Division euclidienne et notation 6e

Au sujet de la division euclidienne en 6e :

Une de mes collègues m’a fait un psychodrame ce matin.
Je ne doute pas qu’elle surjouait l’indignation afin d’être plus désagréable, c’est un sport dans lequel elle excelle …
Cependant ses propos ne sont pas vides de sens et j’aimerais savoir comment vous vous en sortez.

Bien entendu je donne le classique :
« Dividende = diviseur x quotient + reste       avec  reste < diviseur »

Mais, et c’est le sujet de la controverse, j’explique également :
« on peut aussi écrire                dividende : diviseur = quotient et il y a un reste
   soit par exple                                1 237 : 51 = 24 et il reste 13 »

En effet :
- je trouve ennuyeux que dans le cours consacré à la division euclidienne le signe divisé ne soit jamais utilisé (alors qu’on pose plein de « divisions potences »)
- j’aime bien faire apparaitre très explicitement le rapport au réel de partage équitable avec reste autrement que par les seuls exos.

Mon éminente collègue est scandalisée par l’usage impropre du signe « = » dans ma formulation « 1 237 : 5 = 24 et il reste 13 ».
Et, dans le fond … elle n’a pas complètement  tort.

Avez-vous une astuce pour mettre explicitement en avant l’idée à laquelle je tiens dans un formalisme plus rigoureux.

La présentation qu'a adoptée Brissiaud dans ses fichiers de l'élève ?

1237 : 51 -->   q : 24 ; r : 13  car 1237 = (51 x 24) + 13

Ou 1237-13 : 51 = 24 ?

doublecasquette a écrit:La présentation qu'a adoptée Brissiaud dans ses fichiers de l'élève ?

237 : 51 -->   q : 24 ; r : 13  car 237 = (51 x 24) + 13

C'est ce que j'utilise aussi : je fais écrire les deux façons d'écrire le résultat avec mes CE2-CM1. Ils ont du mal à comprendre les situations de partage, à comprendre que chacun devra recevoir une part égale à celle des autres, et qu'on peut vérifier par la multiplication.
Mais j'écris plutôt :
237 : 51 -> q=24 ; r=13
237 = (51x24) + 13

Idée de la flèche pas si mal :

" />

Ça fout les boules de voir que vous ramez là dessus depuis ... le CE2 et que les pôvres 6ème sont encore nombreux à être totalement à la ramasse sur le sujet !

Des fois j'me dis : pas d'acharnement pédagogique, si les instits n'y sont pas arrivés y'a pas de raison que je fasse mieux !

Il ne faut pas désespérer. Mes Cm2 n'avaient jamais vu la division. Je fais en 1 année, à marche forcée, le programme de deux ans. Ils ne pourront que progresser encore en 6ème

Jamais vu en CM2 ??
Mes enfants sont en CE2 et ils commencent tout juste (avec la notation 140 : 30 = q=4 et r=20)

Perso je suis gênée par cette succession de signes = ...

retraitée a écrit:Ou 1237-13 : 51 = 24 ?

Cette notation me dérange car elle sera en contradiction avec les règles de gestion des calculs (priorité de la division sur la soustraction).

Après je n'utilise jamais de notation pour quotient et reste, je leur demande de me faire une phrase... la calculatrice utilisée par les 3eme au moment de l'algorithme d’Euclide donne bien Q=... et R=... et la flèche semble la plus appropriée mais je ne suis pas totalement convaincu, peut-être parce que je l'utilise dans la présentation de la proportionnalité :
si 3 stylos -> 6 euros
alors 1 stylos -> 2 euros
et 2 stylos -> 4 euros

D'un autre coté, quand je vois cette année qu'il y a plusieurs gamins qui ne comprennent pas que l'unité du reste est la même que celle du dividende, je me dis qu'il y a encore pas mal de boulot sur le sens de la division et sur celui du quotient et du reste.

En 6e je fais écrire "140 : 30 = 4 reste 20" et je ne vois vraiment pas où est le problème.

Perso je préfère ça à "140 : 30 = q=4 et r=20" ou "1237-13 : 51 = 24" ou encore "237 : 51 -> q=24 ; r=13".

Zorglub a écrit:Mon éminente collègue est scandalisée par l’usage impropre du signe « = » dans ma formulation « 1 237 : 51 = 24 et il reste 13 ».
Et, dans le fond … elle n’a pas complètement  tort.

Elle n'a pas tort du tout et je suis de son avis. Il y a beaucoup de confusion dans ton expression. Tu utilises le symbole : comme celui de la division usuelle mais lorsque tu écris le mot "reste", il doit s'interpréter dans le cadre de la division euclidienne. C'est totalement aberrant de mêler ces deux divisions dans la même égalité. Un élève, un parent lambda, comprendra que 1237:51=24,13. Tu voudrais dire que le résultat de la division euclidienne de 1237 par 51 est égal à 24 et le reste est égal à 13. Dans ce cas, c'est le symbole : qui est associé injustement à la division euclidienne, alors qu'il s'agit de la division usuelle.

Tu essayes initialement de ramener le concept de la division euclidienne à un concept connu, celui de la division. C'était louable mais finalement, cela s'avère inutile : pour comprendre ton "il reste 13", il faut revenir à la définition de la division euclidienne. Donc ça ne sert à rien, le problème n'est pas simplifié, il s'est complexifié. Le double-sens du mot "reste" est une difficulté et devoir revenir à la formule du cours pour le comprendre en est une autre.

La formule de base (dividende=diviseur×quotient+reste) possède deux avantages :
- elle ne fait pas appel à la division et oui, c'est un avantage notamment pour les élèves qui ont du mal, pas un inconvéniant
- elle est mathématiquement exacte...

Je ne comprends pas ce que vous appelez le "double sens" du mot "reste".

La formule de base (dividende=diviseur×quotient+reste) possède des avantages

Oui, mais un inconvénient que je cherche à contourner : elle ne fait pas apparaitre l'idée de partage équitable avec un reste.
Il me semble utile de trouver une formulation qui le rappelle afin que les élèves de 6ème connectent l'opération à une situation réelle.

La formulation "dividende = diviseur×quotient + reste" (que bien entendu j'utilise systématiquement en parallèle) est abstraite pour les élèves.

Par ailleurs,
Le langage se prête à raconter l'histoire sous la forme :
"on partage 1231 trucs entre 51 élèves : chacun en aura 24 et il en restera 13"

C'est moins naturel et moins en rapport avec la nature de l'opération de raconter :
"1231 trucs c'est ce qu'on a lorsqu'on a fait 51 paquets de 24 trucs et qu'on en a ajouté 13" (quelle drôle d'idée d'ajouter ces 13 là !)
Il semble que 1231 soit alors un résultat et non plus la donnée initiale du pb.
La situation qui vient à l'esprit face à cette formule n'est plus un problème de partage mais au contraire un problème de "rassemblement" ou de "comptabilité" type j'ai acheté 51 trucs à 24 € et une chose à 13 € DONC j'ai dépensé 1231 €

En gros, je trouve ennuyeux d'expliquer la division euclidienne seulement par la formulation conséquence de son application.

Pour mieux me faire comprendre c'est comme si dans le cas de la division on donnait toujours
dividende = diviseur x quotient (en quelque sorte la "preuve" de l'opération)
et jamais
dividende : diviseur = quotient (alors que la situation du pb conduit à effectuer CETTE opération)

Zorglub a écrit:Je ne comprends pas ce que vous appelez le "double sens" du mot "reste".

Ce que j'ai expliqué ci-dessus : ta formulation induit nécessairement l'erreur du type 1237:51=24,13. Ce sens erroné s'ajoute à la définition du reste dans le cours, ce qui donne deux interprétations de la phrase « 1 237 : 51 = 24 et il reste 13 ». Cette erreur me parait incontournable : le lecteur est attiré du côté obscur de la division usuelle lorsqu'il lit "1 237 : 51 = 24" et puisqu'il reste 13, je ne vois pas bien pourquoi il ne viendrait pas se greffer après le 24.

La formulation "dividende = diviseur×quotient + reste" (que bien entendu j'utilise systématiquement en parallèle) est abstraite pour les élèves.

