Exercice d'introduction aux équations.

Bonsoir,

Je vais bientôt commencer un nouveau chapitre avec ma classe de cinquième, sur les équations.
Pour les confronter à une situation un peu concrète, j'avais pensé à utiliser des balances à deux plateaux (balance Roberval) pour leur faire déterminer une masse inconnue.
Seulement ça va être compliqué d'en ramener plusieurs en classe et avec juste une ou deux balances il est peu probable que tous les élèves aient l'occasion de les manipuler.
J'ai donc cherché des exercices interactifs sur internet, reposant sur le principe de déterminer un poids inconnu sur une balance. Mais je n'ai pas trouvé grand chose !

Il y a bien ce site : http://applipla.net/app/applis/balance-interactive.html ...
Mais :
-On peut afficher la réponse.
-On peut ajouter de nouveaux poids, donc les élèves pourraient trouver la réponse en ne laissant que la masse inconnue sur la balance, puis en remplissant petit à petit l'autre plateau de poids.
-Si je souhaite faire apparaître sur la balance, par exemple, l'équation "3x=2x+4" c'est laborieux car quand on fait apparaître un nouvel objet de masse inconnue, sa masse n'est pas forcément la même que celle des autres objets de masse inconnue...

Bref, je trouve que ce n'est pas adapté du tout.
Connaissez vous un site qui pourrait mieux convenir ?
Ou à défaut, avez-vous d'autres idées d'exercices pour introduire la notion ?

Bonne soirée

À mon avis, un objectif raisonnable sur les équations en 5e est que les élèves comprennent que la lettre permet de résoudre des problèmes sans tâtonner avec la calculatrice. Ils résolvent les petites équations obtenues avec le sens des opérations.

Je garde la méthode experte à laquelle tu penses pour les résolutions des équations type ax+c=cx+d et pour la fin de classe de 4e/début 3e.


Deux exemples de problèmes pour des premières équations en 5e :

Programmes de calcul du type :
Choisis un nombre ; ajoute 4 ; double ; ajoute le nombre choisi. Quel nombre choisir pour obtenir 100 ?
Tâtonner est pénible et on ne peut pas remonter le programme : le calcul littéral est nécessaire pour simplifier le programme.
L'équation 3*x+8=100 obtenue peut se résoudre en 5e avec le sens des opérations : 100-8, puis /3.
(Dit autrement, ils remarquent que 92+8=100, donc que le 92 doit être le triple de ce qu'on veut).
Pour vendre l'efficacité de la lettre, pourquoi pas essayer une course entre une partie de la classe qui tâtonne avec la calculatrice et l'autre qui utilise le symbole ?


Autre exemple de problème dans lequel tâtonner est horrible alors que le calcul littéral amène une équation qui se résout sans technique : les murs (c) et (d) (voir pièce jointe)  



(PS : Et pour introduire les équations type ax+c=cx+d en 4e, il suffit d'un problème qui en fourni une. Tâtonner est long, et les méthodes arithmétiques vues en 5e ne fonctionnent pas. Pourquoi pas leur présenter magistralement la nouvelle technique ? On m'avait dit de me méfier de la balance de Roberval, puisque c'est un objet qui n'est pas familier aux élèves, pas certain donc que cela les aide. Et quid des nombres négatifs ou non entiers ?)

Seguito a écrit:Bonsoir,

Je vais bientôt commencer un nouveau chapitre avec ma classe de cinquième, sur les équations.
Pour les confronter à une situation un peu concrète, j'avais pensé à utiliser des balances à deux plateaux (balance Roberval) pour leur faire déterminer une masse inconnue.

Mauvaise utilisation de la Robervall qui doit être utilisée en équilibrant une tare avec le truc à peser et des poids avec la même tare.

Et si tu leur faisais un peu de méthode des blocs (aka Singapour) avant d'introduire le x sur le bloc qui représente ce qui est inconnu ?

Pour avoir longtemps pratiquer les balances, je trouve que cela n'apporte rien en plus aux élèves. Les élèves qui ont le plus de difficultés n'arrivent pas à modéliser la chose, les bons y arrivent mais ils y arriveraient sans quand même.
Tu peux aussi faire des programmes de calcul que tu traduis par des diagrammes avec des flèches et que tu remontes à l'envers ensuite pour retrouver le nombre de départ me parait être le plus efficace. (voir le livre delta en 4°). Tu donnes du sens en plus.

16.03.2019ycombe a écrit:

Et si tu leur faisais un peu de méthode des blocs (aka Singapour) avant d'introduire le x sur le bloc qui représente ce qui est inconnu ?

