Enroulement de la droite des réels sur le cercle

L'an prochain j'aurai pour la première fois des élèves de lycée, dont une classe de 1ère S, et je "découvre" la notion d'enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique ; de "mon temps" (ancien... bac C !) il ne me semble pas qu'on utilisait cette notion pour introduire le radian, et finalement je trouve cela un peu "gadget". Est-ce qu'à votre avis ça facilite vraiment la compréhension des élèves par rapport au fait de dire qu'on est "au tour près" sur le cercle ?
Peut-être qu'au temps du bac C on s'en passait parce qu'on connaissait la notion de classe d'équivalence ? Ou peut-être que j'ai oublié et qu'on l'avait vu aussi ?
J'ai envie de sauter cette étape, qui ensuite ne sert plus à rien dans le chapitre (on ne parle même pas du cosinus et sinus en tant que fonctions donc il n'est même pas question de périodicité), et en même temps j'ai l'impression que c'est devenu un incontournable.

Salut Mathoune.
À mon avis, il suffit de dire que l'on peut mesurer la longueur d'un arc de cercle.
Et que l'on peut faire plusieurs tours, dans un sens ou dans l'autre, pour aller d'un point du cercle à un autre.

Sinon je trouve que l'enroulement de la droite sur le cercle est une belle image, mais je n'ai jamais réussi à bien l'exploiter pédagogiquement.
C'est peut-être une image pour les profs de math plus que pour les élèves.

Bonjour,
en fait les élèves de 2nde ont déjà vu l'enroulement de la droite sur le cercle, l'introduction du radian complète cette notion en 1ère, et je trouve personnellement qu'ils feraient mieux de l'étudier en seconde car l'enroulement en lui-même n'a aucun intérêt, c'est d'ailleurs ce que je fais avec mes secondes.
Maintenant, je suis aussi un vieux (bac C en 1980 !) et je ne me souviens plus si on avait abordé le radian de cette façon, mais je trouve que l'enroulement de la droite permet bien de comprendre pourquoi on introduit cette nouvelle unité d'angle, pour que l'arc intercepté ait la même longueur que le segment enroulé. Perso, je commence (en seconde donc) par une activité sur la fabrication d'une horloge géante de rayon 1m, à partir d'un tube droit sur lequel sont positionnées des goupilles repérant les heures, si tu vois ce que je veux dire. La distance en mètre entre deux goupilles sera donc 2pi/12, et lorsqu'on cintre le tube pour former le tour de l'horloge, etc... Donc c'est peut-être un peu gadget, mais ça permet de ne pas balancer le radian sorti d'on ne sait où.
Mais ce n'est que mon avis...

Ah vous faites de la manipulation au lycée aussi !

C'est de la théorie bien sûr. Je ne me trimballe pas en cours avec un tube de 6,28 m et un chalumeau !

Moi non plus, je n'ai pas vu l'intérêt de l'enroulement de la droite. J'ai zappé et c'est plutôt bien passé.

Les militaires ont une unité d'angle qui s'appelle le millième : c'est le militaire-millième de radian, c'est à dire environ le millième de radian. C'est l'angle sous lequel on voit un objet de 1 mètre à une distance de 1000 mètres. Très utile pour les apprentis artilleurs.

Les militaires de terrain, ceux qui ne balancent pas des missiles, n'ont pas besoin d'une précision géodésique, ce qui explique que la précision du millième soit assez quelconque. Selon les pays, il y a dans un tour complet de 6000 et 6400 millièmes.

Pensez-vous qu'on puisse utiliser cela pour introduire le radian ? L'utilisation militaire du millième repose quand même sur l'approximation x - sin x = o(x). Mais l'approximation est accessible naturellement lorsqu'on passe par l'enroulement de la droite.

Je ne me risquerais pas à introduire le radian à partir de cette approximation militaire, qui reste valable pour x inférieur à pi/12 à la limite, pas au-delà. Mais je retiens l'idée pour l'anecdote, lorsqu'on peut assimiler un triangle rectangle à un triangle isocèle dans le cas où l'un des côtés est tout petit par rapport aux autres...

Une présentation vidéo d'un programme interactif qui peut être utile
https://www.youtube.com/watch?v=DztzWi6fefc&t=51s

Furby a écrit:Bonjour,
en fait les élèves de 2nde ont déjà vu l'enroulement de la droite sur le cercle, l'introduction du radian complète cette notion en 1ère, et je trouve personnellement qu'ils feraient mieux de l'étudier en seconde car l'enroulement en lui-même n'a aucun intérêt, c'est d'ailleurs ce que je fais avec mes secondes.
Maintenant, je suis aussi un vieux (bac C en 1980 !) et je ne me souviens plus si on avait abordé le radian de cette façon, mais je trouve que l'enroulement de la droite permet bien de comprendre pourquoi on introduit cette nouvelle unité d'angle, pour que l'arc intercepté ait la même longueur que le segment enroulé. Perso, je commence (en seconde donc) par une activité sur la fabrication d'une horloge géante de rayon 1m, à partir d'un tube droit sur lequel sont positionnées des goupilles repérant les heures, si tu vois ce que je veux dire. La distance en mètre entre deux goupilles sera donc 2pi/12, et lorsqu'on cintre le tube pour former le tour de l'horloge, etc... Donc c'est peut-être un peu gadget, mais ça permet de ne pas balancer le radian sorti d'on ne sait où.
Mais ce n'est que mon avis...

Sujet intéressant...Comme beaucoup, j'ai un peu du mal avec la façon dont est introduite la trigonométrie dans les programmes de lycée actuels.

A mon époque (bac C 90), il me semble que les radians et les grades (oui, oui, les grades) étaient vus comme des unités de mesure d'angles dès le collège. On avait donc une bonne habitude des mesures d'angles géométriques (donc non orientés) dans différentes unités avant de passer aux angles orientés.

Personnellement, je commence toujours, quand je fais la trigonométrie, par introduire le radian comme une mesure d'angle géométrique (un radian est la mesure d'un angle interceptant un arc de longueur un sur le cercle trigo) et à faire quelques conversions d'angles de degrés en radians et réciproquement. Cela prend dix ou vingt minutes, et cela permet d'installer dans la têtes des élèves quelques valeurs particulières (Pi/6 rad vaut 30 degrés, pi/4 vaut 45 degrés...). En gros, il me semble que ça rejoint la pratique de Furby.

Je le fais en seconde (quand j'ai le temps de traiter en trigo), et le refais en première.

Sans cela, il faut bien avouer que l'enroulement sur le cercle trigo semble quelque chose de bien gratuit, dont l'utilité n'est pas évidente. (Surtout en seconde, ou on présente cet enroulement...sans aller ni jusqu'à la notion de radian, ni à la mesure d'un angle orienté.) De plus, présenter simultanément l'enroulement sur le cercle trigo et la notion de mesure d'un angle en radian, en définissant directement cette mesure pour un angle orienté, me semble joyeusement surcharger les élèves d’informations simultanées.

Finalement, ce chapitre est assez typique de l'incohérence des programmes actuels : on présente une notion aux élèves alors que les notions plus élémentaires antérieures ont discrètement disparues des classes précédentes. Il nous reste à nous étonner ensuite que les lycéens soient en échec.

Pour en revenir à la question initiale : même après l'avoir testée plusieurs années, je ne suis pas convaincu de l'intérêt pédagogique de la notion d'enroulement d'une droite sur le cercle trigonométrique.

Alternativement, on peut simplement définir les sens positifs et négatifs, puis dire "on part du point I, puis on parcourt une distance sur le cercle de |x|, dans le sens positif si x>0, dans le sens négatif sinon.

Je fais ça avec un exercice pseudo-concret (dont j'assume l'absurdité) avec un astronaute qui marche le long d'un grand cercle d'une planète d'un km de diamètre. (Ou se retrouve-t-il s'il a marché 2pi km ? 4pi km ?)

Prezbo a écrit:
Sujet intéressant...Comme beaucoup, j'ai un peu du mal avec la façon dont est introduite la trigonométrie dans les programmes de lycée actuels.

A mon époque (bac C 90), il me semble que les radians et les grades (oui, oui, les grades) étaient vus comme des unités de mesure d'angles dès le collège. On avait donc une bonne habitude des mesures d'angles géométriques (donc non orientés) dans différentes unités avant de passer aux angles orientés.

Personnellement, je commence toujours, quand je fais la trigonométrie, par introduire le radian comme une mesure d'angle géométrique (un radian est la mesure d'un angle interceptant un arc de longueur un sur le cercle trigo) et à faire quelques conversions d'angles de degrés en radians et réciproquement. Cela prend dix ou vingt minutes, et cela permet d'installer dans la têtes des élèves quelques valeurs particulières (Pi/6 rad vaut 30 degrés, pi/4 vaut 45 degrés...). En gros, il me semble que ça rejoint la pratique de Furby.

