question de notation de dérivée.

Moonchild a écrit:
Comme n'importe quel prof de maths, je vais hurler qu'il ne faut pas écrire (36 + 5)/0 car le nombre 41/0 n'existe pas (une rédaction correcte aurait été par exemple d'écrire que "puisque g(x) = (x^2 + 5)/(x-6) et que 6-6=0 alors g n'est pas définie en 6").
Je crois que la difficulté réside dans un implicite lié au statut de la lettre : lorsqu'on écrit "soit f la fonction définie f(x) = sqrt(x - 3)" cela sous-entend "pour toutes les valeurs (re-sous-entendues "réelles") de x pour lesquelles cette expression a un sens".
Mais dès lors qu'on fixe une valeur précise à ce x et que cette valeur tombe hors du domaine de  définition - par exemple si on écrit g(6) dans l'exemple précédent - alors cette notation n'a plus aucun sens et on a commis une erreur de rédaction, voire de raisonnement si on est un peu tatillon.
Plus subtil :
- écrire "soit f la fonction définie par f(x) = sqrt(x - 3)" est correct en vertu de l'implicite mentionné ci-dessus ;
- mais écrire "soit x un nombre réel, on pose f(x) = sqrt(x - 3)" pose problème car cela sous-entend que l'expression "sqrt(x - 3)" a un sens pour n'importe quel nombre réel x, ce qui est évidemment faux.

Oui, mais c'est cela que j'essaie de faire comprendre que c'est "hypocrite". Pour prendre l'exemple de g(x) = (x^2 + 5) / (x - 6), qui est une expression formelle, il faut bien "mettre 6 dedans" pour VOIR qu'on va diviser par 0. Pour ne pas écrire cette "horreur" de 41/0, alors on fait semblant de ne pas le faire, et on va regarder par quoi on divise, c'est (x-6), et là, on va mettre 6 dedans, et constater que c'est 0. Mais c'est exactement ce qu'on avait dit qu'on pouvait pas faire: "mettre dedans et constater qu'on a un 0 en bas". On prend le "morceau d'en bas, on met dedans, et on voit si ça donne 0", c'est exactement la même chose que "mettre dedans et voir si on a 0 en bas".

Ecrire "g(x) = u(x) / v(x), et g(0) est la division de u(0) par v(0) mais v(0) est 0, donc ça ne marche pas" n'est pas formellement différent de "g(0) = u(0)/v(0) = u(0)/0"

Car de toute façon, l'objet mathématique n'existe pas. g(0) n'existe pas. On peut donc pas écrire que g(x) = u(x)/v(x) pour x = 0. L'égalité n'avait déjà pas de sens. Donc tout ce qu'on fait avec cette expression n'est que formel de toute façon.

Eviter d'écrire "41/0" pour CONSTATER que ça ne marche pas, CAR il y a un 0 en bas, mais en même temps dire que le truc (qui n'existe pas!) serait la division de 41 par un truc qui devient 0, est hypocrite. On fait deux fois la même chose. On a une expression formelle, qui devient 0 en bas, et donc, qui ne se matérialise pas en un objet mathématique existant. L'expression formelle même n'a donc pas de sens, mais il faut bien la considérer, manipuler dessus comme si c'était le cas, pour s'en rendre compte. Ecrire "A/B est 41/0 donc ça ne marche pas, ou A est 41, et B est 0, donc A/B ne marche pas, est quand-même identique dans la démarche, non ?

Anaxagore a écrit:On n'écrit pas quelque chose qui n'a pas de sens.

Mais, comme je l'ai indiqué plusieurs fois maintenant, on fait ça tout le temps.

Quand on écrit x^2 + 9 = 0

ça n'a pas de sens.

Le truc "x" n'existe pas, et l'égalité n'a pas de sens. (pour x réel)

Pourtant, on ne hurle pas, non ?

On ne divise pas par quelque chose qui peut s'annuler. C'est tout.

Zarathustra a écrit:

Anaxagore a écrit:On n'écrit pas quelque chose qui n'a pas de sens.

Mais, comme je l'ai indiqué plusieurs fois maintenant, on fait ça tout le temps.

Quand on écrit x^2 + 9 = 0

ça n'a pas de sens.

Le truc "x" n'existe pas, et l'égalité n'a pas de sens.  (pour x réel)

Pourtant, on ne hurle pas, non ?

Si ça a un sens et la valeur de vérité de cette proposition est faux quel que soit x réel.

Zarathustra a écrit:C'est étrange qu'on considère qu'écrire f'(a) implique son existence, mais écrire lim_{h->0} (f(a+h) - f(a))/h n'implique pas l'existence de la limite, hein.   On a ici exactement le genre de "purisme mal placé" que je dénonce.  On ne peut pas PROUVER l'existence d'un objet mathématique sans donner un nom à l'objet dont on veut parler.  On se fait du mal pour rien.

Il y a effectivement le même problème avec la notation lim_{h->0} (f(a+h) - f(a))/h.
En fait, une rédaction mathématiquement correcte est tout-à-fait possible pour ce type de question et elle consisterait à :
1) pour a fixé dans l'ensemble de définition de f, pour tout h non nul tel que a+h appartient à l'ensemble de définition de f, travailler avec le taux d'accroissement (f(a+h) - f(a))/h ;
2) n'utiliser la notation lim_{h->0} (f(a+h) - f(a))/h qu'après obtenu une écriture du taux d'accroissement qui permette de démontrer l'existence de cette limite ;
3) n'utiliser la notation f'(a) qu'après avoir justifié que la limite ci-dessus est finie.

Zarathustra a écrit:Je ne vois pas la différence entre:

1) l'écriture formelle f'(a) = lim_{h->0} (f(a+h) - f(a))/h  
(qui peut très bien ne pas exister pour a = 2)

2) l'écriture formelle f(x) = sqrt(x - 3)
(qui n'existe pas pour x = 2)

3) l'équation x^2 + 3 = 0
(qui n'a pas de solution pour x)

Il n'y a aucune hypocrisie dans tout ça et, encore une fois la différence réside dans ce qui est implicite car en réalité aucune de ces expressions formelles n'a de sens mathématique présentée ainsi hors de leur contexte (à moins de rajouter encore une couche supplémentaire d'implicite).

Reprenons ces deux derniers exemples :

2) l'écriture formelle f(x) = sqrt(x - 3) se rencontre en général en général dans une phrase du genre "soit f la fonction définie par f(x) = sqrt(x - 3)" avec pour implicite de ce qui est écrit en gras : "pour les valeurs réelles de x pour lesquelles cette expression a un sens" ;

3) quand on demande de "résoudre dans R l'équation x^2 + 3 = 0", l'implicite est "rechercher les valeurs réelles de x telles que cette égalité soit vraie" (il n'est pas rare que les élèves commencent par écrire "pour tout x réel, x^2 + 3 = 0" ce qui est évidemment faux et ils comprennent très mal la nuance avec "pour tout x réel, x^2 + 3 = 0 ssi x^2 = -3" qui est une assertion parfaitement exacte)

Dans ces deux cas, l'implicite ne réside pas dans l'écriture formelle en elle-même, mais dans la phrase qui l'introduit.

Dans l'exemple 1) l'écriture formelle "f'(a) = lim_{h->0} (f(a+h) - f(a))/h" peut très bien être acceptable ou non selon le contexte dans lequel elle est introduite : lorsque la dérivabilité de  f est considérée comme admise alors c'est acceptable, mais lorsqu'il s'agit de justifier que la fonction f est dérivable en a, alors commencer la démonstration par poser cette notation est effectivement incorrect (en revanche commencer par écrire que "si cette limite existe et est finie, alors f'(a) = lim_{h->0} (f(a+h) - f(a))/h" est acceptable).

Zarathustra a écrit:Je ne râle pas pour ces 2.5 points.  On s'en fout.   Mais il y a une contradiction entre le coté totalement "intuitif" et l'absence de vraie rigueur dans les programmes actuels, et des exigences (notés ou non) qui n'ont plus lieu d'être car ils n'ont plus aucune valeur logique dans le cadre des programmes actuels.  Imposer des interdits de notation, qui ne sont plus basées sur une déduction logique du pourquoi, c'est ce que j'appelle pinailler et de la fausse rigueur.

Il est vrai que le programme induit un nombre certain de hiatus logiques, mais si on en fait un prétexte à ne plus poser aucun interdit de notation alors autant totalement déléguer l'enseignement des maths aux physiciens.  
Concrètement, tout est question de compromis : comment, dans le contexte d'un programme dont la cohérence interne est discutable, avec des élèves qui souvent n'ont pas les bases, faire en sorte de maintenir une certaine initiation à la rigueur mathématique ?
En pratique, on laissera passer sans les pénaliser de nombreux abus de notation, mais il n'est pas déraisonnable de sanctionner certaines erreurs spécifiques à condition de les avoir expliquées. Dans le cas présent, puisque que l'objectif est précisément de démontrer l'existence d'un objet mathématique, il n'est pas choquant de sanctionner une rédaction qui laisserait supposer qu'on a dès le départ admis son existence car cela montre que la "chronologie" de la démarche n'a pas été totalement comprise. Après, tout est question de mesure dans cette pénalité.

Zarathustra a écrit:Oui, mais c'est cela que j'essaie de faire comprendre que c'est "hypocrite". Pour prendre l'exemple de g(x) = (x^2 + 5) / (x - 6), qui est une expression formelle, il faut bien "mettre 6 dedans" pour VOIR qu'on va diviser par 0. Pour ne pas écrire cette "horreur" de 41/0, alors on fait semblant de ne pas le faire, et on va regarder par quoi on divise, c'est (x-6), et là, on va mettre 6 dedans, et constater que c'est 0. Mais c'est exactement ce qu'on avait dit qu'on pouvait pas faire: "mettre dedans et constater qu'on a un 0 en bas". On prend le "morceau d'en bas, on met dedans, et on voit si ça donne 0", c'est exactement la même chose que "mettre dedans et voir si on a 0 en bas".

