Re: quadrature du cercle.

frdm a écrit:

Voli vola a écrit:
Je ne suis pas d'accord sur le fait de mettre toute une génération dans le même sac car pour moi les généralisations sont souvent abusives. Je ne réclame néanmoins la tête de personne pour cela, je donne simplement mon point de vue.

Moi non plus je ne suis pas d'accord avec cela, d'ailleurs personne sur ce fil n'a dit qu'il était d'accord avec l'idée de mettre "toute une génération dans le même sac", et c'est bien normal. C'est donc un sujet sur lequel il n'y pas de débat ici et je ne comprends pas pourquoi certains d'entre vous font mine de ne pas s'en apercevoir. La chose qui a été dite, c'est que maintenant, et notamment en mathématiques et en physique, le niveau disciplinaire moyen des lauréats est plus faible qu'il y a quelques décennies. Pourquoi le dire ? Simplement parce que cela commence à poser de vrais problèmes, il y a de plus en plus de stagiaires qui ne maîtrisent pas les bases nécessaires de la physique pour faire un cours correct sur la relativité restreinte (qui est maintenant au programme en TS), ou les transferts quantiques d'énergie, et j'en passe. Pour les deux cas que je cite, leurs bévues ont été si patentes qu'ils ont dû être (re)formés sur le tas par leurs collègues afin qu'ils puissent ensuite corriger le tir. Je ne sais pas ce que vous en pensez, mais moi, je trouve grave que l'on envoie maintenant devant des élèves des enseignants susceptibles de leur dire des choses fausses sur les fondements de la physique. Encore plus gros, certains ne me croiront pas mais c'est véridique : j'ai entendu deux stagiaires de mathématiques énoncer le problème de la quadrature du cercle, puis se demander gravement si le problème était possible avec des triangles (i.e trouver un triangle de la même aire qu'un cercle). Je ne sais pas s'ils ont été titularisés. Evidemment, le problème n'est pas qu'ils soient jeunes ou vieux, mais que le système soit devenu si laxiste qu'un examen (le bac, la licence), et maintenant un concours, soient bien moins qu'avant la garantie d'une maîtrise minimale des connaissances théoriques.
Mais je le répète, il ne s'agit pas de déclencher une énième guerre stérile : après les pe contre les certifiés, les profs de collège contre ceux de lycée, les certifiés contre les agrégés, nous aurions maintenant les jeunes contre les vieux ? Epargnons nous cela, mais ne nous voilons pas la face pour autant. Il y a un problème de formation et de recrutement qui s'aggrave, et ce gouvernement comme les précédents ne semble pas en prendre la mesure. Mon rôle est celui d'un témoin de plus en plus désabusé. Je n'ai pas la solution (je ne suis pas bon à grand chose en dehors des maths et de la physique), mais j'espère que d'autres que moi la trouveront.

Il s'agirait plutôt de construire à la règle et au compas un carré de même aire qu'un triangle donné non ? quadrature du cercle. 3795679266

Honnêtement je ne pense pas que les trois quarts de mes collègues soient capables de résoudre le problème de la quadrature du rectangle (et peut être même de comprendre à quoi fait référence l'expression "quadrature"), mais cela ne les empêchent pas d'être considérés comme de bons profs, ce type de connaissances n'est d'aucune utilité dans la pratique. Du moment qu'on sait additionner deux fractions...

Patissot a écrit:
Il s'agirait plutôt de construire à la règle et au compas un carré de même aire qu'un triangle donné non ?
Honnêtement je ne pense pas que les trois quarts de mes collègues soient capables de résoudre le problème de la quadrature du rectangle (et peut être même de comprendre à quoi fait référence l'expression "quadrature"), mais cela ne les empêchent pas d'être considérés comme de bons profs, ce type de connaissances n'est d'aucune utilité dans la pratique. Du moment qu'on sait additionner deux fractions...

C'est un peu hors-sujet, mais je réponds rapidement : le problème est le même, il tient au fait que pi est transcendant. Que vous le fassiez à la règle et au compas ou avec tout autre instrument, c'est impossible. Et bien sûr, tout prof de maths est censé le savoir. Quant aux triangles : ils n'ont pas réalisé que si la quadrature du cercle était impossible, alors la "triangulation" l'était également.
Je crois que vous ne réalisez pas que la quadrature du rectangle, c'est simplement trouver un carré de même aire qu'un rectangle donné, et c'est totalement trivial. Si des professeurs de maths ne savent pas faire cela, ils n'ont rien à faire devant des élèves.

frdm a écrit:

Patissot a écrit:
Il s'agirait plutôt de construire à la règle et au compas un carré de même aire qu'un triangle donné non ?
Honnêtement je ne pense pas que les trois quarts de mes collègues soient capables de résoudre le problème de la quadrature du rectangle (et peut être même de comprendre à quoi fait référence l'expression "quadrature"), mais cela ne les empêchent pas d'être considérés comme de bons profs, ce type de connaissances n'est d'aucune utilité dans la pratique. Du moment qu'on sait additionner deux fractions...

C'est un peu hors-sujet, mais je réponds rapidement : le problème est le même, il tient au fait que pi est irrationnel. Que vous le fassiez à la règle et au compas ou avec tout autre instrument, c'est impossible. Et bien sûr, tout prof de maths est censé le savoir. Quant aux triangles : ils n'ont pas réalisé que si la quadrature du cercle était impossible, alors la "triangulation" l'était également.
Je crois que vous ne réalisez pas que la quadrature du rectangle, c'est simplement trouver un carré de même aire qu'un rectangle donné, et c'est totalement trivial. Si des professeurs de maths ne savent pas faire cela, ils n'ont rien à faire devant des élèves.[/quote

Euh, t'es sur de toi ? Il me semblait que la quadrature du triangle était aussi triviale dans mes lointains souvenirs de physiciens médiocre en maths...C'est la trisection de l'angle qui est impossible ou la duplication (?) du cube qui sont impossibles dans les grands problèmes de l'antiquité type règle/compas non ?

edit : au temps pour moi, après relecture, je vois que tu parles de la transformation d'un cercle en triangle de même aire à la règle et au compas. Ce qui me semble proche de la quadrature du cercle en effet, mais en matière de mathématiques, je me méfie toujours de ce qui me semble évident Smile

frdm a écrit:

Patissot a écrit:
Il s'agirait plutôt de construire à la règle et au compas un carré de même aire qu'un triangle donné non ?
Honnêtement je ne pense pas que les trois quarts de mes collègues soient capables de résoudre le problème de la quadrature du rectangle (et peut être même de comprendre à quoi fait référence l'expression "quadrature"), mais cela ne les empêchent pas d'être considérés comme de bons profs, ce type de connaissances n'est d'aucune utilité dans la pratique. Du moment qu'on sait additionner deux fractions...

C'est un peu hors-sujet, mais je réponds rapidement : le problème est le même, il tient au fait que pi est irrationnel. Que vous le fassiez à la règle et au compas ou avec tout autre instrument, c'est impossible. Et bien sûr, tout prof de maths est censé le savoir. Quant aux triangles : ils n'ont pas réalisé que si la quadrature du cercle était impossible, alors la "triangulation" l'était également.
Je crois que vous ne réalisez pas que la quadrature du rectangle, c'est simplement trouver un carré de même aire qu'un rectangle donné, et c'est totalement trivial. Si des professeurs de maths ne savent pas faire cela, ils n'ont rien à faire devant des élèves.

" j'ai entendu deux stagiaires de mathématiques énoncer le problème de la quadrature du cercle, puis se demander gravement si le problème était possible avec des triangles (i.e trouver un triangle de la même aire qu'un cercle) "

Dans votre phrase "le problème" évoqué est celui de la quadrature du cercle, si l'on s'intéresse à un problème analogue en considérant cette fois des triangles cela amène au problème de la quadrature du rectangle et non celui de savoir s'il existe un cercle constructible à la règle et au compas de même aire que le triangle donné, c'est juste une question de formulation.

Manifestement vous n'avez pas davantage compris la notion de constructibilité que l'objet de mon propos. En outre vous semblez n'avoir pas la moindre idée de l'enseignement dispensé en mathématique dans le secondaire (cela n'a pas intérêt d'évoquer le problème de la quadrature du cercle si ce n'est à titre culturel, alors que le problème de la quadrature d'un rectangle, d'un triangle ou d'un polygone peut être résolu de manière positive et constructive dès le collège).

Pour ma part, j'ai bien compris ce que Frdm voulait dire, mais en revanche, l'impossibilité de la quadrature du cercle tient au fait que pi est transcendant, pas au fait qu'il soit irrationnel.

Après recherche sur ce sujet qui a titillé ma mémoire, il semble que le seul fait que pi soit irrationnel ne suffise pas à démontrer l'impossibilité de la quadrature du cercle (racine de 2 irrationnel je crois se trace assez facilement finalement avec une règle et un compas si on définit un carré de longueur 1) ... il faut donc que pi soit transcendant, ce qui a pris un certain temps à démontrer et n'est à priori pas si trivial que cela...
Après, je trouve plutôt sain que des profs se posent des questions en sciences et n'ai pas la science infuse...

edit (encore une fois grrrrr) : grillé par igniatus Smile

Igniatius a écrit:Pour ma part, j'ai bien compris ce que Frdm voulait dire, mais en revanche, l'impossibilité de la quadrature du cercle tient au fait que pi est transcendant, pas au fait qu'il soit irrationnel.

Oui, c'est juste, c'est une erreur de ma part, j'ai été étourdi. Ce que je voulais dire était "solution d'aucune équation polynomiale à coefficients entiers".

Patissot a écrit:

Dans votre phrase "le problème" évoqué est celui de la quadrature du cercle, si l'on s'intéresse à un problème analogue en considérant cette fois des triangles cela amène au problème de la quadrature du rectangle et non celui de savoir s'il existe un cercle constructible à la règle et au compas de même aire que le triangle donné, c'est juste une question de formulation.

Je vais être plus précis : la question qu'ils se posaient était de savoir si l'on pouvait trouver un carré de même aire qu'un cercle et la réponse est non car il faudrait que le côté du carré soit un nombre transcendant , et non pas irrationnel comme je l'ai écrit hâtivement. Ils se sont alors posé la question pour un triangle...ne voyant pas que si l'un des problèmes était impossible, l'autre le serait aussi. J'espère que vous m'avez maintenant compris. Ils n'ont jamais utilisé le mot quadrature, c'est moi qui l'ai nommé ainsi, pensant reconnaître le problème de la quadrature du cercle.

Patissot a écrit:
Manifestement vous n'avez pas davantage compris la notion de constructibilité que l'objet de mon propos. En outre vous semblez n'avoir pas la moindre idée de l'enseignement dispensé en mathématique dans le secondaire (cela n'a pas intérêt d'évoquer le problème de la quadrature du cercle si ce n'est à titre culturel, alors que le problème de la quadrature d'un rectangle, d'un triangle ou d'un polygone peut être résolu de manière positive et constructive dès le collège).

Je ne connais effectivement pas bien l'esprit du programme de mathématiques du secondaire, mais cela n'a aucun rapport avec le sujet. Ce n'est pas moi qui ai évoqué le problème de la quadrature, mais eux, stagiaires de mathématiques. Si vous pensez qu'ils n'auraient pas dû aborder ce problème, il faudrait trouver un moyen de leur faire savoir, mais cela va être difficile Sad

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sacrecharlemagne a écrit:Après recherche sur ce sujet qui a titillé ma mémoire, il semble que le seul fait que pi soit irrationnel ne suffise pas à démontrer l'impossibilité de la quadrature du cercle (racine de 2 irrationnel je crois se trace assez facilement finalement avec une règle et un compas si on définit un carré de longueur 1) ... il faut donc que pi soit transcendant, ce qui a pris un certain temps à démontrer et n'est à priori pas si trivial que cela...
Après, je trouve plutôt sain que des profs se posent des questions en sciences et n'ai pas la science infuse...

edit (encore une fois grrrrr) : grillé par igniatus

J'ai corrigé mon lapsus, je voulais bien dire transcendant. Mais le problème n'est pas là. Ce qui m'a paru étrange c'est que sachant que le problème est impossible avec un carré, ils ne voient pas tout de suite qu'il le serait aussi pour un triangle. Voilà le point que je voulais souligner.

Bonsoir,
un nombre transcendant sur Q n'est certes pas constructible à la règle et au compas.
Mais c'est aussi le cas de beaucoup de nombres algébriques sur Q.
Par exemple la racine cubique de 2 n'est pas constructible à la règle et au compas.
Comme l'on expérimenté les habitants de Délos.

verdurin a écrit:Bonsoir,
un nombre transcendant sur Q n'est certes pas constructible à la règle et au compas.
Mais c'est aussi le cas de beaucoup de nombres algébriques sur Q.
Par exemple la racine cubique de 2 n'est pas constructible à la règle et au compas.
Comme l'on expérimenté les habitants de Délos.

*curieux* Peux-tu expliquer cette histoire des Déliens ?

À la suite d'une épidémie de peste un oracle a dit qu'il fallait doubler l'autel (cubique) d’Apollon à Délos.
Quand on a doublé les dimensions, la peste a continuée. D'où la déduction qu'il fallait doubler le volume.
Et le problème de la duplication du cube ie la construction de la racine cubique de 2.

Je ne sais pas précisément de quand date la démonstration de l'impossibilité de la construction à la règle et au compas, mais je pense qu'elle est postérieure à Gallois.
L'idée de base est que toutes les extensions de Q constructibles à la règle et au compas sont de degré une puissance de 2. Et il est clair que les racines de X³-2 forment une extension de degré 3 sur Q.

Théorème de Wantzel, 1837, non ? en même temps que la trisection de l'angle. Pour la quadrature c'est plus tard.

EDIT: oui c'est ça (et j'en profite pour remercier Verdurin pour avoir signalé dans un autre fil le bouquin de Carrega).