Comment introduire les identités remarquables aux élèves ?

J'aime bien les remarques de Cripure, qui relativisent un peu cette obligation qu'on cherche à nous imposer d'introduire chaque nouvelle notion par une "activité". C'est rassurant quand même d'entendre que, parfois, dire une chose permet de la communiquer ! C'est presque révolutionnaire en fait.

Allez, je me sauve : ignorant comme je suis des sciences , j'ai cru que les identités remarquables, c'étaient en fait les particularismes individuels des élèves dont il faudra désormais tenir compte dans le socle commun du collège... Vous vous souvenez de la consultation ? Il s'agit qu'ils construisent leur image à partir des différents repères identitaires (je reformule de mémoire).

Cripure a écrit:

Marounette a écrit:je me demande comment introduire les identités remarquables auprès de mes élèves de 3ème.
Comment procédez-vous ?

Je ne suis pas matheux, mais comme je me les rappelle 36 ans après, je vais vous donner le truc de mon prof de 5e :
-Il les a copiées au tableau.
-Nous les avons apprises.
-Nous les avons utilisées.

Dingue, non ?

Même procédure lorsque j'étais en quatrième, en 1987 a priori.
Je ne comprends pas pourquoi il faudrait attendre 3 ou 4 mois qu'un élève découvre qu'on n'a pas besoin de développer pour trouver le résultat. :shock:
(et sinon, ça n'arrive qu'au programme de troisième maintenant ?)

mathmax a écrit:J'aime bien les remarques de Cripure, qui relativisent un peu cette obligation qu'on cherche à nous imposer d'introduire chaque nouvelle notion par une "activité". C'est rassurant quand même d'entendre que, parfois, dire une chose permet de la communiquer ! C'est presque révolutionnaire en fait.

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carolette a écrit:
Même procédure lorsque j'étais en quatrième, en 1987 a priori.
Je ne comprends pas pourquoi il faudrait attendre 3 ou 4 mois qu'un élève découvre qu'on n'a pas besoin de développer pour trouver le résultat. :shock:
(et sinon, ça n'arrive qu'au programme de troisième maintenant ?)

Cela doit peu être venir du fait que c'est aux élèves de découvrir les propriétés, d'être acteurs de leur apprentissage.

Marounette a écrit:

mathmax a écrit:J'aime bien les remarques de Cripure, qui relativisent un peu cette obligation qu'on cherche à nous imposer d'introduire chaque nouvelle notion par une "activité". C'est rassurant quand même d'entendre que, parfois, dire une chose permet de la communiquer ! C'est presque révolutionnaire en fait.

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carolette a écrit:
Même procédure lorsque j'étais en quatrième, en 1987 a priori.
Je ne comprends pas pourquoi il faudrait attendre 3 ou 4 mois qu'un élève découvre qu'on n'a pas besoin de développer pour trouver le résultat. :shock:
(et sinon, ça n'arrive qu'au programme de troisième maintenant ?)

Cela doit  peu être venir du fait que c'est aux élèves de découvrir les propriétés,  d'être acteurs de leur apprentissage.

On peut tout à fait être acteur de ses apprentissages sans avoir besoin de réinventer l'eau chaude à chaque fois.

carolette a écrit:Même procédure lorsque j'étais en quatrième, en 1987 a priori.
Je ne comprends pas pourquoi il faudrait attendre 3 ou 4 mois qu'un élève découvre qu'on n'a pas besoin de développer pour trouver le résultat. :shock:
(et sinon, ça n'arrive qu'au programme de troisième maintenant ?)

En introduisant la double distributivité en 4ème et les identités remarquables en 3ème, c'est ce que le programme nous incite fortement à faire.
Ainsi, lorsque je vois la double distributivité en 4ème j'en profite pour leur faire développer un max d'expressions du style (a+b)². Il y a toujours un élève plus malin que les autres qui "devine" la formule.

Je ne vois pas en quoi cette approche est dérangeante. Je parle parfois des identités remarquables en fin de 4ème, d'autres fois en début de 3ème. Dans ma progression, les identités remarquables en 3ème arrivent vers le mois de Décembre. Mais en réalité je les introduis souvent avant, quand l'occasion s'y prête.

Quel est le problème ?

Mes formateurs nous avaient conseillé de commencer plutôt par le sens factorisation pour donner du sens aux IR (dans le sens développement, ça permet d'aller plus vite, mais ce n'est pas indispensable donc les élèves sont réfractaires à l'idée de les apprendre).
Voici les activités que j'utilise (c'est inspiré d'un doc de l'IUFM de Lyon mais qui ne semble pas avoir résisté au passage IUFM -> ESPE...)

Programme 3
on choisit deux nombres quelconques
on calcule, pour chacun, leur carré
puis la somme de leurs carrés
puis on ajoute deux fois leur produit

Qu'obtient-on ? Quelle conjecture peut-on faire ? Comment démontrer cette conjecture ?

Programme 4
on choisit deux nombres quelconques
on calcule, pour chacun, leur carré
à la somme de leurs carrés on retranche deux fois leur produit

Qu'obtient-on ? Quelle conjecture peut-on faire ? Comment démontrer cette conjecture ?

Problème
a et b sont deux nombres tels que : a + b = 28 et a - b = 6
Trouve a et b puis calcule a² – b²
Recommence avec d'autres nombres a et b
Quelle règle trouves-tu ? Démontre-la.

wanax a écrit:

PauvreYorick a écrit:

wanax a écrit: dessin d'un carré de côté a + b, pour voir a² , b² , ab et ba en décomposant les aires. Mais je constate que ça ne marche pas et je ne sais pas pourquoi.

C'est dingue, ça, pourquoi, en effet ?

Réponse facile : paresse mentale, ce que j'ai d'autant plus de mal à comprendre que ces savoirs sont des économies de l'esprit.
( Gamin, je me suis toujours plus intéressé à ce qui était réadaptable, définitif, d'un emploi fréquent vs l'astuce qui ne marche que dans un cas précis et ne montre rien. )
Je pense que l'éclatement des disciplines, l'éparpillement des quelques heures qui restent empêchent toute structuration, qu'il n'y a plus que des bribes de savoirs plus ou moins cloisonnés.
Si c'est du calcul, ce n'est pas une fonction, si c'est une fonction, ce n'est pas de la géométrie, si on est en Physique, on ne fait pas comme en maths..

C'est une question qu'on ne se pose pas assez : pourquoi l'élève qui, face à un exercice spécifique aux racines carrées, va bien s'abstenir d'écrire sqrt(a+b) = sqr(a)+sqrt(b), n'y pense pas lors d'une étude de fonction, "hors-contexte" ?

Malheureusement, l'aire d'un rectangle de côtés a et b est ab n'est pas du tout un automatisme, même en troisième, parce que cela n'a pas été assez utilisé depuis le primaire, et parce que le calcul littéral n'est introduit que tardivement, je crois vraiment à une espèce de temps de maturation nécessaire qui manque de plus en plus à nos élèves, à cause de programmes mal faits et pas assez progressifs.

PauvreYorick a écrit:

wanax a écrit: dessin d'un carré de côté a + b, pour voir a² , b² , ab et ba en décomposant les aires. Mais je constate que ça ne marche pas et je ne sais pas pourquoi.

C'est dingue, ça, pourquoi, en effet ?

Je confirme: ça marche pas.
Je crois que, pour eux, le calcul de l'aire d'un carré n'est absolument pas de l'ordre du réflexe.... donc ils ne "voient" pas.
Cette année, on a testé les connaissances de nos élèves de secondes : 1/4 des élèves confondent périmètre et aire et cela dans toutes les classes (et près 1/3 des élèves qui ne maitrisent pas le sens des quatre opérations).

Pascal a écrit:En quatrième, ce sont justement les identités remarquables qui m'ont définitivement dégoûté des maths ...

C'est marrant, c'est justement après un passage au tableau  sur les identités remarquables que ma prof de maths de troisième, remarquable elle aussi, une vraie terreur, ce qui avait comme conséquence qu'on bossait dur pour pas se faire engueuler,  m'a dit "Tazon, j'espère que vous ferez des études scientifiques", j'ai très fortement pensé "elle est pas bien elle, j'ai juste appris ma leçon!".