J'aurais tendance à dire que c'est une approche de physicien : pour savoir si g(6) existe, on fait l'expérience et comme on observe que l'expérience rate, alors on en conclut que g(6) n'existe pas.
C'est aussi une approche intuitive assez convaincante, mais elle n'est pas correcte en tant que démonstration mathématique car une telle rédaction suppose qu'il existe un objet mathématique noté 41/0 que l'on peut obtenir comme résultat d'un calcul.

Afin que tout soit clair, il faudrait d'abord replacer l'expression formelle dans la phrase qui l'introduit. Prenons par exemple la question :
"Déterminer l'ensemble de définition de la fonction g(x) = (x^2 + 5) / (x - 6)" (avec pour implicite usuel au niveau lycée "fonction de la variable réelle x")
Une rédaction possible est :

Pour tout réel x, g(x) est défini ssi x-6 est différent de 0.

Or, pour tout x réel, x-6=0 ssi x=6.

(donc x-6 est différent de 0 ssi x est différent de 0) souvent cette étape sera implicite

Conclusion, g(x) est défini pour tout réel x différent de 6.

A aucun moment dans cette démonstration il n'a été effectué de division par zéro ; au contraire, la première ligne rappelle que ce n'est pas possible.

Je crois que dans le fond le malentendu provient du fait que les physiciens et les mathématiciens ont une conception très différente des objets mathématiques : pour les physiciens ce ne sont que des outils formels qu'ils manipulent pour modéliser et approximer le monde réel tant que "ça marche" et dès que ça ne marche plus, ils les balancent ; tandis que les mathématiciens ont le souci constant de justifier les conditions d'existence de ces objets dans une théorie cohérente.

Anaxagore a écrit:

Zarathustra a écrit:

Anaxagore a écrit:On n'écrit pas quelque chose qui n'a pas de sens.

Mais, comme je l'ai indiqué plusieurs fois maintenant, on fait ça tout le temps.

Quand on écrit x^2 + 9 = 0

ça n'a pas de sens.

Le truc "x" n'existe pas, et l'égalité n'a pas de sens.  (pour x réel)

Pourtant, on ne hurle pas, non ?

Si ça a un sens et la valeur de vérité de cette proposition est faux quel que soit x réel.

OK. Ce sont peut-être les informaticiens qui vont pouvoir nous aider alors.

Tu considères l'équation x^2 + 3 = 0 comme une fonction implicite Booléenne, des valeurs de réels (x) dans l'ensemble {Vrai, Faux}. On ne donne pas de nom à cette fonction, on écrit juste son expression Booléenne, qui est l'équation, vue comme une proposition logique (c.a.d. un élément dans {vrai,faux}). Le symbole "=" est considéré comme un test.

Quand on écrit: f(x) = x^2 + 3, on n'entend pas le "=" comme un "test Booléen" (comme tu viens de le faire), mais plutôt comme une assignation, une forme de définition des symboles f(x). f(x) est maintenant formellement définie comme étant l'expression "x^2 + 3" et en même temps, on considère la fonction mathématique (ensemble de couples (x,y)) tel que la valeur de y, dans chaque couple, prend la valeur qu'on obtient quand on "exécute" le calcul spécifié par l'expression formelle (ici donc x^2 + 3) à la valeur de x dans ce couple.

En d'autres termes, le "=" dans une équation (où c'est un test) et le "=" dans l'introduction d'un nouveau symbole, n'a pas la même signification. Dans le premier cas, c'est un test, dans le deuxième cas, c'est une assignation formelle (qui implique aussi, *dans la mesure où cette expression formelle prend du sens*, un vrai objet mathématique).

Pour pouvoir *explorer* le sens de cette expression formelle, je ne vois pas comment on peut ne pas manipuler cette expression. Hurler que l'objet mathématique qu'elle est sensée éventuellement représenter n'existe pas et que DONC on n'a pas le droit d'écrire cette expression, me semble étrange, et, franchement, impossible, sans contourner de façon implicite, l'interdiction qu'on vient de se poser.

41/0 est une expression formelle bien définie (comme expression formelle, c.a.d. suite de symboles selon une syntaxe qui signifie quelque chose), mais ne représente pas un nombre. Ça indique seulement que le calcul prescrit par l'expression formelle veut l'élément inverse multiplicatif de 0, dont on sait qu'il n'existe pas, et donc que cette expression ne donne pas lieu à un objet mathématique, mais pour pouvoir le voir, il faut bien, à un certain moment, être confronté à la demande d'avoir l'élément réciproque de 0. On ne peut pas l'éviter.
Si on analyse (x^2 + 5)/(x-6), et on considère ce que donne cette expression pour x = 6, on peut constater que c'est une expression qui, à un certain moment, veut l'élément réciproque de (x-6), ce qui donne l'élément réciproque de 0.

Je me répète peut-être, mais je ne vois pas où est la différence entre dire:
"comme dans l'expres​sion(x^2 + 5)/(x-6), on veut le réciproque de (x-6), ce qui devient le réciproque de 0 quand x = 6, ça ne va pas marcher"

et

"si on met 6 dans (x^2 + 5)/(x-6), alors on obtient 41/0, qui est une expression qui demande qu'on calcule le réciproque de 0, ce qui ne va pas marcher".

La différence entre ces deux explications m'échappe totalement. Pour moi, on dit deux fois la même chose, sauf que dans le premier cas, comme on a "appris" qu'on ne peut pas écrire 41/0, on le dit avec des mots. On dit que le truc par lequel il fallait, selon l'expression formelle, diviser, était 0, et qu'on ne peut pas. Mais c'est exactement la même chose, hein. On dit qu'on devrait diviser par 0, et que cela implique que l'expression formelle ne donne pas un nombre.

Pourtant, j'ai l'impression qu'un prof de math trouve le premier bien, et va hurler quand il voit le deuxième. Mais je ne sais pas pourquoi. Dans les deux cas, on est en train de voir si l'objet mathématique existe à partir d'une expression formelle, dans les deux cas on arrive à dire que l'objet mathématique n'existe pas, et que DONC l'expression formelle "a un problème". Dans la mesure où on avait ASSIGNÉ l'expression formelle à f(x) = (x^2 + 5)/(x-6), on sait que cette assignation ne donne pas lieu à un objet mathématique existant quand x est 6. Mais dans la mesure où on considère l'assignation formelle, f(6) a bien un sens formel: c'est l'expres​sion(6^2 + 5) / (6 - 6). C'est juste que cela ne correspond pas à un nombre, et que donc il n'y a pas de couple (6,?) qui fait partie de la fonction f.

Donc, f(6) n'existe pas en tant que deuxième élément du couple qui a 6 comme premier élément ; mais f(6) existe bel et bien comme expression formelle, expression formelle qui ne donne pas lieu à un nombre, car il prescrit de diviser par 0.

Nous sommes en fait dans le cas de l'informaticien, qui a la possibilité de "jeter une erreur" quand on donne des paramètres à une fonction qui font que l'algorithme ne fonctionne pas. L'expression formelle est simplement l'algorithme, et "constater que ça ne marche pas" revient à jeter une erreur quand on applique l'algorithme au paramètre en question.

En d'autres termes, f(6) ne retourne pas un objet mathématique, mais jette une erreur ; seulement, pour pouvoir constater cela, il faut bien oser "exécuter l'algorithme" (c.a.d. mettre 6 dans l'expression) et constater qu'il y a un souci, non ? Ce que veut le prof de math, c'est de "jeter l'erreur" avant de mettre 6 dedans, mais en fait, pour cela, il faut QUAND-MÊME le mettre dedans, mais d'une façon détournée.
Au lieu d'écrire u(6)/v(6) = u(6)/0 donc souci, on va écrire v(6) = 0 donc souci. Elle est où, la différence ?

En fait, il n'y a aucune différence entre "considérer f(6) et constater que ça donne lieu à une erreur du style 41/0" et une preuve par l'absurde. Dans le premier cas, on part d'une expression formelle, et on constate que cette expression formelle qui a été assignée à f(x) donne lieu à un calcul impossible (division par 0) ; dans le cas d'une preuve par l'absurde, on part d'une proposition fausse qu'on prend pour vrai, pour constater qu'on arrive à une absurdité.

Dans la preuve de l'irrationalité de la racine carrée de deux, on fait l’hypothèse: sqrt(2) = p/q avec p et q des entiers. On calcule et on calcule, et on arrive à 2 = 4. Mais en suivant la logique "prof de math", il fallait déjà hurler au départ, car sqrt(2) n'est pas un nombre rationnel, donc on ne pouvait pas écrire sqrt(2) = p/q ! De la même façon qu'on pouvait pas écrire f(6) qui donne lieu à l'absurdité de devoir diviser par 0.

On est bien d'accord que sqrt(2) ne peut pas être EGAL, comme objet mathématique, à p / q avec p et q entier, de la même façon que f(6) n'existe pas comme objet mathématique. Mais comme manipulation formelle, je ne vois pas comment on peut s'en passer pour PROUVER que, justement, cet objet hypothétique n'existe, finalement, pas.

Vous confondez ce qui est faux et ce qui n'est pas défini.

Moonchild a écrit:

Zarathustra a écrit:C'est étrange qu'on considère qu'écrire f'(a) implique son existence, mais écrire lim_{h->0} (f(a+h) - f(a))/h n'implique pas l'existence de la limite, hein.   On a ici exactement le genre de "purisme mal placé" que je dénonce.  On ne peut pas PROUVER l'existence d'un objet mathématique sans donner un nom à l'objet dont on veut parler.  On se fait du mal pour rien.

Il y a effectivement le même problème avec la notation lim_{h->0} (f(a+h) - f(a))/h.
En fait, une rédaction mathématiquement correcte est tout-à-fait possible pour ce type de question et elle consisterait à :
1) pour a fixé dans l'ensemble de définition de f, pour tout h non nul tel que a+h appartient à l'ensemble de définition de f, travailler avec le taux d'accroissement (f(a+h) - f(a))/h ;
2) n'utiliser la notation lim_{h->0} (f(a+h) - f(a))/h qu'après obtenu une écriture du taux d'accroissement qui permette de démontrer l'existence de cette limite ;
3) n'utiliser la notation f'(a) qu'après avoir justifié que la limite ci-dessus est finie.

Zarathustra a écrit:Je ne vois pas la différence entre:

1) l'écriture formelle f'(a) = lim_{h->0} (f(a+h) - f(a))/h  
(qui peut très bien ne pas exister pour a = 2)

2) l'écriture formelle f(x) = sqrt(x - 3)
(qui n'existe pas pour x = 2)

3) l'équation x^2 + 3 = 0
(qui n'a pas de solution pour x)

Il n'y a aucune hypocrisie dans tout ça et, encore une fois la différence réside dans ce qui est implicite car en réalité aucune de ces expressions formelles n'a de sens mathématique présentée ainsi hors de leur contexte (à moins de rajouter encore une couche supplémentaire d'implicite).

Reprenons ces deux derniers exemples :

2) l'écriture formelle f(x) = sqrt(x - 3) se rencontre en général en général dans une phrase du genre "soit f la fonction définie par f(x) = sqrt(x - 3)" avec pour implicite de ce qui est écrit en gras : "pour les valeurs réelles de x pour lesquelles cette expression a un sens" ;

3) quand on demande de "résoudre dans R l'équation x^2 + 3 = 0", l'implicite est "rechercher les valeurs réelles de x telles que cette égalité soit vraie" (il n'est pas rare que les élèves commencent par écrire "pour tout x réel, x^2 + 3 = 0" ce qui est évidemment faux et ils comprennent très mal la nuance avec "pour tout x réel, x^2 + 3 = 0 ssi x^2 = -3" qui est une assertion parfaitement exacte)

Dans ces deux cas, l'implicite ne réside pas dans l'écriture formelle en elle-même, mais dans la phrase qui l'introduit.

Dans l'exemple 1) l'écriture formelle "f'(a) = lim_{h->0} (f(a+h) - f(a))/h" peut très bien être acceptable ou non selon le contexte dans lequel elle est introduite : lorsque la dérivabilité de  f est considérée comme admise alors c'est acceptable, mais lorsqu'il s'agit de justifier que la fonction f est dérivable en a, alors commencer la démonstration par poser cette notation est effectivement incorrect (en revanche commencer par écrire que "si cette limite existe et est finie, alors f'(a) = lim_{h->0} (f(a+h) - f(a))/h" est acceptable).

Zarathustra a écrit:Je ne râle pas pour ces 2.5 points.  On s'en fout.   Mais il y a une contradiction entre le coté totalement "intuitif" et l'absence de vraie rigueur dans les programmes actuels, et des exigences (notés ou non) qui n'ont plus lieu d'être car ils n'ont plus aucune valeur logique dans le cadre des programmes actuels.  Imposer des interdits de notation, qui ne sont plus basées sur une déduction logique du pourquoi, c'est ce que j'appelle pinailler et de la fausse rigueur.

Il est vrai que le programme induit un nombre certain de hiatus logiques, mais si on en fait un prétexte à ne plus poser aucun interdit de notation alors autant totalement déléguer l'enseignement des maths aux physiciens.  
Concrètement, tout est question de compromis : comment, dans le contexte d'un programme dont la cohérence interne est discutable, avec des élèves qui souvent n'ont pas les bases, faire en sorte de maintenir une certaine initiation à la rigueur mathématique ?
En pratique, on laissera passer sans les pénaliser de nombreux abus de notation, mais il n'est pas déraisonnable de sanctionner certaines erreurs spécifiques à condition de les avoir expliquées. Dans le cas présent, puisque que l'objectif est précisément de démontrer l'existence d'un objet mathématique, il n'est pas choquant de sanctionner une rédaction qui laisserait supposer qu'on a dès le départ admis son existence car cela montre que la "chronologie" de la démarche n'a pas été totalement comprise. Après, tout est question de mesure dans cette pénalité.

Zarathustra a écrit:Oui, mais c'est cela que j'essaie de faire comprendre que c'est "hypocrite". Pour prendre l'exemple de g(x) = (x^2 + 5) / (x - 6), qui est une expression formelle, il faut bien "mettre 6 dedans" pour VOIR qu'on va diviser par 0. Pour ne pas écrire cette "horreur" de 41/0, alors on fait semblant de ne pas le faire, et on va regarder par quoi on divise, c'est (x-6), et là, on va mettre 6 dedans, et constater que c'est 0. Mais c'est exactement ce qu'on avait dit qu'on pouvait pas faire: "mettre dedans et constater qu'on a un 0 en bas". On prend le "morceau d'en bas, on met dedans, et on voit si ça donne 0", c'est exactement la même chose que "mettre dedans et voir si on a 0 en bas".

J'aurais tendance à dire que c'est une approche de physicien : pour savoir si g(6) existe, on fait l'expérience et comme on observe que l'expérience rate, alors on en conclut que g(6) n'existe pas.
C'est aussi une approche intuitive assez convaincante, mais elle n'est pas correcte en tant que démonstration mathématique car une telle rédaction suppose qu'il existe un objet mathématique noté 41/0 que l'on peut obtenir comme résultat d'un calcul.

Afin que tout soit clair, il faudrait d'abord replacer l'expression formelle dans la phrase qui l'introduit. Prenons par exemple la question :
"Déterminer l'ensemble de définition de la fonction g(x) = (x^2 + 5) / (x - 6)" (avec pour implicite usuel au niveau lycée "fonction de la variable réelle x")
Une rédaction possible est :

Pour tout réel x, g(x) est défini ssi x-6 est différent de 0.

Or, pour tout x réel, x-6=0 ssi x=6.

(donc x-6 est différent de 0 ssi x est différent de 0) souvent cette étape sera implicite

Conclusion, g(x) est défini pour tout réel x différent de 6.

A aucun moment dans cette démonstration il n'a été effectué de division par zéro ; au contraire, la première ligne rappelle que ce n'est pas possible.

Je crois que dans le fond le malentendu provient du fait que les physiciens et les mathématiciens ont une conception très différente des objets mathématiques : pour les physiciens ce ne sont que des outils formels qu'ils manipulent pour modéliser et approximer le monde réel tant que "ça marche" et dès que ça ne marche plus, ils les balancent ; tandis que les mathématiciens ont le souci constant de justifier les conditions d'existence de ces objets dans une théorie cohérente.

Je tiens à te remercier de ces éclaircissements. C'est très sincère. Je crois que je vais pouvoir m'inspirer pour aider mon gamin (il perd toujours l'essentiel de ces points sur des trucs de forme et il a un prof très, très, très exigeant là-dessus).

Mais je ne crois pas que la différence vient du fait que je suis un physicien. Je suis très "Bourbakiste" dans le fond Si ce n'est pas un ensemble, je ne comprend pas ce que c'est en maths.

Je crois que la différence vient du fait qu'il y a un grand flou entre ce qui est "expression et manipulation formelle" (comme dans les langages formelles, les trucs qu'on utilise pour démontrer le théorème de Goedel, où on a des suites de symboles avec des règles de syntaxe) et la relation avec l'objet mathématique qu'ils définissent (ou non).

Je voyais f(x) = (x^2 + 5)/(x-6) comme une expression formelle, qui donne lieu à un objet mathématique, mais pour explorer cet objet, il n'y a rien de mal à jouer avec l'expression formelle (qu'elle ait un sens mathématique ou non).

J'ai l'impression que le prof de math considère que (x^2 +5)/(x-6) EST l'objet mathématique, et pas une expression formelle qu'on manipule pour indiquer un objet mathématique implicite. Je reste sur ma conviction que, surtout en phase d'exploration, il faut distinguer les deux (et je reste aussi sur ma conviction qu'on ne peut que faire cela, et en le contournant avec d'autres symboles, on cache cette distinction mais on ne peut pas s'en affranchir), mais pour éviter des frustrations d'élève, il vaut mieux lui apprendre les formalités requises (bien que je ne peux pas les "expliquer").
C'était conceptuellement bien plus simple avec des ensembles. Tout le monde voit que (x^2 + 5)/(x - 6) n'est pas "un ensemble de couples" donc cette expression ne peut pas être la fonction, mais seulement une sorte de descriptif, aide formelle, qui implique une fonction qu'on n'a pas explicitée mais qui aura le nom de f. Alors, faire des horreurs avec cette expression n'est pas grave, on sait que ce n'est pas un objet mathématique (ce n'est pas un ensemble, donc ce n'est pas un objet mathématique). Arriver à un 41/0 formel veut simplement dire qu'on n'aura pas un couple qui contiendra (6, ?).

Anaxagore a écrit:Vous confondez ce qui est faux et ce qui n'est pas défini.

Seulement un élément Booléen peut être faux, c'est à dire, seulement une proposition peut être vrai ou fausse.

Mais ce qui nous importe, c'est de savoir quelles expressions formelles donnent lieu à des objets mathématiques. On peut donc très bien avoir des expressions formelles bien définies (comme expression formelle), mais qui ne définissent pas un objet mathématique.
41/0 est une telle expression formelle ; sqrt(-3) en est une autre. Comme expres​sion(comme suite de symboles), la syntaxe est correcte, et la sémantique, comme SPÉCIFICATION d'algorithme à exécuter, l'est aussi. Seulement, on "tombe sur un os" quand on veut exécuter l'algorithme en question, ce qui veut dire que l'expression formelle ne définit pas un objet mathématique.

Mais comme je viens de le dire, j'ai l'impression que l'expression formelle, et l'objet mathématique, sont confondus.

Pour moi, quand on écrit f(x) = x^2, l'expression x^2 n'est pas une fonction. La fonction, c'est un ensemble, qui contient les couples (1,1), (2,4), (3/4,9/16), .... et plein d'autres. f(x) = x^2 est une manière formelle de spécifier cet ensemble. Ça veut dire: "on a des couples, et le deuxième élément de chaque couple, c'est le premier, multiplié par lui-même, là où ça marche".

Après, il y a pleins d'abus de langage, de raccourcis etc... mais c'est là que c'est bizarre de devenir soudain sectaire.

Zarathustra a écrit:Pour pouvoir *explorer* le sens de cette expression formelle, je ne vois pas comment on peut ne pas manipuler cette expression.

C'est souvent ce qu'on fait dans la phase de recherche, au brouillon ; ensuite, lors de la démonstration, tout l'art des mathématiques est de trouver une rédaction ne faisant apparaître aucun objet non préalablement défini.

