question de notation de dérivée.

PauvreYorick a écrit:
Incidemment, vous remarquerez que la forme « bérascoffer » (-er) est de vous. C'est vous qui avez voulu traiter ça comme un verbe du 1er groupe conjugué à la 2e personne du pluriel. Une infinité exactement d'autres interprétations étaient sûrement possibles.

PauvreYorick a écrit:La proposition « La suite de quatre signes "41/0" ne représente pas un nombre » a un sens en français, oui. J'admets cela, naturellement

PauvreYorick a écrit:Bah, ç'aurait pu être une typo un peu bizarre. J'aurais pu écrire par mégarde bérascoffez à la place de "avez un usage quelque peu idiosyncrasique des symboles. La preuve, vous tendez à interpréter comme si ça avait un sens quelque chose qui peut très bien n'être qu'une erreur de", parce que, par exemple, j'aurais porté des gants.

PauvreYorick a écrit:Incidemment, rien que votre trouvaille sur Google a quelque chose de savoureux, dans la conversation: vous faites preuve d'une telle générosité herméneutique que, dirait-on, tout ce qu'on peut écrire, y compris si c'est volontairement n'importe quoi, semble être doté d'un sens

Zarathustra a écrit:



Est-ce que le "bon prof de maths" enlève une partie ou tous les points, si un élève ose écrire:

f(x) = (x^2 + 5)/(x-6)

le dénominateur de f étant (x-6), on va résoudre l'équation x - 6 = 0.
La solution est 6.  Comme le dénominateur d'une fonction ne peut pas devenir 0, f ne peut pas contenir 6 dans son domaine.

Car l'erreur fatale que commet l'élève, c'est de dire que (x-6) est le dénominateur de f, tout en considérant que c'est une fonction avec comme domaine, tout R.  Il va chercher v(x) = 0, et trouve x = 6.  Mais il a donc considéré que le dénominateur était une fonction qui avait 0 dans son image ; alors ça ne pouvait pas être un dénominateur.

Ou est-ce que je pinaille ?

Zarathustra a écrit:Bon, allez, une question.  Comment faut-il rédiger la démonstration que 6 n'est pas un élément du domaine de la fonction f(x) = (x^2 + 5)/(x-6) si on veut se tenir aux attentes de ne jamais écrire une expression formelle qui ne correspond pas à un objet mathématique ?

Car, quand on considère la fonction f comme un quotient de deux fonctions, f = u/v, on ne peut pas prendre comme fonction:
v: R -> R: x -> x - 6 avec son domaine égal à R, car alors, l'expression u/v (comme quotient de fonctions) n'est pas autorisée (on ne peut pas avoir un quotient de fonctions dont la deuxième contient 0 dans son image, et v contient bien 0 dans son image, car v(6) = 0).

Il faut donc considérer la fonction w: R -> R: x -> x - 6 avec son domaine égal à R \ {6}.  L'image de w ne contenant pas 0, on peut tout à fait définir une fonction g qui est le quotient de u et de w: g = u/w.  Cette expression est existante.

Mais pourquoi est-ce que g soit égal à f ?  

Idéalement, il faudrait considérer f comme l'expression donnée, et "enlever les points du domaine, là où le dénominateur devient 0".  Mais pour faire cela, il faut considérer une expression qui n'existe pas: f = u/v, pour pouvoir obtenir v et chercher où v devient 0.

Donc, comment fait-on pour rédiger correctement, en respectant les attentes, que 6 ne peut pas être un élément du domaine de f, "car son dénominateur devient zéro" ?  Parce que pour que le dénominateur de f puisse être considéré comme une fonction, il faut qu'il soit le quotient Q dans une expression f = P/Q, et pour que cette expression ait un sens, Q ne peut pas avoir 0 dans son image.  On ne peut donc pas résoudre l'équation Q(x) = 0 pour trouver ces points (enfin, on peut, mais il n'y en a pas).  Et quand on considère une expression R(x) qui peut devenir 0 (et qui contient donc 0 en son image), R ne peut pas être le quotient dans une expression f = P/R, qui est alors l'équivalent fonctionnel de 41/0 pour des réels.