As-tu une référence pour cette méthode des blocs? (je ne connais pas...)

floflo1010 a écrit:Pour avoir longtemps pratiquer les balances, je trouve que cela n'apporte rien en plus aux élèves. Les élèves qui ont le plus de difficultés n'arrivent pas à modéliser la chose, les bons y arrivent mais ils y arriveraient sans quand même.
Tu peux aussi faire des programmes de calcul que tu traduis par des diagrammes avec des flèches et que tu remontes à l'envers ensuite pour retrouver le nombre de départ me parait être le plus efficace. (voir le livre delta en 4°). Tu donnes du sens en plus.

Je passe par ce genre de programmes de calcul en seconde en remédiation avec les élèves (trop nombreux) qui confondent encore addition et multiplication et à qui la notion de parenthésage est étrangère (ces élèves en difficulté constituent une part importante de ma classe de TES, par exemple).
Il me semble que la partie "les x à gauche, le reste à droite, on factorise/on réduit/on divise" ou bien "on met tout à gauche, on factorise, on scinde" n'est pas très compliquée à partir du moment où la lecture des expressions algébriques est acquise, ce qui se fait de plus en plus rare chez les montants de collège.
La résolution d'équations me semble être un cas particulier de calcul littéral, et je pense que ce n'est pas forcément utile de le distinguer particulièrement par rapport à d'autres méthodes tout aussi importantes voire plus fondamentales dans l'apprentissage, comme "exprimer en fonction de" (j'avais beaucoup d'élèves incapables d'expliciter la signification de ce vocable cette année, que ce soit en 2nde ou en 1S), ou bien "application numérique" en respectant les priorités si possible, et sans développer avec une identité remarquable pour calculer (cos(pi/4)+sin(pi/4))² par exemple.

Mon conseil : plein d'applications numériques, d'abord. Y compris du genre "calculer 2x+3/x pour x qui varie de 1 à 10 par pas de 0,5".
Ensuite "exprimer en fonction de " sur des familles de figures paramétrées par une longueur (ou un angle mais au collège on fait la trigo un peu trop tard pour que ce soit vraiment pertinent).
On peut arriver assez vite à la notion de formules équivalentes, typiquement sur des calculs d'aires en fonction d'une longueur variable, en fonction du découpage choisi pour la figure.
C'est alors le moment d'expliciter la différence entre une égalité ouverte (p.ex 2x+3=5x-10) et une égalité fermée (p.ex 2x+3=2(x+3/2)), bref quantifier correctement, et discuter de la différence entre un subjonctif et un présent de l'indicatif à valeur d'énonciation générale (je crois que c'est comme ça qu'on disait quand j'étais au CM1).
Pour la notion d'équation, ça se fait tout seul quand ces préalables sont bien acquis.

Il faut rester modestes, il y a encore des BTS qui pour résoudre l'équation différentielle 3y'=y commencent par la réécrire y'=y-3.

Un dernier truc qui me semble fondamental : le premier élève qui tente "passer de l'autre côté", tu le cloues au mur pour que son cadavre serve d'avertissement aux autres. A répéter éventuellement chaque trimestre.

Bien d'accord avec Ben2510 et particulièrement avec :

ben2510 a écrit:
Un dernier truc qui me semble fondamental : le premier élève qui tente "passer de l'autre côté", tu le cloues au mur pour que son cadavre serve d'avertissement aux autres. A répéter éventuellement chaque trimestre.

Cette expression est effectivement une calamité surtout qu'elle est souvent retenue à la mode : "quand je passe de l'autre côté, ça change de signe".
Je ne sais pas si c'est une bonne idée et si ça peut aider, mais j'utilise "je veux neutraliser ……(en citant l'opération et la valeur à neutraliser) dans le membre de …… et donc ………", j'aime bien parce que ça insiste sur l'idée de créer l'élément neutre de l'opération.

Je ne vois pas du tout en quoi dire "je fais passer -2x de l'autre côté" serait à bannir.

Et lorsque l'on veut isoler x, on ne fait pas passer, on divise par le coefficient de x.

Dans le chapitre des équations il me semble aussi important de faire comprendre la différence entre équation et identité.

Les élèves qui "font passer de l'autre côté", systématiquement, confondent somme et produit, terme et facteur, opposé et inverse.
Pas forcément tout le temps, mais dès qu'ils sont concentrés sur un aspect particulier (des coefficients avec radicaux p.ex), ils confusent à fond.
Je n'ai jamais rencontré d'exception (plus précisément, je n'ai rencontré "faire passer de l'autre côté" que dans un seul contexte : en faisant expliciter sa démarche de résolution à un élève ne trouvant pas les solutions de l'équation).