Zarathustra a écrit:Je me répète peut-être, mais je ne vois pas où est la différence entre dire:
"comme dans l'expres​sion(x^2 + 5)/(x-6), on veut le réciproque de (x-6), ce qui devient le réciproque de 0 quand x = 6, ça ne va pas marcher"

et

"si on met 6 dans (x^2 + 5)/(x-6), alors on obtient 41/0, qui est une expression qui demande qu'on calcule le réciproque de 0, ce qui ne va pas marcher".

La différence entre ces deux explications m'échappe totalement.

La différence est à peu près de même nature qu'entre :
- regarder le barillet et constater que le flingue est chargé pour en déduire qu'il ne faut pas se tirer dans le crâne avec ;
et
- se tirer une balle dans le crâne pour vérifier que le flingue était chargé et qu'il ne fallait se tirer dans le crâne avec.

Bon, il est vrai qu'entre celle avec la fonction et celle avec le flingue, l'une de ces deux erreurs de méthode aura un impact plus définitif que l'autre pour celui qui la commet.

Sinon, j'avais oublié de mentionner que, pour compliquer l'affaire, lorsqu'on travaille dans le corps des fractions rationnelles R(x) (ou dans C(x), ou même dans Q(x)), l'expression formelle "f(x) = (x^2 + 5)/(x-6)" peut parfaitement avoir un sens mathématique indépendamment de toute question d'affectation de valeur à x ; mais là encore, tout est question de replacer l'expression formelle dans son contexte.

Moonchild a écrit:

Zarathustra a écrit:Pour pouvoir *explorer* le sens de cette expression formelle, je ne vois pas comment on peut ne pas manipuler cette expression.

C'est souvent ce qu'on fait dans la phase de recherche, au brouillon ; ensuite, lors de la démonstration, tout l'art des mathématiques est de trouver une rédaction ne faisant apparaître aucun objet non préalablement défini.

Zarathustra a écrit:Je me répète peut-être, mais je ne vois pas où est la différence entre dire:
"comme dans l'expres​sion(x^2 + 5)/(x-6), on veut le réciproque de (x-6), ce qui devient le réciproque de 0 quand x = 6, ça ne va pas marcher"

et

"si on met 6 dans (x^2 + 5)/(x-6), alors on obtient 41/0, qui est une expression qui demande qu'on calcule le réciproque de 0, ce qui ne va pas marcher".

La différence entre ces deux explications m'échappe totalement.

La différence est à peu près de même nature qu'entre :
- regarder le barillet et constater que le flingue est chargé pour en déduire qu'il ne faut pas se tirer dans le crâne avec ;
et
- se tirer une balle dans le crâne pour vérifier que le flingue était chargé et qu'il ne fallait se tirer dans le crâne avec.

Bon, il est vrai qu'entre celle avec la fonction et celle avec le flingue, l'une de ces deux erreurs de méthode aura un impact plus définitif que l'autre pour celui qui la commet.

Il faut avouer que bien que fatale, au moins, la réponse est claire, non

Sinon, j'avais oublié de mentionner que, pour compliquer l'affaire, lorsqu'on travaille dans le corps des fractions rationnelles R(x) (ou dans C(x), ou même dans Q(x)), l'expression formelle "f(x) = (x^2 + 5)/(x-6)" peut parfaitement avoir un sens mathématique indépendamment de toute question d'affectation de valeur à x ; mais là encore, tout est question de replacer l'expression formelle dans son contexte.

Tout  à fait.  D'ailleurs, de qui est rigolo, c'est que dans un champs Galois comme GF(256), on représente les éléments par des "polynômes" sur Z_2 d'ordre 7, modulo un polynôme irréductible.  Seulement, ces polynômes ne sont que purement formels, car un polynôme comme FONCTION sur Z_2 d'ordre plus grand que 1 n'a pas de sens.  Il n'y a sur Z_2 que 4 fonctions possibles:
{(0,0),(1,0)},  {(0,0),(1,1)}, {(0,1),(1,0)} et {(0,1),(1,1)}, ce qui peut être obtenu par les 4 polynômes de type a + bx sur Z_2.  
Mais on considère cependant des polynômes formels d'ordre 7 dans GF(256) (qui, bien sûr, se réduisent à une des 4 fonctions possibles comme fonction polynomiale, mais on ne fait jamais ça).  Le champs GF(256) est utilisé beaucoup en cryptographie (c'est d'où je le connais).

C'est juste pour illustrer que des expressions formelles peuvent être des objets en soi, différents des objets mathématiques qu'ils sont, dans un contexte, sensés de décrire/définir/suggérer/proposer. Ici, dans cet exemple, on a des polynômes formels (c.a.d. des machins qui sont des expressions du genre a(0) + a(1) x + a(2) x^2 + ... + a(7) x^7), mais qu'on considère comme expression, et pas comme définissant une fonction sur Z_2. On manipule ces polynômes, mais on ne les considère pas vraiment comme une fonction sur Z_2. Dans Z_2, comme x^2 = x (car 0^2 = 0, et 1^2 = 1), on pourrait réduire le polynôme x^2 + 1 à x + 1, mais on ne fait pas cela, on considère que ce sont deux objets différents dans GF(256).

J'ai toujours vu une expression comme f(x) = x^2 + 9 comme exactement ça: un objet formel, une sorte d'algorithme qui permet d'avoir un algorithme qui aide à spécifier l'ensemble des couples qui définit une fonction f, sachant que la plupart des fonctions f n'ont aucune description formelle (comme la grande majorité des nombres réels n'ont aucune notation possible).  Cet objet formel lui-même peut être considéré comme un objet mathématique, mais pas comme l'objet qu'il décrit, mais comme un objet dans un langage formel (une suite de symboles avec des règles de syntaxe).

La subtilité de la relation entre cet objet formel (la suite des symboles (x,^,2,+,9)), les opérations (transformations de l'arborescence syntaxique) qu'on peut faire sur des suites de symboles du genre, la sémantique algorithmique qui va avec la syntaxe (prendre première variable, appliquer l'opération de multiplication avec soi-même, appliquer l'opération addition avec le nombre 9).... d'un coté, et la relation avec un objet mathématique tout autre (une fonction réelle) de l'autre coté, est bien trop grande, et les élèves ont bien trop peu de connaissances au niveau du lycée de cela pour qu'on puisse être rigoureux la-dessus.  Comme on est dans la manipulation intuitive de toute façon, ou l'on jongle constamment entre le formel et une sorte de notation représentant l'objet mathématique sous-jacent, je ne vois pas comment on peut être sectaire.

Mais je comprends aussi le point de vue qui dit que si on laisse le libre cours à des élèves qui n'ont aucune idée de ce qu'ils sont en train de faire, ça va donner du grand n'importe quoi.  Trouver le juste milieu me semble une chose raisonnable, mais il faut bien se rendre compte que ça n'a rien de strict ou de rigoureux.

Moonchild a écrit:

Zarathustra a écrit:Je me répète peut-être, mais je ne vois pas où est la différence entre dire:
"comme dans l'expres​sion(x^2 + 5)/(x-6), on veut le réciproque de (x-6), ce qui devient le réciproque de 0 quand x = 6, ça ne va pas marcher"

et

"si on met 6 dans (x^2 + 5)/(x-6), alors on obtient 41/0, qui est une expression qui demande qu'on calcule le réciproque de 0, ce qui ne va pas marcher".

La différence entre ces deux explications m'échappe totalement.

La différence est à peu près de même nature qu'entre :
- regarder le barillet et constater que le flingue est chargé pour en déduire qu'il ne faut pas se tirer dans le crâne avec ;
et
- se tirer une balle dans le crâne pour vérifier que le flingue était chargé et qu'il ne fallait se tirer dans le crâne avec.

Euh, non. Je ne vois pas de différence non plus: c'est, dans les deux cas, un raisonnement par l'absurde qui conduit donc à quelque chose d'impossible (dans R). Dans la première explication, le "réciproque de (x-6)" c'est 1/(x-6) et le "réciproque de 0" c'est... 1/0 ?

Zarathustra a écrit:J'ai une question toute simple.  Mon fils en 1S a 2.5 points de moins sur un DS, simplement parce qu'il a écrit:

f'(a) = lim_{h-> 0}  ( f(a+h) - f(a) ) / h

pour une fonction donnée.  Puis il a fait le calcul, pour arriver au bon résultat.

Le prof a barré le f'(a), et à indiqué en bas: ... et donc ....

Le principe est simple : en mathématiques, on ne manipule pas des objets qui ne sont pas définis.

En l'occurrence, j'imagine que ton fils a écrit une suite d'égalité commençant par lim_{h->0}, qui auraient été parfaitement valables sans ajouter lim_{h->0}. Ainsi, pour dériver la fonction racine carrée en un point a (différent de zéro), on peut écrire (sans lim_{h\to 0}) :



qui est une suite d'égalité entre objets mathématiques parfaitement définis. On conclut ensuite :



donc f est dérivable au point a et



Un physicien n'aura sans doute aucun scrupule à manipuler la même suite d'égalité en rajoutant lim_{h->0} partout (ce qui revient à écrire des identités hypothétiques, tant que l'on n'a pas démontré que les hypothétiques limites dans le calcul sont vraies), et conclura : puisque la dernière ligne de mon calcul a un sens, tous les calculs que j'ai fait sont justifiés.

Un mathématicien est comme un enfant autiste : il suffit qu'une étape du calcul ne soit pas justifié pour qu'il refuse de lire le reste. Merci aux physiciens d'avoir un peu d'indulgence pour les mathématiciens.

De surcroit, dans le cas que tu soumets, le bilan carbone de la rédaction de ton fils est extrêmement mauvais : s'il avait écrit exactement les mêmes calculs, sans rajouter lim_{h->0} partout, il aurait économisé un peu d'encre et de papier, il aurait évité à son professeur une accélération dangereuse de son rythme cardiaque (et un infarctus précoce dans quelques années, puis un traitement médicamenteux lourd) ainsi qu'une débauche de stylo rouge sur sa feuille.

Pensez à sauver la planète : pas de lim_{h->0} inutiles :-)

Je reviens au tout début, puisque c'est là que notre physicien préféré ne fait pas assez attention et qu'on le perd.

Zarathustra a écrit:

Anaxagore a écrit:Il a certainement barré car une fois que l'on a prouvé que le taux d'accroissement en a a une limite et qu'elle est finie, on peut affirmer que f est dérivable en a et alors on peut designer par f'(a) cette valeur. Pas avant.

Ah, c'est donc général.  Mais, comme j’argumente ci-dessus, c'est idiot.

Non, ce n'est pas idiot du tout. Et c'est même parfois subtil. Un exemple: la fonction qui à un nombre x associe x²/x n'existe pas pour x=0 (donc elle n'est pas non plus dérivable en 0, si elle n'est pas déjà définie en 0).
Pourtant, si on ne se pose pas de question et que l'on commence par dériver cette fonction avant de savoir si elle est dérivable, on calcule et on tombe sur la fonction constante qui à un nombre x associe 1. Elle est définie pour tout nombre réel!
Une petite astuce pour éviter ce problème: commencer par prolonger la définition de la fonction de départ (x²/x) en lui attribuant la valeur 0 quand x égal 0 et alors tout devient plus simple, la fonction est à la fois définie, continue et dérivable en 0, puisque c'est l'identité.

BR a écrit:

Le principe est simple : en mathématiques, on ne manipule pas des objets qui ne sont pas définis.

Comme j'ai déjà essayé d'indiquer, c'est parce qu'on veut à tout prix confondre l'expression formelle et l'objet mathématique.   Quand on explore l'expression formelle, on ne manipule pas nécessairement l'objet mathématique - c'est particulièrement le cas quand le but de l'exploration est de constater si oui ou non, l'objet mathématique existe.

En l'occurrence, j'imagine que ton fils a écrit une suite d'égalité commençant par lim_{h->0}, qui auraient été parfaitement valables sans ajouter lim_{h->0}. Ainsi, pour dériver la fonction racine carrée en un point a (différent de zéro), on peut écrire (sans lim_{h\to 0}) :



qui est une suite d'égalité entre objets mathématiques parfaitement définis. On conclut ensuite :



donc f est dérivable au point a et

Oui, exactement.

Un physicien n'aura sans doute aucun scrupule à manipuler la même suite d'égalité en rajoutant lim_{h->0} partout (ce qui revient à écrire des identités hypothétiques, tant que l'on n'a pas démontré que les hypothétiques limites dans le calcul sont vraies), et conclura : puisque la dernière ligne de mon calcul a un sens, tous les calculs que j'ai fait sont justifiés.

Non, la logique est dans l'autre sens.  On manipule ces objets formels, et s'ils donnent lieu à une contradiction, alors on sait que l'objet mathématique, suggéré par l'expression formelle, n'existe pas, au moins dans la mesure ou cette expression formelle est définissante.   Ce n'est pas parce que la manipulation marche, que l'objet existe, car ils peuvent y avoir d'autres conditions.

Le message ci-dessus l'illustre parfaitement.

Quand on écrit: f(x) = x^2/x, et on se demande si f(0) existe, il faut en fait se demander si l'expression formelle donnée, quand on va y substituer 0 pour x, donne des instructions de calcul qui sont exécutables.  On voit que, si on fait cela, on trouve les instructions "multipliez 0 avec 0, et divisez par 0".  On l'écrit comme 0^2/0.   Cette expression formelle existe en tant qu'expression formelle (elle est syntaxiquement correcte), mais elle implique une opération qui n'est pas exécutable: une division par 0.  Ainsi, l'expression formelle ne donne pas lieu à un nombre réel pour x = 0.  Dans la mesure où f(x) est défini seulement par cette expression, il faut conclure que f(0) n'existe pas ; c.a.d. qu'il n'y a pas un couple (0,?) dans f.

Mais il n'y a aucun moyen de constater cela sans constater que l'expression formelle va mener à un calcul non-défini.  Il faut constater que l'expression formelle nous invite à diviser par 0, pour pouvoir dire que cette expression formelle ne mène pas à un nombre, et donc pour pouvoir savoir que le couple (0,?) ne sera pas de la partie.  Comme j'ai déjà indiqué plusieurs fois, démembrer cette expression, pour dire que le truc par lequel il faut diviser sera 0, ou écrire l'expression même et voir que c'est une division par 0, est le même constat: f(0) n'existe pas, parce que l'expression formelle qui décrit l'objet f, veut qu'on divise par 0.

f(0) existe dans la mesure où f(x) est une expression formelle (ça veut dire: met 0 à la place de x dans l'expression formelle par une manipulation de substitution dans une arborescence syntaxique) ; mais f(0) n'existe pas en tant que deuxième élément d'un couple qui a 0 en premier élément, car ce couple ne fait pas partie de la fonction, exactement parce que cette arborescence syntaxique implique un calcul qui ne marche pas.

Un mathématicien est comme un enfant autiste : il suffit qu'une étape du calcul ne soit pas justifié pour qu'il refuse de lire le reste. Merci aux physiciens d'avoir un peu d'indulgence pour les mathématiciens.

Ce n'est pas vrai.  Il utilise des preuves par l'absurde.  Il écrit que sqrt(2) = p/q, pour constater que 2 = 4, et donc que p/q ne peut pas être égal à sqrt(2).  Je vois les expressions qui mènent à des instructions de calcul pas faisable, exactement comme ça.

De surcroit, dans le cas que tu soumets, le bilan carbone de la rédaction de ton fils est extrêmement mauvais : s'il avait écrit exactement les mêmes calculs, sans rajouter lim_{h->0} partout, il aurait économisé un peu d'encre et de papier, il aurait évité à son professeur une accélération dangereuse de son rythme cardiaque (et un infarctus précoce dans quelques années, puis un traitement médicamenteux lourd) ainsi qu'une débauche de stylo rouge sur sa feuille.

Pensez à sauver la planète : pas de lim_{h->0} inutiles :-)

vyneil a écrit:Je reviens au tout début, puisque c'est là que notre physicien préféré ne fait pas assez attention et qu'on le perd.

Zarathustra a écrit:

Anaxagore a écrit:Il a certainement barré car une fois que l'on a prouvé que le taux d'accroissement en a a une limite et qu'elle est finie, on peut affirmer que f est dérivable en a et alors on peut designer par f'(a) cette valeur. Pas avant.

Ah, c'est donc général.  Mais, comme j’argumente ci-dessus, c'est idiot.

Non, ce n'est pas idiot du tout. Et c'est même parfois subtil. Un exemple: la fonction qui à un nombre x associe x²/x n'existe pas pour x=0 (donc elle n'est pas non plus dérivable en 0, si elle n'est pas déjà définie en 0).
Pourtant, si on ne se pose pas de question et que l'on commence par dériver cette fonction avant de savoir si elle est dérivable, on calcule et on tombe sur la fonction constante qui à un nombre x associe 1. Elle est définie pour tout nombre réel!
Une petite astuce pour éviter ce problème: commencer par prolonger la définition de la fonction de départ (x²/x) en lui attribuant la valeur 0 quand x égal 0 et alors tout devient plus simple, la fonction est à la fois définie, continue et dérivable en 0, puisque c'est l'identité.

Euh, non, ça ne marche pas, hein.

Quand on écrit: f'(0) = lim_{h->0} (f(0+h) - f(0))/h = lim{h->0}(h^2/h - 0^2/0)/h on voit bien que ça ne marche pas, car on a besoin de 0^2/0.

Tu veux dire, en général ?

f'(x) = lim_{h->0} (f(x+h) - f(x))/h = lim{h->0} ((x^2 + 2 h x + h^2)/(h+x) - x^2/x)/h
    = lim_{h->0} (x^3 + 2x^2h + xh^2 - x^3 -hx^2) / ( h (h+x) x)
    = lim_{h->0} (x^2 h + x h^2)/ (h (x+h) x)
    = lim_{h->0} (x^2 + x h) / (x (x+h))  x lim_{h->0} h/h
    = (x^2)/(x^2) x 1
    = (x^2)/(x^2)

Comme on voit, f'(x) n'est pas définie en x = 0 non plus.  La prise de limite étant en h, on ne peut pas simplifier x^2/x^2 car il n'y a pas de limite en x, on ne peut donc pas factoriser le x^2/x^2 et prendre la limite qui en fait 1, comme on a factorisé h/h, en utilisant le théorème que :
lim_{h->0} f(h) g(h) = lim_{h->0} f(h) . lim_{h->0} g(h)
(de nouveau, a condition que les deux limites existent à droite, blah blah...)
et on utilise le théorème que lim{u->0} u/u = 1.

Est-ce un hasard que ça marche pour l'exemple fourni ?  Non, c'est général, car dans l'expression:

f'(x) = lim_{h->0} (f(x+h) - f(x)) / h

apparaît f(x)

et non sous une limite en x.  Donc, si f(x) n'existe pas, cette expression formelle indiquera qu'un veut prendre f(x) là où f(x) n'existe pas, et signalera donc l'inexistence de f'(x).

L'expression formelle ci-dessus inclut donc déjà le fait que le domaine de f'(x) ne pourra pas déborder celui de f(x).

vyneil a écrit:Je reviens au tout début, puisque c'est là que notre physicien préféré ne fait pas assez attention et qu'on le perd.

Zarathustra a écrit:

Anaxagore a écrit:Il a certainement barré car une fois que l'on a prouvé que le taux d'accroissement en a a une limite et qu'elle est finie, on peut affirmer que f est dérivable en a et alors on peut designer par f'(a) cette valeur. Pas avant.

Ah, c'est donc général.  Mais, comme j’argumente ci-dessus, c'est idiot.

Non, ce n'est pas idiot du tout. Et c'est même parfois subtil. Un exemple: la fonction qui à un nombre x associe x²/x n'existe pas pour x=0 (donc elle n'est pas non plus dérivable en 0, si elle n'est pas déjà définie en 0).
Pourtant, si on ne se pose pas de question et que l'on commence par dériver cette fonction avant de savoir si elle est dérivable, on calcule et on tombe sur la fonction constante qui à un nombre x associe 1. Elle est définie pour tout nombre réel!
Une petite astuce pour éviter ce problème: commencer par prolonger la définition de la fonction de départ (x²/x) en lui attribuant la valeur 0 quand x égal 0 et alors tout devient plus simple, la fonction est à la fois définie, continue et dérivable en 0, puisque c'est l'identité.

Ce n'est plus la même fonction.
Réflexions après le premier café qui permet d'émerger et avant le deuxième, qui permet d'être sûr de soi.
* Les exercices qui donnent, par exemple, f(x) = (x² - 1 ) /(x - 1) et demandent l'ensemble de définition de f devraient être rédigés ainsi : soit l'expres​sion(x² - 1 ) /(x - 1). Quel est l'ensemble ( maximal ) E des réels tels que cette expression soit définie ? On note ensuite f la fonction qui à tout x de E associe etc...
*Même chose avec les exercices qui commencent par un sobre : résoudre dans R... x²  = 3 . x - 2...
Je préfèrerais proposer : soit pour tout réel x, l'égalité : x² = 3 . x - 2 Déterminer les réels pour lesquels cette égalité est vraie.
La première phrase de la solution devrait être : supposons qu'il existe un réel x tel que : x² = 3 .  - 2 .... C'est équivalent à ...
( Même chose pour l'intersection de deux droites : soit I un élément de l'éventuelle intersection de d et d'... )

Comme dit plus haut par BR, quand on recherche une limite de fonction : le lim, à la fin.

wanax a écrit:

vyneil a écrit:Je reviens au tout début, puisque c'est là que notre physicien préféré ne fait pas assez attention et qu'on le perd.

Zarathustra a écrit:

Anaxagore a écrit:Il a certainement barré car une fois que l'on a prouvé que le taux d'accroissement en a a une limite et qu'elle est finie, on peut affirmer que f est dérivable en a et alors on peut designer par f'(a) cette valeur. Pas avant.

Ah, c'est donc général.  Mais, comme j’argumente ci-dessus, c'est idiot.

Non, ce n'est pas idiot du tout. Et c'est même parfois subtil. Un exemple: la fonction qui à un nombre x associe x²/x n'existe pas pour x=0 (donc elle n'est pas non plus dérivable en 0, si elle n'est pas déjà définie en 0).
Pourtant, si on ne se pose pas de question et que l'on commence par dériver cette fonction avant de savoir si elle est dérivable, on calcule et on tombe sur la fonction constante qui à un nombre x associe 1. Elle est définie pour tout nombre réel!
Une petite astuce pour éviter ce problème: commencer par prolonger la définition de la fonction de départ (x²/x) en lui attribuant la valeur 0 quand x égal 0 et alors tout devient plus simple, la fonction est à la fois définie, continue et dérivable en 0, puisque c'est l'identité.

Ce n'est plus la même fonction.
Réflexions après le premier café qui permet d'émerger et avant le deuxième, qui permet d'être sûr de soi.
* Les exercices qui donnent, par exemple, f(x) = (x² - 1 ) /(x - 1) et demandent l'ensemble de définition de f devraient être rédigés ainsi : soit l'expres​sion(x² - 1 ) /(x - 1). Quel est l'ensemble ( maximal ) E des réels tels que cette expression soit définie ? On note ensuite f la fonction qui à tout x de E associe etc...

C'est déjà mieux. Mais la question même: "quel est l'ensemble maximal tel que cette expression soit définie ?" veut dire qu'il faut explorer les cas où potentiellement elle n'est pas définie. Car on part de l'ensemble total des réels, et on va devoir en éliminer, car ce n'est pas une opération de construction, mais une exploration de "expression qui ne marche pas". Potentiellement, x est tout réel. La question est: pour quels x est-ce que ça ne marche pas. Ce n'est pas le cas d'un ensemble générateur qui génère un ensemble structuré (comme par exemple, un jeu de vecteurs qui génère un espace vectoriel par combinaison linéaire) mais une "recherche de défaillance". On ne peut pas, en même temps, considérer qu'il est interdit de considérer une expression formelle "défaillante", et en même temps, devoir trouver où elle est défaillante. Je ne vois pas d'autre façon de "constater la défaillance" (car c'est ça, le coeur de l'exercice ici: "où est-ce que la formule ne fonctionne pas") que, ben, constater la défaillance, et DONC d'écrire une expression formelle qui ne peut se résoudre en objet mathématique. On le contourne en faisant semblant que l'expression formelle consiste en une division de deux fonctions, et de chercher où la fonction du bas devient zéro. Mais comme je l'ai déjà dit, cela ne change en rien le fait que l'expression en question imposait de faire cette division. Qu'on écrive: f(x) = u(x)/v(x), et v(6) = 0, donc l'expression u(x)/v(x) ne marchera pas pour x = 0 ; ou qu'on écrive que, si on substitue dans f(x) la valeur 6 (qu'on peut *formellement* noter comme f(6), c.a.d. appliquer une opération de substitution dans l'expression formelle f(x)) et constater que cela mène à une expression formelle qui donne des instructions de calcul qui ne sont pas exécutables, est exactement la même chose pour moi.

Car le cœur du problème, c'est qu'une expression formelle n'est pas la même chose qu'une fonction. L'expression formelle est une suite de symboles dans un système d'expressions, un langage formel de type L1. Cette expression formelle, quand elle est bien formée, possède une sémantique qui décrit un algorithme de calcul. L'expression formelle peut être transformée par une opération de substitution, où l'on remplace, par exemple, le symbole "x" par un symbole 6.
Quand on fait cela, il peut s'avérer que l'algorithme, qui est la sémantique derrière cette expression, n'est pas exécutable, car il faut faire une opération qui n'existe pas, comme une division par 0.

La question du départ est donc essentiellement: "l'algorithme, spécifié par l'expression formelle f(x), est-il exécutable et donne-t-il lieu à un nombre réel pour quelles valeurs de réels ?"

En un deuxième temps, cette expression formelle f(x) donne aussi lieu à un AUTRE objet mathématique, une fonction (un ensemble de couples). On confond souvent les deux écritures, et j'ai l'impression qu'en maths, on ne veut considérer que ce deuxième objet, et non l'objet formel.

On voit la différence quand on pose la question: Considérons f(x) = (x^2+5)/(x-6). Est-ce que f(x) est une division ? Pour l'expression formelle f(x), cette question a un sens, et une réponse: oui. Pour la FONCTION f, ça ne veut rien dire. Un ensemble de couples n'est pas une division. Mais une expression formelle peut être une division, si son analyse syntaxique rend une arborescence qui a comme racine, une division.

Pour répondre à la question de l'existence de la fonction, il faut analyser l'expression, car on n'a pas la fonction ! Personne nous a donné l'ensemble des couples. Et l'arborescence formelle de l'expression peut très bien contenir un sous-arbre d'une division qui mène à 0 quand elle est exécutée. D'où le fait qu'il n'y a pas de mal a écrire f(6) = 41/0. C'est la réduction maximale de l'expression formelle. Le fait que cette arborescence ne peut pas être réduite plus loin, car la dernière EXECUTION ne fonctionne pas, nous indique que l'expression formelle ne mène pas à un nombre réel, ce qui répond exactement à notre question.

Mais il semble que "les profs de math" confondent la symbolique f(x) = (x^2 + 5)/(x-6) comme expression formelle (c.a.d. comme élément d'un langage de type L1) et l'objet mathématique qui est suggéré par cette expression, c.a.d. une fonction mathématique de R en R ; puis, ils demandent de déduire des propriétés de l'objet mathématique (la fonction), mais hurlent quand on utilise l'expression formelle et les opérations comme, par exemple, la substitution, pour en extraire ces propriétés !

On ne peut pas, sans faire une distinction entre l'objet formel (une expression en un langage L1) et l'objet sous-jacent mathématique (la fonction), considérer où l'objet formel ne définit pas l'objet mathématique bien sûr !

C.a.d. pour pouvoir déterminer où un objet formel ne définit PAS un objet mathématique, il faut pouvoir constater ce qu'est cet objet formel qui ne mène pas à un objet mathématique. En d'autres termes, il faut pouvoir permettre l'écriture de l'objet formel 41/0 qui est l'objet formel réduit qui résulte de la substitution de x par 6, pour constater que cet objet formel n'implique pas un objet numérique, qui est nécessaire pour que cet objet formel définit la fonction f en 6.

Et comme c'était l'objet de la question, c'est étrange d'interdire de faire ce qu'on demande !

Je n'ai pas encore tout lu les enfants. Mais de mon puissant téléphone je partage avec vous cette citation mémorable de ma prof de physique de sup:
"Oui, on fait ça toujours n'importe comment en physique."

Et puis, il arrive effectivement que dans une phase d'exploration on fasse d'abord un bricolage purement formel.

Anaxagore a écrit:Je n'ai pas encore tout lu les enfants. Mais de mon puissant téléphone je partage avec vous cette citation mémorable de ma prof de physique de sup:
"Oui, on fait ça toujours n'importe comment en physique."

En physique, on va beaucoup plus loin, et on manipule des objets mathématiques dont on a la preuve formelle qu'ils n'existent pas (et qu'ils n'ont même pas de sens physique), mais qui donnent le bon résultat à la fin.

Mais ce n'est pas comme "physicien" que je raisonne ici, mais plutôt comme logicien. Pour parler d'un objet mathématique, et surtout de son existence ou non, il faut utiliser un formalisme qui puisse considérer la question de non-existence. Forcément, dans ce formalisme, on peut avoir des expressions qui indiquent que l'objet mathématique sous-jacent n'existe pas, car c'est la seule façon de pouvoir poser la question !

Quand vous donnez un exercice du genre discuté ci-dessus, "soit la fonction f(x) = (x^2 + 5)/(x-6), quel est son domaine maximal ?", vous pensez que vous posez une question concernant une fonction, mais en réalité vous posez une question concernant une expression formelle.
Nous avons une expression formelle en une variable, qu'on note f(x). Nous avons des opérations sur des structures formelles (des arborescences) bien définies. Une de ces opérations est "substitution". Quand on écrit f(truc), l'opération de substitution veut dire que toutes les feuilles de l'arborescence où il y avait "x", sont remplacés par "truc".
Ainsi, f(6) est donc (6^2 + 5) / (6 - 6).

