Les équations du 1er degré

cassiopella a écrit:
P.S. si quelqu'un est intéressé par les chapitres sur les fonctions (niveau fin 3e-2nd), je peux envoyer. Mais je préviens: pas d'image/antécédent, pas de formalisme à la Bourbaki, les auteurs prennent quelques libertés (comme partout dans le monde).

y=2x était la façon de noter classiquement les fonctions dans les manuels d'avant les math modernes. La raison est simple: on introduisait les fonctions après les équations dans le plan (et à partir des équations dans le plan). Dans les équations du plan, le x et le y représentent toujours l'abscisse et l'ordonnée des points. On s'intéresse aux équations du type y=calcul de x parce qu'il faut bien le dire, c'est pratique. Et cela définit la notion de fonction.

Si on veut garder ce genre notation tout en restant compatible avec la (pseudo) rigueur française, on peut dire que la fonction f est définie par l'équation de sa courbe représentative y=2x. C'est un peu long mais, sur le plan de la rigueur, c'est cohérent.

Edit: oui, la partie sur les fonctions m'intéresse.

ycombe a écrit:

cassiopella a écrit:
P.S. si quelqu'un est intéressé par les chapitres sur les fonctions (niveau fin 3e-2nd), je peux envoyer. Mais je préviens: pas d'image/antécédent, pas de formalisme à la Bourbaki, les auteurs prennent quelques libertés (comme partout dans le monde).

y=2x était la façon de noter classiquement les fonctions dans les manuels d'avant les math modernes. La raison est simple: on introduisait les fonctions après les équations dans le plan (et à partir des équations dans le plan). Dans les équations du plan, le x et le y représentent toujours l'abscisse et l'ordonnée des points. On s'intéresse aux équations du type y=calcul de x parce qu'il faut bien le dire, c'est pratique. Et cela définit la notion de fonction.

Si on veut garder ce genre notation tout en restant compatible avec la (pseudo) rigueur française, on peut dire que la fonction f est définie par l'équation de sa courbe représentative y=2x. C'est un peu long mais, sur le plan de la rigueur, c'est cohérent.

Edit: oui, la partie sur les fonctions m'intéresse.

Et vous faites quoi alors pour les fonctions à plusieurs variables réelles ?
C'est hors programme du secondaire (quoi que en SPC...), mais c'est une vraie question !

Sur ce problème là en particulier OK pour la méthode arithmétique. Mais parce que ça colle bien et que 1/4 + 1/4 = 1/2. L'intérêt des équations est justement la généralisation de la procédure. Donc en effet, ça dépendra bien du niveau auquel on s'adresse. Ce genre de problème est en effet formateur, y compris avec la méthode de résolution arithmétique mais je pense quand même qu'une fois les équations établies, ça reste quand même un outil bien plus efficace.

TFS a écrit:

ycombe a écrit:

cassiopella a écrit:
P.S. si quelqu'un est intéressé par les chapitres sur les fonctions (niveau fin 3e-2nd), je peux envoyer. Mais je préviens: pas d'image/antécédent, pas de formalisme à la Bourbaki, les auteurs prennent quelques libertés (comme partout dans le monde).

y=2x était la façon de noter classiquement les fonctions dans les manuels d'avant les math modernes. La raison est simple: on introduisait les fonctions après les équations dans le plan (et à partir des équations dans le plan). Dans les équations du plan, le x et le y représentent toujours l'abscisse et l'ordonnée des points. On s'intéresse aux équations du type y=calcul de x parce qu'il faut bien le dire, c'est pratique. Et cela définit la notion de fonction.

Si on veut garder ce genre notation tout en restant compatible avec la (pseudo) rigueur française, on peut dire que la fonction f est définie par l'équation de sa courbe représentative y=2x. C'est un peu long mais, sur le plan de la rigueur, c'est cohérent.

Edit: oui, la partie sur les fonctions m'intéresse.

Et vous faites quoi alors pour les fonctions à plusieurs variables réelles ?
C'est hors programme du secondaire (quoi que en SPC...), mais c'est une vraie question !

Il y a plusieurs solutions:
— on raffermit les notations par en disant que f est définie par f(x)=2x, qu'on note tout ça f:x ↦2x ou f:x ↦f(x)=2x avant de passer aux fonctions de deux variables ou
— on définit les fonctions de deux variables par une équation de l'espace du type z = 2x + 3y.

Les deux peuvent se faire.

Je lisais justement ce matin un article de Rittle-Johnson de 2015 sur la relation entre les connaissances conceptuelles et procédurales qui questionne l'habitude de vouloir absolument faire le conceptuel avant le procédural. La meilleure solution pourrait être une imbrication entre les deux.

Eliette a écrit:En revanche j'avoue que je ne sais pas résoudre ce problème par méthode de fausse position, et suis curieuse d'en connaitre le cheminement ?

Supposons qu'il y ait 20 poissons rouges.

Dans ce cas, il y a 20×4=80 poissons, dont 20 rouges et 24 lunes,  donc 36 poissons jaunes.

Ce qui fait 20 poissons jaunes de trop.

À chaque fois qu'on enlève un poisson rouge, on enlève aussi un poisson lune et le total diminue de 4 poissons. Donc, il y a 2 poissons jaunes de moins à chaque poisson rouge enlevé.

Il faut enlever 10 poissons rouges pour enlever les 20 poissons jaunes en trop.

Bilan: 10 poissons rouges, 14 lunes et 40 poissons au total, ce qui fait bien 16 jaunes.

En sixième on dit bien que l'aire A d'un rectangle s'exprime en fonction de sa longueur L et de sa largeur l par A=Ll.
De façon équivalente, l'aire A=Ll est fonction de L et l.

Ce vocabulaire, me semble-t-il, doit être travaillé raisonnablement tôt.

ycombe a écrit:
y=2x était la façon de noter classiquement les fonctions dans les manuels d'avant les math modernes. La raison est simple: on introduisait les fonctions après les équations dans le plan (et à partir des équations dans le plan). Dans les équations du plan, le x et le y représentent toujours l'abscisse et l'ordonnée des points. On s'intéresse aux équations du type y=calcul de x parce qu'il faut bien le dire, c'est pratique. Et cela définit la notion de fonction.

Si on veut garder ce genre notation tout en restant compatible avec la (pseudo) rigueur française, on peut dire que la fonction f est définie par l'équation de sa courbe représentative y=2x. C'est un peu long mais, sur le plan de la rigueur, c'est cohérent.

Edit: oui, la partie sur les fonctions m'intéresse.

Oui, tu as bien cerné. Les fonctions sont introduites par les équations dans le plan. A ce niveau la notation f(x) n'est presque pas utilisée et cela ne gêne pas. Je viens de t'envoyer le lien.

TFS a écrit:
Et vous faites quoi alors pour les fonctions à plusieurs variables réelles ?
C'est hors programme du secondaire (quoi que en SPC...), mais c'est une vraie question !

Je peux dire en tant que l'élève/étudiant qui a vécu ce passage. Au lycée on a eu uniquement les fonctions à une variables notées soit y=blabla, soit fonction f(x)=blabla. Avec les x réels. On a fait aussi les suites arithmétiques et géométriques, mais sans aucun lien avec les fonctions.

Quand je suis arrivée en France en 1ière année de fac, on nous a parlé des applications (et tout ce qui va avec), la notation f : x -> formule ; Df -> Ds. On nous a aussi expliqué pourquoi il fallait dire la fonction f et non fonction f(x). Pour les étudiants français c'était juste des rappelles. Pour les étudiants non français et non francophones, c'étaient des notations nouvelles. Mais du moment que tu maitrises le sujet, un cours de 30min ou 1h est suffisant pour présenter la nouvelle écriture. Cela ne m'a jamais posée de problème. Les autres n'ont pas eu de difficulté non plus. Y compris quelques étudiants très faibles en maths.

Par contre j'ai eu plus de mal avec la fonction affine. Je n'arrivais pas à comprendre pourquoi on parle tantôt fonction linéaire, tantôt fonction affine alors que dans les deux cas c'est une "fonction linéaire". :sourit: