[Résolu] Maths : histogramme horizontal ?

Je pense que vous partez trop loin ... @Voltaire parlait certainement d'une seule forme de raisonnement correct dans le cadre de cette question.

Ce n'est pas ici qu'un problème de rédaction. C'est clairement un élève qui maitrise mal le théorème donné dans son cours et qui semble réciter un peu bêtement "D'après le théorème de Pythagore, blablabla" appris par cœur.

Je n'ai aucun problème avec des élèves qui tentent des choses compliqués. D'ailleurs, j'aime prendre du temps pour comprendre un raisonnement pas forcément bien rédigé et un peu sinueux dans les copies mais qui fonctionne et éventuellement y indiquer des corrections.
C'est d'ailleurs un point important en classe, de montrer différents raisonnements pour résoudre un problème ...

ben2510 a écrit:

Manu7 a écrit:
Soit on résout l'équation (on cherche AB)

Dans la rédaction que tu proposes, à aucun moment il n'est écrit "considérons un triangle rectangle de cathètes 3 et 4",
et encore moins "par les cas d'égalité de triangles on retrouve bien le triangle ABC".

Tu supposes que derrière cette rédaction (incorrecte à mon sens) il existe un raisonnement qui :
* est alambiqué et maladroit
* n'apparaît à aucun moment.

Je parle du niveau 4ème, je me demande bien de quel niveau tu parles ?

Voltaire a écrit:Pour moi il n'y a qu'une rédaction correcte :
AC² + BC² = 4² + 3² = 25
AB² = 25
Donc AB² = AC² + BC² et le triangle ABC est rectangle en C (d'après la réciproque du théorème de Pythagore)

Dans mon cours, moi aussi je propose et conseille cette rédaction et comme Pat B j'ajoute d'une part et d'autre part.


Ce qui est amusant c'est finalement ici on refait le même débat que dans la commission des correcteurs à laquelle j'ai assisté, tout d'abord vous parlez de réciproque de Pythagore alors que j'ai bien précisé qu'elle n'existait plus dans ces années-là mais la moitié des profs de maths n'étaient pas au courant cela était pourtant clairement dit dans le programme. Même mon IPR qui m'a inspecté dans ces années-là m'a parlé de réciproque, alors que je demandais si ma nouvelle façon d'enseigner Pythagore sans réciproque était bien construite...

Pour ma part j'étais plutôt à l'aise avec cette nouvelle façon de voir Pythagore car c'est ainsi que je l'avais appris au collège dans les années 80, où le dogme du : Si ... alors ... n'était pas encore à la mode.

Proton a écrit:Je regrette mais dans le raisonnement donné il y a 0 équivalence, même implicite.

Le simple fait de commencer par "D'après le théorème de Pythagore" ...

Le théorème de Pythagore est Si ABC rectangle ALORS AB²=AC²+BC².

Ensuite, si on parle de l'égalité de Pythagore, c'est autre chose.

Si l'élève était bien conscient ce qu'il était en train de faire comme raisonnement, alors il aurait structuré correctement sa pensée.

Tu as lu trop rapidement je parle de l'époque où justement le théorème de Pythagore n'était plus celui que tu donnes de mémoire c'était de 2010 à 2016...

Dans ces années le théorème de Pythagore était plutôt :

Un triangle est rectangle si et seulement si le carré du plus grand côté est égal à la sommes des carrés des deux autres côtés.


Donc je rappelle aussi qu'on peut donner le théorème avant d'écrire les hypothèses :

Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles.

Or les droites (e) et (f) sont toutes les deux perpendiculaires à (d), donc (e) et (f) sont parallèles.

Revenons maintenant à notre théorème de Pythagore des années 2010 :

On peut très bien admettre d'écrire en premier le théorème utilisé :

1/ Un triangle est rectangle si et seulement si le carré du plus grand côté est égal à la sommes des carrés des deux autres côtés.

(quand on écrit l'énoncé comme dans le temps c'est plus joli en effet, mais malheureusement on nous demande d'accepter la phrase bateau : D'après le théorème de Pythagore)

2/ AB² = AC²+BC²
AB² = 3² + 4²
AB² = 25
AB = 5

3/ et 4/ Comme AB = 5 cm, alors  AB² = AC² + BC² donc le triangle est rectangle en C.

On a bien vérifié les hypothèses pour appliquer le théorème c'est la partie 3/, il y a bien le théorème utilisé c'est la partie 1/ et la conclusion c'est la partie 4/, le seul problème pour moi n'a pas de lien avec la démonstration la question revient à se demander comment on vérifie une égalité, pour moi il y a deux façons, la méthode classique où on fait 2 calculs séparés, et l'autre méthode on résoud l'équation pour vérifier que cela correspond bien à la valeur donnée.

Tout comme personne n'est choqué de l'utilisation de deux méthodes pour montrer que 5 est la solution positive de x² = 3²+4².


Pour l'ordre je ne vois pas de différence entre :

D'après le théorème de Pythagore, comme AB = 5 cm, alors  AB² = AC² + BC² donc le triangle est rectangle en C.

et

Comme AB = 5 cm, alors  AB² = AC² + BC² donc d'après le théorème de Pythagore le triangle est rectangle en C.


De toute manière, il est parfois compliqué de discuter avec certains collègues de maths, car à la fin de la discussion, on a bien compris que certains profs retireraient des points s'ils ne voyaient pas le mot "réciproque" alors que ce n'était plus au programme depuis 4 ou 5 ans !

Je me souviens aussi sur un forum de maths avoir vu des profs de maths qui étaient persuadés qu'il n'y avait eu qu'un seul énoncé du théorème de Pythagore depuis des lustres alors que j'ai découvert la réciproque de Pythagore qu'en IUFM avec ce nouveau dogme des implications et la disparition du si et seulement si et du signe <=> dans la résolution des équations au collège.

Manu7 a écrit:

Proton a écrit:Je regrette mais dans le raisonnement donné il y a 0 équivalence, même implicite.

Le simple fait de commencer par "D'après le théorème de Pythagore" ...

Le théorème de Pythagore est Si ABC rectangle ALORS AB²=AC²+BC².

Ensuite, si on parle de l'égalité de Pythagore, c'est autre chose.

Si l'élève était bien conscient ce qu'il était en train de faire comme raisonnement, alors il aurait structuré correctement sa pensée.

Tu as lu trop rapidement je parle de l'époque où justement le théorème de Pythagore n'était plus celui que tu donnes de mémoire c'était de 2010 à 2016...

Dans ces années le théorème de Pythagore était plutôt :

Un triangle est rectangle si et seulement si le carré du plus grand côté est égal à la sommes des carrés des deux autres côtés.


Donc je rappelle aussi qu'on peut donner le théorème avant d'écrire les hypothèses :

Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles.

Or les droites (e) et (f) sont toutes les deux perpendiculaires à (d), donc (e) et (f) sont parallèles.

Revenons maintenant à notre théorème de Pythagore des années 2010 :

On peut très bien admettre d'écrire en premier le théorème utilisé :

1/ Un triangle est rectangle si et seulement si le carré du plus grand côté est égal à la sommes des carrés des deux autres côtés.

(quand on écrit l'énoncé comme dans le temps c'est plus joli en effet, mais malheureusement on nous demande d'accepter la phrase bateau : D'après le théorème de Pythagore)

2/ AB² = AC²+BC²
AB² = 3² + 4²
AB² = 25
AB = 5

3/ et 4/ Comme AB = 5 cm, alors  AB² = AC² + BC² donc le triangle est rectangle en C.

On a bien vérifié les hypothèses pour appliquer le théorème c'est la partie 3/, il y a bien le théorème utilisé c'est la partie 1/ et la conclusion c'est la partie 4/, le seul problème pour moi n'a pas de lien avec la démonstration la question revient à se demander comment on vérifie une égalité, pour moi il y a deux façons, la méthode classique où on fait 2 calculs séparés, et l'autre méthode on résoud l'équation pour vérifier que cela correspond bien à la valeur donnée.

Tout comme personne n'est choqué de l'utilisation de deux méthodes pour montrer que 5 est la solution positive de x² = 3²+4².


Pour l'ordre je ne vois pas de différence entre :

D'après le théorème de Pythagore, comme AB = 5 cm, alors  AB² = AC² + BC² donc le triangle est rectangle en C.

et

Comme AB = 5 cm, alors  AB² = AC² + BC² donc d'après le théorème de Pythagore le triangle est rectangle en C.


De toute manière, il est parfois compliqué de discuter avec certains collègues de maths, car à la fin de la discussion, on a bien compris que certains profs retireraient des points s'ils ne voyaient pas le mot "réciproque" alors que ce n'était plus au programme depuis 4 ou 5 ans !

Je me souviens aussi sur un forum de maths avoir vu des profs de maths qui étaient persuadés qu'il n'y avait eu qu'un seul énoncé du théorème de Pythagore depuis des lustres alors que j'ai découvert la réciproque de Pythagore qu'en IUFM avec ce nouveau dogme des implications et la disparition du si et seulement si et du signe <=> dans la résolution des équations au collège.

Vu du lycée, ce qui me gêne - et je crois que c'est aussi ce que pointait Ben - n'est pas tant l'absence du mot "réciproque" (j'ai bien compris ton argument sur le flou des consignes pédagogiques et je savais déjà qu'il y avait eu un rétropédalage officiel à ce sujet il y a quelques années) que la rédaction en elle-même de la méthode qui consiste à résoudre une équation pour vérifier que la solution correspond bien à la valeur donnée.

Cette méthode peut d'un certain point de vue sembler plus naturelle pour un débutant (elle revient plus ou moins à procéder par "essai-validation") et elle peut ne pas être incorrecte si elle est bien rédigée, mais elle est inutilement alambiquée, elle risque d'induire de mauvaises habitudes pour la suite (du genre résoudre l'équation (x+1)(x+2)=x²+3x+2 quand on demande de démontrer que, pour tout réel x, on a (x+1)(x+2)=x²+3x+2 ) et elle dissimule assez souvent une confusion entres les hypothèses et le résultat à démontrer. D'un point de vue du raisonnement, c'est en général une démarche contestable que de mobiliser un théorème de cours et plusieurs lignes de calcul pour retrouver une donnée qu'on pouvait immédiatement lire dans l'énoncé (du genre AB=5).

Même si on comprend le théorème de Pythagore comme une équivalence, le point 2 de la rédaction proposée ici pose problème car elle sous-entend qu'on rechercherait la longueur AB afin qu'elle soit compatible avec les deux hypothèses "AC=3" et "BC=4" et avec la conclusion "ABC est un triangle rectangle". Là, il y a bien une forme d'inversion entre hypothèses et conclusion même si on peut se retrancher derrière l'argument de l'équivalence du théorème, nuance qui échappe probablement à un collégien.

Comme le suggérait Ben, pour qu'un tel raisonnement soit rédigé correctement, il faudrait en préambule de l'étape 2 mentionner qu'on considère un triangle ABC tel que AC=3 et BC=4 (étant sous-entendu que ce triangle ABC n'est peut-être pas celui de notre énoncé ; on pourrait alors discuter de la pertinence de le nommer lui aussi ABC, mais changer de notation rendrait moins lisible la conclusion du raisonnement).
Puis, en utilisant le théorème de Pythagore version équivalence, après calculs, on en déduirait que ce triangle ABC serait rectangle en C si et seulement si AB=5.
Enfin, comme le triangle ABC de l'énoncé vérifie les deux conditions AC=3 et BC=4, alors d'après l'équivalence démontrée précédemment, la troisième condition AB=5 équivaut à dire que le triangle ABC de l'énoncé est rectangle en A.
Dans un autre fil, on m'accuserait d'être pessimiste mais je crois qu'une telle rédaction n'est pas du tout à la portée d'un collégien lambda actuel car elle recèle des subtilités logiques qui, à mon avis, échapperaient à quasiment tous mes élèves de spécialité en Terminale (en même temps, pour la plupart, ce sont des quiches).
Le problème avec la rédaction que tu proposes c'est que, bien qu'elle paraisse sans doute plus intuitive pour certains élèves à ce niveau de formation, il est sans doute très difficile à ce stade de faire vraiment comprendre où réside l'écueil logique sans tomber dans l'argument d'autorité "il y a confusion entre hypothèses et conclusion" qui est peut-être fondé ou pas (difficile d'imaginer ce que l'élève a vraiment en tête derrière cette rédaction).

Désolée pour ma formulation, bien sûr il s'agit de raisonnement. Toute rédaction respectant le schéma de démonstration d'une égalité est évidemment acceptable. J'ai donné la forme minimale correcte à mon sens.
J'ai eu comme jeune professeur, un tuteur qui m'a traumatisée : il imposait aux élèves ... le nombre de lignes à rédiger pour résoudre une équation. L'élève qui avait besoin de moins (ou de plus) de lignes avait zéro. J'avais trouvé ça *censuré* et loin de moi l'idée d'imposer une rédaction. Par contre j'en ai proposé beaucoup, et en particulier pour le TVI, rédaction type qui permettait aux élèves moyens d'obtenir les points alors que leur propre formulation était maladroite (et par conséquent souvent incorrecte, alors qu'ils avaient bien compris le principe).
J'ai l'air dogmatique comme ça (biberonnée aux maths modernes dès la 6ème) mais en vrai je suis très tolérante.

Et pour démontrer le théorème en 2010, on ne fait pas de distinction entre énoncé direct et réciproque non plus ?

Manu7 a écrit:
1/ Un triangle est rectangle si et seulement si le carré du plus grand côté est égal à la sommes des carrés des deux autres côtés.

(quand on écrit l'énoncé comme dans le temps c'est plus joli en effet, mais malheureusement on nous demande d'accepter la phrase bateau : D'après le théorème de Pythagore)

Je commencerais plutôt par "j'utilise le th. de Pythagore"... parce qu'utiliser "d'après", ça reste cantonné dans mon esprit à "donc, d'après..." (ou si je commence par "d'après le th de Pythagore", je précise aussitôt, "si .... alors on pourra déduire...")
Peut-être que c'est juste une question d'habitude, mais commencer par "d'après le th. de Pythagore ne me semble pas syntaxiquement correct. C'est un détail.

Manu7 a écrit:
2/ AB² = AC²+BC²
AB² = 3² + 4²
AB² = 25
AB = 5

C'est ce passage qui me gêne. Là, on calcule AB. Pourquoi, puisqu'on le connaît ? Ça n'a pas de sens !
Ou alors il faut expliquer... dire qu'on veut vérifier si AB=5 correspond bien au résultat que donnerait l'égalité de Pythagore... ou dire qu'on cherche l'hypoténuse d'un triangle donc les côtés de l'angle droit mesurent 3 et 4. Mais comme ça, en l'état, sans explication, c'est un raisonnement faux. On n'est pas là pour lire dans leur pensées et essayer de deviner ce qu'ils ont voulu faire.

Manu7 a écrit:
3/ et 4/ Comme AB = 5 cm, alors  AB² = AC² + BC² donc le triangle est rectangle en C.

ça, oui, ça passe

Manu7 a écrit:
On a bien vérifié les hypothèses pour appliquer le théorème c'est la partie 3/, il y a bien le théorème utilisé c'est la partie 1/ et la conclusion c'est la partie 4/, le seul problème pour moi n'a pas de lien avec la démonstration la question revient à se demander comment on vérifie une égalité, pour moi il y a deux façons, la méthode classique où on fait 2 calculs séparés, et l'autre méthode on résoud l'équation pour vérifier que cela correspond bien à la valeur donnée.

Tout comme personne n'est choqué de l'utilisation de deux méthodes pour montrer que 5 est la solution positive de x² = 3²+4².

Pour moi, résoudre une équation est à distinguer de prouver une égalité. Ça entretient la confusion entre les deux chez les élèves...

Manu7 a écrit:
Pour l'ordre je ne vois pas de différence entre :

D'après le théorème de Pythagore, comme AB = 5 cm, alors  AB² = AC² + BC² donc le triangle est rectangle en C.

et

Comme AB = 5 cm, alors  AB² = AC² + BC² donc d'après le théorème de Pythagore le triangle est rectangle en C.

Bah, je l'ai dit, j'utilise "d'après" uniquement entre les prémisses et la conclusion (on sait... donc, d'après..., on déduit....). Mais je veux bien admettre que c'est juste une habitude sans fondement..

Dans ce cas, autant poser AB=x (avec x>0). On cherche x, et par égalité de triangle, on en déduit que ABC est rectangle.

Sinon, je n'aurais pas mis 0 à la question, mais pas tous les points car le raisonnement n'est pas clair.

Une équation doit-elle obligatoirement contenir un x ? Je préfère nettement une équation avec AB car AB est une longueur et cela évite de préciser que x est positive.


Pour moi la seule critique possible dans la rédaction que je propose c'est la manière dont on démontre l'égalité donc cela n'a rien à voir avec le théorème de Pythagore. Donc on peut écarter toutes les histoires de triangles égaux nous sommes bien dans la démonstration d'une égalité.

Pat B a écrit:C'est ce passage qui me gêne. Là, on calcule AB. Pourquoi, puisqu'on le connaît ? Ça n'a pas de sens !
Ou alors il faut expliquer... dire qu'on veut vérifier si AB=5 correspond bien au résultat que donnerait l'égalité de Pythagore... ou dire qu'on cherche l'hypoténuse d'un triangle donc les côtés de l'angle droit mesurent 3 et 4. Mais comme ça, en l'état, sans explication, c'est un raisonnement faux. On n'est pas là pour lire dans leur pensées et essayer de deviner ce qu'ils ont voulu faire.

Je suppose que tu enseignes en collège donc tu dois être habitué à ce genre de réponses :

5 est-il la solution de l'équation 2x + 7 = 5x - 8 ?

Cela revient à démontrer que 2x5 + 7 = 5x5 - 8 donc on écrit les 2 calculs et on compare.

Mais j'ai environ 1 élève sur 3 qui va résoudre l'équation :
2x + 7 = 5x - 8
7 + 8 = 5x - 2x
15 = 3x
x = 5
Oui 5 est bien la solution de l'équation.

Je ne vois vraiment comment on pourrait retirer des points à une telle réponse. Je ne vois pas non plus en quoi cela serait alambiquer, je comprends très facilement ce que font ses élèves.

Et pour moi, c'est exactement le même raisonnement que suivent les élèves sauf qu'on parle plutôt d'un triplet solution plutôt que d'une solution. Mais cela revient au même.

Et franchement quand je prépare les exercices, je suis moi aussi cette méthode pour vérifier que c'est un triangle rectangle je trouve que c'est plus rapide, je tape : RAC (5²+12²) = 13 donc 5, 12, 13 est un bon triplet. cela n'a rien à voir avec Pythagore.

D'ailleurs maintenant que la réciproque est de retour et bien je rappelle souvent aux élèves que l'utilisation de la réciproque du théorème de Pythagore commence quand on a prouver l'égalité et pas avant donc pour moi et je l'espère mes élèves, la démonstration de l'égalité ce n'est pas encore la démonstration qui utilise la réciproque.


Ce qui choque vraiment dans ma rédaction c'est : "D'après le théorème de Pythagore" car avec la forme "classique" (directe) du théorème de Pythagore on attend en hypothèse que le triangle soit rectangle et ici l'hypothèse c'est l'égalité. Sauf que dans ces années-là, le programme disait bien qu'il suffirait aux élèves d'écrire "théorème de Pythagore" et cela serait correct.

Oui, mais justement, là il n'y a pas eu la question explicite : "5 est-il la solution de l'équation 2x + 7 = 5x - 8", qui serait ici : "Dans un triangle ABC rectangle en C, si BC et CA font 4 cm et 3 cm, alors AB fait-il 5 cm ?"
Ce qui rend la rédaction proposée incompréhensible en première lecture et mathématiquement incorrecte.

Et même ainsi, ce n'est pas vraiment correct. Ça revient à dire : si ABC est rectangle en C alors AB = 5 cm ; or ici AB vaut bien 5 cm donc ABC est rectangle... ce qui revient à inverser hypothèse et conclusion, et est une erreur logique.
Le théorème a beau être vu comme une équivalence, les équivalences ne sont pas compréhensibles par des élèves de collège et il est important d'écrire l'énoncé dans les deux deux sens pour qu'ils en comprennent la logique. Et je vois bien plus l'importance de ce genre de distinction maintenant que je suis en lycée, avec les raisonnements plus complexes et plus rigoureux, qu'on ne parvient pas à mettre en place chez les élèves qui n'ont pas clairement compris ce qu'est une implication.

Pat B a écrit:Oui, mais justement, là il n'y a pas eu la question explicite : "5 est-il la solution de l'équation 2x + 7 = 5x - 8", qui serait ici : "Dans un triangle ABC rectangle en C, si  BC et CA font 4 cm et 3 cm, alors AB fait-il 5 cm ?"
Ce qui rend la rédaction proposée incompréhensible en première lecture et mathématiquement incorrecte.

Et même ainsi, ce n'est pas vraiment correct. Ça revient à dire : si ABC est rectangle en C alors AB = 5 cm ; or ici AB vaut bien 5 cm donc ABC est rectangle... ce qui revient à inverser hypothèse et conclusion, et est une erreur logique.
Le théorème a beau être vu comme une équivalence, les équivalences ne sont pas compréhensibles par des élèves de collège et il est important d'écrire l'énoncé dans les deux deux sens pour qu'ils en comprennent la logique. Et je vois bien plus l'importance de ce genre de distinction maintenant que je suis en lycée, avec les raisonnements plus complexes et plus rigoureux, qu'on ne parvient pas à mettre en place chez les élèves qui n'ont pas clairement compris ce qu'est une implication.

Non je ne suis pas d'accord, on ne suppose à aucun moment que ABC est rectangle en B, on cherche la solution de l'équation AB² = 3² + 4² pour savoir pour quelle valeur il y a égalité. Et comme on trouve AB = 5 alors on peut dire qu'avec AB = 5 alors on a bien AB² = AC² + BC² donc on peut appliquer la propriété. Tout comme on l'applique quand on a effectué les deux calculs séparés. Tout la partie calcul pour moi ce n'est pas le théorème de Pythagore ou sa réciproque c'est uniquement du calcul. Et d'un point de vue calcul on peut rédiger des deux manières.

Cafr au moment qu'on utilise la propriété c'est exactement la même chose :

"On a montré que AB² = AC² + BC² alors d'après la réciproque du théorème de Pythagore (ou le théorème de Pythagore dans les années 2010) le triangle ABC est rectangle en C. "

La propriété est bien utilisée dans le bon sens.


Pour la compréhension des implications ou des équivalences au niveau lycée, ce n'est pas tellement compliqué à comprendre car au collège on ne voit que des implications, et on tourne en rond sur 3 ou 4 propriétés et on ne voit presque plus rien. C'est le néant. Et en plus on a tendance à obliger les élèves à rediger que d'une seule manière donc les élèves le font sans rien comprendre.

Avant les propriétés avec SSI étaient très courantes et en seconde on approfondissaient cela à fond et on treavaillait beaucoup les notions de "nécessaire et suffisant" ce n'est pas si simple. Aujourd'hui un élève de terminale est loin d'avoir notre niveau de seconde des années 80 sur ce point.

Et je suis aussi étonné que les profs de lycée ne savent pas par exemple qu'ils ont devant eux une génération d'élèves qui n'ont jamais entendu parler de la réciproque du théorème de Pythagore, ou encore du triangle inscrit dans un demi-cercle.

Cette dernière propriété est intéressante quand on voit le produit scalaire mais il y a des lycées entiers où les profs considèrent que c'est toujours au programme de collège.

Manu7 a écrit:Je suppose que tu enseignes en collège donc tu dois être habitué à ce genre de réponses :

5 est-il la solution de l'équation 2x + 7 = 5x - 8 ?

Cela revient à démontrer que 2x5 + 7 = 5x5 - 8 donc on écrit les 2 calculs et on compare.

Mais j'ai environ 1 élève sur 3 qui va résoudre l'équation :
2x + 7 = 5x - 8
7 + 8 = 5x - 2x
15 = 3x
x = 5
Oui 5 est bien la solution de l'équation.

Je ne vois vraiment comment on pourrait retirer des points à une telle réponse. Je ne vois pas non plus en quoi cela serait alambiquer, je comprends très facilement ce que font ses élèves.

Au risque de pinailler, je dirais même qu'il ne faut surtout pas enlever le moindre point à cette réponse qui est bien meilleure que celle consistant à vérifier que 2x5 + 7 = 5x5 - 8 puisqu'elle justifie l'unicité de cette solution.
Par contre, si la question avait été "5 est-il une solution de l'équation 2x + 7 = 5x - 8 ?" ou "5 est-il solution de l'équation 2x + 7 = 5x - 8 ?", on pourrait reprocher à l'élève qui aurait proposé cette réponse d'avoir fait un peu plus que ce qui était strictement nécessaire mais sans trop avoir bouleversé le cadre de la question. Si la question avait été plus orientée, par exemple "vérifier que 5 est une solution de l'équation 2x + 7 = 5x - 8 ", on aurait pu lui reprocher de ne pas avoir suivi la consigne à la lettre.

Dans l'affaire du triangle rectangle, je crois qu'il y a quand même une petite nuance dans le raisonnement qui fait que ce n'est pas aussi simple ; j'y reviens plus bas.

Manu7 a écrit:Non je ne suis pas d'accord, on ne suppose à aucun moment que ABC est rectangle en B, on cherche la solution de l'équation AB² = 3² + 4² pour savoir pour quelle valeur il y a égalité. Et comme on trouve AB = 5 alors on peut dire qu'avec AB = 5 alors on a bien AB² = AC² + BC² donc on peut appliquer la propriété. Tout comme on l'applique quand on a effectué les deux calculs séparés. Tout la partie calcul pour moi ce n'est pas le théorème de Pythagore ou sa réciproque c'est uniquement du calcul. Et d'un point de vue calcul on peut rédiger des deux manières.

Cafr au moment qu'on utilise la propriété c'est exactement la même chose :

"On a montré que AB² = AC² + BC² alors d'après la réciproque du théorème de Pythagore (ou le théorème de Pythagore dans les années 2010) le triangle ABC est rectangle en C. "

La propriété est bien utilisée dans le bon sens.

D'abord, tu dis qu'on ne suppose à aucun moment que le triangle ABC est rectangle mais, justement, c'est ce qui n'est pas du tout clair dans la rédaction proposée : même en considérant que le théorème de Pythagore désigne une équivalence, on peut sans aucune mauvaise foi comprendre que l'élève qui a écrit ces lignes a considéré comme une hypothèse que le triangle ABC était rectangle pour en déduire par implication que AB=5 et qu'ensuite, par une pirouette logique très douteuse, en constatant que l'énoncé indique que AB=5, il en déduit que le triangle est rectangle par une implication réciproque non prouvée.
Cette rédaction me paraît donc "mauvaise" dans le sens où elle ne permet pas d'exclure avec certitude qu'il n'y a pas d'importantes confusions logiques ; il me semblerait hasardeux de postuler que, sous le simple prétexte que le théorème de Pythagore aurait cette année-là été énoncé sous forme d'une équivalence, l'élève aurait forcément en tête un raisonnement par équivalence correct. Et puis, même si un théorème est énoncé comme une équivalence, il convient lorsqu'on l'applique de mettre en évidence dans la rédaction la manière dont on l'utilise : dans un sens, dans l'autre ou bien à double sens ; or ce n'est pas fait ici (je ne dis pas que c'est facile à faire pour un collégien ou un lycéen).

Ensuite, j'ai l'impression que ce problème est un peu plus complexe que la question "5 est-il solution de l'équation 2x + 7 = 5x - 8 ?" parce qu'il faut jongler avec les trois hypothèses AC=3, BC=4 et AB=5 et que, si on veut absolument s'échiner à faire un raisonnement par équivalence, on doit donner un rôle spécifique à deux d'entre-elles pour démontrer que, si on les suppose vraies, la troisième est alors équivalente à la propriété "ABC est rectangle en C" qui est censée être la conclusion de notre raisonnement.
En effet, quand tu dis qu'on cherche la solution de l'équation AB² = 3² + 4² pour savoir pour quelle valeur il y a égalité, le problème est de comprendre/justifier d'où provient cette équation : en fait, elle découle des deux hypothèses AC=3 et BC=4 que, sans l'avoir formulé dans la réponse proposée, on aura considérées comme vraies (alors qu'on aura temporairement éludé l'hypothèse AB=5 qui figure pourtant elle aussi dans l'énoncé au même titre que les deux autres) et d'une démarche consistant à rechercher, sous ces hypothèses, quelles sont les valeurs de AB telles que la conclusion "ABC est rectangle en C" soit correcte, pour enfin conclure par une "confrontation" du résultat ainsi obtenu avec la valeur provenant de l'hypothèse éludée. Tout ça oblige à faire des contorsions logiques assez lourdes par rapport à la comparaison directe des valeurs AB² et AC²+BC² ; d'autant plus que, comme je l'écrivais dans mon message précédent, le triangle ABC sur lequel on travaille durant la démonstration de l'équivalence n'est plus forcément celui de l'énoncé.
Bien que je persiste à la trouver alambiquée, une telle rédaction pourrait être mathématiquement correcte ; je suis toutefois quasiment sûr qu'elle est hors de portée d'un collégien et que si l'un d'eux proposait cette réponse alors toute ressemblance avec un raisonnement exact serait purement fortuite.

On ne peut pas utiliser AB comme inconnue d'une équation (puisque c'est le rôle qu'on lui donne dans AB² = AC² + BC², en plus en implicitant la condition AB >=0 "puisque c'est une longueur") alors qu'on en connait la valeur d'après l'énoncé. Dire AB² = AC² + BC² = 25 donc AB = 5 or, justement AB = 5 donc tout va bien, c'est le contraire d'un raisonnement. Imaginez un peu qu'on donne les valeurs AB = 5, AC = 2 et BC = 3. On écrirait AB² = AC² + BC² = 4 + 9 = 13 donc AB = rac(13) or malheureusement AB = 5 donc ça ne marche pas ?

Voltaire a écrit:On ne peut pas utiliser AB comme inconnue d'une équation (puisque c'est le rôle qu'on lui donne dans AB² = AC² + BC², en plus en implicitant la condition AB >=0 "puisque c'est une longueur") alors qu'on en connait la valeur d'après l'énoncé. Dire AB² = AC² + BC² = 25 donc AB = 5 or, justement AB = 5 donc tout va bien, c'est le contraire d'un raisonnement. Imaginez un peu qu'on donne les valeurs AB = 5, AC = 2 et BC = 3. On écrirait AB² = AC² + BC² = 4 + 9 = 13 donc AB = rac(13) or malheureusement AB = 5 donc ça ne marche pas ?

"ABC" devient temporairement le triangle hypothétique du théorème, jusqu'à la confrontation finale avec celui de l'énoncé. On adhère ou pas. Quant au fait qu'un élève ne puisse tenir ce raisonnement, je soupçonne les autres collégiens de massivement recopier la formulation du professeur et de ne pas plus raisonner que cela. En plus ils doivent gérer une équation l'année où ils apprennent à les résoudre, mais même pas sous cette forme.

L'énoncé proposé est : AB = 5 cm, AC = 4 cm et BC = 3 cm. ABC est-il rectangle ?
Il n'est pas question de trouver AB, mais de confronter les valeurs de AB² et de AC² + BC² pour pouvoir utiliser le théorème de Pythagore (dans le sens réciproque).
Il s'agit donc de vérifier une égalité, et aucunement de résoudre une équation, il n'y a ici aucune inconnue.Je ne sais pas ce qui était valorisé au DNB (probablement n'importe quoi), mais si on propose cet exercice en formation, le raisonnement qui part de AB² = AC² + BC² pour aboutir à la valeur de AB donnée dans l'énoncé est pour le moins incorrect (sauf à raisonner par équivalence, ce qui au collège est exclu, et au lycée faisable par les seuls élèves qui auraient justement choisi de démontrer l'égalité de façon plus classique).

Voltaire a écrit:Imaginez un peu qu'on donne les valeurs AB = 5, AC = 2 et BC = 3. On écrirait AB² = AC² + BC² = 4 + 9 = 13 donc AB = rac(13) or malheureusement AB = 5 donc ça ne marche pas ?

Bein, en fait, dans ce cas, ça me semblerait beaucoup moins choquant puisque ça reviendrait à faire un raisonnement par l'absurde : si ce triangle ABC était rectangle alors ce serait en C (par comparaison des trois longueurs) donc on aurait AB²=AC²+BC²=4+9=13 d'où AB=rac(13),  ce qui contredit l'hypothèse AB=5. Conclusion : ce triangle n'est pas rectangle.

Moonchild a écrit:

Voltaire a écrit:Imaginez un peu qu'on donne les valeurs AB = 5, AC = 2 et BC = 3. On écrirait AB² = AC² + BC² = 4 + 9 = 13 donc AB = rac(13) or malheureusement AB = 5 donc ça ne marche pas ?

Bein, en fait, dans ce cas, ça me semblerait beaucoup moins choquant puisque ça reviendrait à faire un raisonnement par l'absurde : si ce triangle ABC était rectangle alors ce serait en C (par comparaison des trois longueurs) donc on aurait AB²=AC²+BC²=4+9=13 d'où AB=rac(13),  ce qui contredit l'hypothèse AB=5. Conclusion : ce triangle n'est pas rectangle.

Merci de ne pas confondre raisonnement par la contraposée et raisonnement par l'absurde.

Ici : l'hypothèse : « ABC est un triangle rectangle » implique la conclusion : « AB**2 = 13 ».
Or AB = 5, donc AB**2 = 25, donc la conclusion : « AB**2 = 13 » est fausse, donc l'hypothèse : « ABC est un triangle rectangle » est fausse. On raisonne ici par la contraposée.

BR a écrit:

Moonchild a écrit:

Voltaire a écrit:Imaginez un peu qu'on donne les valeurs AB = 5, AC = 2 et BC = 3. On écrirait AB² = AC² + BC² = 4 + 9 = 13 donc AB = rac(13) or malheureusement AB = 5 donc ça ne marche pas ?

Bein, en fait, dans ce cas, ça me semblerait beaucoup moins choquant puisque ça reviendrait à faire un raisonnement par l'absurde : si ce triangle ABC était rectangle alors ce serait en C (par comparaison des trois longueurs) donc on aurait AB²=AC²+BC²=4+9=13 d'où AB=rac(13),  ce qui contredit l'hypothèse AB=5. Conclusion : ce triangle n'est pas rectangle.

Merci de ne pas confondre raisonnement par la contraposée et raisonnement par l'absurde.

Ici : l'hypothèse : « ABC est un triangle rectangle » implique la conclusion : « AB**2 = 13 ».
Or AB = 5, donc AB**2 = 25, donc la conclusion : « AB**2 = 13 » est fausse, donc l'hypothèse : « ABC est un triangle rectangle » est fausse. On raisonne ici par la contraposée.

Et bien, il me semble que c'est très exactement un raisonnement par l'absurde, puisque pour montrer qu'une proposition (ABC n'est pas rectangle) est vraie, on suppose qu'elle est fausse (donc que ABC rectangle), et on arrive à une absurdité logique (la contradiction de l'autre hypothèse, AB=5).

Raisonner par contraposée, ça serait prouver une proposition du type (A implique B) en montrant que (non B implique non A).

Si la question avait été plus orientée, par exemple "vérifier que 5 est une solution de l'équation 2x + 7 = 5x - 8 ", on aurait pu lui reprocher de ne pas avoir suivi la consigne à la lettre.

Oui je suis d'accord, mais il y a de l'implicite sur la notion de "vérification" et pour moi résoudre une équation est bien une manière de vérifier même si c'est excessif.

D'ailleurs l'implicite du verbe "vérifier" me dérange souvent au collège car ce n'est pas si simple. Par exemple la consigne "vérifier que le triangle est rectangle" me dérange beaucoup car en sixième cela singnifie qu'on utilise l'équerre alors qu'en 3ème cela signifie que l'on utilise une démonstration.

Dans vos réponses sur la démonstration ABC est-il rectangle, vous voulez souvent faire intervenir le triangle ABC alors que pour moi on cherche à savoir si AB² = AC² + BC² donc ce n'est plus une histoire de triangle, mais uniquement d'égalité avec des nombres positifs.

Et je reste sur mon avis, pour démontrer une égalité, les deux méthodes sont valables. Et franchement pour vérifier que 61² = 60² + 11² qui n'a jamais tapé RAC(60²+11²) ? C'est beaucoup plus rapide avec une calculatrice collège où on ne voit pas les résultats précédents et je pense que je ne suis pas le seul prof de collège à taper cela. Et je vois aussi les élèves procéder comme moi, c'est une simple technique de calcul, loin des notions d'équivalences, de contrapposées, etc...

Et d'ailleurs quand on tape RAC(60² + 11²) on peut très bien qu'on utilise la formule pour résoudre l'équation ou bien on fait une vérification classique avec une variante sur la fin. Car calculer 61² ou prendre la racine carrée de 60²+11² cela revient au même avec des nombres positifs.

Manu7 a écrit:Dans vos réponses sur la démonstration ABC est-il rectangle, vous voulez souvent faire intervenir le triangle ABC alors que pour moi on cherche à savoir si AB² = AC² + BC² donc ce n'est plus une histoire de triangle, mais uniquement d'égalité avec des nombres positifs.

Et je reste sur mon avis, pour démontrer une égalité, les deux méthodes sont valables. Et franchement pour vérifier que 61² = 60² + 11² qui n'a jamais tapé RAC(60²+11²) ? C'est beaucoup plus rapide avec une calculatrice collège où on ne voit pas les résultats précédents et je pense que je ne suis pas le seul prof de collège à taper cela. Et je vois aussi les élèves procéder comme moi, c'est une simple technique de calcul, loin des notions d'équivalences, de contrapposées, etc...

Et d'ailleurs quand on tape RAC(60² + 11²) on peut très bien qu'on utilise la formule pour résoudre l'équation ou bien on fait une vérification classique avec une variante sur la fin. Car calculer 61² ou prendre la racine carrée de 60²+11² cela revient au même avec des nombres positifs.

Bien sûr, pour vérifier une égalité, on peut le faire comme ça, à condition d'expliquer ce qu'on fait !

Dans le cas de ton raisonnement, il faut juste le dire clairement : "vérifions que AB^2 = AC^2 + BC^2"
On calcule le second membre (mais sans écrire que c'est AB² puisqu'on ne sait pas si c'est égal !), on trouve 25, puis on écrit que sqrt(25) = 5 ; or on a bien AB = 5 donc on a bien l'égalité AB^2 = AC^2 + BC^2, donc d'après le Th. de P., le triangle est rectangle.

Mais là, ton raisonnement, tel qu'il était écrit, ne permet absolument pas de savoir ce que l'élève a dans la tête au moment où il l'écrit, avec un gros risque qu'il ait raisonné en supposant que le triangle est rectangle, en trouvant le bon AB et en en déduisant que donc, le triangle est rectangle... erreur logique.

Manu7 a écrit:Dans vos réponses sur la démonstration ABC est-il rectangle, vous voulez souvent faire intervenir le triangle ABC alors que pour moi on cherche à savoir si AB² = AC² + BC² donc ce n'est plus une histoire de triangle, mais uniquement d'égalité avec des nombres positifs.

Bein, c'est-à-dire que, si dans cette histoire il n'y avait pas au départ un triangle ABC qui est censé être rectangle, j'ai un peu de mal à imaginer pourquoi on chercherait à savoir si AB² = AC² + BC² ; je veux bien qu'on envisage le problème sous l'angle d'une équation, mais cette équation-ci n'a aucune raison d'être sans son contexte géométrique.

Manu7 a écrit:Et je reste sur mon avis, pour démontrer une égalité, les deux méthodes sont valables. Et franchement pour vérifier que 61² = 60² + 11² qui n'a jamais tapé RAC(60²+11²) ? C'est beaucoup plus rapide avec une calculatrice collège où on ne voit pas les résultats précédents et je pense que je ne suis pas le seul prof de collège à taper cela. Et je vois aussi les élèves procéder comme moi, c'est une simple technique de calcul, loin des notions d'équivalences, de contrapposées, etc...

Et d'ailleurs quand on tape RAC(60² + 11²) on peut très bien qu'on utilise la formule pour résoudre l'équation ou bien on fait une vérification classique avec une variante sur la fin. Car calculer 61² ou prendre la racine carrée de 60²+11² cela revient au même avec des nombres positifs.

D'une part, entre ce qu'on fait au brouillon pour vérifier un résultat et une rédaction correcte, il y a parfois un certain flottement ; d'autre part, comme tu le dis dans la dernière ligne, taper RAC(60²+11²) ne signifie pas forcément résoudre une équation : on peut aussi considérer que, puisqu'on a affaire à des nombres positifs, vérifier que 61² = 60² + 11² revient à vérifier que 61=RAC(60²+11²). Derrière ça, il y a une équivalence mais je ne me risquerais pas à prétendre que c'est ce à quoi pense un élève qui prend sa calculatrice et il est fort probable que pour lui ça revienne à résoudre une équation (d'autant plus que, à en croire la plupart de mes lycéens, n'importe quel calcul où il y a un signe = est une équation).

Et puis d'abord, on ne sait pas où il est rectangle, ce triangle (s'il l'est effectivement).
On vérifie si l'égalité AB² = AC² + BC² est vraie, elle l'est, on conclut que le triangle ABC est rectangle en C
Imaginons un élève qui cherche à vérifier l'égalité AC² = AB² + CB², qui est fausse. Il va conclure que le triangle ABC n'est pas rectangle (en B) ?
Que d'implicite dans cet énoncé (et en particulier que si le triangle est rectangle, l'hypoténuse est le plus grand côté)

Manu7 a écrit:

ben2510 a écrit:

Manu7 a écrit:
Soit on résout l'équation (on cherche AB)

Dans la rédaction que tu proposes, à aucun moment il n'est écrit "considérons un triangle rectangle de cathètes 3 et 4",
et encore moins "par les cas d'égalité de triangles on retrouve bien le triangle ABC".

Tu supposes que derrière cette rédaction (incorrecte à mon sens) il existe un raisonnement qui :
* est alambiqué et maladroit
* n'apparaît à aucun moment.

Je parle du niveau 4ème, je me demande bien de quel niveau tu parles ?

C'est quoi que tu n'as pas compris ?