Comment on doit rédiger ça ?

Il est tentant de faire ce que je viens de faire: considérons la fonction v, et enlevons les couples de v qui ont 0 comme deuxième élément.  Le problème que je vois, c'est qu'a aucun moment, on peut considérer v.  v vient de nulle part.
L'expression de f nécessitant une existence, on ne peut pas dire que f "voudrait être" u/v "sauf là où v devient 0".  Ce quotient n'existe pas, on ne peut donc pas l'écrire.  On ne peut pas prendre (x-6) de l'expression de l'énoncé, et dire que c'est le dénominateur de f, et en même temps considérer que c'est la fonction v.  Car si (x-6) est le dénominateur de f, il n'a pas d'image contenant 0 - sinon ce n'est pas le dénominateur de f et on ne saurait pas pourquoi l'étudier.

Est-ce que le "bon prof de maths" enlève une partie ou tous les points, si un élève ose écrire:

f(x) = (x^2 + 5)/(x-6)

le dénominateur de f étant (x-6), on va résoudre l'équation x - 6 = 0.
La solution est 6.  Comme le dénominateur d'une fonction ne peut pas devenir 0, f ne peut pas contenir 6 dans son domaine.

Car l'erreur fatale que commet l'élève, c'est de dire que (x-6) est le dénominateur de f, tout en considérant que c'est une fonction avec comme domaine, tout R.  Il va chercher v(x) = 0, et trouve x = 6.  Mais il a donc considéré que le dénominateur était une fonction qui avait 0 dans son image ; alors ça ne pouvait pas être un dénominateur.

Ou est-ce que je pinaille ?

Zarathustra a écrit:Bon, allez, une question.  Comment faut-il rédiger la démonstration que 6 n'est pas un élément du domaine de la fonction f(x) = (x^2 + 5)/(x-6) si on veut se tenir aux attentes de ne jamais écrire une expression formelle qui ne correspond pas à un objet mathématique ?

Moonchild a écrit:

Zarathustra a écrit:Oui, mais c'est cela que j'essaie de faire comprendre que c'est "hypocrite". Pour prendre l'exemple de g(x) = (x^2 + 5) / (x - 6), qui est une expression formelle, il faut bien "mettre 6 dedans" pour VOIR qu'on va diviser par 0. Pour ne pas écrire cette "horreur" de 41/0, alors on fait semblant de ne pas le faire, et on va regarder par quoi on divise, c'est (x-6), et là, on va mettre 6 dedans, et constater que c'est 0. Mais c'est exactement ce qu'on avait dit qu'on pouvait pas faire: "mettre dedans et constater qu'on a un 0 en bas". On prend le "morceau d'en bas, on met dedans, et on voit si ça donne 0", c'est exactement la même chose que "mettre dedans et voir si on a 0 en bas".

J'aurais tendance à dire que c'est une approche de physicien : pour savoir si g(6) existe, on fait l'expérience et comme on observe que l'expérience rate, alors on en conclut que g(6) n'existe pas.
C'est aussi une approche intuitive assez convaincante, mais elle n'est pas correcte en tant que démonstration mathématique car une telle rédaction suppose qu'il existe un objet mathématique noté 41/0 que l'on peut obtenir comme résultat d'un calcul.

Afin que tout soit clair, il faudrait d'abord replacer l'expression formelle dans la phrase qui l'introduit. Prenons par exemple la question :
"Déterminer l'ensemble de définition de la fonction g(x) = (x^2 + 5) / (x - 6)" (avec pour implicite usuel au niveau lycée "fonction de la variable réelle x")
Une rédaction possible est :

Pour tout réel x, g(x) est défini ssi x-6 est différent de 0.

Or, pour tout x réel, x-6=0 ssi x=6.

(donc x-6 est différent de 0 ssi x est différent de 0) souvent cette étape sera implicite

Conclusion, g(x) est défini pour tout réel x différent de 6.

A aucun moment dans cette démonstration il n'a été effectué de division par zéro ; au contraire, la première ligne rappelle que ce n'est pas possible.

Zarathustra a écrit:Bon, allez, une question.  Comment faut-il rédiger la démonstration que 6 n'est pas un élément du domaine de la fonction f(x) = (x^2 + 5)/(x-6) si on veut se tenir aux attentes de ne jamais écrire une expression formelle qui ne correspond pas à un objet mathématique ?

Car, quand on considère la fonction f comme un quotient de deux fonctions, f = u/v, on ne peut pas prendre comme fonction:
v: R -> R: x -> x - 6 avec son domaine égal à R, car alors, l'expression u/v (comme quotient de fonctions) n'est pas autorisée (on ne peut pas avoir un quotient de fonctions dont la deuxième contient 0 dans son image, et v contient bien 0 dans son image, car v(6) = 0).

Il faut donc considérer la fonction w: R -> R: x -> x - 6 avec son domaine égal à R \ {6}.  L'image de w ne contenant pas 0, on peut tout à fait définir une fonction g qui est le quotient de u et de w: g = u/w.  Cette expression est existante.

Mais pourquoi est-ce que g soit égal à f ?  

Idéalement, il faudrait considérer f comme l'expression donnée, et "enlever les points du domaine, là où le dénominateur devient 0".  Mais pour faire cela, il faut considérer une expression qui n'existe pas: f = u/v, pour pouvoir obtenir v et chercher où v devient 0.

Donc, comment fait-on pour rédiger correctement, en respectant les attentes, que 6 ne peut pas être un élément du domaine de f, "car son dénominateur devient zéro" ?  Parce que pour que le dénominateur de f puisse être considéré comme une fonction, il faut qu'il soit le quotient Q dans une expression f = P/Q, et pour que cette expression ait un sens, Q ne peut pas avoir 0 dans son image.  On ne peut donc pas résoudre l'équation Q(x) = 0 pour trouver ces points (enfin, on peut, mais il n'y en a pas).  Et quand on considère une expression R(x) qui peut devenir 0 (et qui contient donc 0 en son image), R ne peut pas être le quotient dans une expression f = P/R, qui est alors l'équivalent fonctionnel de 41/0 pour des réels.

Comment on doit rédiger ça ?

Il est tentant de faire ce que je viens de faire: considérons la fonction v, et enlevons les couples de v qui ont 0 comme deuxième élément.  Le problème que je vois, c'est qu'a aucun moment, on peut considérer v.  v vient de nulle part.
L'expression de f nécessitant une existence, on ne peut pas dire que f "voudrait être" u/v "sauf là où v devient 0".  Ce quotient n'existe pas, on ne peut donc pas l'écrire.  On ne peut pas prendre (x-6) de l'expression de l'énoncé, et dire que c'est le dénominateur de f, et en même temps considérer que c'est la fonction v.  Car si (x-6) est le dénominateur de f, il n'a pas d'image contenant 0 - sinon ce n'est pas le dénominateur de f et on ne saurait pas pourquoi l'étudier.

Est-ce que le "bon prof de maths" enlève une partie ou tous les points, si un élève ose écrire:

f(x) = (x^2 + 5)/(x-6)

le dénominateur de f étant (x-6), on va résoudre l'équation x - 6 = 0.
La solution est 6.  Comme le dénominateur d'une fonction ne peut pas devenir 0, f ne peut pas contenir 6 dans son domaine.

Car l'erreur fatale que commet l'élève, c'est de dire que (x-6) est le dénominateur de f, tout en considérant que c'est une fonction avec comme domaine, tout R.  Il va chercher v(x) = 0, et trouve x = 6.  Mais il a donc considéré que le dénominateur était une fonction qui avait 0 dans son image ; alors ça ne pouvait pas être un dénominateur.

Ou est-ce que je pinaille ?