel type L1, on peut écrire l'expression F(x) = (x+x), mais à ce niveau-là, ça ne se transforme pas en 2x, car la structure n'y est pas.  Par contre, on peut parfaitement écrire F(8) = (8+8), car la règle de substitution existe à ce niveau.

Au niveau R[X], on peut écrire l'expression f(x) = (x+x), et elle est bien remplaçable par f(x) = 2x, car la structure d'anneau le permet.  Sauf que ce n'est pas une fonction.  On ne peut pas dire que "2 est un élément du domaine de f", car f n'a pas de domaine, ce n'est pas une fonction.

A niveau de la fonction, on peut dire que f(x) = (x+x) = 2x, car maintenant, x représente un nombre réel.  On peut parler du domaine, on peut envisager de vouloir calculer f(2) = 2.2 = 4.

Mais on n'est pas obligé de passer par l'anneau formel, qui ne fait plus du tout parti du programme de lycée.  

Cette évasion dans les structures algébriques, certes fort intéressante, n'est pas vraiment ce dont j'essaie de parler.

Là, on avance un tout petit peu car il y a une tentative de définir un cadre mathématique qui serait en quelque sorte "l'anneau des fonctions formelles de la variable x sur R" que je vais le noter FoFo(x) ( FoFo pour "fonctions formelles"). Dans FoFo(x), il serait parfaitement légitime d'écrire que x+x=2x car FoFo(x) est un anneau.

Le problème qui se pose alors est celui de l'utilisation de la notation du quotient dans cet ensemble.
Prenons par exemple l'expression g(x)=x²/x :
- au niveau formel type L1, aucune transformation de cette écriture n'est possible ;
- au niveau de l'anneau R(X), on peut écrire que g(x)=x ;
- au niveau de l'anneau des fonctions formelles FoFo(x), on ne peut pas écrire que g(x) = x à cause du problème de l'évaluation en 0 (tu as toi même écrit que ce serait un manque de rigueur).
Mais là où ça se complique, c'est que si on pose h(x)=x*(x²+1)/(x²+1), alors au niveau de l'anneau des fonctions formelles FoFo(x), on peut en toute rigueur écrire que h(x)=x.

Les règles de calcul avec la notation fractionnaire dans l'anneau FoFo(x) sont donc très délicates à énoncer et doivent être maniées avec précaution. On peut toujours argumenter que les mathématiciens appliquent intuitivement ces règles, mais je ne vois pas de bénéfice majeur à construire cet anneau FoFo(x) comparativement à celui des fonctions définies sur un sous-ensemble donné E de R, en dehors du fait qu'on pourrait écrire des expressions ne correspondant à aucune fonction, bref des trucs avec lesquels on ne va de toute façon pas pouvoir travailler très longtemps.

Mais en réalité, pour un mathématicien, le problème avec cette notation fractionnaire dans FoFo(x) se trouve bien en amont de la règle de simplification car - on en revient toujours au même point - il faudrait la définir avec rigueur et non pas l'accepter en vertu de la simple présence de son écriture comme si son apparition était un signe de la volonté d'une puissance supérieure (sinon, constatant l'existence de l'expression gloups(x) ou de l'expression 5#3, on devrait en déduire que ces expressions ont bien un sens mathématiques puisqu'on peut les écrire).

Cette écriture fractionnaire est certes définie dans le cadre formel type L1 mais cela ne suffit pas car ce cadre ne gère pas les opérations dans un anneau ; dans ce cadre, l'écriture fractionnaire n'est pas systématiquement reliée à l'idée de division.

Le plus naturel serait de définir a/b comme le produit de a par l'inverse de b dans l'anneau FoFo(x), mais il faudrait alors définir avec précision qui sont les éléments inversibles dans FoFo(x). Si on fait ce choix, puisqu'on peut écrire x²/x, cela sous-entend que x est inversible dans FoFo(x) et il est alors incohérent d'affirmer qu'on ne peut pas écrire que x²/x=x ; de plus puisque tu n'hésites pas non plus à écrire 41/0, alors tu n'hésiteras pas non plus à écrire (x²+1)/0 dans FoFo(x) et donc cela sous-entend que 0 serait lui aussi inversible dans l'anneau FoFo(x), bousillant au passage sa structure d'anneau.
Bref, si on veut pouvoir conserver la structure d'anneau, la seule option qui ne soit pas incohérente serait de considérer que la notation fractionnaire n'a finalement rien à voir avec la notion d'inverse dans FoFo(x) (mais alors qu'est-ce donc ?) auquel cas il serait curieux de la rattacher ensuite à la division dans R lorsqu'on évalue un élément de FoFo(x) en une valeur réelle, en affirmant par exemple que 8/2 est une expression formelle qui peut être interprétée comme l'objet mathématique qui serait la solution unique de la division de 8 par 2.

Je te concède qu'il y a dans ce que tu écris une ébauche de théorie, mais pour l'instant elle contient des incohérences non résolues (en gros, vouloir écrire des 0 au dénominateur en conservant des règles de calcul analogues à celle d'un anneau tout en prétendant faire preuve de rigueur, c'est réclamer le beurre, l'argent du beurre et de cul de la crémière ; mais peut-être un jour découvriras-tu la crémerie idoine).

Zarathustra a écrit:"Pourquoi interdire l'expression symbolique d'un objet mathématique dont, justement, la question est son existence et dont l'expression symbolique, comme toujours, représente le problème auquel cet objet, s'il existe, serait l'unique solution ?"   Quel est l'avantage de faire cela sur le plan logique - ou autrement, quel problème se poserait-il si on le permettait ?

Ce "comme toujours" est un peu expéditif, car une expression symbolique ne représente pas un problème si on n'a pas préalablement défini mathématiquement le sens de tous les symboles employés et les règles de leur usage ; sinon, l'expression symbolique 5#3 représenterait elle aussi un problème mathématique.
Dans le fond, l'expression symbolique 41/0 ne représente pas un problème mathématique mais elle se contente d'évoquer un problème mathématique car nous sommes tous habitués, dans un contexte mathématique, à relier le trait de fraction à l'idée d'une division ; c'est un raccourci de pensée qui relève davantage de la psychologie ou de la neurologie que des mathématiques car, en mathématiques, il faudrait justement inhiber le réflexe neurologique qui nous fait percevoir une division dans une telle écriture.

Zarathustra a écrit:

Anaxagore a écrit:Tant que vous voudrez tourner vous ferez des tours.

41/0 est "un problème" maintenant. En mathématique on écrit des mathématiques. Ce n'est pas de la sténographie  mysticisante.

Bien sûr que c'est un problème.  Est-ce que pour vous, 8/2 n'est pas un problème ?  Ne symbolise-t-il pas le problème
"quel est l'unique nombre x tel que 2 x = 8" ?  Que représente 8/2 pour vous alors ?  

Le 8/2 c'est aussi le 8 février ; a priori le 8/2 n'est pas un problème pour moi, mais ça, je ne pourrai pas le confirmer avant le 9.  

Call_BB5A a écrit:Voici un exemple qui, je l'espère, réglera la question :

u(x) = 1  sur R+  uniquement (non défini ailleurs)
v(x) = 1  sur R-   uniquement (non défini ailleurs)

u et v sont dérivables sur leur intervalle de définition avec
u'(x) = 0 sur R+  et  v'(x) = 0 sur R-

La fonction f=u/v n'étant définie qu'en 0, elle n'est pas dérivable
alors même que (u'v-uv')/v² existe et est bien défini en 0.

Joli.

jaybe a écrit:Je me permets de faire remarquer que se poser la question de savoir ce que l'on a le droit d'écrire ou non en mathématiques a causé de sacrés maux de tête au siècle dernier (avec en particulier l'existence ou non d'objets tels que X={E|E \in E}).

Mais on ne peut pas ériger un problème logique à étudier en une démarche à systématiser, c'est-à-dire manipuler des écritures qui pourraient un jour signifier quelque chose, mais qui ne signifient rien, alors que nous avons le choix de faire autrement.

Call_BB5A a écrit:Voici un exemple qui, je l'espère, réglera la question :

u(x) = 1  sur R+  uniquement (non défini ailleurs)
v(x) = 1  sur R-   uniquement (non défini ailleurs)

u et v sont dérivables sur leur intervalle de définition avec
u'(x) = 0 sur R+  et  v'(x) = 0 sur R-

La fonction f=u/v n'étant définie qu'en 0, elle n'est pas dérivable
alors même que (u'v-uv')/v² existe et est bien défini en 0.

C'est un très bel exemple !

Il va presque à l'encontre du théorème utilisé, dont je pensais qu'il réglait la question: u dérivable, v dérivable, v non nul (car f existe), donc, u/v dérivable.

https://fr.wikiversity.org/wiki/Fonction_d%C3%A9riv%C3%A9e/D%C3%A9riv%C3%A9e_d'un_quotient

Soient u et v deux fonctions dérivables sur un domaine D.

La dérivée de la fonction f = u v {\displaystyle f={\frac {u}{v}}} {\displaystyle f={\frac {u}{v}}} est définie sur D privé des points où v s'annule par l’expression f ′ = u ′ v − u v ′ v 2 {\displaystyle f'={\frac {u'v-uv'}{v^{2}}}} {\displaystyle f'={\frac {u'v-uv'}{v^{2}}}}

La subtilité est que D doit être un domaine OUVERT. Ici, le domaine en question serait {0}, et là, il ne marche pas, ce théorème.

Merci.

Je ne suis pas sûr que ça règle la question de l'interdit d'écrire des expressions formelles qui posent la question de l'existence d'un objet, mais elle répond à la question si on peut utiliser ce genre de théorème comme "règle de calcul" pour prouver l'existence de la dérivée.

J'avoue que je n'avais plus en tête l'exigence d'un domaine ouvert.

Zarathustra a écrit:exigence d'un domaine ouvert

Ce n'est pas une condition nécessaire, mathématiquement parlant.

Zarathustra a écrit:

Anaxagore a écrit:
Lorsqu'on écrit des mathématiques, on écrit des mathématiques.

Certes, c'est très tautologique, mais je dirais quand-même que c'est hors sujet...

C'est l’hôpital qui se fout de la charité.

Call_BB5A a écrit:

Zarathustra a écrit:exigence d'un domaine ouvert

Ce n'est pas une condition nécessaire, mathématiquement parlant.

Ben, si.  Car sinon, l'exemple donné est un contre-exemple du théorème.  C'est d'ailleurs ce qui m'avait enduit en erreur:

comme il est formulé:

"
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un domaine D.
La dérivée de la fonction f = u/v est définie sur D privé des points où v s'annule par l’expression f ′ = (u ′ v − u v ′)/ v^2
"

Si ce théorème était vrai dans cet état, dans cette formulation, (et c'est comme ça que je l'avais lu et je ne me souvenais plus qu'il y a une condition supplémentaire, qui, justement, n'est pas mentionnée) alors la fonction donnée ci-dessus en serait un contre-exemple !

Effectivement, dans l'exemple donné, le domaine est {0}.  u et v sont dérivables en 0.  v ne s'y annule pas.  Toutes les conditions sont donc réunies pour écrire f' = (u' v - v' u)/v^2.  L'expression à droite étant bien définie et égale à 0 dans ce cas, le théorème dirait donc que dans le domaine, f' est égal à 0.  Ce qui n'est pas vrai.

Et la raison, c'est que la formulation ci-dessus du théorème n'est pas complète.  Il faut, en sus, que D soit un ensemble ouvert.   Il se peut qu'il soit suffisant que le point a où on veut appliquer le théorème, soit un point d'accumulation de D et qu'il ne soit pas strictement nécessaire que D soit ouvert.

Qu'est ce que cela change dans tout ce qui est dit ?

Cela change le fait que, quand on écrit:

f = u/v et on se demande si la dérivée existe, on ne peut pas simplement écrire, comme je l'avais proposé:

f' = (u' v - v' u) / v^2

mais qu'il faut y ajouter, justement, cette condition.

Je ne voyais pas l'utilité d'ajouter une condition, car dans la formulation comme ci-dessus, elle n'était pas nécessaire: dans tous les cas où la condition n'était pas satisfaite, l'expres​sion(u' v - v' u)/v^2 ne serait pas valide non plus:
- si u n'était pas dérivable, on ne pourrait pas calculer u'
- si v n'était pas dérivable, on ne pourrait pas calculer v'
- si v était 0, on ne pouvait pas réduire 1/v^2 à un nombre

Donc, comme formulé plus haut, la validation de l'expression en elle-même aurait suffi pour valider toutes les conditions.

Mais ce que l'exemple montre, c'est que le théorème, formulé ainsi, n'est pas correct, et a un contre-exemple.

Ainsi, quand on applique tout ce qu'il faut en essayant d'appliquer le théorème:

f'(x) = (u'(x) v(x) - v'(x) u(x))/v(x)^2   *si x élément du domaine D et D ouvert*

Ainsi, dans l'exemple donné, on pourra donc écrire (à ma façon...):

f'(0) = (0 . 1 - 0 . 1)/ 1^2 = 0  si 0 élément du domaine {0} et {0} est ouvert.

Comme cette dernière condition n'est pas validée, alors l'égalité/assignation n'est pas d'actualité, et cette proposition ne dit rien sur f'(0), sur son existence et éventuellement sa valeur.

C'est un peu du même genre que quand on a défini une fonction

f(x) = x + 3  si x > 3
f(x) = x^2 si x =< 3

Alors on peut écrire f(5) = 5^2 si 5 =< 3
comme 5 n'est pas plus petit que 3, alors 5^2 ne dit rien sur (5).

Heureusement que j'avais pris mes précautions quand j'avais écrit, dans un post précédent:

Zarathustra a écrit:
Non, la logique est dans l'autre sens.  On manipule ces objets formels, et s'ils donnent lieu à une contradiction, alors on sait que l'objet mathématique, suggéré par l'expression formelle, n'existe pas, au moins dans la mesure ou cette expression formelle est définissante.   Ce n'est pas parce que la manipulation marche, que l'objet existe, car ils peuvent y avoir d'autres conditions.

C'était la formulation maladroite avec le mot "contradiction" tandis que je voulais dire: "une indication de non-existence" ou quelque chose du genre, car "contradiction" est une valeur logique, ce qui n'est pas en cause ici.

Seulement, et c'est là que je me suis trompé avec la formulation de la dérivée du quotient, j'avais compris le théorème comme n'incluant pas des conditions supplémentaires, et il y en a (ici, que le point où on calcule le nombre dérivé doit se trouver dans un intervalle ouvert du domaine de définition).   Donc il fallait "emmener" cette condition, comme je l'écrit ci-dessus.

Je vais essayer d'expliciter un peu plus ma position, car j'ai l'impression d'être totalement mal compris, en vu des réactions de certains.
Je m'excuse aussi d'écrire des longs messages, je n'ai pas le temps d'en  faire des courts, si vous voyez ce que je veux dire: je ne suis pas Mme Fillon, je n'ai pas d'emploi fictif

Ma question est la suivante: "pourquoi interdire des expressions qui symbolisent le problème d'existence où non d'un objet mathématique?", car je crois qu'il y a un fondement parfaitement justifié à cette façon de faire, et c'est pour cela que je parle des langues formelles type L1 etc...

Mais j'ai l'impression que ma position est confondue avec une autre, qui est effectivement "ridicule" et qui peut, si cette confusion est faite, expliquer certaines réactions "autistes" ou "agressives", qui est: "on peut se foutre royalement de l'existence ou non des objets mathématiques, quand on peut calculer formellement avec, ça donne toujours la bonne réponse".  J'appellerai cette position, la "position Zozo" si vous voulez bien.

Mon erreur concernant le théorème de la dérivée du quotient, en plus, a pu renforcer cette impression.  Pour être clair, je ne prends pas du tout cette position-là.

Moonchild a écrit:

Zarathustra a écrit:out a fait.  Mais, comme je disais, cette structure "formelle" est quelque part intermédiaire entre le formel brut niveau "langage formel type L1", et "le fonctionnel réel".  C.a.d. on a une structure d'objet mathématique (l'anneau polynomial formel par exemple) qui n'est pas un ensemble de fonctions, mais qui est quand-même équipé de plus de structure (c'est un anneau: il a donc des règles de CALCUL, qui ne sont pas présentes au niveau L1).

Au niveau formel type L1, on peut écrire l'expression F(x) = (x+x), mais à ce niveau-là, ça ne se transforme pas en 2x, car la structure n'y est pas.  Par contre, on peut parfaitement écrire F(8) = (8+8), car la règle de substitution existe à ce niveau.

Au niveau R[X], on peut écrire l'expression f(x) = (x+x), et elle est bien remplaçable par f(x) = 2x, car la structure d'anneau le permet.  Sauf que ce n'est pas une fonction.  On ne peut pas dire que "2 est un élément du domaine de f", car f n'a pas de domaine, ce n'est pas une fonction.

A niveau de la fonction, on peut dire que f(x) = (x+x) = 2x, car maintenant, x représente un nombre réel.  On peut parler du domaine, on peut envisager de vouloir calculer f(2) = 2.2 = 4.

Mais on n'est pas obligé de passer par l'anneau formel, qui ne fait plus du tout parti du programme de lycée.  

Cette évasion dans les structures algébriques, certes fort intéressante, n'est pas vraiment ce dont j'essaie de parler.

Là, on avance un tout petit peu car il y a une tentative de définir un cadre mathématique qui serait en quelque sorte "l'anneau des fonctions formelles de la variable x sur R" que je vais le noter FoFo(x) ( FoFo pour "fonctions formelles"). Dans FoFo(x), il serait parfaitement légitime d'écrire que x+x=2x car FoFo(x) est un anneau.

Le problème qui se pose alors est celui de l'utilisation de la notation du quotient dans cet ensemble.
Prenons par exemple l'expression g(x)=x²/x :
- au niveau formel type L1, aucune transformation de cette écriture n'est possible ;
- au niveau de l'anneau R(X), on peut écrire que g(x)=x ;
- au niveau de l'anneau des fonctions formelles FoFo(x), on ne peut pas écrire que g(x) = x à cause du problème de l'évaluation en 0 (tu as toi même écrit que ce serait un manque de rigueur).
Mais là où ça se complique, c'est que si on pose h(x)=x*(x²+1)/(x²+1), alors au niveau de l'anneau des fonctions formelles FoFo(x), on peut en toute rigueur écrire que h(x)=x.

Justement, non.  Car la structure d'anneau formel est déjà de trop.

La façon dont je vois une notation formelle, c'est qu'elle peut subir, ou non, des règles de transformation de plus en plus sophistiquées, qui sont en fait des "classes d'équivalence d'expression formelle" et justement, la structure (algébrique, analytique....) en question détermine ces règles de transformation.

La différence entre ma position, et la position Zozo, c'est justement de distinguer quelles sont les règles de transformation permises et non.  On ne peut pas appliquer des règles de transformation d'expression sans avérer l'existence de l'objet mathématique sur lequel on veut les appliquer (si on les applique quand-même, c'est la position Zozo, justement).

Mais il y a une différence entre "ne pas pouvoir appliquer des règles de transformation" et "interdire d'écrire l'expression".
Aussi, on peut, selon moi, appliquer des règles de transformation *permises* dans des sous-expressions, à condition que l'existence des objets en question s'avère vraie.

C'est là où j'ai du mal à faire passer ma position, je crois, qui est confondue avec la position Zozo.

Ainsi, on n'a pas besoin de l'anneau FoFo, car les règles de transformation d'un anneau sont nuisibles dans ce cas, justement parce que les fonctions formelles n’obéissent pas au mêmes règles de transformation que les fonctions réelles.  On ne peut pas appliquer des règles de transformation aux objets qui n'existent pas dans la structure qui permet ces règles.

La simplification x (x^2 + 1) / (x^2 + 1) ne peut pas se faire au niveau formel (si on laisse de coté FoFo dont on n'a pas besoin).  Ce n'est que quand il est avéré que (x^2 + 1) est une vraie fonction, et que (x^2 + 1) est une vraie fonction, et que, en plus, (x^2 + 1) ne contient pas 0 dans son image, qu'on peut envisager de simplifier.  Car ce n'est que à ce moment-là que la règle de transformation de simplification est valide dans les fonctions réelles.

Les règles de calcul avec la notation fractionnaire dans l'anneau FoFo(x) sont donc très délicates à énoncer et doivent être maniées avec précaution. On peut toujours argumenter que les mathématiciens appliquent intuitivement ces règles, mais je ne vois pas de bénéfice majeur à construire cet anneau FoFo(x) comparativement à celui des fonctions définies sur un sous-ensemble donné E de R, en dehors du fait qu'on pourrait écrire des expressions ne correspondant à aucune fonction, bref des trucs avec lesquels on ne va de toute façon pas pouvoir travailler très longtemps.

Mais en réalité, pour un mathématicien, le problème avec cette notation fractionnaire dans FoFo(x) se trouve bien en amont de la règle de simplification car - on en revient toujours au même point - il faudrait la définir avec rigueur et non pas l'accepter en vertu de la simple présence de son écriture comme si son apparition était un signe de la volonté d'une puissance supérieure (sinon, constatant l'existence de l'expression gloups(x) ou de l'expression 5#3, on devrait en déduire que ces expressions ont bien un sens mathématiques puisqu'on peut les écrire).

Non, il y a quand-même de la structure SYNTAXIQUE sur L1.  La syntaxe exacte est déterminée par les structures mathématiques qu'on veut envisager.  41/0 a un sens, 41+*--7+, non.  

Là, je rejoins le "dogme", on ne peut pas écrire quelque chose hors cette structure.  C'est la couche du fond, si on veut.

Cette écriture fractionnaire est certes définie dans le cadre formel type L1 mais cela ne suffit pas car ce cadre ne gère pas les opérations dans un anneau ; dans ce cadre, l'écriture fractionnaire n'est pas systématiquement reliée à l'idée de division.

Exactement.  Il faut donc la laisser en place, jusqu'à ce que les deux sous-arbres sont prouvés de faire parti de la structure suffisante, (un anneau, par exemple) dans le domaine du problème, avant de pouvoir interpréter cette écriture.  Par contre, sa syntaxe est déjà définie dans L1 bien sûr.

Je ne crois pas que ce que je dis est idiot au point où c'est ridicule. Il se peut que ce ne soit pas valable, mais j'aimerais entendre un argument. Mais là, on est en bonne voie, j'ai l'impression...

Vous comptez, quand vous serez "arrivé" (où ça, on se le demande ? à montrer qu'une fonction est définie même quand elle ne l'est pas ?), imprimer les neuf + epsilon pages de science-fiction que aurez suscitées pour les mettre sous le nez de l'enseignant de votre fils ? N'oubliez pas mes posts, alors. Pour ma part je ne ne vous lirai plus, je vous ai passé en ignoré, car la vie est courte.
Si vous enseignez, j'espère que les parents de vos élèves ne leur bourrent pas le mou avec des âneries de ce genre, sinon vous verrez comme la tâche sera facile. Tiens, peut-être serez-vous contraint de mettre zéro à certaines réponses totalement à côté de la plaque...
Ce fil n'est pas à sa place, il est à ranger dans "Loisirs".

Pour des expressions formelles dans K(X), où K est un corps, R dans la discussion, je trouve que l'option de Godement est excellente : X est un objet transcendant sur K.
Il n'y a alors aucun problème pour simplifier X²/X ou pour écrire X⁰=1.

Ensuite on peut se poser des questions du genre  : que ce passe t-il si on substitue 0 à X ?

Mais c'est après avoir éventuellement simplifié.

Quand aux interventions de RogerMartin je ne les trouve pas transcendantes.
Mais, en étant généreux,  plutôt trollesques.
En étant moins généreux, je me tais avant de me faire bannir.

J'adore le 'je vais le faire à la physicienne', il est tellement vrai !