Comment introduire les identités remarquables aux élèves ?

Bonsoir,

En panne d'idées, je me demande comment introduire les identités remarquables auprès de mes élèves de 3ème.
Comment procédez-vous ?
Merci d'avance.

Je leur fais développer plein d'expressions du type (a+b)², (a+b)(a-b), (a-b)² dès le début de l'année grâce à la double distributivité, jusqu'à ce qu'un élève me fasse remarquer que "Mais en fait Madame, on peut trouver le résultat directement on a pas besoin de développer!".
Et là, on écrit les 3 identités remarquables dans le cahier de leçons!

(selon les classes, ça peut mettre plus ou moins de temps : parfois un élève le remarque dès la première fois, d'autres fois il faut attendre 3 ou 4 mois)

Je suis au lycée, mais une bonne moitié ne maîtrise pas, donc on repasse une couche ( de peinture, sinon ça tient pas. )
Idées :
*faire calculer des carrés d'entiers consécutifs, pour bien marquer que (n+1)² n'est pas n² + 1² et voir le 2.n
*dessin d'un carré de côté a + b, pour voir a² , b² , ab et ba en décomposant les aires. Mais je constate que ça ne marche pas et je ne sais pas pourquoi.
*Développement brutal ( à un moment, il faut qu'ils s'y mettent, mémoriser trois formules, ce n'est pas le bout du monde. ) avec le défi (a+b+c+d+...)²
*Toujours dire le carré de a + b et pas a + b au carré
*Faire remarquer que (-x-1)² = (x+1)², sinon ils ne savent pas faire.
*Si tu veux être brutale : triplets pythagoriciens : a² - b² , 2ab et a² + b²
*exos marrants ; calculer 2015² - 2014²...
Calculer les carrés de 29, 31, 51 via ( 30 + 1 )², de tête...


Bon, ce matin, j'expliquais à des élèves que je n'ai qu'en aide comment simplifier 4 . ( x + 1) / 2
J'ai pu voir qu'ils ne savaient pas faire 4 . ( 5 / 2 ) sans la calculatrice donc :

BANNIR LA CALCULATRICE.

Bien marquer l'idée que tous les trinômes ne sont pas des identités remarquables.
exo : comment compléter x² + 6.x + ... pour que ce soit une identité, x² + ... x + 25
exo : xy =((x+y)² - (x-y)² )/4, un produit peut se calculer à l'aide de carrés..

Par dessin du carré et calcul de son aire de deux manières différentes.
Par application de la double distributivite.
En posant la multiplication "polynomiale ".

Salut, quand j'avais des troisième je leur demandais de résoudre l'équation de Babylone, x²+10x=39.
Avec un petit topo historique sur la tablette (conservée au British Museum, je crois) sur laquelle cette équation avait été retrouvée, mais sans lettres latines, sans chiffres arabes, sans le + et le = inventés beaucoup plus tard !
Un dessin au tableau, avec un carré de côté x auquel était accolé un rectangle de 10 par x, puis le découpage habituel, x²+5x+5x=39,
x²+5x+5x+25=39+25, (x+5)²=64=8², donc x+5=8 et x=3.
Une petite remarque sur le fait qu'à l'époque les nombres négatifs n'existaient pas ; puis un dessin pour a²-b²=(a-b)(a+b), enfin on mettait tout à gauche pour factoriser, et enfin la nullité d'un facteur comme CNS pour la nullité du produit, avec démonstration.
Disons 30 minutes en tout, ensuite les deux identités (=égalité toujours vraie, utile à préciser) au tableau et des exos : résoudre avec la même méthode/développer/factoriser/compléter une identité (du genre x²+6x+... = (x+...)² ) et au fil des exos la troisième (a-b)²=a²-2ab+b², en faisant remarquer (en développant) que les trois identités, bien qu'introduites et illustrées géométriquement, restaient valables dans le cas où a ou b étaient négatifs.

marie91270 a écrit:Je leur fais développer plein d'expressions du type (a+b)², (a+b)(a-b), (a-b)² dès le début de l'année grâce à la double distributivité, jusqu'à ce qu'un élève me fasse remarquer que "Mais en fait Madame, on peut trouver le résultat directement on a pas besoin de développer!".
Et là, on écrit les 3 identités remarquables dans le cahier de leçons!

(selon les classes, ça peut mettre plus ou moins de temps : parfois un élève le remarque dès la première fois, d'autres fois il faut attendre 3 ou 4 mois)

Je retiens l'idée pour une fois prochaine !!

wanax a écrit:
*exos marrants ; calculer 2015² - 2014²...
Calculer les carrés de 29, 31, 51 via ( 30 + 1 )², de tête...

Je doute que les élèves trouvent ce genre d'exercices marrants !!!
Mais je dois avouer que cela m'amuse !!


Je remarque que l'idée de l'illustration géométrique de ces identités remarquables revient dans les réponses.

D'autres idées ?

Marounette a écrit:je me demande comment introduire les identités remarquables auprès de mes élèves de 3ème.
Comment procédez-vous ?