GastonLagaffe a écrit:

16.03.2019ycombe a écrit:

Et si tu leur faisais un peu de méthode des blocs (aka Singapour) avant d'introduire le x sur le bloc qui représente ce qui est inconnu ?

As-tu une référence pour cette méthode des blocs? (je ne connais pas...)

Quelque chose comme ça:
https://www.koobits.com/2012/11/06/techniques-for-learning-the-singapore-math-model-method

Pas convaincu du tout ben. Je le dis parfois car c'est très pratique. Je n'ai observé aucune confusion particulière. Je crois bien que bon nombre de collègues le disent aussi.
Même des profs de prépa pourtant réputés enseigner avec une grande rigueur le disent ... sinon tu dis quoi ? Pour faire disparaitre -2x j'ajoute 2x à chaque membre ? C'est lourd quand même en 1ere/ tle.

Je pense qu'il faut utiliser deux et pas s'interdire certains raccourcis. Pour les 5e et 4e, ça peut être bien de ne pas en parler.

Ensuite tu as aussi le problème que beaucoup de parents passent derrière et utilisent aussi l'expression je fais passer à gauche (et tu te retrouves avec l'élève qui dit ça en classe sans l'avoir jamais dit toi-même). Donc, faut pas chercher à interdire. L'expliquer et l'utiliser à bon escient. Si l'élève se plante ou fait n'importe quoi, tu lui demandes tout le détail ...

Proton a écrit:Pas convaincu du tout ben. Je le dis parfois car c'est très pratique. Je n'ai observé aucune confusion particulière. Je crois bien que bon nombre de collègues le disent aussi.
Même des profs de prépa pourtant réputés enseigner avec une grande rigueur le disent ... sinon tu dis quoi ? Pour faire disparaitre -2x j'ajoute 2x à chaque membre ? C'est lourd quand même en 1ere/ tle.

Je n'en ai jamais croisé.

Je n'ai pas le même public qu'eux

Je dis "unicité de l'image".  Quand on fait la même opération sur le même nombre on a le même résultat ; pour peu qu'en plus l'opération soit inversible (pas le carré ni la multiplication par zéro quoi), on n'introduit pas de solution supplémentaire et on retombe sur une (in-)égalité équivalente

Proton a écrit:Je pense qu'il faut utiliser les deux et pas s'interdire certains raccourcis. Pour les 5e et 4e, ça peut être bien de ne pas en parler.

Ensuite tu as aussi le problème que beaucoup de parents passent derrière et utilisent aussi l'expression je fais passer à gauche (et tu te retrouves avec l'élève qui dit ça en classe sans l'avoir jamais dit toi-même).

Sans doute.

Proton a écrit: Donc, faut pas chercher à interdire. L'expliquer et l'utiliser à bon escient. Si l'élève se plante ou fait n'importe quoi, tu lui demandes tout le détail ...

J'explique pourquoi c'est pourri, systématiquement (rappel : parce que cela amène l'erreur la plus handicapante qui soit en maths, du CE1 au bac, la confusion addition/multiplication ie la mauvaise lecture des expressions algébriques)

L'utiliser à bon escient, c'est ne pas l'utiliser


Et c'est à ce moment précis que je constate la prévalence de cette expression.

Un truc m'intéresse (pas forcément en lien direct avec la discussion présente) : comment tu commentes ce genre d'erreurs :

3x+5 = 30
x+5=10 (ou x+5=27, au point où on en est)

5(3x-10)=20
5*3x=30

Faire passer est utilisé à tort et à travers par des élèves qui confondent addition et multiplication. On ajoute, on soustrait, on multiplie ou on divise, mais jamais, jamais, on ne fait passer ...

Une idée comme ça, je ne sais pas ce qu'elle vaut, jamais testé :

On part d'une expression, il faut arriver à une autre en expliquant chaque étape. Exemple

Code:

 x+4
  ↓
x+4-4                  Je soustrait 4
  ↓     
  x

Et on est pas obligé de demander à arriver sur du x. On peut demander comment passer de x+5 à 2x+7, ou de 10x+40 à x+9, etc. juste pour leur faire travailler sur les effets des opérations. Et puis au bout d'un moment on introduit cette histoire d'égalité, sans même parler d'équation à ce stade. Et puis au bout d'un moment là on explique les équations où il faut arriver avec du x à la fin.

Parfois je fais représenter des expressions algébriques par des arbres. Ça peut éclairer certains.

C'est le principe de la forme canonique d'une expression, lorsque la variable n'apparaît qu'une seule fois dans l'expression, ce qui permet de calculer une image par enchaînement (et de résoudre itou).

P.ex

x=10  |*3
3x=30   |-10
3x-10=20   |*5
5(3x-10)=100

ou bien

10exp(-3x+8)-6 >12  |+6
10 exp(-3x+8)>18  |/10
exp(-3x+8)>1.8   |ln
-3x+8  >ln(1.8)   |-8
-3x > ln(1.8)-8  | /(-3)   voui, cela change l'ordre
x < (ln(1.8)-8)/(-3)

La petite barre verticale qui annonce ce qu'on va faire (et sépare la décision tactique de l’exécution pratique) je l'ai trouvée dans un bouquin anglais ou allemand.

Par contre passer de 10x+40 à x+9 c'est super intéressant comme exo mais c'est le niveau d'abstraction au dessus, non ? Tu as déjà fait ça avec des collégiens ?

ben2510 a écrit:Par contre passer de 10x+40 à x+9 c'est super intéressant comme exo mais c'est le niveau d'abstraction au dessus, non ? Tu as déjà fait ça avec des collégiens ?

Non comme je l'ai dit je n'ai jamais testé ce que je viens de dire, j'y ai pensé d'un coup en lisant le topic.

Ca peut être vu comme un « défi », et on peut même essayer de le faire en moins d'étape possible (pour distinguer celui qui fait -40;/10;+9 de celui qui fait /10;+5).

C'est intéressant en particulier quand tu cherches à expliciter une relation de récurrence à partir d'un terme général,
p.ex avec u(n)=racine(n), on obtient u(n+1)=racine(u(n)^2+1), la fonction de récurrence est y=racine(x^2+1).

Dans le livre de J.L. Frot (Mathématiques, exercices, pour ceux qui veulent s'initier pour de bon, 6e à 3e). Le même auteur des bouquins "pour ceux qui envisagent une prépa" chez Ellipse.




Dans un Fernand Nathan de 4e :



Le tout est de bien faire comprendre la nuance donc. Mais je n'ai jamais rencontré un TS ou même un TES qui bloque là dessus ...

Quand on multiplie ou divise ou que l'on prend ln/exp/sqrt/ ... on l'applique au deux membres.

Si l'on veut déplacer le terme d'une somme algébrique, on le fait passer.

Je n'aime pas trop la première image. On dirait qu'on applique une formule magique.

Autant donner la formule de la solution aux équations ax+b=cx+d

Depuis deux ans, en 4ème et 3ème, je demande que les élèves indiquent de chaque côté de l'équation ce qu'ils font :

      3x + 4 = 10
-4 (                  )-4
       3x = 6
/3 (                 )/3
       x = 6/3
        x = 2
Avant en 3ème, je passais assez vite à un mode d'écriture rapide classique mais cela ne passe plus du tout...
Quelques bons élèves devinent cette rédaction tout seuls mais au final on ne perd pas tellement de temps quand on reste avec les flèches.
Et au moins on voit les propriétés utilisées et on rappelle pendant plus longtemps que - 4 - 4 n'est pas égal à 0...
ou encore 6/3 ce n'est pas 3/6...
Le gros avantage de cette méthode c'est que je ne vois plus les erreurs du genre :
3x = 4
x = 4/-3
Car je ne dis jamais on change le signe en passant de l'autre côté. Mais je sais aussi que le danger de ma méthode c'est que mes élèves risquent de paniquer au lycée si on considère qu'ils connaissent la résolution classique...

En lisant la façon dont il vérifie, j'ai vomi (sur mes yeux, qui venaient d'exploser hors de leurs orbites).

Il est sérieux le Jean-Louis ?

3(-4+4)-5(-4-2)=4(-12-1)+82
30=30

Un élève me fait une cochonnerie pareille, je lui botte le Q jusqu'à ce qu'il retourne en cinquième et je lui fais recopier 1000 fois "pour vérifier une égalité, on calcule séparément les deux membres".

Ce qui me choque le plus dans les images de Proton c'est la vérification. Pour moi quand on vérifie une égalité il faut effectuer 2 calculs, un pour chaque membre.

Non le dernier est un Fernand Nathan.

Eh oui, il y a des choses surprenantes. Mais j'aurais la même réaction si je voyais ce genre de vérification dans une copie ...

Par contre, je relative le faire passer. Je ne dis pas que je le dis tout le temps ... mais cette tournure est dans mon langage car on me l'a enseigné ainsi. Pas facile de se défaire des réflexes que l'on a gardé pendant toutes ses études et plus.

J'exige toujours le détail pour division, multiplication, utilisation d'une fonction, ... je dirais que cette exigence, permet de prévenir les 3x = 10 <=> x = 7

Personnellement je dis « On fait passer le 4 de l'autre côté en soustrayant / divisant par 4 chaque membre ». Mais du coup pour moi une division c'est faire passer aussi.