Je le fais en seconde (quand j'ai le temps de traiter en trigo), et le refais en première.

Sans cela, il faut bien avouer que l'enroulement sur le cercle trigo semble quelque chose de bien gratuit, dont l'utilité n'est pas évidente. (Surtout en seconde, ou on présente cet enroulement...sans aller ni jusqu'à la notion de radian, ni à la mesure d'un angle orienté.) De plus, présenter simultanément l'enroulement sur le cercle trigo et la notion de mesure d'un angle en radian, en définissant directement cette mesure pour un angle orienté, me semble joyeusement surcharger les élèves d’informations simultanées.

Finalement, ce chapitre est assez typique de l'incohérence des programmes actuels : on présente une notion aux élèves alors que les notions plus élémentaires antérieures ont discrètement disparues des classes précédentes. Il nous reste à nous étonner ensuite que les lycéens soient en échec.

Pour en revenir à la question initiale : même après l'avoir testée plusieurs années, je ne suis pas convaincu de l'intérêt pédagogique de la notion d'enroulement d'une droite sur le cercle trigonométrique.

Alternativement, on peut simplement définir les sens positifs et négatifs, puis dire "on part du point I, puis on parcourt une distance sur le cercle de |x|, dans le sens positif si x>0, dans le sens négatif sinon.

Je fais ça avec un exercice pseudo-concret (dont j'assume l'absurdité) avec un astronaute qui marche le long d'un grand cercle d'une planète d'un km de diamètre. (Ou se retrouve-t-il s'il a marché 2pi km ? 4pi km ?)

Merci de vos avis à tous.
Prezbo, j'ai eu mon bac C à la fin des années 80 et effectivement nous manipulions degrés, radians et grades déjà sur les angles géométriques il me semble (d'ailleurs à quoi servait d'introduire les grades ? Mais c'est une autre question...).
Maintenant qu'on a réintroduit les rotations au collège d'ailleurs je ne vois pas pourquoi on n'en profite pas pour une première approche des angles orientés... Cette année j'avais des 4ème et j'ai effectivement parlé des sens positif et négatif.
Je pense que pour mes 1ères l'an prochain, puisque vous semblez tous confirmer que cet enroulement n'est jamais réutilisé ensuite et ne sert que d'introduction, je vais donc me passer de l'enroulement de la droite des réels pour l'introduction du radian.
Question peut-être absurde, mais pourquoi un astronaute dans ton exercice ? En fait on pourrait aussi bien prendre une chèvre qui broute le plus loin possible attachée à un piquet ou n'importe quelle autre image terrestre, non ?

En 1S, je partage les angles et la trigo en plusieurs petits chapitres. Dans le premier, j'introduis le radian avec des angles géométriques et on fait quelques exos de calculs d'angles géométriques comme au collège, mais en radians.

Ensuite, plus tard, je passe aux angles orientés. On voit qu'il y a plein de mesures et on place ces mesures sur une droite "graduée en pi".

Puis je passe à la trigo en repartant du triangle rectangle comme au collège : cos et sn d'un angle entre 0 et pi/2. Mais comme un angle a plusieurs mesures qui sont sur la droite graduée en pi, on peut étendre cos et sin à tous les réels grâce au cercle trigo.

Mathoune a écrit:
Question peut-être absurde, mais pourquoi un astronaute dans ton exercice ? En fait on pourrait aussi bien prendre une chèvre qui broute le plus loin possible attachée à un piquet ou n'importe quelle autre image terrestre, non ?

Je fais ça avec une chenille qui se promène sur une roue.

Perso, je ne suis pas fan de situations concrètes pour introduire une notion. On perd les élèves avec le contexte. On les perd sur l'objectif essentiel : aborder une nouvelle notion. On sait tous que l'essentiel d'une notion se joue dès le départ et par conséquent une approche pas adaptée fait des ravages. Pourquoi pas des situations concrètes sur ce genre de choses mais plutôt en fin de chapitre quand les outils sont maîtrisés. Il n'y a pas besoin de faire du concret sur tout et n'importe quoi. Je me souviens d'un formateur qui vendait les tâches complexes dans sa formation. Il a même été suggérer de faire une tâche complexe pour introduire les intervalles en Seconde (prof de collège, je suis certain qu'il n'a même pas réfléchi à ce qu'il a dit). Ben voyons! Je l'ai rembaré. Comment rendre inutilement compliqué ce qui est simple? Il faut parfois savoir aller à l'essentiel et éviter de perdre du temps précieux dans une activité chronophage et contre-productive.