Nous avons aussi des opérations de réduction. Ainsi, le sous-arbre 6^2 peut être remplacé par 36, car l'algorithme qui est l'interprétation de l'arbre 6^2, donne un résultat numérique, qui peut se substituer comme feuille au sous-arbre.
Quand on applique cette réduction partout où on peut, on trouve finalement un arbre très réduit, 41/0.
Mais là, on constate que l'arbre qui reste, n'est pas plus réductible en un nombre. Ainsi, f(6), comme expression formelle, se réduit à 41/0 et n'est pas un nombre.

Dans la mesure où l'expression formelle f(x) devait définir une fonction REELLE du même nom, la fonction f ne contiendra pas un élément (6,?).

Par contre, dans la mesure où f(x) était une arborescence, une expression formelle, f(6) existe parfaitement, et fait partie de la classe d'équivalence (introduite par les règles de réduction) qui contient l'arbre (6^2+5)/(6-6), et l'arbre 41/0.

Comme l'exercice était, en fait, un exercice dans l'espace des expressions formelles, même si cela n'est jamais dit explicitement, et que les profs de maths semblent confondre les deux tout le temps, il n'y a pas de mal à ça.

Et c'est pour toute exploration d'existence d'objet mathématique comme ça: on considère toujours une expression formelle qui est valide pour la question, et l'exploration de cette expression formelle mène, ou non, à une réduction suffisante pour pouvoir décider si l'objet mathématique sous-jacent existe. La distinction entre l'objet formel qui est toujours bien défini, et l'hypothétique objet mathématique, est essentielle pour mener à bien une preuve d'existence, car sans pouvoir formaliser la question, on ne peut pas y répondre, et pour pouvoir formaliser une question d'existence, il faut bien pouvoir écrire formellement un objet qui n'existe peut-être pas.

wanax a écrit:

*Même chose avec les exercices qui commencent par un sobre : résoudre dans R... x²  = 3 . x - 2...
Je préfèrerais proposer : soit pour tout réel x, l'égalité : x² = 3 . x - 2 Déterminer les réels pour lesquels cette égalité est vraie.
La première phrase de la solution devrait être : supposons qu'il existe un réel x tel que : x² = 3 .  - 2 .... C'est équivalent à ...

Je ne suis pas d'accord avec cela, du moment qu'on demande " résoudre l'équation ...". Pour moi, résoudre une équation consiste à déterminer l'ensemble des réels pour lesquels l'égalité est vraie. Et on peut procéder par équivalence : pour tout réel x, x²=3x - 2 ssi ... ssi x appartient à l'ensemble ....

Zarathustra a écrit:

Anaxagore a écrit:Je n'ai pas encore tout lu les enfants. Mais de mon puissant téléphone je partage avec vous cette citation mémorable de ma prof de physique de sup:
"Oui, on fait ça toujours n'importe comment en physique."

En physique, on va beaucoup plus loin, et on manipule des objets mathématiques dont on a la preuve formelle qu'ils n'existent pas (et qu'ils n'ont même pas de sens physique), mais qui donnent le bon résultat à la fin.  

Mais ce n'est pas comme "physicien" que je raisonne ici, mais plutôt comme logicien.  Pour parler d'un objet mathématique, et surtout de son existence ou non, il faut utiliser un formalisme qui puisse considérer la question de non-existence.  Forcément, dans ce formalisme, on peut avoir des expressions qui indiquent que l'objet mathématique sous-jacent n'existe pas, car c'est la seule façon de pouvoir poser la question !

Quand vous donnez un exercice du genre discuté ci-dessus, "soit la fonction f(x) = (x^2 + 5)/(x-6), quel est son domaine maximal ?", vous pensez que vous posez une question concernant une fonction, mais en réalité vous posez une question concernant une expression formelle.  
Nous avons une expression formelle en une variable, qu'on note f(x).  Nous avons des opérations sur des structures formelles (des arborescences) bien définies.  Une de ces opérations est "substitution".  Quand on écrit f(truc), l'opération de substitution veut dire que toutes les feuilles de l'arborescence où il y avait "x", sont remplacés par "truc".  
Ainsi, f(6) est donc (6^2 + 5) / (6 - 6).  

Nous avons aussi des opérations de réduction.  Ainsi, le sous-arbre 6^2 peut être remplacé par 36, car l'algorithme qui est l'interprétation de l'arbre 6^2, donne un résultat numérique, qui peut se substituer comme feuille au sous-arbre.
Quand on applique cette réduction partout où on peut, on trouve finalement un arbre très réduit, 41/0.
Mais là, on constate que l'arbre qui reste, n'est pas plus réductible en un nombre.  Ainsi, f(6), comme expression formelle, se réduit à 41/0 et n'est pas un nombre.

Dans la mesure où l'expression formelle f(x) devait définir une fonction REELLE du même nom, la fonction f ne contiendra pas un élément (6,?).

Par contre, dans la mesure où f(x) était une arborescence, une expression formelle, f(6) existe parfaitement, et fait partie de la classe d'équivalence (introduite par les règles de réduction) qui contient l'arbre (6^2+5)/(6-6), et l'arbre 41/0.

Comme l'exercice était, en fait, un exercice dans l'espace des expressions formelles, même si cela n'est jamais dit explicitement, et que les profs de maths semblent confondre les deux tout le temps, il n'y a pas de mal à ça.

Et c'est pour toute exploration d'existence d'objet mathématique comme ça: on considère toujours une expression formelle qui est valide pour la question, et l'exploration de cette expression formelle mène, ou non, à une réduction suffisante pour pouvoir décider si l'objet mathématique sous-jacent existe.   La distinction entre l'objet formel qui est toujours bien défini, et l'hypothétique objet mathématique, est essentielle pour mener à bien une preuve d'existence, car sans pouvoir formaliser la question, on ne peut pas y répondre, et pour pouvoir formaliser une question d'existence, il faut bien pouvoir écrire formellement un objet qui n'existe peut-être pas.

Zarathustra, ta discussion est loin d'être inintéressante mais tu te fais la chanson et tu te la chantes. "Les profs de math font comme ci et comme ça", pour ma part je ne fais jamais en classe ou ailleurs les nombreux exemples d'abus cousus de fil blanc que tu ériges en généralité.

Figure-toi que nous aussi nous avons entendu parler de logique, d'informatique, de physique aussi.

Tu poses une question de mathématiques et nous y répondons en "mathématiciens", Moonchild a pris le temps de te répondre en détails. On n'écrit pas en mathématiques des choses non définies mathématiquement. Rideau. Et il y a des manières de rédiger les choses proprement.

Comme les autres, nous savons faire de la cuisine symbolique, et nous savons à quelles erreurs elle peut mener, même si parfois c'est une démarche heuristique intéressante.

Enfin, si ça te fait plaisir on dira "ainsi parlait Zarathustra".

J'ai bien ri, merci. Tout cela m'a rappelé mes cours de maths et de physique en C, quand j'étais (déjà) cernée par les bourbakistes. C'est marrant je n'ai pas gardé le souvenir de profs de maths pinailleurs, les exigences au contraire étaient assez simples. En revanche, j'avais croisé une prof de physique exigeant qu'on reformule tout tout le temps à l'aide de phrases sacramentelles contenant des horreurs linguistiques du genre "blablabla est le produit de bidule multiplié par machin"... l'idée, c'était de montrer qu'on avait compris. J'ai bien compris un truc, en effet.

Zarathustra a écrit:

BR a écrit:
Le principe est simple : en mathématiques, on ne manipule pas des objets qui ne sont pas définis.

Comme j'ai déjà essayé d'indiquer, c'est parce qu'on veut à tout prix confondre l'expression formelle et l'objet mathématique.   Quand on explore l'expression formelle, on ne manipule pas nécessairement l'objet mathématique - c'est particulièrement le cas quand le but de l'exploration est de constater si oui ou non, l'objet mathématique existe.

Les mathématiciens sont très chatouilleux sur le statut des objets qu'ils manipulent : ils peuvent éventuellement manipuler des objets dont le statut est discutable, à condition de l'expliciter. Ainsi, dans un raisonnement par l'absurde, on commence par écrire : supposons que tel objet existe (ou que telle relation soit vérifiée), avant de démontrer que l'objet hypothétique vérifie une relation impossible, ce qui permet de conclure, par l'absurde, qu'il n'existe pas d'objet tel que...

Le physicien peut certainement se permettre d'écrire des relations hypothétiques entre objets hypothétiques sans préciser que tout ce qu'il écrit est purement hypothétique; le mathématicien s'interdit absolument de faire ce genre de calcul s'il n'a pas précisé auparavant le statut hypothétique des objets qu'il manipule.

Ainsi, en écrivant : supposons f dérivable, alors f(x)=lim_{h->0}... = ... permet de conclure que, si f est dérivable, la dérivée est égale à telle valeur.

Mathématiquement parlant, cela ne démontre pas que f est dérivable.

En physique, il me semble qu'en général, le statut des objets manipulés est relativement indifférent. Ainsi, un physicien n'a aucun scrupule à manipuler des objets dont il sait qu'ils n'ont aucun sens mathématique, tant que les calculs permettent des prédictions effectives et mesurables. En mathématiques, il est essentiel d'être clair et honnête sur le statut des objets que l'on manipule : on s'autorise la démarche du physicien dans un brouillon, mais il faut ensuite rédiger très souvent à rebours, afin de ne manipuler que des objets dont le statut est sans ambiguïté.

On manipule ces objets formels, et s'ils donnent lieu à une contradiction, alors on sait que l'objet mathématique, suggéré par l'expression formelle, n'existe pas, au moins dans la mesure ou cette expression formelle est définissante.   Ce n'est pas parce que la manipulation marche, que l'objet existe, car ils peuvent y avoir d'autres conditions.

Le message ci-dessus l'illustre parfaitement.

