[Avec des mathématiques dedans] DM d'analyse.

ABCD un carré.
M un point mobile de AB. N le point de AD tel que MN=AB.
La perpendiculaire à MN passant par C coupe MN en H.

Prouver que, lorsque M parcourt [AB], H ne parcourt pas un quart de cercle autour de C.

En DM en troisième? Ou c'est trop dur? On place le milieu de MN pour aider ou pas?

Perso je ne mettrais pas l'indication du milieu de [MN] histoire de ne pas les influencer et voir s'ils exploitent d'autres pistes de démonstration.

Spoiler:

Par les aires, je trouve CH=x racine(2x-x²)+1-x en posant AB=1 et en paramétrant par x=BM.
Ça m'a pas l'air trop constant. Genre CH(1/2)=(2+rac 3)/4 et CH(1/4)=(12+rac 7)/16.

Mais j'ai utilisé du gros bourrin, pas vu le milieu de [MN].
Tu peux aussi utiliser un repère, sans doute ?

Tout dépend du cadre dans lequel tu te places et du chapitre en cours, autrement dit des outils que les élèves sauront mobiliser.

En tout cas merci pour l'exo, mes secondes te remercient déjà, avec des étoiles dans les yeux.

Pourquoi la formulation négative de la question, au fait ?
Pourquoi pas "est-ce que H parcourt un quart de cercle ?"
Quelle courbe parcourt H est un peu trop difficile (pour moi, en tout cas Very Happy

qui à ma grande honte n'ai pas fait toutes les activités de l'Herbier )

ben2510 a écrit:
Quelle courbe parcourt H est un peu trop difficile (pour moi, en tout cas qui à ma grande honte n'ai pas fait toutes les activités de l'Herbier )

C'est vrai que çà peut être sympa de poser la question de façon ouverte.
Mais j'avoue qu'au lieu géométrique parcouru par H j'y aurais laissé des plumes moi aussi :lol:

Mettons que l'idée de base est qu'il est facile de calculer CH lorsque H est sur AC. Le milieu de MN me semblait une aide puisque dans ce cas là il est précisément confondu avec H.

Je suis d'accord avec ton idée,
mais perso je ne leur aurais pas donné l'idée du milieu de MN (je suis un sadique :lol: d'autant plus qu'il s'agit d'un DM) En fait tout dépend de si je donne ce DM en début d'année ou en fin d'année....

voili voilou, j'ai donné mon avis.
En tout cas bravo, c'est un beau devoir je trouve. veneration

ycombe a écrit:Mettons que l'idée de base est qu'il est facile de calculer CH lorsque H est sur AC. Le milieu de MN me semblait une aide puisque dans ce cas là il est précisément confondu avec H.

Mais tu attends alors des élèves qu'ils sachent qu'un (seul) contre exemple suffit à conclure négativement !
Bon moi aussi je l'attends

Spoiler:

Ça demande pas mal de subtilité pour des troisièmes.

Niang973 a écrit:Perso je ne mettrais pas l'indication du milieu de [MN] histoire de ne pas les influencer et voir s'ils exploitent d'autres pistes de démonstration.
Spoiler:

C'est plus joli avec CarMetal Razz

[Avec des mathématiques dedans] DM d'analyse. H11

chouette en effet! je ne connaissais pas ce logiciel! merci pour la découverte ! Very Happy

ben2510 a écrit:

ycombe a écrit:Mettons que l'idée de base est qu'il est facile de calculer CH lorsque H est sur AC. Le milieu de MN me semblait une aide puisque dans ce cas là il est précisément confondu avec H.

Mais tu attends alors des élèves qu'ils sachent qu'un (seul) contre exemple suffit à conclure négativement !
Bon moi aussi je l'attends
Spoiler:

Ça demande pas mal de subtilité pour des troisièmes.

C'est bien l'idée, d'où la question négative: il suffit de trouver un contre-exemple.

En DM, dès que quelques débrouillards auront pensé à un contre-exemple, tous seront au courant.
Bon ce n'est pas très dérangeant pour peu qu'ils se soient tous creusé un peu la tête auparavant !

Ça ne serait pas celle qui se paramétrise en cos^4 (t) et sin^4 (t) ? L'espèce d'étoile avec des points de rebroussements de première espèce ?

J'ai une idée de démonstration.

Supposons que H soit sur le cercle en question. Il suffit de montrer que MN est inférieur à 1 (AB=1 pour simplifier):
[Avec des mathématiques dedans] DM d'analyse. H210

[Avec des mathématiques dedans] DM d'analyse. H210

Il suffit de montrer que MN=x+y < 1.

On ressort de la naphtaline ce vieux théorème de je ne sais plus qui, le carré du truc qui fait la somme des machins, on tripatouille un peu et on arrive à…

x+y=1-xy < 1

On voit toujours les cerfs-volants en cinquième ?
Ils verront les triangles isocèles ?

Ça me fait penser à l'échelle qui glisse le long du mur et au lieu du milieu.

ben2510 a écrit:On voit toujours les cerfs-volants en cinquième ?
Ils verront les triangles isocèles ?

Ça me fait penser à l'échelle qui glisse le long du mur et au lieu du milieu.

C'est pour ça que je voulais ajouter le milieu. Dans la position centrale, son lieu permet de calculer CH facilement.

L'égalité des tangentes partant du même point résulte facilement du théorème de Pythagore. Ou de la symétrie axiale. Je vais le mettre dans ma leçon sur les tangentes pour les quatrièmes, et le faire réviser aux troisièmes.

Si on considère que AB = 1 , le quart de cercle c'est celui de rayon 1? qui passe par B et D? ( je l'avais pas vu sur l'énoncé, c'est pour ça que je pose la question )
Tu poses x = MB et y = ND.
avec l'aire de NCM exprimé de deux façons différentes : soit CH/2 et par découpage soit aire du carré - aire des trois triangles rectangles j'obtiens CH = 1-xy.
xy étant une valeur positive, CH <1 .

super problème ! Du coup je ne vois pas l'utilité du milieu ici.

[Avec des mathématiques dedans] DM d'analyse.

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