5 x 3 n'est pas équivalent à 5 + 5 + 5

" Par définition, 5x3 est équivalent à 5 copies de 3, ou 3+3+3+3+3, comme le professeur l'a indiqué. C'est égal, mais pas équivalent à 5+5+5 parce que 3 copies de 5 représente quelque chose de différent. Par exemple, 3 grappes de 5 bananes est différent de 5 grappes de 3 bananes, même si elles ont le même nombre de bananes. Leurs structures sont différentes.»

Elle note également la différence entre égalité et équivalence en tout début d'article:

   «Égal est défini comme "étant le même en quantité, taille, degré ou valeur", alors que la définition d'équivalent est "égal en valeur, somme, fonction ou en sens". Dans ce problème, 5x3 est égal à 5+5+5, mais ils ne sont pas nécessairement équivalents. L'équivalence est liée au sensm donc cela dépend de la signification de la mutliplication, comme les directions l'indiquent.»

C'est d'ailleurs pour cela que le Conseil national américain des enseignants de mathématiques a défendu la façon dont le devoir était noté, raconte le Telegraph:"
La suite ici :
http://www.slate.fr/story/109227/pourquoi-5x3#xtor=RSS-2

5 x 3 étant égal à 3 x 5 ... voilà voilà.

La question est intéressante, et Michel Delord l'a beaucoup travaillée.

Le problème vient en fait de l'utilisation de nombres abstraits pour la définition de la multiplication. Traditionnellement, on utilisait des nombres concrets:
5 × 3 cm = 3 cm + 3 cm + 3 cm + 3 cm + 3 cm
3 × 5 cm = 5 cm + 5 cm + 5 cm

Ce n'est effectivement pas la même chose, et c'est beaucoup plus clair avec les nombres concrets: on multiplie un nombre concret (3cm) par un nombre abstrait (5) ce qui indique une addition répétée, le résultat de la multiplication étant de le même (même unité) que celui de l'addition.

C'est la mise en évidence de propriété comme 5 × 3 cm = 3 × 5 cm qui permet ensuite d'abstraire la multiplication, c'est à dire d'écrire la multiplication comme opération sur des nombres abstraits.

Je trouve que cet exercice est mal fait: il devrait utiliser des nombres concrets.

En effet, la correction apportée par l'enseignant concerne des nombres concrets.

Je me suis posée cette question pour ma fille quand elle était en cE1.
Avec le dessin d'un rectangle de 5 sur 3 ou de 3 sur 5....On en arrive à la même chose tournée différemment mais au final identique.

ycombe a écrit:La question est intéressante, et Michel Delord l'a beaucoup travaillée.

Le problème vient en fait de l'utilisation de nombres abstraits pour la définition de la multiplication. Traditionnellement,  on utilisait des nombres concrets:
5 × 3 cm = 3 cm + 3 cm + 3 cm + 3 cm + 3 cm
3 × 5 cm  = 5 cm + 5 cm + 5 cm

Dans l'école française on écrivait plutôt :
3 cm x 5 = 3 cm + 3 cm + 3 cm + 3 cm + 3 cm
5 cm x 3 = 5 cm + 5 cm + 5 cm

Contrairement à l'école américaine ...
et de manière plus générale l'école anglo-saxonne.
Ce qui pose d'ailleurs problème avec l'utilisation de la méthode Singapour :
multiplication Singapour

Oui, je suis resté dans le cadre de l'exercice (américain).

Padre P. Lucas a écrit:

ycombe a écrit:La question est intéressante, et Michel Delord l'a beaucoup travaillée.

Le problème vient en fait de l'utilisation de nombres abstraits pour la définition de la multiplication. Traditionnellement,  on utilisait des nombres concrets:
5 × 3 cm = 3 cm + 3 cm + 3 cm + 3 cm + 3 cm
3 × 5 cm  = 5 cm + 5 cm + 5 cm

Dans l'école française on écrivait plutôt :
3 cm x 5 = 3 cm + 3 cm + 3 cm + 3 cm + 3 cm
5 cm x 3 = 5 cm + 5 cm + 5 cm

Contrairement à l'école américaine ...
et de manière plus générale l'école anglo-saxonne.
Ce qui pose d'ailleurs problème avec l'utilisation de la méthode Singapour :
multiplication Singapour

En quoi cette multiplication Singapour pose-t-elle problème ?
Ou bien encore : pour aider l'élève à abstraire un concept de l'opération, n'est-il pas pertinent de multiplier (si vous me passer l'expression) les différentes applications concrètes de cette opération ?

JPhMM a écrit:5 x 3 étant égal à 3 x 5 ... voilà voilà.

Ok !
Mais 3 rangées de 5 enfants, ce n'est pas 5 rangées de 3 enfants, quand on veut faire un jeu de relais !
Même s'il s'agit toujours de 15 enfants.

La question ne se pose même pas, à cause des unités.

3 cm x 5 = 3 cm + 3 cm + 3 cm + 3 cm + 3 cm.

Et en effet, 5 x 3, id est cinq fois trois, c'est bien 3 + 3 + 3 + 3 + 3.

Du moment que l'on est aligné, cela forme un rectangle, et c'est donc à la fois trois rangées de cinq et cinq rangées de trois. Notez d'ailleurs que l'exercice au dessous pose le même problème, l'enfant représentant les rangées dans le 'mauvais' sens. Si je tourne le rectangle, ce ne serait donc plus le même rectangle?

Tu appelles "fois" ce que j'appelle "multiplié par" !!!

Un vieux réflexe acquis à l'école primaire il y a ..... années. :lol:

archeboc a écrit:

Padre P. Lucas a écrit:

ycombe a écrit:La question est intéressante, et Michel Delord l'a beaucoup travaillée.

Le problème vient en fait de l'utilisation de nombres abstraits pour la définition de la multiplication. Traditionnellement,  on utilisait des nombres concrets:
5 × 3 cm = 3 cm + 3 cm + 3 cm + 3 cm + 3 cm
3 × 5 cm  = 5 cm + 5 cm + 5 cm

Dans l'école française on écrivait plutôt :
3 cm x 5 = 3 cm + 3 cm + 3 cm + 3 cm + 3 cm
5 cm x 3 = 5 cm + 5 cm + 5 cm

Contrairement à l'école américaine ...
et de manière plus générale l'école anglo-saxonne.
Ce qui pose d'ailleurs problème avec l'utilisation de la méthode Singapour :
multiplication Singapour

En quoi cette multiplication Singapour pose-t-elle problème ?
Ou bien encore : pour aider l'élève à abstraire un concept de l'opération, n'est-il pas pertinent de multiplier (si vous me passer l'expression) les différentes applications concrètes de cette opération ?

Effectivement, c'est pertinent, mais dans le cadre d'une progressivité. Si celle-ci n'existe pas au sein d'une école ou si, en changeant d'établissement, l'élève passe d'une pratique à l'autre sans transition ni explication, il peut avoir des difficultés dans le passage à l'abstraction.

Marlou.Bassboost a écrit:Je me suis posée cette question

Et en plus, y a pas que les maths !

Cripure a écrit:

Marlou.Bassboost a écrit:Je me suis posée cette question

Et en plus, y a pas que les maths !

:lol:

Vous voilà prêt pour un EPI Maths/Français. :shock:

dandelion a écrit:Du moment que l'on est aligné, cela forme un rectangle, et c'est donc à la fois trois rangées de cinq et cinq rangées de trois. Notez d'ailleurs que l'exercice au dessous pose le même problème, l'enfant représentant les rangées dans le 'mauvais' sens. Si je tourne le rectangle, ce ne serait donc plus le même rectangle?

Les rangées ne sont pas équivalentes parce que les enfants sont orientés dans un certain sens, et qu'elles correspondent à des équipes. 
En revanche, on peut aisément passer d'une formation à l'autre.

Padre P. Lucas a écrit:

archeboc a écrit:

Padre P. Lucas a écrit:

ycombe a écrit:La question est intéressante, et Michel Delord l'a beaucoup travaillée.

Le problème vient en fait de l'utilisation de nombres abstraits pour la définition de la multiplication. Traditionnellement,  on utilisait des nombres concrets:
5 × 3 cm = 3 cm + 3 cm + 3 cm + 3 cm + 3 cm
3 × 5 cm  = 5 cm + 5 cm + 5 cm

Dans l'école française on écrivait plutôt :
3 cm x 5 = 3 cm + 3 cm + 3 cm + 3 cm + 3 cm
5 cm x 3 = 5 cm + 5 cm + 5 cm

Contrairement à l'école américaine ...
et de manière plus générale l'école anglo-saxonne.
Ce qui pose d'ailleurs problème avec l'utilisation de la méthode Singapour :
multiplication Singapour

En quoi cette multiplication Singapour pose-t-elle problème ?
Ou bien encore : pour aider l'élève à abstraire un concept de l'opération, n'est-il pas pertinent de multiplier (si vous me passer l'expression) les différentes applications concrètes de cette opération ?

Effectivement, c'est pertinent, mais dans le cadre d'une progressivité. Si celle-ci n'existe pas au sein d'une école ou si, en changeant d'établissement, l'élève passe d'une pratique à l'autre sans transition ni explication, il peut avoir des difficultés dans le passage à l'abstraction.

Je ne comprends pas. S'il y avait une progressivité à observer entre ces diverses conceptions de la multiplication, cette progressivité devrait être évidente. Manifestement, il semble y avoir une représentation américaine, une représentation française, une représentation singapourienne, sans qu'on puisse affirmer que l'une d'elle doit être présentée en premier.
N'est-il pas plus productif de conseiller à chaque instituteur d'utiliser toutes les représentations alternativement, pour que les élèves se rendent compte que tous ces problèmes font appel à une même opération d'addition itérée (qu'on leur désignera plutôt sous le terme d'addition répétée). De là, ils pourront en induire l'existence d'une opération de multiplication, et ses propriétés.

La progressivité à observer, à mon sens, réside dans la hauteur des nombres mis en jeu : il faut commencer par 2*4 puis 3*5, faciles à décompter sur les doigts, avant de passer à 4*7 puis 7*8.

Admettons que l'élève ait faux à l'exercice 1,

Je ne vois pas pourquoi il aurait faux dans l'exercice 2 dans le lien fourni : http://www.slate.fr/story/109227/pourquoi-5x3#xtor=RSS-2

Peut l'élève compte-il peut être en colonne (et on lis bien 4 paquet de 6 bâtons) et pas en ligne ! Bref je trouve ce prof plus capricieux que rigoureux...

C'est ce que j'essayais de dire plus haut. Trois rangées, cinq lignes, trois lignes, cinq rangées, ça forme un rectangle similaire vu d'en haut. En dehors de toute distinction subtile, est-ce que faire cette distinction subtile à ce niveau de la scolarité d'un enfant (découverte de la multiplication si j'ai bien compris ici) est profitable, neutre, ou source de confusion/dégoût? Je penche pour la troisième option.

dandelion a écrit:C'est ce que j'essayais de dire plus haut. Trois rangées, cinq lignes, trois lignes, cinq rangées, ça forme un rectangle similaire vu d'en haut. En dehors de toute distinction subtile, est-ce que faire cette distinction subtile à ce niveau de la scolarité d'un enfant (découverte de la multiplication si j'ai bien compris ici) est profitable, neutre, ou source de confusion/dégoût? Je penche pour la troisième option.

Je crois que ça dépend du niveau des élèves. Quand je vois certains des élèves que j'ai eu au collège avec d'excellents niveaux, je regrette de ne pas avoir pu faire des maths "modernes" avec eux, je me serais éclater et eux, un peu moins ennuyer.

En primaire je ne sais pas.

Qu'on dise que 5x3 ce n'est pas 5+5+5, j'accepte. Par contre, pour la représentation géométrique, à part si le professeur précise dans l'énoncé à quoi doivent correspondre les lignes et les colonnes (ce qui est très lourd en matière d'énoncé pour des élèves quasiment en phase d'éveil), je ne vois comment on peut compter faux.

Celadon a écrit:" Par définition, 5x3 est équivalent à 5 copies de 3, ou 3+3+3+3+3, comme le professeur l'a indiqué. C'est égal, mais pas équivalent à 5+5+5 parce que 3 copies de 5 représente quelque chose de différent. Par exemple, 3 grappes de 5 bananes est différent de 5 grappes de 3 bananes, même si elles ont le même nombre de bananes. Leurs structures sont différentes.»

Elle note également la différence entre égalité et équivalence en tout début d'article:

   «Égal est défini comme "étant le même en quantité, taille, degré ou valeur", alors que la définition d'équivalent est "égal en valeur, somme, fonction ou en sens". Dans ce problème, 5x3 est égal à 5+5+5, mais ils ne sont pas nécessairement équivalents. L'équivalence est liée au sensm donc cela dépend de la signification de la mutliplication, comme les directions l'indiquent.»

C'est d'ailleurs pour cela que le Conseil national américain des enseignants de mathématiques a défendu la façon dont le devoir était noté, raconte le Telegraph:"
La suite ici :
http://www.slate.fr/story/109227/pourquoi-5x3#xtor=RSS-2

On peut le modéliser mathématiquement : la loi additive + et la loi multiplicative x sont définies dans l'anneau des bananes (sous-entendues, chaque banane étant seule).  une grappe de banane n'appartient pas à cet anneau. Si on travaille avec des grappes de bananes on travaille dans un autre anneau dont les éléments sont différents.

Ainsi les 5 grappes de 3 bananes appartiennent à l'anneau dont les éléments sont des grappes de trois bananes.  les 3 grappes de 5  bananes appartiennent aussi à un autre anneau etc...

En mathématiques la notion d'égalité est un cas particulier de la notion d'équivalence.

Si on veut définir mathématiquement le comptage des bananes indépendamment du nombre de banane par grappe alors en notant A_n l'anneau des grappes de n bananes il nous faut considérer l'anneau A= U A_n (Union disjointe infinie d'anneau si on fait de la théorie pure) et définir une relation d'équivalence sur cet anneau.

On dira que l'élément k de l'anneau A_n est équivalent à l'élément p de l'anneau A_m si et seulement si  kn=pm.

Cela suffit à engendrer la relation d'équivalence car les éléments de ce type engendrent les éléments de A bien que les éléments de A puisse être des familles de grappes comportant des nombres différents de bananes (correspondant mathématiquement à des sommes d'éléments k_n où k_n correspond au nombre k dans l'anneau A_n c'est à dire à k grappes de n bananes chacune).

Enfin en quotientant par cette relation d'équivalence on obtient un anneau dont les éléments sont les nombres de bananes indépendamment de leur répartition par grappe (On perd une information, comme dans tout quotient par une relation d'équivalence)

Tout cela pour dire que ces raisonnements sont bien formalisés mathématiquement avec un peu de théorie des catégories (l'union disjointe infinie citée plus haut étant une limite inductive dans la catégorie des anneaux)

Et toute cela pour dire aussi que si on précise dans quel espace on travaille alors 5 x 3 = 3 x 5 = 15. Il ne faut pas maintenir d'ambiguïté sur les définitions si on veut faire des maths.

Finrod a écrit:Il ne faut pas maintenir d'ambiguïté sur les définitions si on veut faire des maths.

Certes, mais une rigueur abusive de la sorte en classe de CE2 peut ne pas plaire à 99% des élèves.

citron a écrit:

Finrod a écrit:Il ne faut pas maintenir d'ambiguïté sur les définitions si on veut faire des maths.

Certes, mais une rigueur abusive de la sorte en classe de CE2 peut ne pas plaire à 99% des élèves.

Je suis en particulier avide de la leçon préalable sur la théorie des catégorie. Sans doute à placer en classe de CE1.

Je suis scotché.
Je ne me souvenais plus de la nuance entre « fois » et « multiplié par », je crois ne jamais l'avoir acquise pour être honnête...
Dois-je démissionner de mon agrégation de maths ?

Nous avions il y a quelques jours une discussion entre ceux qui admettaient de diviser un vecteur par un nombre réel (ce qui ne me choque pas...) et ceux qui le refusaient car on doit toujours écrire le nombre avant le vecteur...
Je leur avait parlé du Lebossé-Hémery de 1947 où l'on divise deux vecteurs colinéaires pour trouver le coefficient de proportionnalité...

Vous avez trouvé encore plus fort !

leskhal a écrit:Je suis scotché.
Je ne me souvenais plus de la nuance entre « fois » et « multiplié par », je crois ne jamais l'avoir acquise pour être honnête...
Dois-je démissionner de mon agrégation de maths ?

Nous avions il y a quelques jours une discussion entre ceux qui admettaient de diviser un vecteur par un nombre réel (ce qui ne me choque pas...) et ceux qui le refusaient car on doit toujours écrire le nombre avant le vecteur...
Je leur avait parlé du Lebossé-Hémery de 1947 où l'on divise deux vecteurs colinéaires pour trouver le coefficient de proportionnalité...

Vous avez trouvé encore plus fort !

Je suis nettement plus choqué par la division de vecteurs que par l'histoire des petits bâtons qui ne sont pas en ligne mais en colonne.

Ceci dit, si deux vecteurs sont colinéaires, ils appartiennent à la même droite vectorielle qui a une homothétie près est la droite des réels, donc pourquoi pas. Mais bon ça demande de la contextualisation, pour éviter les erreurs de lycéens et d'étudiants.