Comme toute formule basée sur le calcul littéral. Ce problème n'est pas nouveau, ni en 6ème, ni en 3ème, et il n'est pas spécifique à cette formule d'arithmétique. Y rajouter une division ne la rendra pas plus digeste ! Il faut l'accompagner de plusieurs cas simples, de telle sorte que la justesse de la formule puisse être vérifiée dans des cas concrets.

Dans mon cours de sixième sur la division, j'utilise de nombreux exemples. Ils me servent même comme base de définition, tant j'ai conscience de l'obstacle de l'abstrait dans ce chapitre ! Le symbole de la division, tu ne le retrouveras que dans deux situations :
- Lorsque le reste est nul
- Lorsqu'il s'agit de donner une valeur approchée d'une division

Les situations de partage et leur lien avec la division, je les évoque plus longuement dans le chapitre "Fractions".

Le langage se prête à raconter l'histoire sous la forme :
"on partage 1231 trucs entre 51 élèves : chacun en aura 24 et il en restera 13"

Tout est dans la tournure de la phrase... Tu casses volontairement la phrase en deux avec ce double point à cet endroit. Je pourrais très bien écrire ceci : "Partageons 1237 trucs. 51 élèves en reçoivent 24 et il en reste 13." L'écrire au tableau, rajouter en dessous l'égalité 1237=51x24+13 et les choses seront éloquentes pour tous. Donc je suis pour ton interprétation, mais avec un peu de bonne volonté, on peut tout à fait la formuler de sorte qu'elle soit à la fois naturelle et compatible avec l'égalité fondamentale du cours.

Pour mieux me faire comprendre c'est comme si dans le cas de la division on donnait toujours
dividende = diviseur x quotient (en quelque sorte la "preuve" de l'opération)
et jamais
dividende : diviseur = quotient (alors que la situation du pb conduit à effectuer CETTE opération)

Tout dépend de l'interprétation que tu veux bien donner au problème. Lorsque je commence le chapitre "Division" et que des élèves me répondent spontanément qu'ils sont nuls en divisions, je leur demande :
"Et le chapitre sur la multiplication, ça allait ?"
"Oui, la multiplication ça va."
"Alors ça tombe bien, dans ce chapitre, il n'y a presque que des additions et des multiplications !"

Zorglub a écrit:[...]
Bien entendu je donne le classique :
« Dividende = diviseur x quotient + reste       avec  reste < diviseur »

Mais, et c’est le sujet de la controverse, j’explique également :
« on peut aussi écrire                dividende : diviseur = quotient et il y a un reste
   soit par exple                                1 237 : 51 = 24 et il reste 13 »

[...]

Je t'aurais incendié aussi.

Le signe = a un sens précis, et il ne sert en aucun cas à indiquer un résultat.

verdurin a écrit:

Zorglub a écrit:[...]
Bien entendu je donne le classique :
« Dividende = diviseur x quotient + reste       avec  reste < diviseur »

Mais, et c’est le sujet de la controverse, j’explique également :
« on peut aussi écrire                dividende : diviseur = quotient et il y a un reste
   soit par exple                                1 237 : 51 = 24 et il reste 13 »

[...]

Je t'aurais incendié aussi.

Le signe = a un sens précis, et il ne sert en aucun cas à indiquer un résultat.

Je trouve qu'on touche là à quelque chose qui dépasse très largement le niveau dont on parle c'est-à-dire le niveau 6e.

Demander à un élève de résoudre un problème de partage et arriver à leur faire apprendre qu'il faut alors poser une division euclidienne, c'est notre objectif dans ce chapitre. Aller pinailler pour une histoire de notation, je trouve cela un peu excessif.

Je crois que certains ont oublié qu'on a en classe des élèves de 6e et pas un jury de CAPES.

Du reste je trouve que c'est plus déstabilisant pour un élève de lui dire que 1 237 = 51 x 24 + 13  est une division euclidienne alors que dans cette égalité il y a une multiplication et une addition mais pas de division !

Si je veux partager 1 237 bonbons en 24 personnes je vais diviser 1 237 = 24. Cela fait 51 et il reste 13 bonbons. J'ai donc bien posé 1 237 : 24 et c'est égal 51 et il reste 13. Naturellement, moi, il me convient d'écrire 1 237 : 24 = 51 reste 13.

Si je veux partager 1 237 € en 24 personnes, je vais aussi diviser 1 237 par 24 mais, contrairement aux bonbons, on peut partager 1 €, alors on continue jusqu'à deux chiffres après la virgule et on fait donc une division décimale.

Et c'est bien un objectif de 6e : savoir utiliser la bonne opération pour résoudre un problème. Pourquoi venir embêter les élèves avec des considérations sur les notations qui ne risquent que de les embrouiller ?

jonjon71 a écrit:
Je trouve qu'on touche là à quelque chose qui dépasse très largement le niveau dont on parle c'est-à-dire le niveau 6e.

Demander à un élève de résoudre un problème de partage et arriver à leur faire apprendre qu'il faut alors poser une division euclidienne, c'est notre objectif dans ce chapitre. Aller pinailler pour une histoire de notation, je trouve cela un peu excessif.

Je crois que certains ont oublié qu'on a en classe des élèves de 6e et pas un jury de CAPES.

Du reste je trouve que c'est plus déstabilisant pour un élève de lui dire que 1 237 = 51 x 24 + 13  est une division euclidienne alors que dans cette égalité il y a une multiplication et une addition mais pas de division !

Si je veux partager 1 237 bonbons en 24 personnes je vais diviser 1 237 = 24. Cela fait 51 et il reste 13 bonbons. J'ai donc bien posé 1 237 : 24 et c'est égal 51 et il reste 13. Naturellement, moi, il me convient d'écrire 1 237 : 24 = 51 reste 13.

Si je veux partager 1 237 € en 24 personnes, je vais aussi diviser 1 237 par 24 mais, contrairement aux bonbons, on peut partager 1 €, alors on continue jusqu'à deux chiffres après la virgule et on fait donc une division décimale.

Et c'est bien un objectif de 6e : savoir utiliser la bonne opération pour résoudre un problème. Pourquoi venir embêter les élèves avec des considérations sur les notations qui ne risquent que de les embrouiller ?

Aicoutte ces des mate onn va pa sanbaiter aveque lai nautacions.
Il me semble que l'un des problèmes que l'on rencontre en math, peut-être plus en sixième, mais juste après est le statut du signe =.
Quand il est interprété comme indiquant un résultat, on ne fait plus de maths.
Et une proposition comme a+b=b+a n'a plus de sens.  Ce qui est catastrophique par la suite.

verdurin a écrit:

jonjon71 a écrit:
Je trouve qu'on touche là à quelque chose qui dépasse très largement le niveau dont on parle c'est-à-dire le niveau 6e.

Demander à un élève de résoudre un problème de partage et arriver à leur faire apprendre qu'il faut alors poser une division euclidienne, c'est notre objectif dans ce chapitre. Aller pinailler pour une histoire de notation, je trouve cela un peu excessif.

Je crois que certains ont oublié qu'on a en classe des élèves de 6e et pas un jury de CAPES.

Du reste je trouve que c'est plus déstabilisant pour un élève de lui dire que 1 237 = 51 x 24 + 13  est une division euclidienne alors que dans cette égalité il y a une multiplication et une addition mais pas de division !

Si je veux partager 1 237 bonbons en 24 personnes je vais diviser 1 237 = 24. Cela fait 51 et il reste 13 bonbons. J'ai donc bien posé 1 237 : 24 et c'est égal 51 et il reste 13. Naturellement, moi, il me convient d'écrire 1 237 : 24 = 51 reste 13.

Si je veux partager 1 237 € en 24 personnes, je vais aussi diviser 1 237 par 24 mais, contrairement aux bonbons, on peut partager 1 €, alors on continue jusqu'à deux chiffres après la virgule et on fait donc une division décimale.

Et c'est bien un objectif de 6e : savoir utiliser la bonne opération pour résoudre un problème. Pourquoi venir embêter les élèves avec des considérations sur les notations qui ne risquent que de les embrouiller ?

Aicoutte ces des mate onn va pa sanbaiter aveque lai nautacions.
Il me semble que l'un des problèmes que l'on rencontre en math, peut-être plus en sixième, mais juste après est le statut du signe =.
Quand il est interprété comme indiquant un résultat, on ne fait plus de maths.
Et une proposition comme a+b=b+a n'a plus de sens.  Ce qui est catastrophique par la suite.

Pas besoin d'être méprisant je n'ai jamais dit qu'il fallait aussi négliger l'orthographe. Et c'est ton premier argument pour me contredire ?   Ce n'est pas parce que j'explique pourquoi j'utilise une notation qui te paraît erronée que je manque de rigueur par ailleurs.

En outre je ne pense pas que les différents sens du signe = soient le plus problème chez nos élèves actuels. Au contraire, c'est quand je commence à leur en parler un peu plus tard que je commence à les perdre. Mais bon, chacun son opinion.

Je pense qu'il y a une confusion entre "division" et "quotient". En effet, le quotient de a par b est le nombre qui multiplié par b donne a alors que la division est un algorithme permettant d'obtenir la valeur approchée (exacte dans certains cas) d'un quotient. Dans le cas où la valeur n'est pas décimale, on note a div b (ou a/b) pour palier au problème. Cette notation signifie "quotient" (et donc fait le lien avec la multiplication) et non "division". En conclusion, la seule notation valable (pour moi et d'après mes explications) est a = b*q + r où q est le nombre entier de fois que b est contenu dans a. Voilou, dommage que ta collègue se soit énervée ainsi et se soit montrée méprisante, cela ne suscite pas le débat bien au contraire.

@jonjon71
Tu n'as effectivement jamais dit qu'il fallait négliger l'orthographe.
Manifestement tu réserves la négligence à la syntaxe mathématique.
Le signe = a un sens, en math : on peut toujours remplacer ce qui est d'un côté par ce qui est de l'autre côté.

Ce que tu écris est bien pire qu'une moquerie sur l'orthographe.
C'est une erreur grave, et je ne vois aucune raison qui justifierais qu'on enseigne des choses fausses sous prétexte que c'est plus vite écrit.

Mais comme tu dis, chacun son opinion, et quand tes élèves écriront (a+b)²=a²+b², je crains que tu respectes cette opinion. 
Après tout c'est vrai dans Z/2Z.

Pourquoi pas 1 237 /51 = 24 + 13/51 ?
=> Si on partage 1237 en 51, cela fait 24 et il reste 13 qui, eux, sont toujours à partager en 51.

Ou bien alors une vraie phrase avec de vrais mots dedans:
«1237 divisé par 51 donne pour quotient 24 et pour reste 13»

ycombe a écrit:Pourquoi pas 1 237 /51 = 24 + 13/51 ?
=> Si on partage 1237 en 51, cela fait 24 et il reste 13 qui, eux. sont toujours à partager en 51.

Ou bien alors une vraie phrase avec de vrais mots dedans:
«1237 divisé par 51 donne pour quotient 24 et pour reste 13»

Avec çà, je suis vraiment d'accord.
 

ycombe a écrit:Pourquoi pas 1 237 /51 = 24 + 13/51 ?
=> Si on partage 1237 en 51, cela fait 24 et il reste 13 qui, eux. sont toujours à partager en 51.

Le chapitre "Fractions" est généralement traité après le chapitre "Division", j'émets une première réserve. Néanmoins, cette égalité est mathématiquement exacte. C'est déjà une avancée par rapport à la drôle d'égalité initialement proposée :lol: mais honnêtement, il y a déjà du boulot dans le programme de sixième. Je n'en vois pas l'intérêt (seconde réserve).

doublecasquette a écrit:La présentation qu'a adoptée Brissiaud dans ses fichiers de l'élève ?

1237 : 51 -->   q : 24 ; r : 13  car 1237 = (51 x 24) + 13

Pour les autres opérations on donne le résultat avec un «=», pour la division euclidienne avec «-->». Il y a de quoi perturber les gamins. Pour être cohérent il faudrait utiliser «-->» pour toutes les opérations, ce qui réserverait en pratique le «=» aux équations et autres formules. Pas sûr que ça soit si clair…

up

Merci Manu7 ! (faisant écho au fil TIMSS)