Le théorème d’incomplétude de Gödel

C’est en cours de philo que j’en ai entendu parler pour la première fois ! Notre prof nous faisait un cours sur la logique et ses fondements, et c’est alors qu’elle le mentionna : le fameux théorème de Gödel, celui qui prouve que quoi qu’on fasse, il existe des énoncés mathématiques vrais, mais indémontrables. Les mathématiques resteront à tout jamais un édifice imparfait !

J’en fus évidemment tout retourné et fasciné : comment était-il possible qu’un truc pareil existe ? Comment prouver ce résultat pouvait même être du domaine de la science ?

La suite ici...

Merci !

Kilmeny a écrit:Merci !

Merci !... pour la migraine.
Je savais bien que je n'aurais pas dû lire l'article, cette propension à être attiré par des écrits qui dépassent mon entendement doit avoir une explication... psychanalitique peut-être.

Un article fort intéressant! Merci Will.T.

Merci Will.

Ah le bougre ! Il finit par l'avouer à moitié mais il joue sur le mot de vérité pour essayer d'embrouiller son monde et ce pauvre Dhaiphi et finit par s'embrouiller lui-même, me semble-t-il. Je me demande s'il comprend lui-même qu'il emploie le mot "vérité" en deux sens différents.

Pour trouver un système d’axiomes qui colle avec ce modèle, il faut prendre le 5ème axiome d’Euclide dans sa forme familière (une seule parallèle à une droite passe par un point donné). Mais si vous changez de modèle, par exemple la géométrie riemannienne, il vous faut un autre système d’axiomes qui va bien, et que l’on peut obtenir en modifiant le 5ème axiome (aucune parallèle ne passe par un point donné).

Ce ne serait pas plutôt "Il existe une infinité de parallèles qui passent par un point donné" ?
En géométrie sphérique, c'est bien le cas, non ?

Article assez bien vulgarisé : moi aussi, Gödel m'a donné le tournis.
Les logiciens sont des dingues...

Igniatius a écrit:Ce ne serait pas plutôt "Il existe une infinité de parallèles qui passent par un point donné" ?

C'est pas Lobatchevski, ça ? Il parle de Riemann, là, mais personnellement je confonds toujours les deux.

Ben je doute, j'avoue.

Sur la sphère, en géométrie riemanienne donc, les parallèles sont les grands cercles.
Et donc, par un point donné, il passe une infinité de grands cercles.

Pour Lobatchevski, c'est l'inverse je crois.

Mais JP va nous résoudre tout ça !

JE viens de vérifier : il semble que tu aies raison et donc l'article aussi.

Cela me perturbe : j'ai tjrs pensé qu'ne géométrie sphérique, les parallèles possédaient deux points communs, mais il semble que ma définition soit mauvaise...

Igniatius a écrit:Ce ne serait pas plutôt "Il existe une infinité de parallèles qui passent par un point donné" ?
En géométrie sphérique, c'est bien le cas, non ?

Ah, non, en géométrie sphérique, il n'y a pas de parallèles. L'équivalent sur la sphère de la droite euclidienne se nomme une géodésique, et il n'y a pas de géodésiques parallèles sur une sphère.

Allez voir les BD de Jean-Pierre Petit (cum grano salis).
http://www.savoir-sans-frontieres.com/JPP/telechargeables/Francais/LE%20GEOMETRICON.pdf

archeboc a écrit:

Igniatius a écrit:Ce ne serait pas plutôt "Il existe une infinité de parallèles qui passent par un point donné" ?
En géométrie sphérique, c'est bien le cas, non ?

Ah, non, en géométrie sphérique, il n'y a pas de parallèles. L'équivalent sur la sphère de la droite euclidienne se nomme une géodésique, et il n'y a pas de géodésiques parallèles sur une sphère.

Allez voir les BD de Jean-Pierre Petit (cum grano salis).
http://www.savoir-sans-frontieres.com/JPP/telechargeables/Francais/LE%20GEOMETRICON.pdf

Bah oui, ça je le sais bien : les géodésiques sont les courbes de plus petite distance entre deux points sur n'importe quelle surface.
Sur la sphère, ce sont les grands cercles.
Et du coup, je croyais qu'on appelait ceux-ci des "parallèles", par analogie avec les droites du plan.
Du coup, il faut que je revoie ma définition d'une parallèle, parce que cela fait des années que je crois des conneries !

Igniatius, tu devais penser à la géométrie hyperbolique.

lene75 a écrit:

Igniatius a écrit:Ce ne serait pas plutôt "Il existe une infinité de parallèles qui passent par un point donné" ?

C'est pas Lobatchevski, ça ? Il parle de Riemann, là, mais personnellement je confonds toujours les deux.

Pour Lobatchevsky, c'est deux parallèles.

meskiangasher a écrit:

lene75 a écrit:

Igniatius a écrit:Ce ne serait pas plutôt "Il existe une infinité de parallèles qui passent par un point donné" ?

C'est pas Lobatchevski, ça ? Il parle de Riemann, là, mais personnellement je confonds toujours les deux.

Pour Lobatchevsky, c'est deux parallèles.

http://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_hyperbolique

Z'êtes pénibles les matheux

J'avais compris l'article, mais maintenant j'ai mal au crane, en lisant vos remarques

Anaxagore a écrit:

meskiangasher a écrit:

lene75 a écrit:

Igniatius a écrit:Ce ne serait pas plutôt "Il existe une infinité de parallèles qui passent par un point donné" ?

C'est pas Lobatchevski, ça ? Il parle de Riemann, là, mais personnellement je confonds toujours les deux.

Pour Lobatchevsky, c'est deux parallèles.

http://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_hyperbolique

http://books.google.fr/books?id=8TQVAAAAQAAJ
Au départ, c'est bien au moins deux parallèles ?

meskiangasher a écrit:

Anaxagore a écrit:

meskiangasher a écrit:

lene75 a écrit:

Igniatius a écrit:Ce ne serait pas plutôt "Il existe une infinité de parallèles qui passent par un point donné" ?

C'est pas Lobatchevski, ça ? Il parle de Riemann, là, mais personnellement je confonds toujours les deux.

Pour Lobatchevsky, c'est deux parallèles.

http://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_hyperbolique

http://books.google.fr/books?id=8TQVAAAAQAAJ
Au départ, c'est bien au moins deux parallèles ?

"Au départ", ok.

Il y a différentes manières d'aborder la géométrie hyperbolique.

Je pensais plutôt à Benedetti comme référence, mais je suis intéressé par la tienne aussi.

Il faut quand même dire une chose sur le théorème de Gödel : il ne dit pas que tout système d'axiomes est indécidable.

Et il est extrêmement facile de construire des système d'axiomes où toute proposition vraie est démontrable.
Pour faire dans le genre trivial, il suffit de prendre une théorie qui ne comporte qu'un nombre fini d'énoncés possibles.

Ce que dit le théorème de Gödel : toute théorie contenant l'arithmétique (en gros ZF, ou des variantes) comporte des énoncés vrais et indémontrables.

En ce sens, l'exemple des géométries non euclidiennes est particulièrement mal choisi : il suffit de rajouter un axiome pour obtenir un système décidable.
Enfin pas vraiment puisque la géométrie au sens courant suppose l'existence du corps des réels, donc l'arithmétique...

Sinon j'aime bien le Paradoxe de Banach-Tarski
Mais ça vient du C de ZFC.

Igniatius a écrit:mais il semble que ma définition soit mauvaise...

La définition de deux droites parallèles est celle des sixièmes et d'Euclide : deux droites sont parallèles si elles ont aucun point commun.

Évidemment, dans le cas de droites confondues, l'usage du pluriel relève d'un abus de langage, sinon on pourrait dire en géométrie euclidienne que par un point A passe une infinité de droites parallèles à une droite (d)... ces droites étant confondues entre elles. Deux droites confondues sont une droite. Une droite est-elle donc parallèle à elle-même ? Ça dépend des siècles. :lol: