Les équations du 1er degré

Bonjour,

Mes élèves rencontrent beaucoup de difficultés à comprendre es équations du 1er degré (3 classes de 4ème). Est-ce normal ?

Connaissent-ils déjà leurs priorités de calcul? Savent-ils calculer dans des opérations à trou avec les quatre opérations sans calculatrice? Si ce n’est pas le cas, rien d’étonnant. Si c’est le cas aucune raison.

Mes élèves de seconde aussi ont beaucoup de difficultés sur des méthodes algébriques de base.
Certains d'entre eux du moins, pour une grosse partie de la classe il y a eu des progrès nets depuis le début de l'année, et une toute petite minorité est arrivée au lycée en sachant résoudre une équation du premier degré.
Il me semble que l'élément bloquant est le rôle de la lettre, et une progression construite, ce que n'offrent pas les programmes actuels.
J'ai l'impression que dans pas mal des collèges qui nous envoient des élèves, le calcul littéral a été enseigné avec un entrain très mesuré.

Aux priorités opératoires (pas acquises, sans parler du rôle des parenthèses, qui semblent purement décoratives), j'ajouterais comme difficulté rencontrée par les élèves une incompréhension massive du rôle de la lettre, y compris les aspects les plus simples : application numérique, exprimer une grandeur en fonction d'autres, le rôle de la lettre comme variable, comme inconnue, la notion d'expressions équivalentes, les bases du calcul littéral : réduire, factoriser, développer.

Commencer les équations du premier degré si tard dans l'année de quatrième ne permettra pas de surmonter toutes ces difficultés avant le lycée.
Heureusement, les Mathématiques sont maintenant optionnelles en série générale.

Je ne suis pas tjs d’accord avec toi Ben mais là pour le coup je valide à 100 %! 🤪

Les parenthèses ... j'ai des élèves qui ne savent pas gérer les parenthèses imbriquées, il leur faut parenthèse, crochet, accolade ... pour python c'est pas gagné du coup.
Les équations du 1er degré posent des problèmes à tous les niveaux, parce qu'il n'y a pas d'automatisme, pas de formule, il faut réfléchir. On en arrive à l'absurde, en terminale ils savent mieux résoudre une équation de degré 2 (sous forme classique, hein, x² + 3 x = 7 les bloque totalement) parce qu'il y a une formule, alors que 2x - 1 = 4 - 3 x les paralyse. Evidemment sous forme de quotient ... f (x) = 2 où f est une fonction homographique ... même pas en rêve.

Et en BTS tu as des étudiants qui ont du mal à passer de ln(y)=ax+b à y=exp(ax+b), et qui veulent vérifier 25 fois que sin(a)=q donne a=arcsin(q).

Quand on voit à quel point le travail algébrique littéral le plus basique est le facteur limitant universel (que ce soit pour les 90% d'élèves ayant des acquis fragiles ou pour les 10% d'élèves ayant suffisamment travaillé pour comprendre les concepts mais qui parfois manquent d'aisance), on se demande pourquoi on perd autant de temps sur d'autres points que celui-ci.

Il me semble qu'une erreur manifeste de l'éducation nationale est de vouloir aplanir les difficultés au lieu de les résoudre, de vouloir éviter aux élèves les situations où ils pourraient échouer et par là-même les priver des situations où ils pourraient réussir quelque chose de significatif.

#NoPainNoGain

La plupart des équations proposées à nos lycéens en épreuve d'examen ont pour solution évidente 0 ou 1, en particulier celles qui font intervenir logarithmes ou exponentielles. Ce qui ancre chez eux l'idée qu'une équation, c'est un genre de devinette (comme les textes ou équations "à trous").
A vaincre sans péril on triomphe sans gloire ...

Voltaire a écrit:Les parenthèses ... j'ai des élèves qui ne savent pas gérer les parenthèses imbriquées, il leur faut parenthèse, crochet, accolade ... pour python c'est pas gagné du coup.
Les équations du 1er degré posent des problèmes à tous les niveaux, parce qu'il n'y a pas d'automatisme, pas de formule, il faut réfléchir. On en arrive à l'absurde, en terminale ils savent mieux résoudre une équation de degré 2 (sous forme classique, hein, x² + 3 x = 7 les bloque totalement) parce qu'il y a une formule, alors que 2x - 1 = 4 - 3 x les paralyse. Evidemment sous forme de quotient ... f (x) = 2 où f est une fonction homographique ... même pas en rêve.

Ce n'est pas tout à fait mon vécu...les élèves n'apprennent pas les formules (enfin pas plus que le reste) et quand on leur donne x²+3x=7...ça donne x²=7-3x...etc etc..et le "x" finit par disparaitre et on arrive à un truc.." (et avec les "compétences" on devrait bien avoir 3/5 à la question)
Du reste "faire delta" comme ils disent c'est la méthode compliquée du prof...ils font comme ils ont toujours fait, cela ne les a pas empêchés d'arriver en spé maths
Triste mais vécu pour 50% de mes élèves en spé maths

Exemple vécu aussi: interro sur les équa diffs un bon nombre se plante dés le début si ce n'est pas exactement y'=ay+b...et la condition initiale achève le reste! sauf les trois ou quatre qui auraient mérité mieux et que le reste empêche d'avoir un cours digne d'eux

En BTS je ne lutte plus, on prend XCas et on tape Solve( 3x+4=0,x)  et on recopie, au bout d'un quart d'heure et une dizaine de correction de fautes de syntaxe (BTS info...non je n'invente pas), on a le résultat
On perd tout espoir en demandant après "que vaut  3x+4 pour x=-4/3?"  mais je n'y résiste pas, surtout quand la moitié fait le calcul et trouve autre chose que zéro
Après plus 40 ans à en faire je redécouvre les maths sous une forme que je n'aurais jamais imaginée.

Déprimant ce fil ! Certains profs de collège, en dépit du programme, préparent leurs élèves au lycée. Et en seconde j'identifie très facilement les élèves qui ont eu la chance de les avoir.
En seconde, pas facile pour la majorité de rattraper le niveau: trop de lacunes, ils ne peuvent pas tout digérer d'un coup, on n'a pas assez de temps pour s'entraîner...
Ils se démotivent très rapidement (forcément il y a une erreur à chaque étape...)

Mathsenstock a écrit:Déprimant ce fil ! Certains profs de collège, en dépit du programme, préparent leurs élèves au lycée. Et en seconde j'identifie très facilement les élèves qui ont eu la chance de les avoir.  
En seconde, pas facile pour la majorité de rattraper le niveau: trop de lacunes, ils ne peuvent pas tout digérer d'un coup,  on n'a pas assez de temps pour s'entraîner...
Ils se démotivent très rapidement (forcément il y a une erreur à chaque étape...)

Ce que je constate, et mes collègues de Physique / Svt, c'est que le nom et collatéralement le sens des opérations a disparu pour beaucoup d'élèves, et que cela peut perdurer jusqu'en terminale y compris dans les options scientifiques.
x+3=4....tentons d'expliquer...x+3-3=4-3 x=1 , cela ne passe plus, autant écrire x+3*3=4*3 x=12 personne ne bougera ou pire, montrant que Piaget s'était trompé sur toute la ligne ou plutôt que nous avons réussi à transformer nos élèves pour faire reculer la notion de "conservation" x+3-4=4-3 x=1
plus d'issue...

Voltaire a écrit:Les parenthèses ... j'ai des élèves qui ne savent pas gérer les parenthèses imbriquées, il leur faut parenthèse, crochet, accolade ... pour python c'est pas gagné du coup.
Les équations du 1er degré posent des problèmes à tous les niveaux, parce qu'il n'y a pas d'automatisme, pas de formule, il faut réfléchir. On en arrive à l'absurde, en terminale ils savent mieux résoudre une équation de degré 2 (sous forme classique, hein, x² + 3 x = 7 les bloque totalement) parce qu'il y a une formule, alors que 2x - 1 = 4 - 3 x les paralyse. Evidemment sous forme de quotient ... f (x) = 2 où f est une fonction homographique ... même pas en rêve.

Curiosité d’un professeur d’anglais qui a eu un Bac C en 1988; est-ce que j’ai bon?

x² + 3 x = 7
x = racine carré de (7 - 3 x)

2x - 1 = 4 - 3 x
- 1 - 4 = - 3 x - 2 x
- 5 = - 5 x
- 5
—— = - x
- 5

- 1 = - x du coup x = 1

Un bac D, mais plus ancien. Pour le 1er, il faut calculer le delta et là, je ne sais plus. Pour le second, tu as bon, mais je me serais débarrassée des - bien avant.

Panta Rhei a écrit:
Curiosité d’un professeur d’anglais qui a eu un Bac C en 1988; est-ce que j’ai bon?

x² + 3 x = 7
x = racine carré de (7 - 3 x)

Ouch !
Tu ne résous pas l'équation puisque tu écris x= quelque chose qui dépend de x.
Un peu comme si quelqu'un ne sait pas ce qu'est un dictionnaire, et que tu lui réponds d'aller voir dans le dictionnaire.

Ici, x^2+3x=7 est une équation du 2nd degré, qui se résout à l'aide du discriminant

Panta Rhei a écrit:

2x - 1 = 4 - 3 x
- 1 - 4 = - 3 x - 2 x
- 5 = - 5 x
- 5
—— = - x
- 5

- 1 = - x du coup x = 1

Non.

- 5
—— =  x
- 5

1 = x (car -5/(-5) = 1, pas -1)

d'où x = 1

tAoK a écrit:

Panta Rhei a écrit:

2x - 1 = 4 - 3 x
- 1 - 4 = - 3 x - 2 x
- 5 = - 5 x
- 5
—— = - x
- 5

- 1 = - x du coup x = 1

Non.

- 5
—— =  x
- 5

1 = x                  (car -5/(-5) = 1, pas -1)        

d'où x = 1

Merci! J'aurais dû réfléchir davantage.

L'autre équation me rappelle de manière définitive que j'étais & reste incompétent en mathématiques car je n'ai même pas percuté qu'il restait un x en effet!

Bah, deux erreurs qui se compensent, ça fait un résultat juste, on met les points (pas taper)
x² + 3 x = 7 <=> x (x + 3) = 7 <=> x = 1 et x + 3 = 7 donc x = 1 et x = 4 sont solutions (je suis dehors sous la pluie, ne me cherchez pas)

x² + 3x = 7
x² + 3x - 7 = 0
(x + 1,5)² - 2,25 - 7 = 0
(x + 1,5)² - 9,25 = 0
(x + 1,5 - v9,25)(x + 1,5 + v9,25) = 0 **** je note racine carrée de 9,25 (ou radical de 9,25 comme on disait avant...) par v9,25 ****
Un produit est nul ssi un des facteurs est égal à 0.
x + 1,5 - v9,25 = 0 ou x + 1,5 + v9,25 = 0
x = v9,25 - 1 x = -v9,25 - 1

Voilà l'équation admet 2 solutions : v9,25 -1 et -v9,25 -1

Dans les années 80, nous devions suivre cette méthode en 3ème. On apprenait ensuite en 1ere la méthode avec le discrimant.

Manu7 a écrit:x² + 3x = 7
x² + 3x - 7 = 0
(x + 1,5)² - 2,25 - 7 = 0
(x + 1,5)² - 9,25 = 0
(x + 1,5 - v9,25)(x + 1,5 + v9,25) = 0      **** je note racine carrée de 9,25 (ou radical de 9,25 comme on disait avant...) par v9,25  ****
Un produit est nul ssi un des facteurs est égal à 0.
x + 1,5 - v9,25 = 0     ou     x + 1,5 + v9,25 = 0
x = v9,25 - 1                      x = -v9,25 - 1

Voilà l'équation admet 2 solutions : v9,25 -1   et -v9,25 -1

Dans les années 80, nous devions suivre cette méthode en 3ème. On apprenait ensuite en 1ere la méthode avec le discrimant.

Et désormais, on ne fait vraiment cette méthode en 1ère qu'en aprofondissement pour les meilleurs élèves...

Deux ans de maturité algèbrique de (définitivement ?) perdue...

Pour revenir à la question d'origine, nous avons eu le covid, et c'est déjà très bien de voir les équations en 4ème !!! Pour ma part, je n'ai pas eu le temps l'an dernier et sûrement pas cette année de les voir en 4ème...

Pour les équations du 1er degré, j'ai laissé tomber l'ambition d'apprendre la méthode "rapide" aux élèves et je reste au niveau avec des roulettes de chaque côté. C'est à dire que j'oblige les élèves (sauf ceux qui ont compris seuls) à écrire la technique pour passer d'une équation à une autre :

3x - 8 = 5x + 14   (on ajoute 8 à chaque membre on illustre avec des flèches)
3x = 5x + 22   (-5x de chaque côté)
-2x = 22  (on divise par -2)
x = 22/-2
x = -11

Pour découvrir cette méthode je passe par une activité avec des balances de Roberval.

Il faut aussi savoir que    5 * ? = 14 n'est pas une question simple pour les collégiens qui ne voient pas facilement le lien avec la division 14/5. Tout est lié si on n'a pas le sens des opérations et les liens entre les opérations alors on passe en force.

Par exemple pour la dernière étape de ma résolution  où on divise par -2, et bien  je dis qu'on doit toujours diviser par le coef du x à cette étape.
Avant je dis que le but est d'isoler les termes en x dans un seul membre, en général c'est plus facile.

Mais pour finir c'est vraiment dur d'éviter des erreurs du style x = -2/22 à la place de x = 22/-2 même quand ils ont noté la flèche avec "  : (-2)"

Je demande donc aussi d'écrire obligatoirement la fraction et de voir ensuite si cela tombe juste.

Mais quand on a 5x = 14 si c'est pas évident qu'on doit faire 14/5 pour trouver x alors c'est compliqué. Et si on se croit malin en écrivant 5*? = 14 alors on est vite remis en place par la réalité !!! Ce lien automatique entre la division et la multiplication ne se retrouve que chez les élèves qui aiment s'amuser avec les nombres, et ils l'ont acquis tous seuls...

Si bien qu'en 5eme je vois des élèves poser des divisions du style 42 : 7 pour trouver la réponse et quand je demande s'ils connaissent 7 fois 6, ils répondent 42 et alors c'est quoi le rapport ??? Et là je parle des "moyens bons", car les autres ont déjà écrit à côté de la division 6 / 12 / 18 / 24 / ... et la moitié n'obtiendra pas 42.

Les 2/3 de mes BTS-indus ne savent pas résoudre une équation du premier degré en arrivant, et en physique on en a tout le temps besoin.

J'envisage de faire de la remédiation durant les premiers mois sur les notions simples de maths, mais je crois qu'il faut qu'on reprenne de trèèès loin.
En début d'année, un élève mène un "calcul" au tableau. Je lui indique "bon et maintenant tu factorises". Là il se retourne, plein de bonne volonté, et me dit "factoriser ? moi je veux bien, mais je ne sais pas ce que ça veut dire ?! "

Et désormais, on ne fait vraiment cette méthode en 1ère qu'en aprofondissement pour les meilleurs élèves...

Deux ans de maturité algèbrique de (définitivement ?) perdue...

Avec mon prof de 3ème c'était pour toute la classe et on n'avait pas le choix !!!

Franchement comme je suis en collège depuis un moment parfois j'oublie la formule b² - 4ac et je la retrouve avec la forme canonique qui est encrée bien plus fortement en moi que cette formule magique...

En 3ème, quand on devait factoriser avec la forme canonique alors là on commençait à se dire que c'était vraiment puissant, avant on devinait bien que les expressions qu'on pouvait factoriser étaient un peu artificielles...

Mais bon dans les années 80, on ne donnait pas des notions uniquement pour les meilleurs et tout le monde devait suivre, c'est clair que certains naviguaient à 5 de moyenne mais ils avaient un niveau bien meilleur que la moitié des élèves actuels. Je pense qu'un 3ème avec 5 de moyenne en 1984 pourrait obtenir 14/20 sans problème aujourd'hui à l'un des mes devoirs et il aurait terminé 15 min avant la fin. Car je me souviens qu'en 3ème, c'était très rare quand j'avais le temps de finir un contrôle.

Cette méthode était critiquable c'est clair. Mais je pense que les méthodes actuelles sont pires.

Eliette a écrit:Les 2/3 de mes BTS-indus ne savent pas résoudre une équation du premier degré en arrivant, et en physique on en a tout le temps besoin.

J'envisage de faire de la remédiation durant les premiers mois sur les notions simples de maths, mais je crois qu'il faut qu'on reprenne de trèèès loin.
En début d'année, un élève mène un "calcul" au tableau. Je lui indique "bon et maintenant tu factorises". Là il se retourne, plein de bonne volonté, et me dit "factoriser ? moi je veux bien, mais je ne sais pas ce que ça veut dire ?! "

D'expérience, après 20 ans de BTS, la "remédiation" est un mot magique qui ne mène absolument à rien.

Voltaire a écrit:Bah, deux erreurs qui se compensent, ça fait un résultat juste, on met les points (pas taper)
x² + 3 x = 7  <=> x (x + 3) = 7 <=> x = 1 et x + 3 = 7 donc x = 1 et x = 4 sont solutions (je suis dehors sous la pluie, ne me cherchez pas)

Pas mal, dommage que le "x" ne puisse avoir qu'une seule valeur pour tout le calcul....

Balthazaard a écrit:

D'expérience, après 20 ans de BTS, la "remédiation" est un mot magique qui ne mène absolument à rien.

Je suis assez peu optimiste mais bon cet élève sait factoriser à l’heure actuelle. Il y a peut-être quelques progrès possibles. Pour beaucoup ils n’ont pas eu de formation satisfaisante en primaire * puis ils ont mangé trop peu d'exercices systématiques pour que ça rentre au collège.
Le programme de maths en BTS c’est les fonctions les complexes les suites la transformée en z, les probas...Ils ne font plus d’équations du premier degré depuis des années.

* en avril, conférence de maths pour des PE, problème :
1/4 des poissons d’un aquarium sont des poissons rouges
Il y a 4 poissons lune de plus que de poissons rouges
Les 16 autres poissons sont des poissons jaunes.
Combien de poissons y a t’il dans l’aquarium ?
Aucune des participantes n’a trouvé la solution.
C’est sans doute un hasard malheureux et j’imagine qu’une foule dePE savent résoudre ce problème mais pour moi ça pourrait expliquer pourquoi mes enfants ont fait plus d’opérations posées que de préparation aux équations au primaire.

Si le nombre de poissons rouges est entier, alors ce problème n'a pas de solution.