Sinon, je prends aussi le sens factorisation, sinon les élèves n'en voient pas bien l'intérêt, et comme ça ils apprennent tout de même par cœur les formules qu'ils réutilisent s'ils ne sont pas trop bêtes dans le sens développement.

Tazon a écrit:

Pascal a écrit:En quatrième, ce sont justement les identités remarquables qui m'ont définitivement dégoûté des maths ...

C'est marrant, c'est justement après un passage au tableau  sur les identités remarquables que ma prof de maths de troisième, remarquable elle aussi, une vraie terreur, ce qui avait comme conséquence qu'on bossait dur pour pas se faire engueuler,  m'a dit "Tazon, j'espère que vous ferez des études scientifiques", j'ai très fortement pensé "elle est pas bien elle, j'ai juste appris ma leçon!".

Sinon, je prends aussi le sens factorisation, sinon les élèves n'en voient pas bien l'intérêt, et comme ça ils apprennent tout de même par cœur les formules qu'ils réutilisent s'ils ne sont pas trop bêtes dans le sens développement.

Chaque fois que je les rappelle, je les écris a² - 2ab + b² = (a-b)²... effectivement dans le sens factorisation, puisque c'est évidemment pour factoriser qu'on en a besoin ( pas nécessaire pour développer, nécessaire pour factoriser. )

Mes formateurs nous avaient conseillé de commencer plutôt par le sens factorisation

Oui. En revanche, les activités d'introduction sont une perte de temps.

En introduisant la double distributivité en 4ème et les identités remarquables en 3ème, c'est ce que le programme nous incite fortement à faire.
Ainsi, lorsque je vois la double distributivité en 4ème j'en profite pour leur faire développer un max d'expressions du style (a+b)². Il y a toujours un élève plus malin que les autres qui "devine" la formule.

Je ne vois pas en quoi cette approche est dérangeante. Je parle parfois des identités remarquables en fin de 4ème, d'autres fois en début de 3ème. Dans ma progression, les identités remarquables en 3ème arrivent vers le mois de Décembre. Mais en réalité je les introduis souvent avant, quand l'occasion s'y prête.

Quel est le problème ? heu

Le problème, c'est qu'à force de délayer, de faire les choses toujours plus tardivement, les élèves arrivent en Seconde sans même savoir développer.
J'insiste pour dire que ce n'est pas une critique, les professeurs de collège font ce qu'ils peuvent et le problème est si général que ce n'est pas une question de personnes mais le résultat d'un système.
Je discutais samedi matin avec un collègue qui me disait avoir été trop vite, car il ne s'était pas aperçu avant le DS de la faiblesse en calcul de ses Secondes.
Réalité : depuis ~3 ans, il faut, en Seconde, faire un chapitre complet sur le développement, refaire toutes les règles sur la racine carrée, les fractions,...

Il y a 12 ans, les élèves qui arrivaient en seconde connaissaient par coeur le tableau des cosinus et sinus des angles remarquables, maintenant, ils prennent leurs calculettes PC de poche et obtiennent 0,707...

PauvreYorick a écrit:

wanax a écrit: dessin d'un carré de côté a + b, pour voir a² , b² , ab et ba en décomposant les aires. Mais je constate que ça ne marche pas et je ne sais pas pourquoi.

C'est dingue, ça, pourquoi, en effet ?

Je pense que pour mes élèves (de seconde), le lien entre le carré d'un nombre et un calcul d'aire n'a rien d'évident.
La plupart ont appris les formules et les appliquent... en dépit du bon sens ( (x-1)² lorsque x vaut 2, ils remplacent x par 2 puis développent ... ).

BrindIf a écrit:

PauvreYorick a écrit:

wanax a écrit: dessin d'un carré de côté a + b, pour voir a² , b² , ab et ba en décomposant les aires. Mais je constate que ça ne marche pas et je ne sais pas pourquoi.

C'est dingue, ça, pourquoi, en effet ?