Je ne suis pas matheux, mais comme je me les rappelle 36 ans après, je vais vous donner le truc de mon prof de 5e :
-Il les a copiées au tableau.
-Nous les avons apprises.
-Nous les avons utilisées.

Dingue, non ?

wanax a écrit: dessin d'un carré de côté a + b, pour voir a² , b² , ab et ba en décomposant les aires. Mais je constate que ça ne marche pas et je ne sais pas pourquoi.

C'est dingue, ça, pourquoi, en effet ?

Cripure a écrit:

Marounette a écrit:je me demande comment introduire les identités remarquables auprès de mes élèves de 3ème.
Comment procédez-vous ?

Je ne suis pas matheux, mais comme je me les rappelle 36 ans après, je vais vous donner le truc de mon prof de 5e :
-Il les a copiées au tableau.
-Nous les avons apprises.
-Nous les avons utilisées.

Dingue, non ?

:shock: Nous avons eu le même
Sauf qu'il a dû perdre deux ou trois choses entre temps, vu qu'à mon époque, c'était devenue "elle"

PauvreYorick a écrit:

wanax a écrit: dessin d'un carré de côté a + b, pour voir a² , b² , ab et ba en décomposant les aires. Mais je constate que ça ne marche pas et je ne sais pas pourquoi.

C'est dingue, ça, pourquoi, en effet ?

Réponse facile : paresse mentale, ce que j'ai d'autant plus de mal à comprendre que ces savoirs sont des économies de l'esprit.
( Gamin, je me suis toujours plus intéressé à ce qui était réadaptable, définitif, d'un emploi fréquent vs l'astuce qui ne marche que dans un cas précis et ne montre rien. )
Je pense que l'éclatement des disciplines, l'éparpillement des quelques heures qui restent empêchent toute structuration, qu'il n'y a plus que des bribes de savoirs plus ou moins cloisonnés.
Si c'est du calcul, ce n'est pas une fonction, si c'est une fonction, ce n'est pas de la géométrie, si on est en Physique, on ne fait pas comme en maths..

C'est une question qu'on ne se pose pas assez : pourquoi l'élève qui, face à un exercice spécifique aux racines carrées, va bien s'abstenir d'écrire sqrt(a+b) = sqr(a)+sqrt(b), n'y pense pas lors d'une étude de fonction, "hors-contexte" ?

Cripure a écrit:

Marounette a écrit:je me demande comment introduire les identités remarquables auprès de mes élèves de 3ème.
Comment procédez-vous ?

Je ne suis pas matheux, mais comme je me les rappelle 36 ans après, je vais vous donner le truc de mon prof de 5e :
-Il les a copiées au tableau.
-Nous les avons apprises.
-Nous les avons utilisées.

Dingue, non ?

On a donc eu le même profeseur.
Mais comme le dit la pub... ça c'était avant !

C'était pour aider, hein

Marounette a écrit:

Cripure a écrit:

Marounette a écrit:je me demande comment introduire les identités remarquables auprès de mes élèves de 3ème.
Comment procédez-vous ?

Je ne suis pas matheux, mais comme je me les rappelle 36 ans après, je vais vous donner le truc de mon prof de 5e :
-Il les a copiées au tableau.
-Nous les avons apprises.
-Nous les avons utilisées.

Dingue, non ?

On a donc eu le même  profeseur.
Mais comme le dit la pub... ça c'était avant !

Même méthode employée par ma prof en 1997-1998, mais c'est vrai que ça commence à dater aussi...

Ouaips. En fait, l'information importante est dans l'un des posts de Cripure.

Je ne suis pas matheux, mais comme je me les rappelle 36 ans après, je vais vous donner le truc de mon prof de 5e :
-Il les a copiées au tableau.
-Nous les avons apprises.
-Nous les avons utilisées.

Dingue, non ?

Marounette a écrit: (...)

wanax a écrit:
*exos marrants ; calculer 2015² - 2014²...
Calculer les carrés de 29, 31, 51 via ( 30 + 1 )², de tête...

Je doute que les élèves trouvent ce genre d'exercices marrants !!!
Mais je dois avouer que cela m'amuse !!

(...)

Vous êtes vraiment de grands malades vous les profs de maths! !!!!!!

Spoiler:

Pardon, je sors

doubledecker a écrit:

Spoiler:

Pardon, je sors

Ben oui, celles pour les polynômes de degré 3 se voient en Première S en Terminale S enfin plus tard.

Cripure a écrit:

Marounette a écrit:je me demande comment introduire les identités remarquables auprès de mes élèves de 3ème.
Comment procédez-vous ?

Je ne suis pas matheux, mais comme je me les rappelle 36 ans après, je vais vous donner le truc de mon prof de 5e :
-Il les a copiées au tableau.
-Nous les avons apprises.
-Nous les avons utilisées.

Dingue, non ?

Je ne les ai jamais apprises...

Cripure a écrit:

Marounette a écrit:je me demande comment introduire les identités remarquables auprès de mes élèves de 3ème.
Comment procédez-vous ?

Je ne suis pas matheux, mais comme je me les rappelle 36 ans après, je vais vous donner le truc de mon prof de 5e :
-Il les a copiées au tableau.
-Nous les avons apprises.
-Nous les avons utilisées.

Dingue, non ?

Il aurait pu vous parler des identités remarquables du théâtre shakespearien.

Roméo et Juliette s'aiment

Signifie mathématiquement :

Roméo aime Roméo, et Roméo aime Juliette, et Juliette aime Roméo, et Juliette aime Juliette.



PS: pour la double distributivité, ça marche très bien...

Jean et Jacques mangent et boivent, etc.

En quatrième, ce sont justement les identités remarquables qui m'ont définitivement dégoûté des maths ...

Pascal a écrit:En quatrième, ce sont justement les identités remarquables qui m'ont définitivement dégoûté des maths ...

Moi j'ai adoré l'idée de transformer un carré en somme, mais je me souviens avoir été déçu que la commutativité ne produise pas de résultat fascinant.

Je veux dire par là que, petit, j'étais resté bloqué, fasciné par la beauté des multiplications posées.
En effet, quand on pose 23 fois 15, on obtient la somme de 115 et de 230. Quand on pose 15 fois 23, on obtient la somme de 45 et de 300.
Et, depuis que j'avais appris à poser les multiplications, je me demandais par quel miracle ces deux additions différentes donnaient le même résultat à chaque fois. Je savais bien que la commutativité implique que ce soit nécessaire, mais je comprenais pas comment c'était possible. Je trouvais ça magique.

JPhMM a écrit:

Pascal a écrit:En quatrième, ce sont justement les identités remarquables qui m'ont définitivement dégoûté des maths ...

Moi j'ai adoré l'idée de transformer un carré en somme, mais je me souviens avoir été déçu que la commutativité ne produise pas de résultat fascinant.

Je veux dire par là que, petit, j'étais resté bloqué, fasciné par la beauté des multiplications posées.
En effet, quand on pose 23 fois 15, on obtient la somme de 115 et de 230. Quand on pose 15 fois 23, on obtient la somme de 45 et de 300.
Et, depuis que j'avais appris à poser les multiplications, je me demandais par quel miracle ces deux additions différentes donnaient le même résultat à chaque fois. Je savais bien que la commutativité implique que ce soit nécessaire, mais je comprenais pas comment c'était possible. Je trouvais ça magique.

Je n'ai rien compris, mais chacun trouve son plaisir là où il peut ^^

Pose et calcule :
23*15

Puis
15*23

Et tu comprendras.

Ça vient de la distributivité bien sûr.
23*15=23*(5+10)=23*5+23*10=115+230=345
15*23=15*(3+20)=15*3+15*20=45+300=345

Mais en primaire je ne connaissais pas la distributivité, alors je ne comprenais comment ça marchait.

JPhMM a écrit:Pose et calcule :
23*15

Puis
15*23

Et tu comprendras.

Ça vient de la distributivité bien sûr.
23*15=23*(5+10)=23*5+23*10=115+230=345
15*23=15*(3+20)=15*3+15*20=45+300=345

Mais en primaire je ne connaissais pas la distributivité, alors je ne comprenais comment ça marchait.

Il faut distribuer une fois de plus, et utiliser la commutativité de la
somme pour faire apparaître l'égalité des deux expressions.

Pascal a écrit:

JPhMM a écrit:

Pascal a écrit:En quatrième, ce sont justement les identités remarquables qui m'ont définitivement dégoûté des maths ...

Moi j'ai adoré l'idée de transformer un carré en somme, mais je me souviens avoir été déçu que la commutativité ne produise pas de résultat fascinant.

Je veux dire par là que, petit, j'étais resté bloqué, fasciné par la beauté des multiplications posées.
En effet, quand on pose 23 fois 15, on obtient la somme de 115 et de 230. Quand on pose 15 fois 23, on obtient la somme de 45 et de 300.
Et, depuis que j'avais appris à poser les multiplications, je me demandais par quel miracle ces deux additions différentes donnaient le même résultat à chaque fois. Je savais bien que la commutativité implique que ce soit nécessaire, mais je comprenais pas comment c'était possible. Je trouvais ça magique.

Je n'ai rien compris, mais chacun trouve son plaisir là où il peut ^^

Je me suis souvent demandé pourquoi des gens comme Pascal se croient obligés d'intervenir sur des sujets aux quels, de leur propre aveu, ils ne comprennent rien.
Avec, en prime, des commentaires dépréciatifs.
Enfin « chacun trouve son plaisir là où il peut ».

J'aime bien les remarques de Cripure, qui relativisent un peu cette obligation qu'on cherche à nous imposer d'introduire chaque nouvelle notion par une "activité". C'est rassurant quand même d'entendre que, parfois, dire une chose permet de la communiquer ! C'est presque révolutionnaire en fait.