Hélips a écrit:

Mathoune a écrit:
Question peut-être absurde, mais pourquoi un astronaute dans ton exercice ? En fait on pourrait aussi bien prendre une chèvre qui broute le plus loin possible attachée à un piquet ou n'importe quelle autre image terrestre, non ?

Je fais ça avec une chenille qui se promène sur une roue.

Il n'y pas vraiment de raison à part que je cherche une image délibérément absure.

Bonjour
Je partage un peu ton avis si la situation est vraiment parachutée.
j'ai déjà testé un système "poulie-corde" où l'enroulement n'a rien de fictif ni d'artificiel dans un TP d'introduction. Avec le radian l'angle correspond exactement à la hauteur dont monte la corde. Il faut un peu ruser pour introduire le modulo mais on y arrive.
Je n'ai pas eu un grand succès, en tous cas pas à la hauteur du temps que j'ai passé à l'élaborer.
Je crois que cette notion évidente pour nous n'a rien de simple et que, comme tu dis le concret passe mieux quand la théorie est déjà faite , même si elle n'est pas complétement assimilée.

Badiste75 a écrit:Perso, je ne suis pas fan de situations concrètes pour introduire une notion. On perd les élèves avec le contexte. On les perd sur l'objectif essentiel : aborder une nouvelle notion. On sait tous que l'essentiel d'une notion se joue dès le départ et par conséquent une approche pas adaptée fait des ravages. Pourquoi pas des situations concrètes sur ce genre de choses mais plutôt en fin de chapitre quand les outils sont maîtrisés. Il n'y a pas besoin de faire du concret sur tout et n'importe quoi. Je me souviens d'un formateur qui vendait les tâches complexes dans sa formation. Il a même été suggérer de faire une tâche complexe pour introduire les intervalles en Seconde (prof de collège, je suis certain qu'il n'a même pas réfléchi à ce qu'il a dit). Ben voyons! Je l'ai rembaré. Comment rendre inutilement compliqué ce qui est simple? Il faut parfois savoir aller à l'essentiel et éviter de perdre du temps précieux dans une activité chronophage et contre-productive.

Sur l’utilisation des situations concrètes pour introduire une notion, je suis globalement d'accord avec toi. Dans le cas présent, je considère plutôt l'astronaute (ou la chèvre, ou la chenille...) comme une image.

Moi je leur ai dit que l'on parcourt un chemin sur le cercle à partir de l'origine choisie et que l'on paramètre la position du point d'arrivée par la longueur parcourue. Il y a mieux mais c'est plus cher.

Les situations à la Mickey à un moment donné ça suffit.

C'est comme en probabilités. À un moment donné: Kolmogorov et idée de mesure. Les airs de pipeau ça suffit.

Anaxagore a écrit:
Les situations à la Mickey à un moment donné ça suffit.

Pas un Mickey, un astronaute.

"Enroulement de la droite" ça fait très apprenti sorcier, un peu comme ces cours de topologie algébrique qui finissent en marionnettes et agitation de mains.

Le genre d'expression qui est supposé provoquer un grand "OoooooOooooh", la larme à l'oeil et des étoiles dans les yeux.

Tu n'es pas sensible à l'érotisme subtil de l'enroulement de la droite des réels et de son mouvement serpentin autour des alléchantes rondeurs du cercle. Tss.

En tout cas le lien entre le cercle trigonométrique et les fonctions sinus et cosinus semble avoir du mal à passer et à rester chez certains.

En MPSI, lorsqu'il faut, dans le but de projeter, exprimer le sinus et le cosinus de l'angle d'un vecteur directeur unitaire par rapport au premier vecteur de la base à partir des coordonnées cartésiennes du vecteur dans cette base, un bon quart de la classe revient aux puérilités de « côté adjacent », « côté opposé » et hypoténuse du triangle rectangle construit sur l'angle. Ce qui en conduit à négliger totalement le caractère orienté.

D'autres se croient obligés de passer par l'arctangente dont il reprennent le sinus et le cosinus…

La question est toujours la même. Est-ce qu'on peut se satisfaire de recettes antédiluviennes à la con sous prétexte que "ça marche" ou est-ce qu'on a le souci de leur faire faire des progrès conceptuels. Parce que dans ce dernier cas il faut les pousser.