Question mathématique : approximation de Pi et périmètre d'un cercle

Bonjour à tous,

2) Le périmètre d'un cercle de rayon r = 2 cm est environ égal à 12,57 cm (arrondi au centième de cm près).
Par contre, avec les 6èmes, on choisit principalement 3,14 comme valeur arrondie au centième de Pi : ainsi, les élèves peuvent poser les multiplications.
Avec cette approximation de Pi, le périmètre du cercle est de 12,56 cm mais cette longueur (12,56 cm) ne peut pas être l’arrondi au centième de cm près puisque l’arrondi au centième est unique ; de ce fait, que représente précisément ce 12,56 cm (hormis le résultat de 2 * 3,14 * 2 cm) par rapport à 12,57 cm ?
Je sais qu'il s'agit d'une à une succession d'approximations qui ne donne donc pas l'arrondi recherché mais une approximation (qui si l'enchaînement d'arrondis est trop conséquent peut finalement se révéler "éloigné" de la valeur exacte).
Cela me dérange de faire croire aux élèves que l'arrondi au centième du périmètre d'un cercle de rayon 2 cm est 12,56 cm au lieu de 12,57 cm, même si, dans cet exemple, l'erreur est minime.

C'est une valeur approchée dont seulement un chiffre après la virgule est significatif (au mieux car cela dépend de la certitude que tu as sur r).

Mais franchement l'erreur est censée venir de l'incertitude de la mesure du rayon. Il est dommage de ne pas prendre davantage de décimales pour Pi, puisqu'elles sont connues, afin d'avoir deux chiffres significatifs.

Enfin là je suppose que tu tentes de donner une mesure avec deux décimales significatives car tu es certain de la mesure initiale avec une précision suffisante pour espérer cette précision après calcul...

En fait, si tu n'agis pas en physicien en considérant que la mesure de r a une incertitude, mais que c'est une valeur exacte, il est difficile d'accepter que tu ne te donnes pas une précision suffisante sur Pi pour donner le nombre de chiffres significatifs que tu souhaites.

Tu pourrais m'en dire plus Anaxagore stp, parce que je ne suis pas sûr de bien comprendre.
Merci.

Si tu considères ta mesure du rayon exacte, la seule valeur approximative est celle de Pi. Cette valeur a trois chiffres significatifs donc ton résultat n'aura que trois chiffres significatifs. Tu ne peux donc pas garder les 4 chiffres de 12,57 et ton résultat sera arrondi au dixième de centimètres près soit 12,6 cm.

La valeur exacte est 4π.

C'est tout un travail au niveau de l'abstraction de faire comprendre que c'est la réponse, et que le résultat de 4×3,14 ou n'importe quoi d'autre n'est qu'une valeur approchée, parfois utile mais complètement fausse.

Merci pour vos réponses.

Il me semble, Chomp, avoir appris cela en physique mais cela remonte un peu.
Cela est toujours valable ou est-ce un cas particulier ?
Est-ce ainsi qu'il faut toujours faire pour éviter d'obtenir des successions d'approximations ?

En 6ème, un nombre comme 4π est difficile à faire comprendre aux élèves, bien que j'y travaille.

Si on multiplie une erreur de 1 centième par 4 on ne peut pas avoir une précision au centième à la sortie...

Anaxagore a écrit:Si on multiplie une erreur de 1 centième par 4 on ne peut pas avoir une précision au centième à la sortie...

Le 4 provient de 4Pi ou de 4 chiffres significatifs ?

De 4×Pi.

D'accord, et merci, Anaxagore.
Aurais-tu des réponses à m'apporter concernant mes questions de 17h54 ?

Il est temps d'en finir avec pi. Seul tau est légitime !!!

Les chiffres significatifs, c'est plus une méthode de physicien pour donner une approximation rapide de l'erreur. Cette approximation est plus large que l'erreur réelle.
Par exemple, pour cette circonférence, les chiffres significatif nous donne une erreur maximum d'1 dixième alors qu'avec un calcul plus précis de l'erreur on aurait obtenu une erreur maximum de 4 centièmes.

Donc la nôtre est plus précise et pourtant, avec ces successions d'approximations, comment faire pour ne pas tomber dans les travers de mon exemple (premier message) ?

C'est pas "nôtre" définition. En sciences physiques, ils utilisent évidemment des calculs précis pour les calculs d'erreur. L'utilisation des chiffres significatifs n'est que par pure rapidité de conclusion et l'enseigner au lycée permet aux élèves d'écrire des résultats qui ont un minimum de sens.

Les calculs d'erreur relative (pourcentage d'erreur) et d'erreur absolue (erreur qui ne dépend pas de la valeur) sont extrêmement courants en physique à cause des expérimentations qui utilisent des données approximatives. Je suis sûr que tu peux trouver ton bonheur sur la toile à ce sujet. C'est même enseigné en Physique-Chimie au lycée.

NéoTiT a écrit:D'accord, et merci, Anaxagore.
Aurais-tu des réponses à m'apporter concernant mes questions de 17h54 ?

Si on fait du calcul numérique on est censé maîtriser les erreurs dans chaque calcul et maîtriser le fait que ces erreurs vont être réinjectées dans les calculs suivants...pour maîtriser l'évolution de l'erreur.

De plus lorsqu'on est physicien il faut tenir compte du fait que les nombres de départ contiennent à la base une incertitude.

La dernière fois qu'il a fallu faire exploser Ariane en vol c'était une accumulation d'erreurs d'arrondi.

Une pensée émue pour le cours de CuNu qui n'existe plus.

Okay.
Finalement, à mon niveau, je ne peux pas faire grand chose pour pallier cela..

Lire des bouquins sur le sujet.

Pas sûr que ca aide pédagogiquement à faire mieux. 😣

Il y a des difficultés qui sont inhérentes aux mathématiques. On peut taper des pieds cela ne change rien.

Par contre une compréhension profonde du problème permet de donner des idées formulées clairement et en dissimulant habilement les subtilités qui peuvent troubler les débutants. Il faut choisir ce que l'on va dire et choisir en connaissance de cause.

Pour les chiffres significatifs :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Chiffre_significatif

Point de vue de professeur de physique qui enseigne de manière simplifiée les chiffres significatifs à ses élèves pour éviter qu'ils recopient les 12 chiffres que leur propose leur calculatrice :

r n'a qu'un chiffre significatif tel que vous l'avez écrit. Vous réalisez une multiplication. Votre résultat ne peut contenir plus de chiffres significatifs que le nombre qui en a le moins. Le résultat doit donc comporter un chiffre significatif.

Oui mais en math on sous-entend que r est exact. On pourrait jouer au physicien en écrivant 2,000 par exemple.

Chomp a écrit:
Les calculs d'erreur relative (pourcentage d'erreur) et d'erreur absolue (erreur qui ne dépend pas de la valeur) [...] C'est même enseigné en Physique-Chimie au lycée.

Désolée, c'est nerveux...