5 x 3 n'est pas équivalent à 5 + 5 + 5

leskhal a écrit:Je suis scotché.
Je ne me souvenais plus de la nuance entre « fois » et « multiplié par », je crois ne jamais l'avoir acquise pour être honnête...
Dois-je démissionner de mon agrégation de maths ?

Nous avions il y a quelques jours une discussion entre ceux qui admettaient de diviser un vecteur par un nombre réel (ce qui ne me choque pas...) et ceux qui le refusaient car on doit toujours écrire le nombre avant le vecteur...
Je leur avait parlé du Lebossé-Hémery de 1947 où l'on divise deux vecteurs colinéaires pour trouver le coefficient de proportionnalité...

Vous avez trouvé encore plus fort !

leskhal a écrit:Je suis scotché.
Je ne me souvenais plus de la nuance entre « fois » et « multiplié par », je crois ne jamais l'avoir acquise pour être honnête...
Dois-je démissionner de mon agrégation de maths ?

archeboc a écrit:
N'est-il pas plus productif de conseiller à chaque instituteur d'utiliser toutes les représentations alternativement, pour que les élèves se rendent compte que tous ces problèmes font appel à une même opération d'addition itérée (qu'on leur désignera plutôt sous le terme d'addition répétée).  

archeboc a écrit: La progressivité à observer, à mon sens, réside dans la hauteur des nombres mis en jeu : il faut commencer par 2*4 puis 3*5, faciles à décompter sur les doigts, avant de passer à 4*7 puis 7*8.

Padre P. Lucas a écrit:
Pas tant que les notions de multiplicande et de multiplicateur ne sont pas comprises. Et pour qu'elles le soient il est important de nommer les deux termes et de leur attribuer un ordre, même si ces noms et cet ordre sont oubliés par la suite.

egomet a écrit:
Mais quand il s'agit de faire comprendre la signification de l'opération dans les petites classes, ça a son importance. Distinguer le multiplicateur et le multiplicande, ce n'est pas négligeable pour appréhender les situations concrètes et la relation entre les nombres et les choses. Si je prends 4 paquets de 3 biscuits, ce n'est pas pareil que 3 paquets de 4 biscuits. Sauf si je considère que seul le nombre total de biscuits est important. Alors, je fais abstraction des emballages. La commutativité de l'opération n'est pas une évidence, si je veux visualiser la situation qui se cache derrière.

Sapotille a écrit:

egomet a écrit:
Mais quand il s'agit de faire comprendre la signification de l'opération dans les petites classes, ça a son importance. Distinguer le multiplicateur et le multiplicande, ce n'est pas négligeable pour appréhender les situations concrètes et la relation entre les nombres et les choses. Si je prends 4 paquets de 3 biscuits, ce n'est pas pareil que 3 paquets de 4 biscuits. Sauf si je considère que seul le nombre total de biscuits est important. Alors, je fais abstraction des emballages. La commutativité de l'opération n'est pas une évidence, si je veux visualiser la situation qui se cache derrière.

Voilà !!!  

Tazon a écrit:

Padre P. Lucas a écrit:
Pas tant que les notions de multiplicande et de multiplicateur ne sont pas comprises. Et pour qu'elles le soient il est important de nommer les deux termes et de leur attribuer un ordre, même si ces noms et cet ordre sont oubliés par la suite.

 je ne comprends pas pourquoi c'est important, peux-tu développer?

Lorsqu'on calcule le nombre de biscuits ou d'élèves rangés, il est indépendant de la façon dont ils sont rangés. C'est même une justification intuitive de la commutativité. Si on veut faire la distinction dans la façon dont ils sont rangés, alors c'est qu'on n'est plus dans l'apprentissage de la multiplication, mais par exemple dans un problème de dénombrement ou de représentation dans l'espace, ou de proportionnalité avec coefficient, qui utiliserait comme moyen technique la multiplication, mais c'est un autre problème non?

Tazon a écrit:

Padre P. Lucas a écrit:
Pas tant que les notions de multiplicande et de multiplicateur ne sont pas comprises. Et pour qu'elles le soient il est important de nommer les deux termes et de leur attribuer un ordre, même si ces noms et cet ordre sont oubliés par la suite.

 je ne comprends pas pourquoi c'est important, peux-tu développer?

... À partir du moment où on s'intéresse à la longueur totale des trois planches de 5 m de long, on est bien dans un nombre indifférencié de mètres de planche, par exemple pour savoir quelle longueur elles font mises bout à bout .Si il faut faire la distinction, c'est qu'il ne faut pas faire la multiplication, mais rester avec ses trois planches séparées.

PauvreYorick a écrit:« 3 × 5 » peut se lire trois fois cinq (5+5+5) ou trois multiplié[s] par cinq (3+3+3+3+3).

Je crois qu'on a simplement tendance à adopter l'ordre « multiplicateur, opérateur, multiplicande » lorsqu'on lit × « fois » (en anglais times) et l'ordre « multiplicande, opérateur, multiplicateur » lorsqu'on le lit « multiplié par » ou « que multiplie ». Non ?

PauvreYorick a écrit:« 3 × 5 » peut se lire trois fois cinq (5+5+5) ou trois multiplié[s] par cinq (3+3+3+3+3).

Je crois qu'on a simplement tendance à adopter l'ordre « multiplicateur, opérateur, multiplicande » lorsqu'on lit × « fois » (en anglais times) et l'ordre « multiplicande, opérateur, multiplicateur » lorsqu'on le lit « multiplié par » ou « que multiplie ». Non ?

Madame Mado a écrit:Je ne comprends pas trop le problème : la multiplication, comme l'addition, est commutative.
D'où 3x5=5x3.
Pour le calcul, 3x5 (5+5+5) est plus simple à calculer que 5x3 (3+3+3+3+3), je choisis donc de calculer avec la multiplication qui sera la plus "économe" en temps.

Si avec ces petits nombres, ce n'est pas trop évident, imaginons une situation plus "complexe" :
"La maîtresse a reçu 25 paquets de 4 stylos.
Combien a-t-elle de stylos ?"
Si on s'amuse à calculer avec des 4, bonjour la galère !
Pourtant, cela correspond à l'énoncé.
Il faut donc se souvenir que 4x25=25x4 pour calculer assez vite.
Enfin, c'est ce que j'essayais d'apprendre à mes CE1 quand j'en avais.
Mais je ne suis pas très douée en maths.

Rémi Brissiaud a écrit:

Guy Morel a écrit:Cher Luc Cédelle,
Comme vous le savez, je n’ai jamais donné dans la querelle que vous évoquez pour de multiples raisons sur lesquelles je reviendrai à l’occasion. L’une d’elles mérite d’être explicitée en premier et je trouve qu’elle l’est parfaitement par Michel Delord – on peut avoir rompu avec quelqu’un et estimer ce qu’il écrit – sous le lien suivant :
http://blogs.mediapart.fr/blog/micheldelord/220512/lettre-edwy-plenel-propos-de-ferdinand-buisson-et-james-guillaume
Tant que les divers protagonistes de la querelle ne se seront pas expliqués là-dessus, c’est-à-dire sur le reniement ou l’occultation de l’héritage pédagogique de l’Instruction publique, j’ai tendance à penser que la mêlée que vous déplorez continuera, ainsi que le dépérissement de l’école.
Cordialement.
Guy Morel

PS. J’ai noté avec intérêt que M. Brissiaud a redécouvert récemment les mérites de l’enseignement du calcul préconisé par Henri Canac en 1960. Tout n’est donc pas perdu, et il se peut qu’un jour prochain, il feuillette les pages du DP de Buisson de 1887 consacrée à la question. J’ose même espérer que M. Goigoux fasse de même avec les pages du même ouvrage sur l’écriture-lecture.
Rédigé par : guy morel | le 13 février 2014 à 17:52 

*1947 et non 1960 pour Henri Canac.

Bonjour M. Morel,

J’ai déjà eu un échange avec vous qui s’était terminé par l’expression d’excuses que j’ai bien volontiers acceptées http://www.cahiers-pedagogiques.com/L-enseignement-du-comptage-en-debat. Vous vous adressiez à moi comme si j’étais la force invitante à un colloque ministériel alors que ce n’était pas le cas. En fait, je n’avais même pas été invité à intervenir lors de ce colloque. De façon générale, le moins que l’on puisse dire est que, jusqu’à présent, je n’ai guère été sollicité par un ministre quel qu’il soit (pas plus que ne l’a été mon ami André Ouzoulias. Pour lui, c’est définitif).

De nouveau, je trouve votre parole rapide et, de ce point de vue, vous conservez un style déplaisant qui explique que, bien que je trouve que les idées du GRIP méritent souvent d’être débattues (j’ai d’ailleurs essayé plusieurs fois de le faire), je m’abstiens le plus souvent de le faire aujourd’hui.

Vous écrivez : « J’ai noté avec intérêt que M. Brissiaud a redécouvert récemment les mérites de l’enseignement du calcul préconisé par Henri Canac en 1960. Tout n’est donc pas perdu, et il se peut qu’un jour prochain, il feuillette les pages du DP (dictionnaire pédagogique) de Buisson de 1887 consacrée à la question. »
Si je comprends bien, ma lecture des pédagogues d’avant 1970 (date de la réforme des maths modernes) serait récente et celle du DP de Buisson à venir. Qu’est-ce qui vous permet d’affirmer cela ?

Lisez mon ouvrage de 1989 (Comment les enfants apprennent à calculer ? – notez la présence du mot « calculer » et non « compter ») et vous verrez qu’il n’en est rien. Il contient de nombreuses citations de pédagogues d’avant 1970 sur lesquelles je m’appuie (en complément de résultats de recherches) pour affirmer qu’il faut d’emblée viser l’enseignement du calcul à l’école et pour émettre une mise en garde : l’enseignement du comptage, tel qu’il s’effectue dans les familles, a un rôle ambivalent concernant le progrès vers le calcul. Nos prédécesseurs dans le métier s’en méfiaient comme de la peste. Une question au passage : la découverte de ce phénomène ne serait-elle pas récente au sein du Grip ? Sinon, comment expliquer que Catherine Huby ait intitulé son manuel de CP et, pire, de CE1 : « Compter, calculer au CE1 » ? (voir aussi les interventions de Catherine Huby sur le site pré-cité).

Quant au Dictionnaire pédagogique de Ferdinand Buisson, je l’ai lu la première fois en 1977 (j’étais en « stage d’adaptation » parce qu’ancien professeur de lycée, je devenais professeur d’école normale). Je suppose que vous êtes convaincu du contraire parce que je ne fais pas miennes toutes les recommandations du dictionnaire. Mais comment faut-il qualifier le rapport à un ouvrage qui consisterait à en épouser systématiquement les thèses ? À un niveau général, mon accord avec les thèses défendues dans le DP, est profond mais dans le détail, je pense qu’avec les connaissances qui sont les nôtres aujourd’hui, il faut nuancer ce qui y est dit et ne pas systématiquement retenir ce qui y est préconisé.

Je prendrai comme exemple un extrait du texte de Michel Delord auquel vous renvoyez dans votre billet :

“Jusqu’en 1970, on apprend simultanément le calcul et la numération : au programme de CP figure les quatre opérations car par exemple il n’est pas possible d’apprendre la numération sans connaitre la multiplication puisque 243 signifie bien 2 fois 100 plus 4 fois 10 plus 3.”

Pour moi, il n’est pas nécessaire d’avoir étudié la multiplication au CP pour savoir que 43, c’est 4 fois 10 plus 3, l’addition répétée suffit. Il faut savoir que 40 = 10 + 10 + 10 + 10, ce qui peut évidemment se dire : 40, c’est 4 fois 10. En effet, le mot « fois » fait partie du langage quotidien et il n’est pas nécessaire de l’avoir associé à la multiplication et au signe « x » pour l’utiliser. Nous allons voir en effet qu’utiliser le signe « x » et le mot « multiplication » à ce niveau de la scolarité n’est pas sans inconvénient. Pour s’en rendre compte, on peut se rapporter aux résultats d’une recherche menée à Recife, au Brésil. Schlieman et collègues (1998) proposent ces deux problèmes à des enfants entre 8 et 12 ans qui sont « vendeurs des rues » et qui n’ont jamais fréquenté l’école :

(1) Combien faut-il payer en tout pour acheter 3 objets à 50 cruzeiros l’un ?

(2) Combien faut-il payer en tout pour acheter 50 objets à 3 cruzeiros l’un ?

75% de ces enfants qui n’ont jamais entendu parler de la multiplication et qui ne connaissent pas le signe « x », réussissent le problème (1). Concernant le problème (2), avec les mêmes enfants des rues, on observe un taux de réussite de… 0%.

Il faut en tirer les conséquences : le problème (1) n’est pas un problème de multiplication, on peut le réussir sans avoir étudié cette opération, c’est un problème d’addition répétée. En revanche, le problème (2) est un authentique problème de multiplication : on ne peut pas le réussir sans avoir étudié cette opération. En effet, l’échec au problème (2) ne s’explique pas parce que les enfants ne comprennent pas la situation parce que c’est la même situation que celle qui est décrite dans le problème (1) ; il ne s’explique pas non plus parce que les enfants ne savent pas calculer 3 fois 50 (sinon ils échoueraient au premier problème) ; il s’explique parce que des enfants non scolarisés ne savent pas que 50 fois 3 et 3 fois 50 conduisent au même nombre (commutativité). Les enfants de la rue cherchent à faire : 3 + 3 + 3 + 3 +… et, bien entendu, ils ne s’en sortent pas. Comprendre une opération, c’est en comprendre les propriétés essentielles, comme la commutativité de la multiplication, les propriétés que les chercheurs qualifient de « conceptuelles ».

Dans un article publié dans la revue Developmental Science (Brissiaud et Sander, 2010), nous avons montré que pour chacune des principales situations qui donnent du sens aux 4 opérations, on peut distinguer comme ci-dessus 2 sortes de problèmes : des problèmes comme le (1) dont la réussite atteste la compréhension de la situation et des problèmes comme le (2) dont la réussite atteste que l’enfant a commencé à comprendre l’opération arithmétique parce qu’il en utilise une propriété conceptuelle.

Pour la multiplication et la division, une façon de lutter contre l’échec scolaire consiste à commencer par s’assurer que les enfants comprennent les situations qui donnent du sens à ces opérations en leur proposant des problèmes comme le (1) (sans parler de l’opération, ce n’est pas nécessaire) avant, dans un deuxième temps, de définir l’opération aux enfants en s’appuyant sur des problèmes comme le (2). La raison : les enfants n’ont pas tout à apprendre en même temps, la progressivité est meilleure. On risque moins de se retrouver avec des élèves qui, face à un problème, ne cherchent plus à comprendre la situation décrite et choisissent une opération selon l’air du temps.

Par ailleurs, lorsque vous dites à un enfant : « Comme 50 fois 3 et 3 fois 50, c’est le même nombre, pour ne pas l’oublier, les hommes ont inventé une opération arithmétique elle s’appelle la multiplication… », l’enseignement correspondant est plus explicite: lors de la première rencontre avec la multiplication, vous mettez l’accent sur une propriété essentielle de cette opération, vous ne leurrez pas les enfants en leur faisant croire que vous leur enseignez la multiplication alors que vous ne faites que leur enseigner l’addition répétée.

Ferdinand Buisson ne pouvait pas savoir tout cela. Même s’il avait raison sur l’essentiel, c’est-à-dire sur le fait que comprendre le nombre 8, c’est savoir que 8 = 7 + 1 ; 8 = 10 – 2 ; 8 = 4 + 4 etc., je ne pense pas que l’absence de l’écriture 8 = 4 x 2 soit un manque important.

Bref, au-delà du fait que je vous ai convaincu ou non, le DP de Buisson a-t-il figé à jamais notre connaissance des phénomènes didactiques ou bien y a-t-il place pour une recherche de meilleures progressions ? Et pourquoi quiconque se situant dans une telle dynamique ne mériterait que le sarcasme ?

Rédigé par : Rémi Brissiaud | le 19 février 2014 à 19:40 

Plan de l'article:

Verdurette a écrit:J'avais remarqué, en arrivant au CE2 après des années de CP/CE1, un phénomène assez surprenant.
Si vous proposez l'opération suivante (en ligne) :  7 = 5 + .....  un nombre non négligeable d'élèves répondent "12" tellement ils sont habitués à écrire 7 + 5 = 12. Ils sont en réalité parfaitement capables de donner le bon résultat, c'est juste par habitude visuelle, ils n'ont pas regardé les signes.

Verdurette a écrit:Même si, au bout du compte, 3 paquets de 4 biscuits et 4 paquets de 3 biscuits font le même nombre de biscuits une fois posés sur une assiette, ça me semble important de comprendre que ce n'est pas la même chose.
D'ailleurs j'emploie le terme d'équivalence (en dessinant une petite balance) avec mes élèves.

EmmanuelB a écrit:
Dans cette discussion j'ai vu qu'on parlait de segments égaux, cela me dérange car [AB]=[CD] n'est pas correct. Un segment n'est pas une classe d'équivalence par définition même si on pourrait l'admettre comme on le fait actuellement avec les angles.