Je pense que pour mes élèves (de seconde), le lien entre le carré d'un nombre et un calcul d'aire n'a rien d'évident.
La plupart ont appris les formules et les appliquent... en dépit du bon sens ( (x-1)² lorsque x vaut 2, ils remplacent x par 2 puis développent ... ).

Pour ça, j'ai une explication simple.
L'utilisation de la calculatrice rend inutile l'analyse d'un nombre et la recherche des différentes façons de le calculer. L'élève n'acquiert donc pas le réflexe qui consiste à effectuer les calculs dans l'ordre où les nombres sont aisés à traiter.
Exemple : calculer a = 5 . 13 . 2
* à la calculatrice, on peut rentrer 5.13.2, on n'a même pas besoin de faire 5.13 puis de multiplier par 2.  ( Conséquence funeste observée : 5.13.2 = 65 . 10 = 650... )
* de tête, on REMARQUE que a = 5.2.13 = 10.13 = 130

Exemple : calculer 16. ( 51 / 8 ) Alors 16 . 51, ça fait .... au lieu de faire 16/8 . 51 = 102

Comme cette agilité mentale n'est plus du tout développée, tout calcul numérique et de là tout calcul littéral devient une souffrance.
Alors que si on les oblige à le faire mentalement, avec "gentillesse", ils sont très fiers de réussir.

De l'intérêt du calcul mental.

De l'intérêt du calcul mental, mais aussi du calcul posé.

JPhMM a écrit:

Pascal a écrit:En quatrième, ce sont justement les identités remarquables qui m'ont définitivement dégoûté des maths ...

Moi j'ai adoré l'idée de transformer un carré en somme, mais je me souviens avoir été déçu que la commutativité ne produise pas de résultat fascinant.

Pareil. Du coup, j'ai fait du grec

Marounette a écrit:

mathmax a écrit:J'aime bien les remarques de Cripure, qui relativisent un peu cette obligation qu'on cherche à nous imposer d'introduire chaque nouvelle notion par une "activité". C'est rassurant quand même d'entendre que, parfois, dire une chose permet de la communiquer ! C'est presque révolutionnaire en fait.

+1

carolette a écrit:
Même procédure lorsque j'étais en quatrième, en 1987 a priori.
Je ne comprends pas pourquoi il faudrait attendre 3 ou 4 mois qu'un élève découvre qu'on n'a pas besoin de développer pour trouver le résultat. :shock:
(et sinon, ça n'arrive qu'au programme de troisième maintenant ?)

Cela doit  peu être venir du fait que c'est aux élèves de découvrir les propriétés,  d'être acteurs de leur apprentissage.

Ce qui était révolutionnaire en 78, c'est qu'on considérait qu'apprendre une leçon, c'était être acteur de son apprentissage. Et c'est fou le temps qu'on gagnait

Cripure a écrit:

JPhMM a écrit:

Pascal a écrit:En quatrième, ce sont justement les identités remarquables qui m'ont définitivement dégoûté des maths ...

Moi j'ai adoré l'idée de transformer un carré en somme, mais je me souviens avoir été déçu que la commutativité ne produise pas de résultat fascinant.

Pareil. Du coup, j'ai fait du grec

Hihi.

La lecture de Diophante vous plairait je pense.

BrindIf a écrit:

PauvreYorick a écrit:

wanax a écrit: dessin d'un carré de côté a + b, pour voir a² , b² , ab et ba en décomposant les aires. Mais je constate que ça ne marche pas et je ne sais pas pourquoi.

C'est dingue, ça, pourquoi, en effet ?

Je pense que pour mes élèves (de seconde), le lien entre le carré d'un nombre et un calcul d'aire n'a rien d'évident.
La plupart ont appris les formules et les appliquent... en dépit du bon sens ( (x-1)² lorsque x vaut 2, ils remplacent x par 2 puis développent ... ).

Je crois que, plus généralement, et contrairement à l'idée qui domine dans le petit monde de la pédagogie des maths, le détour par l'interprétation géométrique d'un résultat d'algèbre ou d'analyse n'aide pas tellement l'élève moyen - et encore moins le faible - à comprendre la notion étudiée. Je crois que le lien entre un calcul abstrait/formalisé et une figure géométrique n'a rien de naturel pour une bonne partie de notre public ; c'est du moins ce que je constate en lycée où je m'aperçois en particulier qu'un grand nombre d'élèves ont de sérieuses difficultés à relier les propriétés algébriques d'une fonction avec les propriétés de sa courbe représentative (d'ailleurs la notion de courbe représentative est en elle-même très mal comprise, ce qui dans le fond n'est pas surprenant car les élèves ne disposent pas des concepts d'ensemble et de sous-ensemble).

JPhMM a écrit:

Cripure a écrit:

JPhMM a écrit:
Moi j'ai adoré l'idée de transformer un carré en somme, mais je me souviens avoir été déçu que la commutativité ne produise pas de résultat fascinant.

Pareil. Du coup, j'ai fait du grec

Hihi.

La lecture de Diophante vous plairait je pense.

Il est mort vieux, non ?

JPhMM a écrit:De l'intérêt du calcul mental.

ben2510 a écrit:De l'intérêt du calcul mental, mais aussi du calcul posé.

De l'intérêt d'interdire les calculatrices au moins jusqu'en fin de collège.

En trigo, stats et th. de Pythagore, elles peuvent être utiles.

Cripure a écrit:

JPhMM a écrit:

Cripure a écrit:
Pareil. Du coup, j'ai fait du grec

Hihi.

La lecture de Diophante vous plairait je pense.

Il est mort vieux, non ?

Une référence à ceci ?

Spoiler:

JPhMM a écrit:En trigo, stats et th. de Pythagore, elles peuvent être utiles.

Une table de cosinus aussi.

Il est vrai que l'utilisation d'une calculatrice est souvent pertinente (au lycée aussi !) mais face au inconvénients en termes de capacités calculatoires des élèves, l'interdiction (permanente, ou avec autorisation ponctuelle suivant les chapitres) est la meilleure solution.

Pour répondre à la question du fil, voici le chapitre correspondant du Lebossé-Hemery de 3e, programme 1958:


(En fait c'était au programme de 4ème, avec les polynômes. Les polynômes étaient explicitement révisés dans les programmes de troisièmes, et le LH révisait aussi les IR.
Les polynômes sont sortis des programmes du collèges dans les années 1980.)

Edit: Changement d'images, les premières avaient une qualité trop dégradées.

Moonchild a écrit:
Je crois que, plus généralement, et contrairement à l'idée qui domine dans le petit monde de la pédagogie des maths, le détour par l'interprétation géométrique d'un résultat d'algèbre ou d'analyse n'aide pas tellement l'élève moyen - et encore moins le faible - à comprendre la notion étudiée. Je crois que le lien entre un calcul abstrait/formalisé et une figure géométrique n'a rien de naturel pour une bonne partie de notre public ; c'est du moins ce que je constate en lycée où je m'aperçois en particulier qu'un grand nombre d'élèves ont de sérieuses difficultés à relier les propriétés algébriques d'une fonction avec les propriétés de sa courbe représentative (d'ailleurs la notion de courbe représentative est en elle-même très mal comprise, ce qui dans le fond n'est pas surprenant car les élèves ne disposent pas des concepts d'ensemble et de sous-ensemble).

C'est pour cela que même en Terminale, je prends le temps de leur faire tracer des courbes à la main, après calcul d'un tableau de valeurs, si possible sans calculatrice ( racine de 10 ? On va dire 3 et des poussières ). Je trouvais ça chronophage, je trépignais par le passé, je suis sûr maintenant que ce temps long est nécessaire pour faire "connaître" la fonction.
L'utilisation de la calculatrice graphique est, ici encore, anti-productive : et d'ailleurs, quel intérêt de calculer une dérivée, étudier son signe, etc... pour connaître les variations d'une fonction si on peut l'avoir tout de suite à l'écran ? On se prive du plaisir de la découverte, de cette petite angoisse qui ne se dissipe que lorsque les points calculés "collent" avec les variations prédites..
Qui lirait un roman policier en commençant par le dernier chapitre ?