Quand on écrit: f(x) = x^2/x, et on se demande si f(0) existe, il faut en fait se demander si l'expression formelle donnée, quand on va y substituer 0 pour x, donne des instructions de calcul qui sont exécutables.  On voit que, si on fait cela, on trouve les instructions "multipliez 0 avec 0, et divisez par 0".  On l'écrit comme 0^2/0.   Cette expression formelle existe en tant qu'expression formelle (elle est syntaxiquement correcte), mais elle implique une opération qui n'est pas exécutable: une division par 0.  Ainsi, l'expression formelle ne donne pas lieu à un nombre réel pour x = 0.  Dans la mesure où f(x) est défini seulement par cette expression, il faut conclure que f(0) n'existe pas ; c.a.d. qu'il n'y a pas un couple (0,?) dans f.

Encore une fois, vous confondez la démarche usuelle d'un physicien, qui est indifférent au statut des objets qu'il manipule, tant qu'ils aboutissent à un résultat; et qui se borne à constater une éventuelle impossibilité. Confronté au même problème, le mathématicien commence par expliciter l'ensemble des nombres pour lesquels l'expression étudiée a un sens. Ainsi : f(x)=x^2/x est défini lorsque le dénominateur est différent de 0. Lorsque x est différent de 0, on a donc (suite de calculs sur des objets dont on sait qu'ils sont définis sans ambiguïté).

Il n'y a aucun moyen de constater cela sans constater que l'expression formelle va mener à un calcul non-défini.  Il faut constater que l'expression formelle nous invite à diviser par 0, pour pouvoir dire que cette expression formelle ne mène pas à un nombre, et donc pour pouvoir savoir que le couple (0,?) ne sera pas de la partie.  Comme j'ai déjà indiqué plusieurs fois, démembrer cette expression, pour dire que le truc par lequel il faut diviser sera 0, ou écrire l'expression même et voir que c'est une division par 0, est le même constat: f(0) n'existe pas, parce que l'expression formelle qui décrit l'objet f, veut qu'on divise par 0.

Justement, il y a moyen de constater que l'on manipule des expressions qui ont un sens ou non : les règles de calculs usuelles nous permettent de savoir que ln(x) est défini pour tout x>0, 1/x pour tout x différent de 0 etc... Donc, si f(x)=ln((x+6)/(x-2)), nous savons que f(x) est défini lorsque x-2 est différent de 0 et (x+6)/(x-2)>0, et que f n'est pas défini sinon. Ici, f est définie sur )-oo,-6(u)2,+oo(.

Bizarrement, f'(x)=1/(x+6)-1/(x-2) a également un sens sur )-6,2(. Cela ne nous autorise pas à conclure que f est dérivable sur R\{-6,2}, puisque f n'est définie sur )-6,2(.

Un mathématicien est comme un enfant autiste : il suffit qu'une étape du calcul ne soit pas justifiée pour qu'il refuse de lire le reste. Merci aux physiciens d'avoir un peu d'indulgence pour les mathématiciens.

Ce n'est pas vrai.  Il utilise des preuves par l'absurde.  Il écrit que sqrt(2) = p/q, pour constater que 2 = 4, et donc que p/q ne peut pas être égal à sqrt(2).  Je vois les expressions qui mènent à des instructions de calcul pas faisable, exactement comme ça.

Vous confondez encore une fois le statut des objets manipulés. Dans une démonstration par l'absurde, le mathématicien explicite clairement le statut hypothétique des relations qu'il manipule, et conclut que, puisque l'hypothèse sqrt(2)=p/q aboutit à une absurdité, sqrt(2) est irrationnel. Le mot clef dans le raisonnement mathématique est supposons. Sans ce mot clef, le raisonnement n'a aucun sens pour le mathématicien.

C'est pour cette raison que lire les raisonnements que vous proposez est une grande souffrance : vous vous lancez tête baissée dans des calculs sans vous soucier de savoir si les objets que vous manipulez ont un sens. L'enfant autiste qu'est le mathématicien pleure d'effroi à lire vos manipulations, alors qu'il suffirait d'un petit mot pour l'apaiser. Par exemple : supposons f(x)=x^2/x défini. Alors ... On bien : supposons f dérivable. Alors f(x)=lim_{h->0} ...

Je comprends que ces détails de rédaction soient purement triviaux pour vous. Ayez un peu de pitié pour votre frère mathématicien : il a des obsessions et des rituels bizarres. Merci de le comprendre et d'accepter sa différence.

Zarathustra a écrit:

vyneil a écrit:Non, ce n'est pas idiot du tout. Et c'est même parfois subtil. Un exemple: la fonction qui à un nombre x associe x²/x n'existe pas pour x=0 (donc elle n'est pas non plus dérivable en 0, si elle n'est pas déjà définie en 0).
Pourtant, si on ne se pose pas de question et que l'on commence par dériver cette fonction avant de savoir si elle est dérivable, on calcule et on tombe sur la fonction constante qui à un nombre x associe 1. Elle est définie pour tout nombre réel!
Une petite astuce pour éviter ce problème: commencer par prolonger la définition de la fonction de départ (x²/x) en lui attribuant la valeur 0 quand x égal 0 et alors tout devient plus simple, la fonction est à la fois définie, continue et dérivable en 0, puisque c'est l'identité.

Euh, non, ça ne marche pas, hein.

Si.

Zarathustra a écrit:
Quand on écrit: f'(0) = lim_{h->0} (f(0+h) - f(0))/h = lim{h->0}(h^2/h - 0^2/0)/h on voit bien que ça ne marche pas, car on a besoin de 0^2/0.

Tu ne voudrais pas :
- Ne pas te lancer dans un calcul de dérivabilité pour une fonction qui n'est pas définie en 0.
- Ne pas écrire "f'(0)" pour quelque chose dont on n'est pas sûr de l'existence (et qui, sans prolongement de la fonction de départ, n'existera pas).
- Cesser d'écrire "lim{h->0}..." à toutes les étapes et faire les choses plus simplement, dans l'ordre. Écrire l'accroissement. Simplifier son expression. Étudier la limite. Pour ceux qui te lisent, je t'assure, ce serait plus agréable.

Zarathustra a écrit:
En physique, on va beaucoup plus loin, et on manipule des objets mathématiques dont on a la preuve formelle qu'ils n'existent pas (et qu'ils n'ont même pas de sens physique), mais qui donnent le bon résultat à la fin.

Et en bidouillant bien, je suis sûr que vous arrivez toujours à justifier le résultat que vous souhaitez prouver.

Zarathustra a écrit:Quand on écrit: f(x) = x^2/x, et on se demande si f(0) existe, il faut en fait se demander si l'expression formelle donnée, quand on va y substituer 0 pour x, donne des instructions de calcul qui sont exécutables.  On voit que, si on fait cela, on trouve les instructions "multipliez 0 avec 0, et divisez par 0".  On l'écrit comme 0^2/0.   Cette expression formelle existe en tant qu'expression formelle (elle est syntaxiquement correcte), mais elle implique une opération qui n'est pas exécutable: une division par 0.  Ainsi, l'expression formelle ne donne pas lieu à un nombre réel pour x = 0.  Dans la mesure où f(x) est défini seulement par cette expression, il faut conclure que f(0) n'existe pas ; c.a.d. qu'il n'y a pas un couple (0,?) dans f.

Mais il n'y a aucun moyen de constater cela sans constater que l'expression formelle va mener à un calcul non-défini.  Il faut constater que l'expression formelle nous invite à diviser par 0, pour pouvoir dire que cette expression formelle ne mène pas à un nombre, et donc pour pouvoir savoir que le couple (0,?) ne sera pas de la partie.  Comme j'ai déjà indiqué plusieurs fois, démembrer cette expression, pour dire que le truc par lequel il faut diviser sera 0, ou écrire l'expression même et voir que c'est une division par 0, est le même constat: f(0) n'existe pas, parce que l'expression formelle qui décrit l'objet f, veut qu'on divise par 0.

Lorsqu'une expression formelle nous invite à diviser par 0, on n'est pas obligé d'accepter cette invitation, il est même plus prudent de la refuser. Quand on voit que l'expression formelle d'un dénominateur s'annule, alors on s'arrête avant d'effectuer une division qui serait un non-sens mathématique ; en gros, lorsqu'on a constaté que le barillet est chargé, on s'arrête avant d'appuyer sur la gâchette en se visant la tête. Or il s'avère que, pour un mathématicien, écrire "truc/0" revient à appuyer sur la gâchette faire cette division.

Au passage, même s'il arrive qu'on le dise à l'oral dans le feu de l'action, en toute rigueur la formulation "f(0) n'existe pas" est incorrecte car la notation f(0) en elle-même suppose que f(0) existe ; il conviendrait donc de dire plutôt "la fonction f n'est pas définie en 0" ou "0 n'a pas d'image par la fonction f".

Allez, on va s'amuser un peu avec la question suivante :
Déterminer l'ensemble de définition maximal de la fonction f définie par f(x)=ln(x-2)+ln(1-x).  

Zarathustra a écrit:Non, la logique est dans l'autre sens.  On manipule ces objets formels, et s'ils donnent lieu à une contradiction, alors on sait que l'objet mathématique, suggéré par l'expression formelle, n'existe pas, au moins dans la mesure ou cette expression formelle est définissante.   Ce n'est pas parce que la manipulation marche, que l'objet existe, car ils peuvent y avoir d'autres conditions.

Je pense que nous ne donnons pas le même sens au mot "contradiction" : pour un mathématicien, une contradiction est d'obtenir comme conclusion une affirmation du type "P et non P" pour une certaine proposition P clairement définie , ce qui a un sens (FAUX) ; ce n'est pas d'obtenir une expression qui n'a aucun sens en mathématiques (comme 41/0).

wanax a écrit:*Même chose avec les exercices qui commencent par un sobre : résoudre dans R... x²  = 3 . x - 2...
Je préfèrerais proposer : soit pour tout réel x, l'égalité : x² = 3 . x - 2 Déterminer les réels pour lesquels cette égalité est vraie.
La première phrase de la solution devrait être : supposons qu'il existe un réel x tel que : x² = 3 .  - 2 .... C'est équivalent à ...

Je suis en train de me demander si une telle rédaction n'obligerait pas à faire une vérification systématique, même lorsqu'on a travaillé par équivalence à chaque étape : ces équivalences ne sont présentées comme valides que sous l'hypothèse de l'existence d'une solution, existence qu'il faut donc ensuite expliciter, même si à la fin elle paraît triviale.